Расчет надежности сложных систем

УДК 629.331 
ББК 39.33–08 
Р24 

Рецензент канд. техн. наук, доц. И.М. Князев (СибАДИ) 

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
методических указаний. 

Содержат варианты заданий и примеры расчетов надежности сложных систем 
для практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам «Основы 
теории надежности и диагностики автомобилей», «Теоретические основы надежности 
и диагностики автомобилей». 
Рекомендованы 
для 
обучающихся 
всех 
форм 
обучения 
направления 
23.03.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических 
машин 
и 
комплексов», 
23.04.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических 
машин 
и 
комплексов», 
23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства». 

Имеют интерактивное оглавление в виде закладок.  

Текстовое (символьное) издание (1 Мб)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ;  Windows XP/Vista/7;
1 ГБ свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов: 
Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader

Редактор О.А. Соболева
Техническая подготовка Л.Р. Усачева

Издание 2-е, дополненное. Дата подписания к использованию 25.04.2022
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2017
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, 
причиняющей вред  их здоровью и развитию» данная продукция 
маркировке не подлежит.

Р24

Расчет надежности сложных систем : методические указания [Электронный 
ресурс] / сост. : А.Н. Чебоксаров, И.В. Хамов. – Электрон. дан. – Омск : 
СибАДИ, 
2022. 
– 
Режим 
доступа: 
http://bek.sibadi.org/MegaPro, 
для 
авторизованных пользователей. – Загл. с экрана.

ВВЕДЕНИЕ 

Под сложной системой понимается объект, предназначенный для 
выполнения заданных функций, который может быть расчленен на элементы, 
каждый из которых также выполняет определенные функции и находится 
во взаимодействии с другими элементами системы. Понятие 
сложной системы условно. Оно может применяться как к отдельным узлам 
и механизмам (двигатель, система подачи топлива к двигателю), так и 
к самой машине (станок, трактор, автомобиль, самолет). 
Для повышения надежности сложных систем часто применяют 
структурное резервирование, то есть введение в структуру объекта дополнительных 
элементов, выполняющих функции основных элементов в случае 
их отказа. 
Методические указания могут быть использованы при выполнении 
практических занятий и самостоятельной работе по дисциплинам «Основы 
теории надежности и диагностики автомобилей», «Теоретические основы 
надежности и диагностики автомобилей». Рекомендованы для обучающихся 
всех форм обучения направлений 23.03.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических машин и комплексов», 23.04.03 «Эксплуатация 

транспортно-технологических 
машин 
и 
комплексов», 
23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства». 

Практическая работа № 1 

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ 
И ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ 

Целью работы является закрепление теоретических знаний и приобретение 
практических навыков в области расчета системы с последовательным 
и параллельным соединением элементов. 
Определить вероятность безотказной работы системы Pс , состоящей 
из n-элементов с одинаковой вероятностью безотказной работы Pi , соединенных 
последовательно (рис. 1.1, а) или параллельно (рис. 1.1, б). По результатам 
расчета построить график зависимости Pс(n). 
Варианты исходных данных для расчета приведены в табл. 1.1. 

Рис. 1.1. Схема системы: а – с последовательным соединением элементов; 
 б – с параллельным соединением элементов 

Таблица 1.1 
Исходные данные для расчета 

Первая цифра варианта задания
Вторая цифра варианта задания

0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Количество элементов системы n
Вероятность безотказной работы элемента Pi

2, 4, 6, 8
3, 6, 9, 12
2, 4, 6, 8, 10
0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9

Пример выполнения расчета 

Определить вероятность безотказной работы системы Pс , состоящей 
из n-элементов (n = 2, 4, 6, 8) с одинаковой вероятностью безотказной ра-

а

б

боты Pi = 0,45, соединенных последовательно или параллельно. По результатам 
расчета построить график зависимости Pс(n). 

При последовательном соединении элементов вероятность безотказ-

ной работы системы определяется по формуле 

 






n

i

i
пос
c
P
P

1

. 
 
 
 
 
(1.1) 

 

При одинаковой надежности элементов формула (1.1) принимает вид 
 

n
i
пос
c
P
P

. 
 
 
 
 
(1.2) 

 
При n = 2 

202
0
45
0
2
,
,
P пос
c


. 

При n = 4  

041
0
45
0
4
,
,
P пос
c


. 

При n = 6  

008
0
45
0
6
,
,
P пос
c


. 

При n = 8  

002
0
45
0
8
,
,
P пос
c


. 

 
При параллельном соединении элементов вероятность безотказной 

работы системы определяется по формуле 

 










n

i

i
пар
c
P
P

1

1
1
.  
 
 
 
(1.3) 

 

При одинаковой надежности элементов формула (1.3) принимает вид 
 


n

i
пар
c
P
P



1
1
. 
 
 
 
 
(1.4) 

 
При n = 2  



697
0
45
0
1
1
2
,
,
P пар
c




. 

При n = 4  



908
0
45
0
1
1
4
,
,
P пар
c




. 

 

При n = 6  



972
0
45
0
1
1
6
,
,
P пар
c




. 

При n = 8  



992
0
45
0
1
1
8
,
,
P пар
c




. 

 
По результатам расчета построим график зависимости Pс(n) 

(рис. 1.2). 

 

 

 

Рис. 1.2. График зависимости вероятности безотказной работы  

системы от числа элементов 

 
 
Из графика видно, что с увеличением числа элементов при последо-

вательном соединении надежность всей системы снижается, а при параллельном 
соединении – увеличивается. 

Практическая работа № 2 

 

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМЫ СО СМЕШАННЫМ  

СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ 

 
Целью работы является закрепление теоретических знаний и приоб-

ретение практических навыков в области расчета систем со смешанным 
соединением элементов. 

Зная значения вероятности безотказной работы составных элементов 

Pi , определить вероятность безотказной работы системы Pс. 

Варианты исходных данных для расчета приведены в табл. 2.1. 
 

Таблица 2.1 

Исходные данные для расчета 

 

Pi

Первая цифра 

варианта задания
Вторая цифра варианта задания

0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

P1
0,9
0,8
0,7

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

Рисунок 2.5

Рисунок 2.6

Рисунок 2.7

Рисунок 2.8

Рисунок 2.9

Рисунок 2.10

P2
0,8
0,7
0,6

P3
0,7
0,6
0,7

P4
0,6
0,7
0,8

P5
0,7
0,8
0,9

P6
0,8
0,9
0,8

 
 

 

Рис. 2.1 (табл. 2.1)
Рис. 2.2 (табл. 2.1)

Рис. 2.3 (табл. 2.1)

Рис. 2.4 (табл. 2.1)

Пример выполнения расчета 

 
Определить вероятность безотказной работы системы, изображенной 

на рис. 2.11, если вероятности безотказной работы элементов составляют: 
P1 = 0,9; P2 = 0,8; P3 = 0,7; P4 = 0,9; P5 = 0,7; P6 = 0,9. 

 

 

 

Рис. 2.11. Расчетная схема системы 

 

Рис. 2.5 (табл. 2.1)
Рис. 2.6 (табл. 2.1)

Рис. 2.7 (табл. 2.1)
Рис. 2.8 (табл. 2.1)

Рис. 2.9 (табл. 2.1)
Рис. 2.10 (табл. 2.1)

Так как элементы P2 и P3 соединены последовательно, то обобщен-

ное выражение вероятности их безотказной работы имеет вид 

 

3
2
23
P
P
P


. 
 
 
 
 
(2.1) 

 

Подставляя значения P2 и P3, получим 
 

56
,0
7,0
8
0
23


 ,
P
. 

 
Элементы P4 и P5 также соединены последовательно, а значит, 

обобщенное выражение вероятности их безотказной работы имеет вид 

 

5
4
45
P
P
P


. 
 
 
 
 
(2.2) 

 

Подставляя значения P4 и P5, получим 

 

63
,0
7,0
9,0
45



P
. 

 

Обобщенное выражение вероятности безотказной работы для эле-

ментов P2 – P5 принимает вид 

 

)
1(
)
1(
1
45
23
5
2
Р
Р
Р






. 
 
 
(2.3) 

 

Подставляя найденные значения P23 и P45, получим 

 

84
,0
)
63
,0
1(
)
56
,0
1(
1
5
2







Р
. 

 
Выражение для нахождения вероятности безотказной работы систе-

мы имеет вид 

 

6
5
2
1
Р
Р
Р
Рс




. 
 
 
 
(2.4) 

 
Подставляя значения, получим 
 

68
,0
9,0
84
,0
9,0




с
Р
. 

 
Таким образом, вероятность безотказной работы системы составит 
68
,0

с
Р
. 

Практическая работа № 3 

 

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНОЙ СИСТЕМЫ  
СО СТРУКТУРОЙ, НЕ СВОДЯЩЕЙСЯ К СХЕМАМ  
С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ИЛИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ  

СОЕДИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ 

 
Целью работы является закрепление теоретических знаний и приоб-

ретение практических навыков в области расчета сложных систем со 
структурой, не сводящейся к схемам с последовательным или параллельным 
соединением элементов. 

Зная значения вероятности безотказной работы составных элементов 

Pi , определить вероятность безотказной работы системы Pс. 

Варианты исходных данных для расчета приведены в табл. 3.1. 
 

Таблица 3.1 

Исходные данные для расчета 

 

Pi

Первая цифра 

варианта задания
Вторая цифра варианта задания

0
1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

P1
0,9
0,8
0,7

Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Рисунок 3.5

Рисунок 3.6

Рисунок 3.7

Рисунок 3.8

Рисунок 3.9

Рисунок 3.10

P2
0,8
0,7
0,6

P3
0,7
0,6
0,7

P4
0,6
0,7
0,8

P5
0,7
0,8
0,9

P6
0,8
0,9
0,8

 
 

 

 

 

Рис. 3.1 (табл. 3.1)
Рис. 3.2 (табл. 3.1)

Рис. 3.3 (табл. 3.1)
Рис. 3.4 (табл. 3.1)

Рис. 3.5 (табл. 3.1)
Рис. 3.6 (табл. 3.1)

Рис. 3.7 (табл. 3.1)
Рис. 3.8 (табл. 3.1)

Рис. 3.9 (табл. 3.1)
Рис. 3.10 (табл. 3.1)