Математические основы надежности в приложении к технической эксплуатации автомобилей

УДК 629.331 
ББК 39.3308 
М34 

Рецензент канд. техн. наук, доц. И.М. Князев (СибАДИ) 

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 

методических указаний.

М34

Математические основы надежности в приложении к технической 
эксплуатации автомобилей [Электронный ресурс] : методические указания / 
сост. : И.В. Хамов, А.Н. Чебоксаров. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 
2022. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/MegaPro, для авторизованных 
пользователей. – Загл. с экрана.

Содержат варианты заданий и пример выполнения статистической обработки 
результатов инженерных наблюдений, а также методику изучения закономерностей 
изменения параметров технического состояния автомобиля по его наработке. Предназначены 
для практических занятий и самостоятельной работы по дисциплинам «Основы теории 
надежности и диагностики автомобилей», 
«Теоретические основы надежности и 
диагностики автомобилей», «Техническая эксплуатация автомобилей», «Техническая 
эксплуатация и ремонт автомобилей», «Теоретические основы технической эксплуатации 
автомобилей». 
Рекомендованы 
для 
обучающихся 
всех 
форм 
обучения 
направления 
23.03.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических 
машин 
и 
комплексов», 
23.04.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических 
машин 
и 
комплексов», 
23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства». 

Имеют интерактивное оглавление в виде закладок.  

Текстовое (символьное) издание (1,1 Мб)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ;  Windows XP/Vista/7;
1 ГБ свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов: 
Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader

Редактор О.А. Соболева 
Техническая подготовка Л.Р. Усачева

Издание 2-е, дополненное. Дата подписания к использованию 25.04.2022
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2018 
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от информации, 
причиняющей вред  их здоровью и развитию» данная продукция 
маркировке не подлежит.

ВВЕДЕНИЕ 

Изучение изменения технического состояния автомобилей обеспечивает 
понимание причин возникновения отказов и неисправностей в 
процессе эксплуатации. Знакомство с методами описания случайных величин 
позволяет производить оценку надежности автомобилей по результатам 
эксплуатационных наблюдений и имеет большое значение в подготовке 
специалистов автомобильного транспорта. 
Сбор и обработку информации о надежности автомобиля проводят с 
целью получения данных об отказах элементов автомобиля. Сбором информации 
занимаются: организации-разработчики изделия, предприятия-
изготовители, эксплуатационные и ремонтные предприятия. 
Методические указания могут быть использованы при выполнении 
практических занятий и самостоятельной работе по дисциплинам «Основы 
теории надежности и диагностики автомобилей», «Теоретические основы 
надежности и диагностики автомобилей», «Техническая эксплуатация автомобилей», «
Техническая эксплуатация и ремонт автомобилей», «Теоретические 
основы технической эксплуатации автомобилей». Рекомендованы для 
обучающихся всех форм обучения направлений: 23.03.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических машин и комплексов», 23.04.03 «Эксплуатация 
транспортно-технологических машин и комплексов», 23.05.01 «Наземные 
транспортно-технологические средства». 

Практическая работа №1 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 
ИНЖЕНЕРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ 

Целью работы является закрепление теоретических знаний в области 
статистических методов исследования и получение практических навыков 
в сборе и обработке исходной информации о надежности автомобилей, их 
агрегатов, узлов и деталей. 
По результатам обработки статистических данных текущего ремонта 
автомобиля были получены величины наработки элемента автомобиля до 
замены. Произвести точечную и вероятностную оценку наработки элемента 
автомобиля до замены, определить закон распределения случайной 
величины и найти вероятность отказа Fi и безотказной работы Ri элемента 
в процессе эксплуатации. 
Варианты исходных данных для расчета приведены в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 
Исходные данные для выполнения расчета 

Вариант
Наработка до отказа, тыс. км

1
2

1
36,6   51,1   28,8   49,8   37,3   14,5   38,2   62,8   32,5   26,9   5,3   32,5   47,3  
31,3   59,4   40,8   27,7   35,4   6,2   38,4   44,5   30,7   52,0   11,1   23,4   35,7  
55,5   25,3   49,7   69,6 20,1   44,9   22,7   66,5   38,0   45,5   19,2   58,9   39,1   
18,7

2
1,8   14,7   27,9   9,0   16,6   13,7   16,2   6,4   20,4   18,8   19,3   5,2   18,9   10,3   
15,4   33,4   3,6   11,4   15,9   28,1   21,6   13,2   22,5   19,1   20,9   8,3   26,7  
17,3   24,7   14,0   27,4   22,2   19,0   12,5   15,6

3
55,1   49,3   23,6   47,7   12,5   40,9   26,5   42,8   39,1   33,3   52,5   38,6   38,9   
19,4   35,4   46,8   52,7   36,6   17,0   37,6   34,2   64,5   29,2   48,5   35,8   62,8   
32,0   24,8   44,6   18,3   34,7   59,5   41,1   27,9   37,8

4
44,5   83,3   105,4   95,3   48,2   69,9   41,1   23.3   62,8   35,6   74,7   59,8   118,7   
82,4   109,9   19,4   70,7   88,2   69,1   61,0   46,5   98,1   72,8   51,3   77,0   10,6   
68,5   60,9   53,7   79,9   94,6   112,0   76,7   89,0   28,0

5
15,2   52,3   23,1   55,0   30,8   25,6   22,3   38,2   12,6   49,7   36,6   21,9   35,7   
18,3   37,2   44,1   27,8   46,8   51,5   29,4   38,5   59,2   37,1   5,7   30,9   38,7  
24,6   36,4   8,2   42,2   17,1 38,1   47,8   25,0   58,7   44,4   34,8   35,9   32,2  
48,5   29,1   41,1   59,1   18,4   31,1

Продолжение табл. 1.1

1
2

6
3,1   13,0   7,5   15,7   31,0   11,7   26,4   6,5   14,3   16,2   23,9   8,3   25,2   17,3   
10,1   18,8   12,8   27,7   24,8   29,5   19,1   21,6   24,0   21,3   33,4   24,9   2,7  
14,7   23,0   4,4   22,4   23,8   12,4   16,8   19,2   17,5   9,0   18,3   19,7   29,8   
18,1   28,6   12,8   8,9   15,9

7
19,1   41,1   22,4   37,1   52,3   44,3   62,3   33,4   59,1   45,3   39,0   21,5   35,6   
57,0   14,5   38,7   29,9   47,7   27,3   18,4   37,6   47,2   6,3   34,5   48,4   59,9  
31,2   12,7   49,8   35,7   28,2   51,4   41,8   32,6   25,6   46,2   67,0   39,8   27,6   
58,2

8
79,31   110,7   15,6   149,5   82,3   62,4   103,1   37,8   87,6   59,7   118,5   54,1   
89,1   100,2   35,4   90,5   48,2   92,4   75,9   99,9   137,6   90,8   68,9   93,7   
117,2   56,0   87,3   105,4   82,3   109,8   110,3   24,5   52,4   41,8   81,5   122,2   
88,8   74,7   49,5   89,2

9
40,5   48,4   51,6   34,2   68,9   36,1   47,6   50,8   65,0   11,1   42,3   55,8   25,8   
57,2   31,5   33,3   76,9   38,3   16,8   64,5   36,9   63,2   41,2   33,6   48,8   44,1   
59,2   45,7   21,3   73,0   49,5   24,4   57,9   39,9   28,9

10
20,9   18,9   27,2 16,5   23,1   12,4   22,7   21,6   15,8   14,6   15,1   10,4   26,8   
4,5   33,2   17,1   28,9   9,3   24,1   29,9   32,0   24,8   26,0   21,2   19,4   11,2   
34,8   18,3   11,8   22,7   5,6   28,5   7,2   22,0   15,3   22,4   24,6   13,7   18,9   
24,2

11
65,2   22,5   44,5   25,0   37,3   42,8   12,4   29,1   32,0   54,3   10,8   5,4   27,8  
17,3   67,1   27,6   41,0   7,2   28,8   12,9   33,2   51,3   18,1   43,6   74,5   27,2  
59,8   39,1   49,7   18,0   26,6   8,4   28,7   15,0   63,4

12
32,1   10,4   57,9   13,7   30,2   13,5   6,7   26,8   38,3   29,3   28,9   3,5   24,0   
19,9   77,4   23,2   15,0   54,3   18,9   35,1   62,1   27,3   11,5   35,7   22,6   17,8   
44,5   23,5   12,4   8,9

13
43,8   8,2   28,9   32,2   18,5   23,1   48,6   19,3   54,2   13,4   11,0   69,3   2,4   
49,1   29,5   37,8   10,7   24,5   7,4   35,2   38,6   9,9   13,8   21,3   55,2   18,9   5,2   
31,0   12,1   27,6   27,8   47,3   27,1   6,0   17,7   39,4   16,6   28,7   57,0   15,9

14
38,5   58,7   13,5   42,1   8,7   28,6   47,8   22,6   10,3   27,1   12,5   23,4   64,5  
29,0   72,3   44,5   3,0   25,3   48,6   18,9   13,6   18,8   26,3   42,1   16,2   15,7  
24,1   6,7   33,3   9,1   22,7   53,2   27,2   38,0   26,4

15
43,6   3,7   27,6   11,4   20,8   49,5   15,0   29,8   13,9   72,4   28,7   8,2   29,3   
18,9   18,5   21,0   10,5   42,0   18,2   63,5   26,6   23,2   53,8   25,4   17,4   12,6   
19,3   42,8   16,2   28,6   49,1   22,3   9,4   25,4   51,7

16
54,5   28,1   5,4   23,6   33,7   29,9   52,3   8,0   17,5  65,4   23,8   47,0   18,2   
74,5   22,9   36,2   38,5   25,7   42,3   19,8   38,6   24,5   49,1   38,2   12,6   42,5   
26,4   68,1   25,5   34,0   79,6   10,2   3,9   16,8   58,0   14,6   8,9   18,3   48,7   9,3

Окончание табл. 1.1

1
2

17 20,7   65,2   19,1   54,3   16,3   51,0   15,0   62,8   27,1   9,7   17,0   44,4   21,2   17,8   

32,3   7,3   24,8   19,4   40,0   25,3   5,6   13,5   61,2   26,4   59,4   29,9   13,9   58,1   
19,6   38,5   23,5   58,3   12,7   8,6   11,0   42,7   74,3   25,2   8,4   28,8

18 21,0   5,4   47,5   18,3   6,8   17,6   65,3   28,5   37,8   42,2   34,7   25,6   38,1   22,0   

12,3   39,5   28,7   3,8   18,5   29,4   29,2   78,3   25,3   5,6   68,7   27,6   19,5   23,1   
54,5   12,0   8,1   17,7   35,0   21,9   11,1   32,8   44,3   9,2   19,6   39,3

19 24,5   3,3   21,0   76,4   24,0   38,5   54,3   12,6   23,5   33,9   8,8   37,1   13,5   35,0   

27,1   32,1   19,0   25,5   27,6   65,2   22,2   35,2   57,0   23,9   9,5   24,6   79,3   27,6   
18,3   34,5   17,5   56,3   72,1   5,4   31,9

20 12,0   29,3   48,8   38,5   13,4   37,1   28,8   67,7   25,2   54,3   21,3   11,4   27,8   40,3  

26,0   8,2   29,4   17,7   19,5   5,8   27,7   72,4   28,5   31,0   17,8   33,8   25,9   11,4   
28,8   34,5   24,4   14,3   45,1   28,2  15,1   16,0   9,4   41,1   23,4   12,0   37,8   25,3   
12,4   77,3   8,8

21 44,3   9,7   17,2   3,4   32,3   18,4   59,2   19,0   39,8   9,7   22,5   12,7   7,3   5,5   37,9 

11,5   67,3   5,1   15,2   47,8   21,6   8,4   45,0   6,2   18,8   72,4   8,3 17,1   51,1   6,6   
26,4   32,5   10,7   8,5   34,7

22 24,6   3,5   19,8   1,8   42,1   3,9   67,6   3,5   83,6   9,2   27,3   7,1   18,7   6,3   16,2   8,2   

38,4   4,3   75,2   5,6   24,8   43,7   7,7   9,8   28,1   3,0   12,5   33,9   11,4   19,9   53,1 
6,5   16,7   20,6   8,3

23 17,4   7,6   12,8   1,4   32,4   3,0   5,1   15,3   4,0   14,5   2,2   27,8   3,6   22,3   4,6   13,3   

3,5   7,9   14,1   2,7   11,2   5,3   18,9   1,7   12,5   1,7   21,4   3,9   8,0   33,5

24 7,4   1,6   15,7   3,8   8,5   14,5   1,0   27,6   8,0   13,3   9,1   18,2   2,7   30,7   2,0   2,5 

39,4   12,0   3,5   13,6   1,9   5,9   10,2   3,2   6,3   13,4   3,8   16,1   12,5   4,4   6,8   22,8   
4,9   32,3   9,4

25 40,2   19,7   100,4   22,7   62,3   12,1   93,5   13,7 24,0   128,2   25,3   66,8   15,0   47,6   

16,0   28,7   10,5   48,6   18,8   5,4   35,4   80,9   3,2   135,6   10,7   39,8   49,3   9,4   
69,1   4,6

26 1,4   84,7   19,6   64,3   11,1   29,4   59,3   59,4   36,6   85,9   18,5   21,5   100,9   18,1  

8,3   24,8   15,0   154,2   16,7   28,5   77,7   22,1   42,5   39,9   37,8   50,0   90,2   14,8  
9,3   95,6   137,8   10,4   112,3   17,3   31,6

27 9,2   41,8   5,1   29,5   7,4   11,4   1,6   31,0   19,0   56,4   23,2   8,7   10,3   6,0   42,9   

5,8   67,9   8,2   16,5   3,1   2,6   39,4   7,8   72,3   18,7   35,6   9,1   19,2   35,8   17,7

28 54,8   3,6   22,5   17,1   39,5   5,6   27,4   3,6   62,3   8,7   7,5   45,8   1,3   79,6   6,4   

26,0   7,2   10,8   7,0   25,4   29,9   11,1   37,2   4,0   27,1 5,3   52,1   2,7   19,3   9,1

29 11,5   6,2   3,0   32,1   8,3   25,6   14,5   7,3   18,6   63,5   29,4   17,8   6,0   15,4   2,8   

42,9   7,6   27,8   8,2   9,0   5,5   47,5   3,2   28,2   19,0   9,4   18,1   3,9   26,1   7,2

30 65,4   7,3   25,6   3,7   38,8   7,2   25,0   1,6   19,0   27,8   8,8   52,3   18,2   23,3   6,9   

47,1   16,5   9,3   77,2   3,5   25,0   6,7   41,6   2,4   11,8   2,5   29,4   32,5   6,4   11,9

Пример выполнения расчета 

По результатам обработки статистических данных о текущем ремонте 
автомобиля были получены величины наработки элемента автомобиля 
до замены: 25, 41, 48, 56, 129, 85, 112, 66, 29, 89, 118, 62, 69, 59, 91, 74, 31, 79, 
88, 75, 11, 114, 45, 98, 50, 107, 81, 70, 72, 18, 72, 36, 48, 65, 5, 84. 

Точечная оценка случайной величины 

Точечная оценка позволяет предварительно судить о качестве изделия. 
Чем ниже средний ресурс и выше вариация, тем ниже качество изготовления 
изделия или ремонта изделия.  
1. Случайные величины располагаем в порядке возрастания.

5, 11, 18, 25, 29, 31, 36, 41, 45, 48, 48, 50, 56, 59, 62, 65, 66, 69, 70, 72, 72, 
74, 75, 79, 81, 84, 85, 88, 89, 91, 98, 107, 112, 114, 118, 129. 

2. Определяем размах случайной величины R:

min
max
x
x
R


, 
(1.1) 

где 
max
x
, 
min
x
– наибольшее и наименьшее значение случайной величины.

124
5
129



R
 тыс. км. 

3. Определяем среднее значение наработки до отказа:

n

x
x

n

i
i

ср


1
. 
(1.2) 

7,
66
36
2402
36
129
...
11
5






ср
x
 тыс. км. 

4. Определяем среднеквадратическое отклонение:




1

1

2








n

x
x
n

i
ср
i

. 
(1.3) 







75
,
30
1
36

7,
66
129
...
7,
66
11
7,
66
5
2
2
2












 тыс. км. 

5. Определяем коэффициент вариации: 
 

ср
x



. 
 
 
 
 
 
(1.4) 

 

Коэффициент вариации служит для предварительного определения 
закона распределения случайной величины. 

Например, наиболее часто встречаются следующие законы распределения: 
нормальный, Вейбулла-Гнеденко, экспоненциальный. Для нормального 
закона распределения коэффициент вариации не превышает 
0,33; при распределении Вейбулла меняется от 0,33 до 0,9 и для экспоненциального 
распределения имеет значение, близкое к 1,0. 

В данном примере коэффициент вариации составит 
 

46
,0
7,
66

75
,
30



. 

 
Принимаем закон распределения Вейбулла-Гнеденко. 

 

Вероятностная оценка случайной величины 

 

6. Полученный ряд распределения случайной величины разбивается 
на N равных по длине интервалов. При назначении N можно использовать 
выражение 

 

n
N
lg
3,3
1



,  
 
 
 
(1.5) 

 

где n – число опытных данных. 

Полученное значение N округляется до целого числа в меньшую 

сторону. 

 

6
36
lg
3,3
1




N
. 

 

Некоторые авторы при вероятностных оценках рекомендуют число 
интервалов брать от 5–7 до 9–11. 

Шаг интервала определяется по формуле 

 

N
R
h 
. 
 
 
 
 
 
(1.6) 

 

21
6

124 

h
 тыс.км. 

 

За начало первого интервала рекомендуют принимать наименьшее 
значение случайной величины xmin . 

Размах случайных величин разбиваем на шесть равных по величине 
интервалов (2-й столбец табл. 1.2). 

 
7. Производим группировку, т.е. определяем число случайных величин 
в 1-м, 2-м и последующих интервалах. Количество случайных величин 
попавших в определенный интервал называется частотой mi                
(4-й столбец табл. 1.2). 

 
8. Определяем относительные частоты (частость):  
 

n
mi

i 

. 
 
 
 
 
 
(1.7) 

 
Результаты заносим в 5-й столбец табл. 1.2.  
Частость является эмпирической (опытной) оценкой вероятности р, 
т.е.. при увеличении числа наблюдений частость приближается к вероятности: 
ωi → рi. 

Для первого интервала частость составит 
 

1111
,0
36
4

1



. 

 
 

 

Таблица 1.2 

Вероятностная оценка случайной величины 

 

Номер ин-

тервала

Границы ин-

тервалов, 

тыс.км

Середина 
интервала 

xсер i , 
тыс.км

Частоты попадания 
в интер-

вал mi, шт

Частость 

ωi

Дифференциальная 

функция распределения 

f(x)

Вероятность 

Pi*

Оценка накопленных 

вероятностей

отказа 

Fi

безотказности 

Ri

1
5–26
15,5
4
0,1111
0,0032
0,0679
0,0679
0,9321

2
26–47
36,5
5
0,1389
0,0091
0,1955
0,2634
0,7366

3
47–68
57,5
7
0,1944
0,0125
0,2681
0,5315
0,4685

4
68–89
78,5
12
0,3333
0,0113
0,2426
0,7741
0,2259

5
89–110
99,5
4
0,1111
0,0072
0,1549
0,9291
0,0709

6
110–131
120,5
4
0,1111
0,0033
0,0709
1,0000
0,0000

ВСЕГО
-
-
Σmi = 36
Σωi = 1
Σf(xi) = 0,0467
1,0000
-
-

 

9. Определяем математическое ожидание (эмпирический центр 

группирования) M, около которого концентрируются значения опытных 
данных, т.е. наработка до отказа большинства автомобилей: 

 







n

i

i
сер
i x
p
М

1

.  
 
 
 
(1.8) 

 

6,
68
5,
120
1111
,0
...
5,
36
1389
,0
5,
15
1111
,0








М
 тыс.км. 

 
10. Определяем эмпирическое среднеквадратическое отклонение σ, 

которое характеризуется рассеиванием значений случайных величин в 
выборке относительно эмпирического центра группирования: 

 











n

i

i
i
сер
p
М
x

1

2
. 
 
 
 
(1.9) 

 





30
,
30
...
1389
,0
6,
68
5,
36
1111
,0
6,
68
5,
15
2
2









. 

 

11. Вычисляем коэффициент вариации υ, который представляет со-

бой относительную безразмерную величину, характеризующую рассеивание 
значений случайной величины 

 

М



. 
 
 
 
 
 
(1.10) 

 

44
,0
6,
68

30
,
30



. 

 

Окончательно принимаем закон распределения Вейбулла-Гнеденко. 

 

12. Находим значения дифференциальной функции распределения f(x) 

в зависимости от принятого закона распределения случайной величины. 

Найденные значения заносим в 6-й столбец табл. 1.2. 
Нормальный закон распределения характеризуется дифференциаль-

ной f(x) (функцией плотностей вероятностей) и интегральной F(x) (функцией 
распределения) функциями. Отличительная особенность дифференциальной 
функции распределения – симметричное рассеивание значений 
относительно среднего значения.