Исследование операций

УДК 004.9
ББК 73.6

З97

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от 
информации, причиняющей вред их здоровью и 
развитию» 
данная 
продукция 
маркировке 
не 

подлежит.

Рецензент 
канд. физ.-мат. наук, доц. Л.Н. Романова (СибАДИ) 

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебно-методического пособия. 

З97

Зырянова, Светлана Анатольевна.
Исследование операций : учебно-методическое пособие [Электронный 
ресурс]. – С.А. Зырянова, Т.А. Юрина. – Электрон. дан. – Омск : 
СибАДИ, 2022. – Режим доступа: http://bek.sibadi.org/MegaPro, для 
авторизованных пользователей. – Загл. с экрана.

Предназначено для обучающихся 1-3 курсов всех форм обучения, изучающих
дисциплины «Исследование операций», «Современные методы оптимизации», 
«Имитационное 
моделирование», 
«Компьютерные 
технологии 
в 
науке 
и 
производстве». Содержит теоретический материал и задания для самостоятельной 
работы обучающихся. Может быть использовано преподавателями в качестве 
дидактического материала для проведения лабораторных и практических работ. 
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Подготовлено на 
кафедре 
«Автоматизированные системы и цифровые 
технологии». 

Текстовое (символьное) издание (3,1 Мб)
Системные требования: Intel,3, 4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista 7; 
1Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения  
pdf-файлов: Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader 

Редактор Н.И. Косенкова
Техническая подготовка Л.Р. Усачева 

Издание первое. Дата подписания к использованию 23.05.2022 

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира,5 
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1 

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 

~ 3 ~ 

~ 4 ~ 

1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1.1. Основные понятия 

Математическое программирование (планирование) – это раздел 
математики, 
занимающийся 
разработкой 
методов 
отыскания 
экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены 
ограничения. Методы математического программирования используются 
в экономических, организационных, военных и других системах для 
решения так называемых распределительных задач. Распределительные 
задачи (РЗ) возникают в случае, когда имеющихся в наличии ресурсов не 
хватает для выполнения каждой из намеченных работ эффективным 
образом и необходимо наилучшим образом распределить ресурсы по 
работам в соответствии с выбранным критерием оптимальности. 
Линейное программирование является наиболее простым и лучше 
всего 
изученным 
разделом 
математического 
программирования. 
Характерные черты задач линейного программирования следующие:  
1) показатель оптимальности F(X) представляет собой линейную
функцию от элементов решения Х = (х1, х2, х3, …, хn); 

2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения,
имеют вид линейных равенств или неравенств. 
При описании реальной ситуации с помощью линейной модели 
следует 
проверять 
наличие 
у 
модели 
таких 
свойств, 
как 
пропорциональность и аддитивность.  
Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в 
целевую функцию и компоненты вектора ограничений должны быть 
прямо пропорциональны величине этой переменной. Например, если, 
продавая j-й товар в общем случае по цене 100 руб., фирма будет делать 
скидку при  определенном  уровне  закупки  до  уровня цены 95 руб., то 
будет отсутствовать прямая пропорциональность между доходом фирмы и 
величиной переменной хj. То есть в разных ситуациях одна единица j-го 
товара будет приносить разный доход.  
Аддитивность означает, что целевая функция и ограничения 
должны представлять собой сумму вкладов от различных переменных. 
Примером нарушения аддитивности служит ситуация, когда увеличение 
сбыта одного из конкурирующих видов продукции, производимых одной 
фирмой, влияет на объем реализации другого. 
Допустимое решение – это совокупность чисел (план) Х = (х1, х2, х3, 
…, хn), удовлетворяющих ограничениям задачи.  

~ 5 ~ 

Оптимальное решение – это план, при котором целевая функция 
принимает свое максимальное (минимальное) значение. 

Линейное программирование начало развиваться в первую очередь в 

связи с задачами экономики, с поиском способов оптимального 
распределения 
и 
использования 
ресурсов. 
Именно 
этот 
класс 

оптимизационных задач широко применяется в экономике. Так как число 
независимых переменных в реальных экономических задачах бывает 
очень большим, то разработаны специальные пакеты прикладных 
программ для их решения. 

К одномерным задачам линейного программирования относится 

достаточно широкий круг задач, например: 

1. Задача 
об 
оптимальном 
использовании 
ресурсов 
(задача

планирования производства). 

2. Задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях).
3. Задача о раскрое материала.
4. Задача о составлении графика работы персонала.
Рассмотрим подробно экономическую постановку этих задач и 

принципы построения математической модели. 

1.2. Задача об оптимальном использовании ресурсов 

Экономическая 
постановка 
задачи: 
Необходимо 
определить 

оптимальный план производства продукции, при котором операционная 
прибыль (выручка) фирмы была бы наибольшей, а затраты на 
производство 
продукции 
в 
пределах 
возможного 
максимального 

ресурсного обеспечения. 

Пусть имеется п видов продукции и т видов ресурсов. Обозначим: 

j
x  – число единиц j-го вида продукции (j = 1, …, n),

запланированной к производству; 

ib  – запас i-го ресурса (i = 1, …, m); 

ij
а  – число единиц i-го ресурса, затрачиваемого на изготовление

единицы продукции  j-го вида (aij часто называют технологическими 
коэффициентами); 

j
с  – прибыль от реализации единицы продукции j-го вида (или цена

продукции j-го вида) (j = 1, …, n). 

Тогда экономико-математическая модель задачи об использовании 

ресурсов в общей постановке примет вид: найти такой план  выпуска 
продукции Х = (х1, х2, х3, …, хn), который удовлетворял бы системе 
ограничений, отражающей технологию производства данной продукции: 

~ 6 ~ 
























,
...
...
...
...
,
...
,
...

2
2
1
1

2
2
2
22
1
21

1
1
2
12
1
11

m
n
mn
m
m

n
n

n
n

b
x
a
x
a
x
a

b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a

 (1.1) 

при котором целевая функция, выражающая прибыль фирмы от 
реализации, достигала бы своего максимального значения: 

max
...
2
2
1
1





n
nx
c
x
c
x
c
F
. 
 (1.2) 

1.2.1. Пример задачи об оптимальном использовании ресурсов 

Для изготовления двух видов продукции используются четыре вида 

ресурсов: В1, В2, В3, В4. Максимально возможные запасы ресурсов 
различных видов, а также затраты на изготовление единицы каждого из 
двух видов продукции приведены в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Вид ресурса
Запас ресурса

Число единиц ресурсов, затрачиваемых 

на изготовление единицы продукции

 вид продукции
 вид продукции

В1
36
1
3

В2
32
2
1

В3
10
–
1

В4
42
3
–

Выручка, получаемая предприятием от продажи единицы продукции 

первого и второго видов, составляет соответственно 4 и 6 руб. 

Экономическая постановка задачи: Необходимо составить такой 

план производства продукции первого и второго видов, при котором 
выручка предприятия от ее реализации будет максимальной, а затраты на 
ее изготовление в пределах имеющихся на складе.  

Решение 
1. Математическая модель.
Составим экономико-математическую модель задачи. 
Пусть x1 – число единиц продукции первого вида, которое 

запланировано к производству; x2 – число единиц продукции второго вида, 
которое запланировано к производству. 

~ 7 ~ 

На их изготовление предприятию требуется: 

2
1
3x
x 
– единиц ресурса В1;

2
1
2
x
x 
– единиц ресурса В2; 

2
x  – единиц ресурса В3; 

1
3x – единиц ресурса В4. 
Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов, то 

связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой 
ограничений 




















.
42
3

,
10

,
32
2

,
36
3

1

2

2
1

2
1

x

x

x
x

x
x

 (1.3) 

По смыслу задачи 

0
,0
2
1


x
x
, 
  (1.4) 

так как количество выпускаемой продукции как первого, так и второго 
вида не может быть отрицательным. 

Выручка от реализации продукции первого вида составит 4x1, а от 

реализации второго вида продукции – 6x2, таким образом, суммарная 
выручка от реализации обоих видов продукции  (целевая функция) 

max
6
4
2
1



x
x
F
. 
  (1.5) 

Математическая постановка задачи: Требуется найти матрицу 

X = (x1, x2), которая удовлетворяла бы ограничениям (1.3) и (1.4) и при 
которой целевая функция F (1.5) принимала бы максимальное значение. 

2. Ввод исходных данных (реализация задачи в Excel).
Экранная форма для ввода условий задачи вместе с введенными в 

нее исходными данными представлена на рис. 1.1. 

В экранной форме (см. рис. 1.1) каждой переменной и каждому 

коэффициенту задачи поставлена в соответствие конкретная ячейка в 
Excel: 

 Матрица переменных X = (x1, x2) соответствует ячейкам (В2:С2).
 Технологическая матрица 
ij
a
А 
 соответствует массиву (В5:С8). 

 Правым частям ограничений
ib
b 
 соответствуют ячейки

(Е5:Е8). 

 Прибыль от реализации единицы продукции каждого вида cij

соответствует ячейкам (В9:С9). 

~ 8 ~ 

Рис. 1.1. Экранная форма задачи 

3. Ввод зависимостей из математической модели в экранную

форму. 

Для ввода зависимостей используем формулу (рис. 1.2) 
=СУММПРОИЗВ(массив1; массив2)  
Данная формула вводится в ячейки (D5:D9). Символ $ перед именем 

столбца и номером строки означает абсолютную ссылку на переменные 
матрицы Х, следовательно, при копировании этой формулы в другие места 
листа Excel ссылки на них не изменятся. 

На рис. 1.3 представлен общий вид листа Excel после ввода 

зависимостей математической модели. 

Рис. 1.2. Аргументы функции СУММПРОИЗВ 

~ 9 ~ 

Рис. 1.3. Экранная форма после ввода формул 

Целевая функция в ячейке D9. 
4. Диалоговое окно «Поиск решения».
Дальнейшие действия производятся в окне «Поиск решения», 

которое вызывается кнопкой Поиск решения  на ленте 
Данные (рис. 1.4):  

 поставить курсор в поле «Установить целевую ячейку»;
 ввести адрес целевой ячейки D9 или щелкнуть левой кнопкой

мыши на ячейку D9 на листе; 

 выбрать пункт «максимальному значению»;
 в поле «Изменяя ячейки» ввести В2:С2 или выделить их мышью

на листе; 

 нажать кнопку Добавить;

Рис. 1.4. Окно «Поиск решения» 

~ 10 ~ 

 в поле «Ссылка на ячейку:» ввести D5:D8 или выделить эти

ячейки на листе; 

 выбрать знак отношения «<=»;
 в поле «Ограничение:» ввести Е5:Е8 или выделить эти ячейки на

листе и нажать кнопку ОК (рис. 1.5); 

Рис. 1.5. Диалоговое окно «Добавление ограничений» 

 нажать кнопку Параметры, установить флажки «Линейная

модель» и «Неотрицательные значения», нажать кнопку ОК (рис. 1.6); 

 в окне «Поиск решений» (см. рис. 1.4) нажать кнопку

Выполнить. 

На экране появится окно «Результаты поиска решения», в котором 

нужно нажать кнопку ОК. После этого на рабочем листе Excel получим 
оптимальное решение задачи (рис. 1.7, 1.8). 

Рис. 1.6. Диалоговое окно «Параметры поиска решения» 

~ 11 ~ 

Рис. 1.7. Сообщение об успешном решении задачи 

Рис. 1.8. Экранная форма после получения решения 

Таким образом, оптимальный план производства – 12 изделий I вида 

продукции и 8 изделий – II вида продукции, значение выручки при этом 
равно 96 ден. ед. 

Если на ленте Данные  нет кнопки Поиск решения, то нужно: 
 нажать на кнопку Офис;
 нажать на кнопку Параметры Excel;
 выбрать пункт Надстройки;
 в появившемся окне выбрать Поиск решения и нажать кнопку

Перейти; 

 выбрать пункт Поиск решения и нажать кнопку ОК, а затем

нажать кнопку Да. 

1.3. Задача оптимального смешения 
(задача о диете, о смесях) 

Экономическая постановка задачи: Составить рацион потребления 

ресурсов, содержащих разное количество веществ Si (i = 1, …, m), имеющий 
минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида ресурса было бы 
не менее установленного предела.