Планирование эксперимента

УДК 681.5 
 ББК 32.965.5 
Р31       

Рецензенты: 
канд. техн. наук, доц. О.А. Ясырова (ВА МТО, г. Омск); 
канд. экон. наук, доц. Е.А. Байда (СибАДИ, г. Омск) 

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебного пособия. 

  Р31 

Реброва, Ирина Анатолиевна. 
Планирование эксперимента : учебное пособие / И.А. Реброва. – 2-е 
изд., дериватив., испр. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2022. – 
Режим доступа: http://bek.sibadi.org/MegaPro, для авторизованных 
пользователей. – Загл. с экрана. 

Рассмотрены основные понятия теории эксперимента, задачи дисперсионного, 
корреляционного, регрессионного анализа и методы их решения, планирование 
и обработка результатов многофакторного эксперимента.  
Предназначено для студентов направлений 15.03.04, 15.04.04 «Автоматизация 
технологических процессов и производств», 27.03.04 «Управление в технических 
системах».  
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Подготовлено на кафедре «Автоматизация и энергетическое машиностроение». 


Текстовое (символьное) издание (1,15 МБ).  
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ;  Windows XP/Vista/7/10  
1 ГБ свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов 
Adobe Acrobat Reader / Foxit Reader 

Редактор О.А. Соболева  
Техническую подготовку выполнила А.А. Орловская 

Издание 2-е, деривативное, исправленное 
Дата подписания к использованию 18.11.2022 
Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 
644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ.  
644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1 

 ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 
 ГОУ «СибАДИ», 2010 

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите 
детей от информации, причиняющей вред их 
здоровью и развитию» данная продукция 
маркировке не подлежит 

ВВЕДЕНИЕ  

Экспериментальные исследования широко применяются на всех 
стадиях разработки, производства и эксплуатации различных технических 
объектов, в частности средств автоматики и информационно-
измерительной техники. При создании электронных и электротехнических 
устройств основные затраты приходятся на их настройку и испытания. 

Теория планирования эксперимента формулирует приёмы и 
способы оптимальной организации исследовательской работы. Овладение 
основами теории эксперимента и практическими навыками её 
использования повышает эффективность работы исследователя, позволяет 
с наименьшими затратами решать многие практически важные 
исследовательские задачи: построение по опытным данным математической 
модели объектов, оптимизацию процессов, проверку различных 
предположений. 
Рабочие процессы устройств автоматики протекают в изменяющихся 
условиях, следовательно, зависят от большого числа переменных. 
Описание таких процессов аналитическими методами не всегда 
возможно. Поэтому при исследовании рабочих процессов устройств 
необходимо применять методы планирования эксперимента, которые 
позволяют проводить исследования, одновременно варьируя все влияющие 
факторы. По экспериментальным данным формируется математическая 
модель исследуемого объекта. Математическое описание 
устройств и процессов позволяет исследовать и оптимизировать их 
параметры. 
В учебном пособии изложены элементы теории планирования 
эксперимента и рассмотрено применение дисперсионного, корреляционно-
регрессионного анализа, а также планов первого порядка 
многофакторного эксперимента при решении различных инженерных 
задач. 

1. ПОНЯТИЕ О ПЛАНЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

Принятие проектных решений в любой отрасли промышленно-

сти и оценка их качества в основном осуществляются на основании 
данных эксперимента. 

Экспериментом называют целенаправленное воздействие на объ-

ект исследования с целью получения о нем достоверной информации. 

Планирование эксперимента – это средство построения матема-

тических моделей различных процессов с целью повышения эффективности 
экспериментальных исследований: сокращения времени и средств 
на проведение эксперимента, повышения достоверности результатов исследования. 


Основой теории планирования эксперимента является матема-

тическая статистика, так как результаты эксперимента могут рассматриваться 
как случайные величины или случайные процессы. 

1.1. Классификация экспериментов 

Эксперименты классифицируют по структуре на: 
− натуральные – средства экспериментального исследования 

взаимодействуют непосредственно с объектом исследования; 

− модельные – экспериментируют не с самим объектом, а с его 

моделью; 

− модельно-кибернетические (машинные) – разновидности мо-

дельного эксперимента, при котором соответствующие характеристики 
изучаемого объекта вычисляются с помощью алгоритма на ЭВМ. 

По стадии научных исследований различают: 
•
лабораторные эксперименты для изучения общих закономер-

ностей различных явлений и процессов при проверке научных гипотез и 
теорий; 

•
стендовые эксперименты, которые проводятся при необходи-

мости изучить конкретный процесс, протекающий в исследуемом объекте, 
определением физических, химических и других свойств; 

•
промышленные эксперименты, которые обязательны при

внедрении нового изделия или процесса, при оптимизации действующего 
процесса, при проведении контрольно-выборочных испытаний качества 
выпускаемой продукции. 

По характеру постановки задачи для определения модели объекта 

эксперименты бывают: 

− учитывающие наличие неоднородностей различного вида 

(состав материала, изменение во времени и т.п.); 

− рассчитанные на выявление механизма явления (исследования 

хорошо организованных объектов при достаточно высоком уровне исходной 
информации); 

− учитывающие локальную область пространства параметров 

объекта, соответствующую экстремуму некоторого критерия оптимальности 
при наличии временного изменения параметров; 

− учитывающие локальную область пространства параметров 

объекта, соответствующую экстремуму некоторого критерия оптимальности 
при отсутствии временного изменения параметров; 

− учитывающие степень влияния входных переменных на выход-

ные переменные; 

− позволяющие преобразовать набор переменных объекта иссле-

дования; 

− рассчитанные на прогнозирование поведения объекта исследо-

вания. 

По способу проведения различают: 
•
пассивный эксперимент, который основан на регистрации

входных и выходных параметров, характеризующих объект исследования, 
без вмешательства в эксперимент в процессе его проведения. Обработка 
экспериментальных данных осуществляется только после окончания 
эксперимента; 

•
активный эксперимент. При использовании методов активного

эксперимента математическое описание строится в виде совокупности 
статических и динамических выходных характеристик объекта, которые 
регистрируются при подаче на его входы специальных возмущающих 
воздействий по заранее спланированной программе. 

Активный эксперимент позволяет быстро устанавливать закономерности, 
находить оптимальные режимы функционирования объекта, 
но его обычно и труднее осуществить. Вмешательство в технологический 
процесс может привести к снижению производительности 
и выпуску бракованной продукции. Иногда, например, при астрономических 
наблюдениях активный эксперимент вообще невозможен. 

1.2. Математическая модель объекта исследования 

В общем виде объект исследования можно представить структур-

ной схемой, приведенной на рис. 1.1. Состояние объекта исследования 
можно представить зависимостью 

(
)
Z
U
X
f
Y
;
;
=
, 
(1.1) 

где 
(
)
kx
x
x
X
,
,
,
2
1
2
=
 – независи-

мые управляющие (входные) переменные, 
которые в процессе эксперимента 
можно целенаправленно 
изменять (питающее напряжение, 
технологические режимы и т.п.) 

(
)
m
u
u
u
U
,
,
,
2
1
2
=
 – контролируе-

мые возмущающие воздействия, 
которые не допускают целенаправленного 
изменения в ходе исследования (
температура окружа-

ющей среды, освещение и т.п.); 
(
)
hz
z
z
Z
,
,
,
2
1
2
=
 – неконтролируемые и 

неуправляемые возмущения, неизвестные исследователю, медленно изменяющиеся 
во времени случайным образом; 
(
)
n
y
y
y
Y
,
,
,
2
1
2
=
 – контро-

лируемые или вычисляемые параметры, характеризующие состояние объекта. 


Такое представление объекта (см. рис. 1.1) основано на широко ис-

пользуемом в технике принципе «черного ящика», т.е. системы, структура 
которой скрыта от наблюдателя, а суждение об ее функционировании 
создается только на основании внешних воздействий и ответствующих 
им реакциях системы. Следовательно, одной из основных задач эксперимента 
является выявление взаимосвязей между входными и выходными 
параметрами объекта и представление их в количественной форме в виде 
математической модели. Такая модель является математическим отображением 
наиболее существенных взаимосвязей между параметрами 
объекта. Она представляет собой совокупность уравнений, условий и алгоритмических 
правил и позволяет получить информацию о процессах, 
протекающих в объекте, которая может быть использована для управления 
моделируемым объектом с целью поиска оптимальных условий, а 
также анализировать и проектировать системы. 

um
u2
u1 

yn

y2

y1

xk

x2

x1

Объект 

z1 
z2
zh

Рис.1.1. Структурная схема объекта 
исследования 

Входные параметры, которые оказывают влияние на объект и мо-

гут быть измерены, называют факторами. Так, например, при исследовании 
измерительного преобразователя с целью получения его математической 
модели в качестве факторов могут выступать измеряемая величина, 
температура окружающей среды, напряжение питания и т.п. 
Очевидно, что при планировании активного эксперимента факторы 
должны быть управляемыми и независимыми. 

Каждый фактор имеет область определения, которая должна быть 

установлена до проведения эксперимента. Она может быть непрерывной 
или дискретной, причем при непрерывной области обычно производят 
ее искусственную дискретизацию. Cчитают, что каждый из параметров 
может изменяться в некоторых пределах: 

(
);
,
,2,1
k
i
x
x
x
iB
i
iH
2
=
≤
≤

(
);
,
,2,1
m
j
u
u
u
jB
j
jH
2
=
≤
≤
    (1.2) 

(
)
h
g
z
z
z
gB
g
gH
,
,2,1
2
=
≤
≤
.

Выход хотя бы одного параметра за эти пределы приводит к нару-

шению нормальной работы устройства (или нормального протекания 
процесса). Задача исследователя заключается в том, чтобы при фиксированных 
параметрах zg = const и uj = const выбрать такие значения xi = var 
(такую рабочую точку в области работоспособности), при которых выходной (
или оптимизируемый) параметр объекта y достигает оптимальной 
величины. Другими словами, необходимо оптимизировать функцию 
y = f(xi = var; uj = const; zg = const)  в области определения xi.  
Каждую конкретную комбинацию факторов можно рассматривать 
как точку в многомерном факторном пространстве. Область возможных 
комбинаций факторов, построенная в многомерном факторном 
пространстве, называют областью планов эксперимента. 
При планировании эксперимента с целью нахождения оптимальных 
условий в качестве единственной выходной величины рассматривается 
критерий оптимальности (параметр оптимизации), зависящий 
от выходных параметров объекта. Эту функцию рассматривают 
как отклик объекта на указанную комбинацию факторов и называют 
функцией отклика. Геометрический образ в факторном пространстве 
соответствующей функции отклика называют поверхностью 
отклика. 

В зависимости от источника информации, используемого при по-

строении математической модели, различают физические (аналитические) 
и статистические (эмпирические) модели. 

Физические модели представляют в виде сложных систем уравне-

ний (алгебраических, дифференциальных, интегральных или дифференциально-
интегральных), позволяющих очень точно описать процессы, 
протекающие в объекте, и допускающих экстраполяцию в точки 
факторного пространства, в которых невозможно непосредственное 
наблюдение этих процессов. 

Статистические модели получают в результате статистической 

обработки экспериментальной информации, собранной об исследуемом 
объекте. Эти модели имеют относительно простую структуру и часто 
представляются в виде полиномов. Область их применения ограничивается 
ближайшей окрестностью рабочих точек, в которых проводятся 
эксперименты. Во многих случаях построение таких моделей можно 
выполнить при сравнительно небольших затратах времени и средств. 

Принято также различать стационарные и динамические модели. 

Первые из них представляют неизменяющиеся во времени соотношения, 
вторые описывают переходные процессы, т.е. нестационарные состояния. 


1.3. Основные этапы проведения экспериментальных  

исследований 

В общем случае планирование и организация эксперимента 

включают в себя следующие последовательно выполняемые этапы: 

− постановка задачи (определение цели эксперимента, выявле-

ние исходной ситуации, оценка допустимых затрат времени и 
средств, установление типа задачи); 

− сбор априорной информации об исследуемом объекте  

(изучение литературы, опрос специалистов и т.п.); 

− выбор способа решения и стратегии его реализации (уста-

новление типа модели, выявление возможных влияющих факторов, 
выявление параметров, выбор целевых функций); 

− проверка выбранного способа решения задачи (предвари-

тельные эксперименты с целью проверки экспериментальной установки 
и методики, а также предварительной оценки качества модели); 

− реализация выбранного способа решения задачи (уточнение 

типа экспериментальной установки, определение значения целевой 
функции и факторов, объемов выборки, кратности повторения опытов 
и т.д.; завершается этап проведением экспериментов); 

− анализ и интерпретация результатов, их представление (по-

лучение оценок интересующих экспериментатора величин и определение 
степени достоверности этих оценок, выражение результатов 
анализа в терминах и понятиях той области науки или техники, в интересах 
которой был проведен эксперимент). 

1.4. Классификация задач эксперимента 

Можно выделить несколько типичных задач, решаемых экспе-

риментатором. Это: 

− оценка определенных характеристик изучаемого объекта, 

проявляющих себя статистически, а также проверка некоторых гипотез, 
касающихся этих характеристик. Такая задача относится к измерительным 
процессам; 

− выявление воздействия на выходную величину тех или иных 

факторов; результатом этого эксперимента должно быть одно из 
утверждений: «да» или «нет», например, влияет ли добавка некоторого 
компонента на прочность бетона и т.п. Соответствующая экспериментальная 
процедура называется дисперсионным анализом; 

− установление функции отклика, т.е. статистически достовер-

ной зависимости, связывающей отклик с факторами; другими словами, 
построение математической модели изучаемого объекта. Это задача 
регрессионного анализа; 

− определение степени взаимной статистической связи двух ве-

личин, например, затрат на изучение технической информации и количество 
изобретений и т.п. Определение степени подобной связи является 
предметом корреляционного анализа; 

− нахождение оптимальных условий протекания процесса, т.е. 

определение значений факторов, при которых отклик является максимальным (
или минимальным). Эта задача решается в ходе выполнения 
экстремального эксперимента. 
 
 

1.5. Параметры оптимизации 

Выбор параметров оптимизации (критериев оптимизации) является 

одним из главных этапов работы на стадии предварительного изучения 
объекта исследования. 

Под параметром оптимизации понимают характеристику цели, 

заданную количественно. Параметр оптимизации является откликом на 
воздействие факторов, которые определяют поведение исследуемой системы. 
Каждый реальный объект может характеризоваться несколькими 
или одним параметром оптимизации.  

Параметр оптимизации необходимо выбирать с учетом комплекса 

требований. Он должен: 

− быть количественным, т.е. иметь числовую оценку; 
− обладать однозначностью в статистическом смысле. Заданному 

набору значений факторов должно соответствовать одно значение параметра 
оптимизации, при этом обратное утверждение неверно: одному и 
тому же значению параметра могут соответствовать разные наборы значений 
факторов; 

− быть универсальным и всесторонне отражать характеристики 

объекта, процесса, явления. Универсальными обычно являются экономические 
и технико-экономические параметры (себестоимость, надежность 
и др.); 

− быть эффективным как с точки зрения достижения цели, так и в 

статистическом смысле. Если, например, за параметр оптимизации принять 
себестоимость восстановления детали, то он не будет характеризовать 
надежность ее работы. Поэтому в качестве параметра оптимизации 
целесообразно выбирать себестоимость при допустимой износостойко-
сти или износостойкость при допустимой себестоимости. Статистически 
эффективным параметром оптимизации является тот, который имеет 
наименьшие ошибки измерений; 

− иметь ясный физический смысл. Это требование не только 

определяет цель исследования, но и облегчает интерпретацию полученных 
результатов эксперимента. 

Задачи с одним выходным параметром имеют очевидные пре-

имущества. Но на практике чаще всего приходится учитывать несколько 
выходных параметров. Иногда их число довольно велико. Так, например, 
при производстве резиновых и пластмассовых изделий приходится 
учитывать физико-механические, технологические, экономические, художественно-
эстетические и другие параметры. Математические модели 

можно построить для каждого из параметров, но одновременно оптимизировать 
несколько функций невозможно. 

Обычно оптимизируется одна функция, наиболее важная с точки 

зрения исследования, из множества выходных параметров выбирается 
один в качестве параметра оптимизации, а остальные служат ограничениями. 
Используя корреляционный анализ, исследуется также возможность 
уменьшения числа выходных параметров. Кроме того, для выбора 
единого параметра оптимизации применяются математические преобразования, 
переход от нескольких параметров оптимизации к обобщенному. 

Пусть исследуемый объект характеризуют n частных откликов 

(
)n
u
yu
,
,2,1
2
=
, каждый из этих откликов имеет свой физический 

смысл и, чаще всего, разную размерность и измеряется в N опытах. 
Тогда 
ui
y  – это значение u-го отклика в i-м опыте (
)
N
i
,
,2,1
2
=
. Чтобы 

объединить отклики, необходимо ввести для каждого из них некоторую 
безразмерную шкалу, которая должна быть однотипной для всех объединяемых 
откликов. Если каждому 
ui
y  присвоить только два значения: 0 – 

неудовлетворительный результат, 1 – удовлетворительный результат, то 
таким образом можно стандартизовать шкалу частных откликов. Обобщенный 
отклик в этом случае также должен принимать одно из этих 
двух возможных значений, причем так, чтобы значение 1 имело место, 
если все частные отклики в этом опыте приняли значение 1, и 0, если 
хотя бы один из откликов обратился в 0. Тогда для построения обобщенного 
отклика удобно воспользоваться формулой 

n
n

u
ui
i
y
Y
∏
=
=1
, 
 
 
 
 
(1.3) 

где 
iY  – обобщенный отклик в i-м опыте; П – произведение частных от-

кликов 
ni
i
i
y
y
y
,
,
,
2
1
2
. 

Если для каждого из частных откликов известен «идеал» 
0
uy
 – 

наилучшее значение u-го отклика, тогда модуль разности 
0
u
ui
y
y
−
 мож-

но рассматривать как некоторую меру близости к идеалу. Чтобы перейти 
к безразмерным значениям, достаточно модуль разности разделить на 
желаемое значение 
0
0 /
u
u
ui
y
y
y
−
. При совпадении с идеалом всех част-

ных откликов в некотором опыте 
iY  равно нулю. Это и есть то значе-

ние, к которому необходимо стремиться. 

Недостатком такой оценки является то, что все частные отклики 

входят в обобщенный отклик на равных правах. На практике же раз-