Колебания и волны. Оптика

УДК 535
ББК 22.336

Ф33

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010
«О защите детей от информации,
причиняющей вред их здоровью и развитию»
данная продукция маркировке не подлежит.

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. О. В. Кропотин (ОмГТУ, г. Омск);

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю. Б. Никитин (ОмГМУ, г. Омск)

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 

учебного пособия.    

Ф33

Федорук, Владимир Аркадьевич. 
Колебания и волны. Оптика : учебное пособие / В. А. Федорук,     
А. В. Тюкин ; под общей ред. В. А. Федорука. – Омск : СибАДИ, 
2023. – 1 электрон. опт. диск (CD-R). – Загл. с титул. экрана.
ISBN 978-5-00113-209-7. 

Включает в себя теоретические сведения, тестовые и разноуровневые задачи 

из разделов общей физики «Колебания и волны» и «Оптика».

Предназначено для подготовки к практическим занятиям обучающихся всех

форм обучения по всем специальностям и направлениям подготовки бакалавров и 
специалистов 
технических 
вузов, 
изучающих 
колебания 
и 
волны, 

геометрическую, волновую и квантовую оптику.

Оглавление оформлено в виде интерактивных закладок.

Текстовое (символьное) издание (3,41 Мб)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 МБ; Windows XP/Visa/7/10 
1 ГБ свободного места на жестком диске; программа для чтения pdf-файлов 
Adobe Acrobat Reader 

Редактор Н.И. Косенкова

Издание второе, стереотипное. Дата подписания к использованию 16.02.23

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ
644080, г. Омск, пр. Мира, 5

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022
© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2023

~ 3 ~

Введение

Данное учебное пособие предназначено для подготовки студентов к 
практическим занятиям по следующим разделам общей физики: 
«Колебания и волны», «Оптика».

Материал 
данного 
учебного 
пособия 
включает 
в 
себя 

теоретические сведения
по механическим и электромагнитным 

колебаниям и волнам, геометрической, волновой и квантовой оптике 
[1, 2, 3, 4], необходимые для решения тестовых и разноуровневых задач 
[5, 6, 7, 8] по данным разделам.

Приведённые в данном пособии примеры задач с решениями 

позволяют студентам успешно осваивать на практических занятиях
законы вышеуказанных разделов общей физики.

Материал данного пособия содержит тестовые задачи, решение 

которых самостоятельно и на практических занятиях позволяет 
подготовить студентов к успешному прохождению интернет-
тестирования при проверке остаточных знаний, а также к успешной 
сдаче семестрового экзамена или зачёта по физике.

Данное пособие является логическим продолжением пособия по 

механике, молекулярной физике и термодинамике [9] и пособия по 
электричеству и магнетизму [10].

При подготовке студентов к интернет-экзамену [8] по физике на 

кафедре «Физика» используется гибкая система тестирования в виде 
«exe» файлов, разработанная и реализованная В. А. Федоруком в виде 
программной оболочки «TestingShell-v1.0» [11].

Тестовые задания данного пособия и пособий [9, 10] являются 

неотъемлемой
частью 
вышеуказанной 
системы 
тестирования, 

благодаря которой реализована текущая проверка знаний студентов 
СибАДИ в рамках контрольных недель, а также их поэтапная 
подготовка к интернет-экзамену [8] по физике.

~ 4 ~

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ. ОПТИКА

1. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

1.1. Основные понятия, законы и формулы [1, 2, 3]

Колебания – это любой физический процесс, характеризую-

щийся той или иной повторяемостью во времени и пространстве.

Наименьший промежуток времени 
,
T
по истечении которого 

значение 
изменяющейся 
физической 
величины 
повторяется, 

называется периодом колебаний этой величины.

Число полных колебаний 
,
совершаемых колеблющейся 

величиной за единицу времени, называется частотой колебаний этой 
величины. Период и частота колебаний связаны соотношением

1
=

Т
или 
.
1
Т
=


Свободные, или собственные колебания, – это колебания, 

происходящие в системе, предоставленной самой себе после 
выведения её из состояния устойчивого равновесия. Например,
колебания груза на пружине.

Вынужденные колебания – это колебания, обусловленные 

внешним периодическим воздействием. Например, электромагнитные 
колебания в антенне телевизора.

Механические 
гармонические 
колебания
–
это 
такое

периодическое движение, при котором радиус-вектор материальной 
точки изменяется со временем по закону косинуса (или синуса):

),
cos(
0
0

+

=
t
A
r



(1.1)

где r – радиус-вектор (смещение) материальной точки в момент 
времени t
(откладывается от среднего равновесного положения 

колеблющейся точки, называемого центром колебаний);
A


–
направляющий вектор прямой, вдоль которой происходят 

колебания, проводится из центра колебаний к одному из крайних 
положений (рис. 1.1). Модуль A



называется амплитудой колебаний.

Рис. 1.1. Крайние положения колебаний, 

происходящих вдоль прямой

~ 5 ~

Аргумент
0
0

+

=

t
называется
фазой
колебаний.
Коэффициент 


=

2
0
– характеристический параметр колебаний, называемый угловой 

частотой (круговой или циклической частотой) собственных незатухающих 
колебаний. Угловая частота показывает, сколько полных колебаний совершается 
за 2 секунд. Величина 
0

– значение фазы в начальный момент 

времени t =0 (начальная фаза).

Найдём зависимости скорости и ускорения от времени при 

гармонических колебаниях. Для этого найдём первую и вторую 
производные от (1.1):

),
sin(
0
0
0

+


−
=
=

t
A
dt
r
d



(1.2)

).
cos(
0
0

2
0
2

2


+


−
=
=

=
t
A

dt

r
d

dt
d
a





(1.3)

Как видно из (1.2) и (1.3), скорость и ускорение при гармони-

ческих колебаниях изменяются также по гармоническому закону. 
Частоты колебаний 
,r
,

a
одинаковы. Амплитуда колебаний 

скорости равна 
,
0A

амплитуда колебаний ускорения 
.
2
0A


Спроецируем (1.1), (1.2) и (1.3) на ось
:
x

).
cos(

),
sin(

),
cos(

0
0

2
0
2

2

0
0
0

0
0


+


−
=
=
=

=


+


−
=
=
=
=



+

=
=





t
A
x

dt

x
d

dt
d
a

t
A
x
dt
dx

dt
dr

t
A
x
r

x

x

x

x

x

Производные по времени в теории колебаний обозначают точками 

над дифференцируемой величиной; одна точка обозначает первую 
производную, две – вторую. Проекции на оси y и z равны нулю.

Период незатухающих гармонических колебаний материальной 

точки

.
2

0



=
T

Введём обозначение

,
2
0
k
m
=


где k – коэффициент упругой или квазиупругой силы; m – масса 
колеблющейся материальной точки или, например, груза пружинного 

~ 6 ~

маятника. Учитывая, что 
,
0
m
k
=

получим для периода колебаний 

пружинного маятника

.
2
k
m
T

=
(1.4)

Таким образом, чем больше масса груза и чем меньше жёсткость 
пружины, тем медленнее происходят колебания.

Введём обозначение

,
2
0
l
g
=


где l – длина математического маятника; g – ускорение свободного 
падения. Малые колебания математического маятника являются 
гармоническими. Период этих колебаний равен

.
2
2

0
g
l
T

=



=
(1.5)

Кроме 
пружинного 
и 
математического 

маятников существует физический маятник –
твёрдое тело, способное совершать колебания 
вокруг неподвижной горизонтальной оси (рис. 1.2).

На рис. 1.2 показаны: P



– сила тяжести, 

действующая на маятник; a – расстояние от оси 
вращения (точка О) до центра масс маятника (точка 
С); I – момент инерции маятника относительно оси 
вращения. Малые колебания физического маятника 
являются гармоническими. Период этих колебаний 
равен

.
2
2

0
mga

I
T

=



=
(1.6)

Рис. 1.2. Физический маятник

Приведённой длиной L физического маятника называется длина 
такого математического маятника, период колебаний которого равен 
периоду колебаний данного физического маятника. Приравняв правые 
части (1.5) и (1.6), получим

.
ma
I
L =

~ 7 ~

Гармоническим осциллятором называется любой физический 

объект, 
совершающий 
колебания
по 
гармоническому 
закону. 

Например: маятники (пружинный, математический, физический), 
колеблющиеся с небольшой амплитудой; атомы в твёрдых телах, 
совершающие малые колебания около положений равновесия.

Кинетическая энергия гармонического осциллятора с учётом 

формулы (1.2) равна

),
(
sin
2
)
(
sin
2
2
0
0

2

2

0
0

2
2
2
0

2


+

=

+


=

=
t
kA
t
A
m
m
T
(1.7)

где k – коэффициент упругой или квазиупругой силы (см. выше).

Потенциальная энергия гармонического осциллятора с учётом 

формулы (1.1) в проекции на ось x равна

).
(
cos
2
2
0
0

2

2
2


+

=
=
t
kA
kx
U
(1.8)

Полная механическая энергия осциллятора

2

2
kA
U
T
E
=
+
=
(1.9)

пропорциональна квадрату амплитуды и в процессе колебаний 
сохраняется неизменной.

В реальных условиях механические колебания всегда происходят 

в какой-либо среде. Взаимодействие колеблющейся системы со средой 
приводит к рассеянию (диссипации) энергии колебаний (механическая 
энергия колебаний превращается во внутреннюю энергию среды). 
Колебания затухают.

Рис. 1.3. График затухающих колебаний

~ 8 ~

Затухающие колебания не являются гармоническими: их 

амплитуда убывает со временем по экспоненциальному закону

,
0

t
e
A
A

−
=
(1.10)

где 
m
r 2
/
=

–
коэффициент затухания;
r
–
коэффициент 

сопротивления. График затухающих колебаний показан на рис. 1.3.
График не выходит за пределы огибающих 
t
e
A
x

−
=
0
и 
.
0

t
e
A
x

−
−
=

Найдём, по какому закону изменяется со временем энергия

затухающих колебаний. По (1.9) 
.
2

2
kA
E =
Подставим вместо A

выражение (1.10):

(
)
.
2
2

2

2
0
2

0

t
t
e
kA
e
A
k
E

−

−
=
=

Но 2

2
0
kA
– начальная энергия колебаний 
.
0
E
Учитывая это, получим

.
2

0

t
e
E
E

−
=
(1.11)

Taким образом, энергия затухающих колебаний  уменьшается также по 
экспоненциальному закону.

Частота собственных затухающих колебаний системы  связана 

с частотой собственных незатухающих колебаний этой же системы 
0


соотношением

.
2
2
0

−

=

(1.12)

Важной характеристикой затухающих колебаний является время 

релаксации , в течение которого амплитуда колебаний уменьшается 
в e раз. Из условия

e

e
A

e
A

t

t

=

+

−


−

)
(

0

0

находим

,
/
1 
=

(1.13)

откуда

.
/
1 
=


Таким образом, коэффициент затухания 
есть величина, 

обратная времени, в течение которого амплитуда колебаний 
уменьшается в e раз.

~ 9 ~

Логарифм отношения двух последующих амплитуд (амплитуд в 

моменты времени 
t
и
T
t +
) называется логарифмическим 

декрементом затухания:

.
ln
)
(

0

0
T

e
A

e
A

T
t

t


=
=

+

−


−

(1.14)

Из (1.14)  видно, что  характеризует затухание за период .
T

За время релаксации материальная точка совершает

T
Nе


=

колебаний. Подставив в это выражение (1.13) и (1.14), получим

,
1

=
е
N

откуда

.
1

е
N
=


Таким образом, логарифмический декремент затухания  есть 

величина, обратная числу колебаний, совершаемых системой за время, 
в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Если на материальную точку действует нестационарная сила 
,
F


зависящая от времени по периодическому закону, то точка будет 
совершать 
колебания, 
называемые 
вынужденными. 
Сила 
F


называется вынуждающей. Пусть проекция этой силы на ось x
изменяется по гармоническому закону

,
cos
0
t
F
Fx

=

где 
0
F – амплитуда силы;  – частота колебаний вынуждающей силы. 

Вынужденные колебания даже при наличии сопротивления не 
затухают.

Амплитуда 
А
вынужденных колебаний и величина 
,
'
0


определяющая сдвиг фаз между вынужденными колебаниями и 
вынуждающей силой, определяются по формулам

,

4
)
(
2
2
2
2
2
0

0



+

−


=

m

F
A
(1.15)

tg
.
2

2
2
0

'
0

−

=





(1.16)

~ 10 ~

При <<
0


.
2
0

0

=





m
F
A

При малых частотах вынуждающей силы амплитуда вынужден-

ных колебаний близка к статическому отклонению  (рис. 1.4),
вызываемому силой 
.
0
F


При >>
0


.
2

0




m

F
A

Если
,

→

то

.0
→
A

При некотором значении =
рез

(эта частота называется 

резонансной) 
подкоренное 
выражение 
в 
(1.15) 
минимально, 

следовательно, 
амплитуда 
максимальна. 
Продифференцировав 

подкоренное выражение по  и приравняв полученную производную 
нулю, исходя из физического смысла, найдём 
:
рез


.
2
2
2
0

 −
=
 рез
(1.17)                   

Подставив (1.17) в (1.15), получим значение максимальной 

амплитуды:

.

2
2
2
0

0

max

−



=

m

F
A
(1.18)

Рис. 1.4. Резонансные кривые,

соответствующие разным β

~ 11 ~

Явление 
резкого 
возрастания 
амплитуды 
вынужденных 

колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к некоторой 
характерной для данной системы частоте 
рез

называется резонансом.

Кривая зависимости 
)
(
= A
A
называется резонансной кривой. 

На рис. 1.4 изображены резонансные кривые, соответствующие 
различным  (
3
 >
2
 >
,
1

0
 =0).

Как видно из (1.18), высота максимума резонансной кривой тем 

больше, чем меньше коэффициент затухания 
.
Кроме того, чем 

меньше 
,
тем «острее» максимум резонансной кривой. Из (1.18) 

следует, что в отсутствие сопротивления (=0) амплитуда должна 
стать бесконечно большой, однако этого случиться не может, так как 
колебания при этом перестанут быть малыми и вся излагаемая здесь 
теория будет несправедливой. Кроме того, любая реальная система 
просто разрушится по достижении определенного конечного размаха 
вынужденных колебаний.

Сложим два гармонических колебаний одинаковой частоты, 

происходящие вдоль оси 
:
x

),
cos(
01
0
1
1

+

=
t
A
x

).
cos(
02
0
2
2

+

=
t
A
x

Результирующее колебание вдоль оси x изменяется по закону

),
cos(
0
0
2
1

+

=
+
=
t
A
x
x
x

где A и 
0
 – амплитуда и начальная фаза результирующего колебания, 

определяемые из формул

),
cos(
2
01
02
2
1

2
2

2
1

2

−

+
+
=
A
A
A
A
A
(1.19)

tg
.
cos
cos

sin
sin

02
2
01
1

02
2
01
1

0






A
A

A
A

+
+
=
(1.20)

Если какую-либо частицу или совокупность частиц упругой 

среды привести в колебания, то эти колебания не останутся 
локализованными в месте возбуждения, а благодаря взаимодействию 
между частицами будут распространяться с некоторой скоростью по 
всем направлениям.

Процесс распространения механических колебаний в среде 

называется механической волной.

Различают поперечные и продольные волны (рис. 1.5).