Предварительная подготовка данных в Python: Том 1. Инструменты и валидация

А. В. Груздев

Предварительная 
подготовка данных 
в Python

Том 1 
Инструменты и валидация

Москва, 2023

УДК 004.04Python 
ББК  32.372

Г90

Груздев А. В.
Г90 
Предварительная подготовка данных в Python: Том 1. Инструменты 
и валидация. – М.: ДМК Пресс, 2023. – 816 с.: ил.

ISBN 978-5-93700-156-6

В двухтомнике представлены материалы по применению классических методов 
машинного обучения в различных промышленных задачах. Первый том 
посвящен инструментам Python – основным библиотекам, классам и функциям, 
необходимым для предварительной подготовки данных, построения моделей 
машинного обучения, выполнения различных стратегий валидации. В конце 
первого тома разбираются задачи с собеседований по SQL, Python, математической 
статистике и теории вероятностей.
Издание рассчитано на специалистов по анализу данных, а также может быть 

полезно широкому кругу специалистов, интересующихся машинным обучением.

УДК 004.04Python 
ББК 32.372

Все права защищены. Любая часть этой книги не может быть воспроизведена в какой 

бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами без письменного разрешения 
владельцев авторских прав.

Материал, изложенный в данной книге, многократно проверен. Но, поскольку вероятность 
технических ошибок все равно существует, издательство не может гарантировать 
абсолютную точность и правильность приводимых сведений. В связи с этим издательство 
не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.

© Груздев А. В., 2023
© Оформление, издание, перевод, ДМК Пресс, 2023
ISBN 978-5-93700-156-6

Моей Матильде, прошедшей
 путь бескорыстной любви 
длиной в 22 года, посвящается

Оглавление

Введение ............................................................................................ 10

ЧАСТЬ 1. НЕМНОГО МАТЕМАТИКИ ......................................... 11
1.1. Функция ......................................................................................................11
1.2. Производная ...............................................................................................12
1.3. Дифференцирование сложных функций .................................................15
1.4. Частная производная .................................................................................16
1.5. Градиент .....................................................................................................17
1.6. Функция потерь и градиентный спуск .....................................................18

Часть 2. Инструменты ....................................................................... 23

1. Введение ........................................................................................ 23
1.1. Структуры данных .....................................................................................23
1.1.1. Кортеж (tuple) ......................................................................................23
1.1.2. Список (list) .........................................................................................24
1.1.3. Словарь (dictionary) .............................................................................27
1.1.4. Множество (set) ...................................................................................31
1.2. Функция ......................................................................................................34
1.3. Полезные встроенные функции ................................................................35
1.3.1. Функция enumerate() ..........................................................................35
1.3.2. Функция sorted()..................................................................................36
1.3.3. Функция zip() .......................................................................................36
1.4. Класс ............................................................................................................38
1.5. Знакомство с Anaconda ..............................................................................43

2. IPython и Jupyter Notebook .......................................................... 44

3. NumPy ............................................................................................. 50
3.1. Создание массивов NumPy ........................................................................50
3.2. Обращение к элементам массива .............................................................55
3.3. Получение краткой информации о массиве ............................................57
3.4. Изменение формы массива .......................................................................58
3.5. Конкатенация массивов ............................................................................61
3.6. Функции математических операций, знакомство  
с правилами транслирования ..........................................................................65
3.7. Обработка пропусков .................................................................................70
3.8. Функция np.linspace() ................................................................................72
3.9. Функция np.logspace() ................................................................................74

Оглавление  5

3.10. Функция np.digitize()................................................................................75
3.11. Функция np.searchsorted() .......................................................................76
3.12. Функция np.bincount() .............................................................................78
3.13. Функция np.apply_along_axis() .................................................................79
3.14. Функция np.insert() ..................................................................................80
3.15. Функция np.repeat() .................................................................................81
3.16. Функция np.unique() ................................................................................82
3.17. Функция np.take_along_axis() ...................................................................84
3.18. Функция np.array_split() ...........................................................................86

4. Библиотеки Numba, datatable, bottleneck  
для ускорения вычислений ............................................................. 88
4.1. Numba .........................................................................................................88
4.2. Datatable .....................................................................................................94
4.3. Bottleneck ....................................................................................................98

5. SciPy ................................................................................................ 99

6. pandas ...........................................................................................111
6.1. Почему pandas?  .......................................................................................111
6.2. Библиотека pandas построена на NumPy ...............................................111
6.3. pandas работает с табличными данными ...............................................111
6.4. Объекты DataFrame и Series ....................................................................111
6.5. Задачи, выполняемые pandas..................................................................113
6.6. Кратко о типах данных ............................................................................113
6.7. Представление пропусков .......................................................................114
6.8. Какую версию pandas использовать? .....................................................115
6.9. Подробно знакомимся с типами данных ...............................................115
6.9.1. Типы данных для работы с числами  
и логическими значениями .......................................................................115
6.9.2. Типы данных для работы со строками ............................................126
6.10. Чтение данных .......................................................................................136
6.11. Получение общей информации о датафрейме ....................................137
6.12. Изменение настроек вывода с помощью функции get_options() .......139
6.13. Знакомство с индексаторами [], loc и iloc.............................................140
6.14. Фильтрация данных ...............................................................................147
6.14.1. Одно условие ...................................................................................147
6.14.2. Несколько условий ..........................................................................148
6.14.3. Несколько условий в одном столбце ..............................................148
6.14.4. Использование метода .query() ......................................................149
6.15. Агрегирование данных ..........................................................................151
6.15.1. Группировка и агрегирование с помощью одного столбца .........151
6.15.2. Группировка и агрегирование с помощью нескольких столбцов 153
6.15.3. Группировка с помощью сводных таблиц .....................................156
6.16. Анализ частот с помощью таблиц сопряженности ..............................166
6.17. Выполнение SQL-запросов в pandas .................................................169

 Оглавление

7. scikit-learn .....................................................................................179
7.1. Основы работы с классами, строящими модели предварительной  
подготовки данных и модели машинного обучения ...................................179
7.2. Строим свой первый конвейер моделей ................................................198
7.3. Разбираемся с дилеммой смещения–дисперсии и знакомимся  
с бутстрепом ...................................................................................................210
7.4. Обработка пропусков с помощью классов MissingIndicator 
и SimpleImputer ..............................................................................................228
7.5. Выполнение дамми-кодирования с помощью класса OneHotEncoder 
и функции get_dummies(), знакомство с разреженными матрицами.........235
7.6. Автоматическое построение конвейеров моделей с помощью  
класса Pipeline .................................................................................................246
7.7. Знакомство с классом ColumnTransformer ..............................................250
7.8. Класс FeatureUnion ...................................................................................263
7.9. Выполнение перекрестной проверки с помощью функции  
cross_val_score(), получение прогнозов перекрестной проверки  
с помощью функции cross_val_predict(), сохранение моделей  
перекрестной проверки с помощью функции cross_validate() ....................264
7.10. Виды перекрестной проверки для данных формата  
«один объект – одно наблюдение» (отсутствует ось времени)   ..................273
7.10.1. Обычная нестратифицированная k-блочная перекрестная  
проверка с помощью класса KFold ............................................................274
7.10.2. Обычная стратифицированная k-блочная перекрестная проверка 
с помощью класса StratifiedKFold ..............................................................281
7.10.3. Повторная нестратифицированная k-блочная перекрестная проверка 
с помощью класса RepeatedKFold ...................................................283
7.10.4. Повторная стратифицированная k-блочная перекрестная проверка 
с помощью класса RepeatedStratifiedKFold ..........................................286
7.10.5. k-кратное случайное разбиение на обучающую  
и тестовую выборки (перекрестная проверка Монте-Карло) .................288
7.10.6. Перекрестная проверка со случайными перестановками  
при разбиении с помощью класса ShuffleSplit .........................................294
7.10.7. Стратифицированная перекрестная проверка  
со случайными перестановками при разбиении  
с помощью класса  StratifiedShuffleSplit ...................................................296
7.10.8. Перекрестная проверка с исключением по одному  
с помощью класса LeaveOneOut ................................................................297
7.10.9. Перекрестная проверка с исключением p наблюдений  
с помощью класса LeavePOut .....................................................................299
7.11. Виды перекрестной проверки для данных формата  
«один объект – несколько наблюдений» и стратифицированных  
данных (отсутствует ось времени)   ..............................................................301
7.11.1. Перекрестная проверка, учитывающая группы связанных  
наблюдений, с помощью классов GroupKFold  .........................................301
7.11.2. Перекрестная проверка, учитывающая группы связанных  
наблюдений с исключением из обучения одной группы, с помощью  
класса LeaveOneGroupOut  .........................................................................302

Оглавление  7

7.11.3. Перекрестная проверка, учитывающая группы связанных  
наблюдений с исключением из обучения p групп, с помощью  
класса LeavePGroupsOut .............................................................................304
7.11.4. Перекрестная проверка, учитывающая группы связанных  
наблюдений и распределение классов, с помощью класса 
StratifiedGroupKFold ...................................................................................305
7.11.5. Перекрестная проверка со случайными перестановками  
при разбиении и учитывающая группы связанных наблюдений  
с помощью класса GroupShuffleSplit .........................................................307
7.12. Обычный и случайный поиск наилучших гиперпараметров  
по сетке с помощью классов GridSearchCV и RandomizedSearchCV ............309
7.12.1. Обычный поиск оптимальных значений гиперпараметров  
моделей предварительной подготовки и модели  
машинного обучения .................................................................................312
7.12.2. Обычный поиск оптимальных значений гиперпараметров  
моделей предварительной подготовки и модели машинного  
обучения с добавлением строки прогресса ..............................................318
7.12.3. Случайный поиск оптимальных значений  
гиперпараметров моделей предварительной подготовки  
и модели машинного обучения .................................................................320
7.12.4. Обычный поиск оптимальных значений гиперпараметров  
для CatBoost при обработке категориальных признаков «как есть»  
(заданы индексы категориальных признаков) ........................................321
7.12.5. Отбор оптимальной модели предварительной подготовки  
данных в рамках отдельного трансформера ............................................324
7.12.6. Отбор оптимального метода машинного обучения среди  
разных методов машинного обучения (перебор значений  
гиперпараметров  с отдельной предобработкой данных  
под каждый метод машинного обучения) ................................................329
7.13. Вложенная перекрестная проверка.......................................................335
7.14. Классы PowerTransformer, KBinsDiscretizer и FunctionTransformer .....341
7.15. Написание собственных классов предварительной подготовки  
для применения в конвейере ........................................................................350
7.16. Модификация классов библиотеки scikit-learn для работы  
с датафреймами ..............................................................................................375
7.17. Полный цикл построения конвейера моделей в scikit-learn ...............381
7.17.1. Первая задача ...................................................................................381
7.17.2. Вторая задача ...................................................................................393
7.18. Калибровка модели ................................................................................404
7.18.1. Актуальность калибровки ...............................................................404
7.18.2. Функция calibration_curve().............................................................406
7.18.3. Оценка Брайера ...............................................................................413
7.18.4. Оценка качества калибровки моделей до применения  
калибратора ................................................................................................415
7.18.5. Класс CalibratedClassifierCV ............................................................420
7.18.6. Оценка качества калибровки моделей после применения  
калибратора ................................................................................................421

 Оглавление

7.18.7. Оценка качества калибровки моделей после применения  
калибратора с уже обученным классификатором ....................................423
7.18.8. Калибровка на основе сплайнов.....................................................426
7.19. Полезные классы CountVectorizer и TfidfVectorizer для работы  
с текстом ..........................................................................................................436
7.20. Сравнение моделей, полученных в ходе поиска по сетке,  
с помощью статистических тестов ................................................................450
7.20.1. Простое сравнение всех построенных моделей ............................451
7.20.2. Сравнение двух моделей: частотный подход ................................454
7.20.3. Сравнение двух моделей: байесовский подход .............................458
7.20.4. Попарное сравнение всех моделей: частотный подход ...............463
7.20.5. Попарное сравнение всех моделей: байесовский подход ............465
7.20.6. Итоговые выводы ............................................................................467
7.21. Разбиение на обучающую, проверочную и тестовую выборки  
с учетом временной структуры для валидации временных рядов   ...........468
7.22. Виды перекрестной проверки для данных формата  
«один объект – одно наблюдение» (присутствует ось времени)   ...............521
7.22.1. Перекрестная проверка расширяющимся окном .........................525
7.22.2. Перекрестная проверка скользящим окном .................................542
7.22.3. Перерестная проверка расширяющимся/скользящим  
окном с гэпом .............................................................................................552
7.23. Перекрестная проверка для данных формата  
«один объект – несколько наблюдений» (присутствует ось времени)   ......563
7.24. Многоклассовая классификация:  
подходы «один против всех», «один против одного» и «коды,  
исправляющие ошибки» ................................................................................567
7.24.1. Подход «один против остальных» или «один против всех» 
(«one versus rest», «one versus all») .............................................................568
7.24.2. Подход «один против одного» («one versus one») ..........................573
7.24.3. Подход «коды, исправляющие ошибки»  
(«error-correcting output codes») .................................................................592

ЧАСТЬ 3. ДРУГИЕ ПОЛЕЗНЫЕ БИБЛИОТЕКИ .....................602

1. Библиотеки визуализации matplotlib, seaborn и plotly ........602
1.1. Matplotlib ..................................................................................................602
1.2. Seaborn ......................................................................................................621
1.3. Plotly ..........................................................................................................629

2. Библиотека прогнозирования временных рядов ETNA .......634
2.1. Общее знакомство ...................................................................................634
2.2. Создание объекта TSDataset  ...................................................................641
2.3. Визуализация рядов объекта TSDataset .................................................645
2.4. Получение сводки характеристик по объекту TSDataset  .....................646
2.5. Модель наивного прогноза .....................................................................647
2.6. Модель скользящего среднего ................................................................654

Оглавление  9

2.7. Модель сезонного скользящего среднего ...............................................658
2.8. Модель SARIMAX ......................................................................................662
2.9. Модель Хольта–Винтерса (модель тройного экспоненциального  
сглаживания, модель ETS) ..............................................................................671
2.10. Модель Prophet .......................................................................................677
2.11. Модель CatBoost .....................................................................................689
2.12. Модель линейной регрессии с регуляризацией «эластичная сеть» ....709
2.13. Объединение процедуры построения модели, оценки качества  
и визуализации прогнозов в одной функции ..............................................714
2.14. Перекрестная проверка нескольких моделей ......................................717

2.15. Ансамбли ................................................................................................722
2.16. Стекинг ...................................................................................................724
2.17. Создание собственных классов для обучения моделей .......................725
2.18. Импутация пропусков ...........................................................................741
2.19. Работа с трендом и сезонностью ..........................................................751
2.20. Обработка выбросов ..............................................................................766
2.21. Собираем все вместе ..............................................................................772
2.22. Модели нейронных сетей ......................................................................787
2.23. Оптимизация гиперпараметров с помощью  
Optuna от разработчиков ...............................................................................789

Ответы на вопросы с собеседований ..........................................794

Введение

Настоящая книга является коллекцией избранных материалов из первого модуля 
Подписки – обновляемых в режиме реального времени материалов по 
применению классических методов машинного обучения в различных промышленных 
задачах, которые автор делает вместе с коллегами и учениками.
Автор благодарит Игоря Яковлева за предоставленные материалы к первой 
части, Антона Вахрушева за помощь в подготовке раздела, посвященного 
NumPy, во второй части книги, Теда Петру за помощь в подготовке раздела, 
посвященного pandas, во второй части книги.
Первая и вторая части книги содержат несложные вопросы с собеседований 
по SQL, Python, математической статистике и теории вероятностей. Автором 
не ставится задача закрыть пробелы соискателей в этих областях, вопросы 
даны как напоминание, что помимо машинного обучения потребуются знания 
и в некоторых других сферах. В конце книги вы найдете ответы к вопросам.
В первом томе мы сконцентрируемся на инструментах предварительной 
обработки данных и рассмотрим различные способы валидации модели.

Часть 1

Немного математики

1.1. Функция

В жизни мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. 
Для простоты возьмем зависимость между двумя величинами.  Например, 
мы знаем, что площадь круга зависит от радиуса, площадь квадрата зависит 
от его стороны. Переменную x, значения которой выбираются произвольно, 
называют независимой переменной, а переменную y, значения которой определяются 
выбранными значениями x, называют зависимой переменной. Давайте 
взглянем на рисунок. На нем изображен график температуры воздуха 
в течение суток.

Рис. 1 График температуры воздуха в течение суток

С помощью этого графика для каждого момента времени t (в часах), где 
0 ≤ t ≤ 24, можно найти соответствующую температуру p (в градусах Цельсия). 
Например:
 
 если t = 7, то p = –4;
 
 если t = 12, то p = 2;
 
 если t = 17, то p = 3;
 
 если t = 22, то p = 0.
Здесь t является независимой переменной, а p – зависимой переменной. 
В рассмотренном примере каждому значению независимой переменной соответствует 
единственное значение зависимой переменной. Такую зависимость 
одной переменной от другой называют функциональной зависимостью, или 
функцией. Например, когда мы пишем y = f(x) (читается «как y, равное f от x»), 

 Немного математики

мы как раз и имеем в виду эту идею зависимости: переменная y зависит от 
переменной x по определенному закону (предписанию, правилу). Закон этот 
обозначен буквой f.
Независимую переменную иначе называют аргументом, а о зависимой переменной 
говорят, что она является функцией от этого аргумента. Путь, пройденный 
автомобилем с постоянной скоростью, является функцией от времени 
движения. Например, если автомобиль движется с постоянной скоростью 
60 км/ч, зависимость пути от времени можно задать формулой s = 60t, где s – 
пройденный путь (в километрах), t – время (в часах).
Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения, 
которые принимает независимая переменная, образуют область определения 
функции. Значения функции в точке максимума (минимума) функции 
называются, соответственно, максимумом и минимумом функции. Минимальное 
или максимальное значения функции на заданном множестве называют 
экстремумом функции. Минимум и максимум функции может быть локальным 
и глобальным.

Рис. 2 Минимум и максимум функции 

1.2. Производная

Теперь выясним, что такое производная функции. Для объяснения производной 
воспользуемся открытыми материалами Игоря Яковлева1.
Представьте, вы едете на автомобиле и спидометр показывает 60 км/ч. Что 
это значит? Ответ простой: если автомобиль будет ехать так в течение часа, то 
он проедет 60 км.
Допустим, что автомобиль вовсе не собирается ехать так целый час. Например, 
водитель разгоняет автомобиль с места, давит на газ, в какой-то момент 
бросает взгляд на спидометр и видит стрелку на отметке 60 км/ч. В следующий 
момент стрелка уползет еще выше. Как же понимать, что в данный момент 
времени скорость равна 60 км/ч?
Давайте выясним это на примере. Предположим, что путь s, пройденный 
автомобилем, зависит от времени t следующим образом: 

s(t) = t2,

1 https://mathus.ru/math/der.pdf.

1.2. Производная  13

где путь измеряется в метрах, а время – в секундах. То есть при t = 0 путь равен 
нулю, к моменту времени t = 1 пройденный путь равен s(1) = 1, к моменту времени 
t = 2 пройденный путь равен s(2) = 4, к моменту времени t = 3 пройденный 
путь равен s(3) = 9 и так далее.
Видно, что идет разгон – автомобиль набирает скорость с течением времени. 
Действительно: за первую секунду пройдено расстояние 1; за вторую секунду 
пройдено расстояние s(2) – s(1) = 4 – 1 = 3; за третью секунду пройдено 
расстояние s(3) – s(2) = 9 – 4 =5, и далее по нарастающей. 
А теперь вопрос. Пусть, например, через три секунды после начала движения 
наш водитель взглянул на спидометр. Что покажет стрелка? Иными словами, 
какова мгновенная скорость автомобиля в момент времени t = 3? 
Просто поделить путь на время не получится: привычная формула v = s/t 
работает только для равномерного движения (то есть когда стрелка спидометра 
застыла в некотором фиксированном положении). Но именно эта формула лежит 
в основе способа, позволяющего найти мгновенную скорость. 
Идея способа такова. Отсчитаем от нашего момента t = 3 небольшой промежуток 
времени ∆t, найдем путь ∆s, пройденный автомобилем за этот промежуток, 
и поделим ∆s на ∆t. Чем меньше будет ∆t, тем точнее мы приблизимся 
к искомой величине мгновенной скорости. 
Давайте посмотрим, как эта идея реализуется. Возьмем для начала ∆t = 1. 
Тогда 

∆s = s(4) – s(3) = 42 – 32 = 16 – 9 = 7,

и для скорости (измеряется в м/с) получаем:

 
 
(1)

Будем уменьшать промежуток ∆t. Берем ∆t = 0,1:

∆s = s(3,1) – s(3) = 3,12 – 32 = 9,61 – 9 = 0,61,

 
 
(2)

Теперь берем ∆t = 0,01:

∆s = s(3,01) – s(3) = 3,012 – 32 = 9,0601 – 9 = 0,0601,

 
 
(3)

Наконец, возьмем ∆t = 0,001:

∆s = s(3,001) – s(3) = 3,0012 – 32 = 9,006001 – 9 = 0,006001,

 
 
(4)

 Немного математики

Глядя на значения (1)–(4), мы понимаем, что величина ∆s/∆t приближается 
к числу 6. Это обозначает, что мгновенная скорость автомобиля в момент времени 
t = 3 составляет 6 м/с. 
Таким образом, при безграничном уменьшении ∆t путь ∆s также стремится 
к нулю, но отношение ∆s/∆t стремится к некоторому пределу v, который и называется 
мгновенной скоростью в данный момент времени t: 

 
 
(5)

Можно написать и так:

 
 
(6)

Давайте вернемся к нашему примеру с s(t) = t2 и проделаем в общем виде те 
выкладки, которые выше были выполнены с числами. Итак:

∆s = s(t + ∆t) – s(t) = (t + ∆t)2 – t2 = t2 + 2t∆t + ∆t2 – t2 = ∆t(2t + ∆t),

и для мгновенной скорости имеем:

 
 
(7)

В частности, при t = 3 формула (7) дает: v(3) = 2×3 = 6, как и было получено 
выше. Скорость бывает не только у автомобиля. Мы можем говорить о скорости 
изменения чего угодно – например, физической величины или экономического 
показателя. И производная как раз и служит обобщением понятия 
мгновенной скорости на случай абстрактных математических функций. 
Рассмотрим функцию y = f(x). Напомним, что x называется аргументом данной 
функции. Отметим на оси X некоторое значение аргумента x, а на оси Y – 
соответствующее значение функции f(x). 
Дадим аргументу x некоторое приращение, обозначаемое ∆x. Попадем в точку 
x + ∆x. Обозначим ее на рисунке вместе с соответствующим значением 
функции f(x + ∆x). Величина f(x + ∆x) – f(x) называется приращением функции, 
которое отвечает данному приращению аргумента ∆x.
Видите сходство с примером, когда мы вычисляли мгновенную скорость 
автомобиля? Приращение аргумента ∆x есть абстрактный аналог промежутка 
времени ∆t, а соответствующее приращение функции ∆f – это аналог пути ∆s, 
пройденного за время ∆t. Производная – это в точности аналог мгновенной 
скорости. 
Давайте дадим строгое определение производной. Производная f´(x) функции 
f(x) в точке x – это предел отношения приращения функции к приращению 
аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: 

Сравните с формулами (5) и (6). По сути, написано одно и то же. Можно сказать, 
что производная – это мгновенная скорость изменения функции.

1.3. Дифференцирование сложных функций  15

Рис. 3 Приращение аргумента и приращение функции

Для производной используются обозначения: f´(x) (читается как «f штрих 

от x»), y´ (читается как «y штрих»), 
 (читается как «dy по dx»).

Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют 
дифференцируемой (в данной точке). 

1.3. диФФеренцирование сложных Функций

Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Производные 
простых функций можно легко вычислить с помощью формулы (7).
В машинном обучении вам часто придется дифференцировать степенную 
функцию – функцию вида f(x) = xa. Формула производной степенной функции 
выглядит так:

(xa)´ = axa–1, a ∈.

Производную степенной функции относят к табличным производным, которые 
нужно знать наизусть.
Еще чаще в машинном обучении нам придется находить производные сложных 
функций. Дифференцирование сложной функции происходит следующим 
образом. Сначала находим производную второй («внешней») функции и затем 
умножаем ее на производную первой («внутренней») функции. Эту процедуру 
мы еще называем правилом цепочки. Зная небольшое число табличных производных 
и располагая правилами дифференцирования, можно вычислять 
производные огромного количества функций.
Например, нужно вычислить производную функции y = (θ – 5)2.
Функция (x – 5)2 является композицией f(g(x)) двух функций: f(u) = u2 и u = 
g(x) = x – 5.

 Немного математики

Применяем правило цепочки 

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

.

Производная от суммы (разности) равна сумме (разности) производных 
функций:

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

 другими словами, 

Производная константы равна 0:

Таким образом, ((x – 5)2)´ = 2x – 10.

1.4. Частная Производная

Встречаются зависимости не только от одной, но и от нескольких переменных. 
Например, площадь прямоугольника можно записать как S = xy. Значения S будут 
определяться совокупностью значений x и y. Это уже будет функция двух 
переменных. Объем V прямоугольного параллелепипеда с ребрами x, y и z выражается 
формулой V = xyz, т. е. значения V зависят от трех переменных. Это 
уже будет функция трех переменных.
Обобщением понятия производной на случай функции нескольких переменных 
будет частная производная.