Занимательная математика. Анализ Фурье : манга

Занимательная математика

АНАЛИЗ ФУРЬЕ

Манга

О Б РА З О В АТ Е Л Ь Н А Я  М АН ГА

ЗАНИМАТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
АНАЛИЗ ФУРЬЕ

Митио Сибуя
Хироки Харусэ

   Перевод с японского
   Клионского А. Б. 

Ìîñêâà 
Äîäýêà, ÄÌÊ Ïðåññ, 2023

 2-е издание, электронное

УДК 517.443
ББК 22.161.1
C34

C34
Сибуя Митио.

Занимательная математика. Анализ Фурье : манга / Митио Сибуя (автор), Хироки Харусэ 
(худож.) ; пер. с яп. А. Б. Клионского. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 257 с. — Москва : ДМК Пресс, 
Додэка-XXI, 2023. — (Образовательная манга). — Систем. требования: Adobe Reader XI либо 
Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.

ISBN 978-5-89818-408-7

Девочки Рика, Фумика и Эрина организовали рок-группу и хотят выступить на фестивале, но никак 
не найдут вокалиста. А тут ещё контрольная по математике, с которой у Фумики проблемы. Умница 
Эрина готова помочь подруге и объяснить сложные математические понятия на примере звуков и преобразования 
Фурье. Чистый звук — это простая волна. Любой сложный звук получается смешением 
чистых звуков. Преобразование Фурье как раз и позволяет разложить любой звук на гармонические 
составляющие и найти частотный спектр.
Вместе с Эриной, Рикой и Фумикой вы узнаете о том: 
— что волны бывают продольными и поперечными, и у волн есть частота и амплитуда;
— как связана единичная окружность с синусом и косинусом, и что такое угловая частота;
— что такое интеграл и почему он может быть определённым, а производная нет;  
— как складывать, вычитать и умножать функции;
— что такое ортогональность функций;
— что такое ряды Фурье, синтез функций и преобразование Фурье.
Вы увидите, как анализ Фурье помог девочкам найти вокалиста и выиграть одно принципиальное 
пари. Если у вас голова идёт кругом от математики и вас пугают такие слова, как тригонометрия, производные 
и интегралы, то присоединяйтесь к Рике, Фумике и Эрине.

УДК 517.443 
ББК 22.161.1

Электронное издание на основе печатного издания: Занимательная математика. Анализ Фурье : манга / Митио 
Сибуя (автор), Хироки Харусэ (худож.) ; пер. с яп. А. Б. Клионского. — Москва : ДМК Пресс, Додэка-XXI, 2015. — 
256 с. — (Образовательная манга). — ISBN 978-5-97060-111-2. — Текст : непосредственный.

Издательство выражает благодарность В. О. Панфилову

Все права защищены. Никакая часть этого издания не может быть воспроизведена в любой форме или любыми средствами, электронными 
или механическими, включая фотографирование, ксерокопирование или иные средства копирования или сохранения информации, 
без письменного разрешения издательства.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель 
вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-89818-408-7
© 2006 by Michio Shibuya and Trend-Pro Co., Ltd 
© Перевод, Издательский дом «Додэка-XXI», 2013 
© Издание, ДМК Пресс, 2015

Предисловие

Цель данной книги - дать читателю общее представление о преобразовании и 
анализе Фурье. Анализ Фурье используется чрезвычайно широко не только в физике, 
но и в технике. В его основе лежит такая математическая идея, как преобразование 
Фурье. Наверняка многие читатели считают, что математика - это формулы. 
Однако главное при изучении математики - это не запоминание формул, а овладение 
основными понятиями. 
Для овладения этими понятиями необходимо обладать некоторыми базовыми 
знаниями. Для преобразования Фурье такими базовыми знаниями являются производная, 
интеграл и тригонометрические функции. И очень важно усвоить их 
суть. Когда тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) изучают в 
старшей школе, основное внимание уделяется соотношениям сторон в прямоугольном 
треугольнике, и зачастую всё заканчивается упражнениями по применению 
соответствующих формул. В этой книге я постарался определить тригонометрические 
функции через единичную окружность. Думаю, что после её прочтения 
вы согласитесь, что такая точка зрения вполне приемлема.
С другой стороны, данную книгу можно также назвать справочником по функциям 
тригонометрии. Минимально необходимый набор формул приведён в ней 
без доказательств, однако главное - это не запомнить формулы, а проникнуться 
новыми взглядами и трактовками, полученными в результате их применения. Во 
многих учебниках и справочниках, изданных ранее, основной упор делался на запоминание 
формул и на решение учебных задач. На экзаменах в старших школах и 
университетах  проверяется способность учащихся производить вычисления с помощью 
формул. Из-за этого были экзаменуемые, которые просто запоминали все 
задачи наизусть.
В анализе Фурье на основе некоторых базовых математических знаний выводятся 
новые понятия. Овладение этими понятиями - дело гораздо более интересное, 
чем заучивание формул. Хотя анализ Фурье используется в самых разных областях, 
в данной книге в качестве примера рассматривается только «звук». Самостоятельный 
анализ различных звуков позволит читателям совершить новые открытия. 
Читателям, которые с помощью данной книги овладеют основными понятиями 
преобразования и анализа Фурье и проявят интерес к более глубокому изучению 
данной темы, я могу порекомендовать книгу издательства Ohmsha - «Преобразование 
Фурье с помощью Excel», одним из скромных соавторов которой я являюсь. 
В ней приведены примеры разнообразного анализа, который можно быстро и 
удобно провести с помощью программы Excel на персональном компьютере.
Хочу здесь поблагодарить re_akino, превратившего обычно скучное и переполненное 
формулами описание анализа Фурье в увлекательную историю, художника 
Харасэ Хироки, который смог выразить эту историю в виде красивой манги, а также 
коллектив отдела разработок издательства Ohmsha, который оказывал поддержку 
в осуществлении данного проекта до самого его завершения. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Митио Сибуя

V

Пролог
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ .................................... 1

Глава 1
ВОЛНЫ ПРОСТЫЕ И СЛОЖНЫЕ ....................15

1.  Звуки — это волны ......................................16
2.  Поперечные и продольные волны .................... 24
3. Распространение волн во времени .................... 28
4. Частота и амплитуда ....................................31
5. Открытие Жана Батиста Фурье......................... 37
6.  Шесть шагов к преобразованию Фурье ................ 39

Глава 2
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ -  
ТРЕУГОЛЬНИКИ ОТДЫХАЮТ ........................43

1. Колесо обозрения и тригонометрические функции . 44
2. Единичная окружность .................................. 54
3. Функция синуса .......................................... 56
4. Функция косинуса ....................................... 57
5. Параметрическое выражение  

уравнения окружности .................................. 59

6. Тригонометрические функции и физические  

величины, изменяющиеся во времени ............... 63

7. Тригонометрические функции и угловая частота ... 65

содержание

VI

Содержание

Глава 3
ИНТЕГРАЛЫ БЫВАЮТ ОПРЕДЕЛЁННЫЕ 
И НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ, ЧЕГО НЕ СКАЖЕШЬ 
О ПРОИЗВОДНЫХ ....................................73

1. Американские горки и определённый интеграл .....74
2. Интеграл от константы (y = a) ......................... 82
3. Интеграл от линейной функции ...................... 84
4. Интеграл от функции y = xⁿ ........................... 86
5. Графическое решение интеграла ...................... 88
6. Несколько слов о наклоне касательной .............. 90
7. Производная — это интеграл наоборот ............... 92
8. Дифференцирование тригонометрических функций 95
9. Определённые интегралы от тригонометрических 

функций ................................................ 101

Глава 4
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ФУНКЦИЯМИ 111

1. Сумма функций — тоже функция! .................... 112
2. Сложение функций .................................... 118
3. Вычитание функций ................................... 120
4. Умножение функций ................................... 122
5. Произведение функций и определённый интеграл 129

Глава 5
ФУНКЦИИ БЫВАЮТ «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫМИ» 135

1. Ортогональность функций ............................ 136
2. Проверяем ортогональность функций  

с помощью графиков ................................. 144

3. Проверяем ортогональность функций путём 

вычислений ............................................ 146

4. Определённый интеграл от sin2 x .................... 149

VII

Содержание

Глава 6
ВСЁ БЛИЖЕ К ПРЕОБРАЗОВАНИЮ ФУРЬЕ ........ 155

1. Формирование волны сложением 

тригонометрических функций ........................ 156

2. Комбинация функций a cos x и b sin x  ............... 162
3. Синтез тригонометрических функций с разными 

периодами .............................................. 168

4. Ряды Фурье .............................................. 171
5. Функции времени и спектр частот ................... 177
6. На пороге преобразования Фурье .................... 181

Глава 7
АНАЛИЗ ФУРЬЕ ИЛИ ПРОВЕРИМ АЛГЕБРОЙ 
ГАРМОНИЮ .......................................... 185

1. Порядок исследования частотного состава ......... 186
2. Коэффициенты Фурье ................................. 194
3. Звук камертона и его спектр ......................... 201
4. Звуки гитары и их спектр ............................. 206
5. Спектр человеческого голоса ......................... 211
6. Сладкий голосок ....................................... 219

Приложение
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ 
СУММЫ БЕСКОНЕЧНОГО РЯДА .................... 235

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................. 245

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ........................ 246

VIII

Содержание

Пролог

ЗвУКовЫе волнЫ

НУ ЧТО...

...НАШЛИ 

ВОКАЛИСТА?

НЕТ ЕЩЁ!

2

ПроЛог. ЗВУКоВЫе ВоЛнЫ

НИКУДА НЕ 

ГОДИТСЯ.

ЖАЛКО! ВРОДЕ, У НАС 
СОБРАЛаСЬ неплохая 

рок-группа: 

АХ, ЕСЛИ БЫ ТЫ, 

ФУМИКА, 

МОГЛА СТАТЬ 
ВОКАЛИСТОМ… 

 

НО, 

К СОЖАЛЕНИЮ, 

ТВОЙ ГОЛОС…

Рика - гитара,

Фумика - бас-гитара 

и я - ударные, 
а вокалиста нет.

ЧТО, мой 

голос?

АХ! Ну почему? 

БОГ ДАЛ МНЕ 

МУЗЫКАЛЬНЫЙ ТАЛАНТ 

И КРАСОТУ…

...А ВОТ КРАСИВЫМ 
ГОЛОСОМ ОДАРИТЬ 

ЗАБЫЛ?!

Бор-
мо- 
чет…

Шлё
ёп

Какое 
горе!

3

ПроЛог. ЗВУКоВЫе ВоЛнЫ

КОНЕЧНО, ТИХОНЯ Рика 

СО СЛАБЕНЬКИМ 

ГОЛОСОМ НЕ В СЧЁТ...

А ТЫ, ЭРИНА, 
НЕ МОГЛА БЫ 

СПЕТЬ?

ХМ…

ПЕТЬ НА СЦЕНЕ,  

сидя за барабанами?!

Вы что, издеваетеСЬ!

МОЖЕТ, 

СПРОСИМ 
У ЮКИ?

У ЮКИ?!

ЭТО ИСКЛЮЧЕНО!

ЕМУ ДЕВУШКИ 

ИНТЕРЕСНЕЕ МУЗЫКИ!

Я ХОРОШО ЗНАЮ ЕГО, 

ВЕДЬ МЫ ЗНАКОМЫ 

С ДЕТСТВА...

ХЛОП

ВОТ ОН! 

НАШ ЮКИ!

Ой

ФЬЮИТЬ

ШМЯК

4

ПроЛог. ЗВУКоВЫе ВоЛнЫ

ОДНАКО ЮКИ - ВОКАЛИСТ 

ПОПУЛЯРНОЙ ГРУППЫ.  

У НЕГО ДОЛЖНЫ БЫТЬ  

ШИРОКИЕ СВЯЗИ.

К ТОМУ ЖЕ, 
ОН, ПОХОЖЕ, 

НЕРАВНОДУШЕН К ТЕБЕ...

ВЗДОР!

ЛАДНО… 

ВОКАЛИСТА 

МЫ ПОИЩЕМ. 
НО ЕСТЬ ЕЩЁ 

ОДНА ПРОБЛЕМА…

КАКАЯ ещё 
ПРОБЛЕМА?

МОЯ КОНТРОЛЬНАЯ 

ПО МАТЕМАТИКЕ…

5

ПроЛог. ЗВУКоВЫе ВоЛнЫ