Техническая механика

А. В. Титенок








            ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА



Учебное пособие
























Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 531.8
ББК 30.12
    Т45

Рецензенты:
доктор технических наук, профессор, проректор по перспективному развитию Брянского государственного технического университета
А. В. Киричек;
доктор технических наук, профессор кафедры колесных машин Калужского филиала Московского государственного технического университета им. Баумана В. Н. Сидоров

    Титенок, А. В.
Т45       Техническая механика : учебное пособие / А. В. Титенок. -
    Москва ; Вологда : Инфра- Инженерия, 2023. - 252 с. : ил., табл.
           ISBN978-5-9729-1348-0

           Рассмотрены законы равновесия и движения материальных объектов под действием сил. Изложены механические свойства малоуглеродистых сталей. Представлена теория и практика растяжения и сжатия стержней, механика деформации сдвига.
           Для студентов среднего профессионального образования при изучении дисциплин технической направленности.

УДК 531.8
ББК 30.12
















ISBN 978-5-9729-1348-0

     © Титенок А. В., 2023
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ


Предисловие..................................................7
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Глава 1. СТАТИКА.................................................... 8
       1.1. Предмет и задачи статики................................ 8
       1.2. Основные понятия статики................................ 8
       1.3. Сила.................................................... 9
       1.4. Система сходящихся сил................................. 12
       1.5. Алгоритм решения задач на равновесие сходящихся сил.... 15
       1.6. Момент силы относительно точки......................... 17
       1.7. Момент силы относительно оси........................... 18
       1.8. Пара сил............................................... 20
       1.9. Условие равновесия произвольной системы сил............ 20
       1.10. Формы уравнений равновесия...................... 22
       1.11. Равновесие с учётом трения...................... 23
       1.12. Понятие о статической определимости............. 25
       1.13. Система параллельных сил........................ 26
       1.14. Координата центра параллельных сил.............. 26
       1.15. Распределенные нагрузки............................... 29
       1.16. Расчет ферм........................................... 30
       1.17. Алгоритм решения задач по статике..................... 33
       ? Контрольные вопросы к главе 1....................... 34
Глава 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СТАТИКА.................................... 35
       2.1. Г еометрические характеристики плоских сечений... 35
       2.2. Моменты сопротивления.................................. 40
       2.3. Моменты инерции простейших фигур....................... 40
       2.4. Геометрические характеристики составного сечения. 42
       ? Контрольные вопросы к главе 2....................... 46
Глава 3. КИНЕМАТИКА................................................ 47
       3.1. Векторный способ задания движения...................... 47
       3.2. Естественный способ задания движения................... 49
       3.3. Движение материальных тел.............................. 53
       3.4. Движение тела с одной закрепленной точкой.............. 59
       3.5. Свободное движение тела................................ 60
       3.5. Сложное движение тел................................... 61
       3.7. Теорема Кориолиса...................................... 61
       3.8. Примеры задач по кинематике............................ 62
       ? Контрольные вопросы к главе 3............................. 77
Глава 4. ДИНАМИКА.................................................. 78
       4.1. Аксиомы динамики....................................... 78
       4.2. Динамика материальной точки............................ 79
       4.2.1. Уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат.............................. 79

3

       4.2.2. Уравнения движения материальной точки в естественной системе координат..................... 82
       4.2.3. Уравнения относительного движения материальной точки................................... 83
       4.2.4. Колебательное движение материальной точки..... 83
       4.3. Динамика материальных тел....................... 91
       4.3.1. Уравнение движения центра масс системы........ 91
       4.3.2. Количество движения механической системы...... 94
       4.4. Момент инерции тела............................. 96
       4.5. Момент количества движения механической системы.. 97
       4.6. Кинетическая энергия механической системы...... 102
       4.7. Работа......................................... 103
       4.8. Принцип Даламбера.............................. 107
       4.9. Принцип возможных перемещений.................. 111
       4.10. Уравнения Лагранжа 2-го рода.................. 113
       4.11. Общее уравнение динамики...................... 118
       4.12. Рекомендации по составлению уравнений движения при решении задач динамики................. 122
       ? Контрольные вопросы к главе 4..................... 124
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ
Глава 1. МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ МАТЕРИАЛОВ...................       125
       1.1. Общие понятия.................................. 125
       1.2. Механические характеристики малоуглеродистой стали....  132
       ? Контрольные вопросы к главе 1..................... 138
Глава 2. Основные положения сопротивления материалов....... 139
       2.1. Нагрузки....................................... 139
       2.2. Деформации..................................... 140
       2.3. Внутренние силы. Метод сечений................. 142
       2.4. Напряжения..................................... 145
       2.5. Прочность и жёсткость элементов конструкций.... 146
       2.6. Задачи, гипотезы, допущения в сопромате........ 147
       ? Контрольные вопросы к главе 2..................... 148
Глава 3. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ СТЕРЖНЕЙ...................... 149
       3.1. Г еометрическая и механическая сторона явления... 149
       3.2. Зависимости для расчётов при растяжении и сжатии. 149
       3.2.1. Практическое применение зависимостей на примере типовых задач............................ 150
       3.2.2. Растяжение и сжатие стержней в условиях статической неопределимости......................... 153
       3.2.3. Построение эпюр нормальных сил............... 159
       ? Контрольные вопросы к главе 3..................... 161
Глава 4. МЕХАНИКА ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА........................ 162
       4.1. Деформация сдвига (геометрическая, сторона явления).... 162
       4.2. Внутренние силы и напряжения при сдвиге (механическая сторона явления)...................... 163

4

       4.3. Связь между деформациями сдвига и напряжениями (физическая сторона явления)........................ 164
       4.4. Основные зависимости для расчета на сдвиг (выводы и обобщения).................................. 164
       4.5. Практическое приложение.......................... 164
       ? Контрольные вопросы к главе 4....................... 169
Глава 5. КРУЧЕНИЕ............................................ 170
       5.1. Деформация кручения (геометрическая сторона явления).. 170
       5.2. Внутренние силы и напряжения при кручении (механическая сторона явления)........................ 171
       5.3. Связь между деформациями и напряжениями (физическая сторона явления).......................... 172
       5.4. Основные зависимости для расчёта на кручение.....       173
       5.4. Построение эпюр крутящих моментов................ 174
       5.5. Расчёт цилиндрических пружин с малым шагом витка. 181
       ? Контрольные вопросы к главе 5....................... 183
Глава 6. ИЗГИБ............................................... 184
       6.1. Деформация изгиба (геометрическая сторона явления)      184
       6.2. Внешние и внутренние силы и напряжения при чистом изгибе (механическая сторона явления)...... 185
       6.3. Внешние и внутренние силы и напряжения
        при поперечном изгибе (механическая сторона явления). 187
       6.4. Построение эпюр внутренних усилий для балок......       190
       6.5. Касательные напряжения при изгибе................ 196
       6.6. Формулы для расчётов на прочность при изгибе.....       199
       6.7. Прогиб и поворот сечения балки................... 200
       6.8. Примеры расчётов на прочность и жесткость при изгибе... 201
       ? Контрольные вопросы к главе 6....................... 206
Глава 7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ............................... 207
       7.1. Изгиб с растяжением или сжатием.................. 207
       7.2. Косой изгиб...................................... 213
       7.3. Напряжение в наклонных сечениях.................. 215
       7.4. Сложные напряженные состояния и теории прочности. 218
       7.5. Совместное действие изгиба и кручения............ 222
       ? Контрольные вопросы к главе 7....................... 227
Глава 8. ПРОДОЛЬНЫЙ ИЗГИБ.................................... 228
       8.1. Геометрическая и физическая стороны явления...... 228
       8. 2. Критическая сила (механическая сторона явления). 229
       ? Контрольные вопросы к главе 8....................... 235
Глава 9. ПРОЧНОСТЬ ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ................       236
       9.1. Общие понятия.................................... 236
       9.2. Цикл напряжений и его параметры.................. 237
       9.3. Испытание материалов и предел выносливости....... 238
       9.4. Факторы прочности при переменных нагрузках....... 240

5

       9.5. Расчёты деталей на усталостную прочность... 242
       ? Контрольные вопросы к п. 9.5.................. 245
       9.6. Расчёт балок на ударное воздействие........ 246
       ? Контрольные вопросы к п. 9.6.................. 248
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК..................... 249

6

ПРЕДИСЛОВИЕ


     Учебное пособие создано на основе материалов соответствующих дисциплин, по которым автор вел занятия для студентов технических специальностей. Учебное пособие традиционно включает механику абсолютно твёрдого тела (теоретическую механику) и механику деформируемого тела (сопротивление материалов). Каждая глава учебного пособяия содержит краткие теоретические сведения, практические примеры, задания и вопросы для контроля знаний.
     Теоретическая механика содержит 4 главы.
     Первая глава - статика традиционно посвящена изучению законов равновесия материальных объектов под действием сил.
     Вторая глава помещена в книге в не традиционном порядке - это геометрическая статика, которая, по сути, является разделом математики, необходимым для дальнейшего изучения технической механики.
     Третья глава - кинематика посвящена исследованию геометрии движения материальных объектов без учёта их масс и действующих сил.
     В четвёртой главе - динамике изучаются общие законы движения материальных объектов под действием сил.
     Сопротивление материалов содержит 9 глав.
     В первой главе - механика деформируемых материалов содержатся общие материалы по данной теме и, в частности, рассматриваются механические свойства малоуглеродистых сталей.
     Во второй главе рассмотрены основные положения механики деформируемого твёрдого тела.
     Третья глава посвящена теории и практике растяжения и сжатия стержней. Четвёртая глава - это механика деформации сдвига.
     В пятой главе изучается деформация кручения, а в шестой - простой изгиб стержней.
     Седьмая глава посвящена изучению сложного сопротивления, а восьмая -продольному изгибу. Девятая глава посвящена анализу прочности при переменных напряжениях.
     В конце учебного пособия приведен список используемой и рекомендуемой литературы.
     Учебное пособие предназначено для студентов среднего профессионального образования и ориентировано на изучение дисциплин технической направленности.
     Задачи, решаемые в учебном пособии: систематизировать сведения о предмете «Техническая механика» в соответствии с демонстрацией геометрической, механической и физической сторонами рассматривамых явлений для полного понимания их сути.

7

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

     Механика не деформируемых твёрдых тел (теоретическая механика) изучает взаимодействие материальных тел и их поведение в результате этого взаимодействия. Объектом рассмотрения в теоретической механике может быть любое материальное тело кроме микрочастиц (атомы и т.п.) и не макротел (галактики и т.п.). Рассматриваемые тела не должны двигаться со сверхскоростями. Объектами рассмотрения в механике являются тела, которые окружают нас в обычной реальной жизни.
     Различают два основных состояния материальных тел: покой и движение. В покое имеем сохранение каждой точкой тела своего положения в выбранной системе координат при изменении времени. В движении наблюдаем изменение каждой точки тела своего положения в выбранной системе координат с течением времени. Состояния покоя и движения относительны, поскольку тело может покоиться в выбранной системе координат, но двигаться вместе с системой. Структурно теоретическая механика имеет три раздела: статика, кинематика и динамика.

ГЛАВА 1

        СТАТИКА

     1.1. Предмет и задачи статики

     Статика - это учение о равновесии материальных объектов, находящихся под действием сил относительно систем отсчета, связанных с Землей.
В статике решают две основные задачи:
  •  приведение действующей на объект системы сил к простейшему .виду;
  •    определение условий, которым должна удовлетворять действующая система сил, чтобы объект находился в равновесии.

     1.2. Основные понятия статики:

     Материальная точка - это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях конкретной задачи.
     Механическая система - это совокупность материальных точек, в которой положение и движение каждой точки зависят от положения и движения всех остальных точек. Если с течением времени расстояния между точками системы не меняются, механическая система называется неизменяемой.
     Частным случаем неизменяемой механической системы является главная модель классической механики - абсолютно твердое тело, то есть тело, которое под действием сил не деформируется.
     Такой подход упрощает решение статических задач. Изучив равновесие абсолютно твёрдого тела, можно переходить к навыкам решения задач, связанные с реальным (деформируемым) телом.


8

       1.3.  Сила


      Сила - это мера механического взаимодействия материальных тел.
      Сила - величина векторная и характеризуется: численным значением, направлением, точкой приложения. Её числовое значение называют модулем (абсолютной величиной) вектора силы. Прямую линию, по которой направлен вектор силы, называют линией n-n действия силы (рис. 1.1). Единица измерения силы (в системе СИ) - ньютон (Н) - это сила, сообщающее телу массой 1 кг в направлении её действия ускорение 1 м/с². Кратные и дольные единицы силы получают путём умножения или деления основной единицы на степень числа 10, например, мега (М) - на 10б, микро (мк) - на 10'⁶ и т.д.
      Графически силу изображают отрезком прямой линии со стрелкой в направлении действия силы в масштабе {\р/-] = Н/мм} с началом действия силы в точке А и окончанием в точке В. Тела, взаимно связанные между собой каким-либо образом, называют системой тел. Силы взаимодействия между этими телами называют внутренними силами, а силы, действующие на систему из вне, называют внешними силами. В основе статики абсолютно твёрдого тела лежат аксиомы, отражающие реальную действительность и подтверждённых инженерной практикой, поэтому носящих характер законов.
      Согласно I-му закону Ньютона, всякое тело сохранят состояние покоя или прямолинейного равномерного движения до тех пор, пока какие-либо внешние силы не выведут его из этого состояние. Это положение очевидно и принимается без доказательств, т.е., это аксиома инерции, которая характеризуется инертностью тела.
      Согласно III-му закону Ньютона, силы взаимодействия между двумя телами равны по модулю и противоположно направлены - это аксиома действия и противодействия. Из неё следует, что силы всегда парные, но они не всегда уравновешивают систему (совокупность) сил, так как могут быть приложены к разным телам этой системы. Если эта система не изменяет механическое состояние системы тел, то она уравновешена. Условие равновесия двух сил состоит в том, чтобы они были равны по модулю и действовали по одной прямой линии в разные стороны - аксиома двух сил. Это равновесие не нарушится, если добавить или отнять действие уравновешенных сил - аксиома присоединения и отбрасывания уравновешенной системы.
      Следствие из этих аксиом: механическое состояние твёрдого тела не изменится, если действующую на неё силу перенести вдоль линии её действия: сила - это вектор скользящий для понятий механики недеформированного тела. Для механики деформированного тела такое понятие не допускается. Две силы эквивалентны (равноценны), если они равны по модулю и действуют по одной прямой в одну сторону. Одну силу, эквивалентную системе действующих сил, называют равнодействующей силой, а силы этой системы действующих называют составляющими силами. Силу, которая уравновешивает систему сил, называют уравновешивающей силой. Равнодействующая и уравновешивающая силы одной системы равны по модулю и направлены в разные стороны.


9

     Равнодействующая двух сил, приложенных к телу в одной точке, совпадает по направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.2) и равна ей по модулю - аксиома параллелограмма.











Рис. 1.1. Изображение сил на схеме

Рис. 1.2. Равнодействующая сила R


     Если при действии заданной системы сил деформируемое тело находится в равновесии, то равновесие не нарушится при превращении этого тела в абсолютно твёрдое тело - аксиома затвердевания (принцип Стевина). Так, если звенья гибкой цепи сварить друг с другом, превратив цепь в монолитное тело. Из этого следует, что условия равновесия сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу, должны соблюдаться и при равновесии деформируемого тела. Для твёрдого тела условием равновесия действующих сил Fi и F2, согласно уравнению Fi + F2 = 0, является: Fi = - F2. Для гибкой нити этого условия недостаточно, поскольку силы должны не только растягивать, но и сжимать нить.
     Тело, называется свободным, если под действием сил оно может перемещаться в любом направлении пространства. Тело называется несвободным, если по каким-то направлениям свобода перемещений его ограничена.
     Твердые и гибкие тела, ограничивающие свободу перемещения и делающие его несвободным, называются в механике связями.
     Сила, с которой связь воздействует на несвободное тело, препятствуя ему двигаться в каком-то направлении, называется силой реакции связи (реакцией). Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда бы тело двигалось при отсутствии связи.
     В задачах статики, посвященных равновесию несвободных тел, постоянно приходится определять направления реакций связей. Поэтому рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.
     Гладкая опорная поверхность (поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь - контакт). Реакция N такой связи направлена по общей нормали к обеим соприкасающимся поверхностям. Если одна из двух соприкасающихся поверхностей 1, 2 вырождается в точку, то реакция направляется по нормали ко второй поверхности (рис. 1.3).
     Гибкий элемент (нить, трос и т.п.) работает только на растяжение. Реакция S в нити направлена вдоль её оси от тела 1 к сечению А-Ai (рис. 1.4).

10

     Тонкий однородный стержень. Реакция Дв стержне направлена вдоль его

оси от тела В к сечению А-А1. В случае криволинейного стержня 2 его заменя-

ют прямолинейным с направленной реакцией N₂ (рис. 1.5).

Рис. 1.3. Контакт  Рис. 1.4. Гибкий элемент  Рис. 1.5. Стержень

     Неподвижный цилиндрический шарнир (рис. 1.6) имеет реакцию RA неиз-

вестного направления, поэтому её раскладывают на составляющие XA и YA, направленные вдоль соответствующих осей хи у. Подвижный цилиндрический шарнир (рис. 1.7) имеет реакцию RB, которая всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности. Подшипник (цилиндрический пространственный шарнир) - опора вала (рис. 1.8) имеет по две составляющей реакции - XA, ZA и ХВ, ZB. В петле (рис. 1.9) также две составляющей реакции - XA, ZA и ХВ, ZB.

Рис. 1.7. Подвижный шарнир

Рис. 1.9. Петля

Рис. 1.6. Неподвижный шарнир

        Рис. 1.8. Подшипник


     Сферический (шаровой) шарнир (рис. 1.10) имеет три составляющие реакции XA, Yₐ, ZA. Плоская жёсткая заделка (рис. 1.11) имеет две составляющие реакции XA, YA и момент МА пары сил, препятствующий повороту балки 1 относительно точки А.


Рис. 1.10. Шаровой шарнир

Рис. 1.11. Жёсткая заделка

и

     Пространственная жёсткая заделка (рис. 1.12) имеет три составляющие реакции XA, YA, ZA и три момента пар сил MAX, MAY, MAZ.
     Вертикальный вал (рис. 1.13) имеет цилиндрический подшипник - опора А, где две составляющие реакции - XA и YA, а также упорный подшипник В, где три составляющие реакции -ХВ, YB, ZB.

Рис. 1.13. Вертикальный вал

Рис. 1.12. Пространственная заделка

      Аксиома связей (принцип освобождения от связей) - несвободное твёрдое тело можно рассматривать как свободное, если убрать связи и заменить силами реакции их действие на тело. Реакция связи рассматривается как внешняя сила.


     1.4. Система сходящихся сил

     Силы называют сходящимися, если линии их действия пересекаются в одной точке. Перенеся силы по линии их действия, можно привести систему сходящихся сил к системе сил, приложенных в одной точке. Задача о сложении сил, приложенных к телу в одной точке, решается на основании аксиомы параллелограмма или правила треугольника, изображающего любую половину параллелограмма. Между элементами силового треугольника соотношения определяют известными из тригонометрии формулами (теоремы косинусов и синусов), учитывая, что cos (180°-^)=-costp и sin (180°-^)= sinq> (рис. 1.2).
R = ^F² + Q² + 2FQcosp, F Q R sina sin(^— a) sinp

     Пример 1.1. Определить модуль равнодействующей двух равных по модулю сил F = Q = 5 Н, образующих между собой угол а = 45°:
R = 7F² + Q² + 2FQcosp = ^5² + 5² + 2 X 5 X cos45⁰ = 9,24 Н.
     Пример 1.2. Определить угол Д между равнодействующей двух сил R и осью Ox, если F₁10 Н и направлена под углом а = 30° к оси x в первом квадранте системы координат, а F₂ = 8 Н и имеет положительное направление вдоль оси у. Рисунок выполнить самостоятельно.


12

R—J

F₁² + F₂² + 2Fₜ X F₂²cos(F₁;F₂).

R — 710² + 8² + 2x10x8x cos(60°) — 15,62 H.
Угол между векторами действующих сил F1 и F2 равен 60°. Искомый угол обо-

значим 0 = а + у, где у - угол между равнодействующей R и вектором силы

F1. Из теоремы синусов имеем:
                F₂sinl20° siny - ----7,----
      R у — «resin 0,443 - 26,295°.

8 Xsml20°

15,62

— 0,443.

/f а ■ у = 30° + 26,295° = 56,295°.

     Задание 1.1. Равнодействующая R двух равных по модулю сходящихся сил F1 = F₂ = 15 Н направлена по оси Oy и равна по модулю 10 Н. Определить в градусах угол а, образованный вектором силы F₂ с положительным направлением оси Ox (рис. 1.14). Ответ: 19,5°.
     Задание 1.2. Определить угол в градусах между равнодействующей двух сил Fj = 10 Н и F₂ = 8 Н и осью Ox (рис. 1.15), если угол а = 19,5°.Ответ: 56,3°.
     Задание 1.3. Определить модуль равнодействующей сходящихся сил F₂ = 10 Н, F₂ = 15 Н и F3 = 20 Н, если известны углы, образованные векторами этих сил с осью Ox: а₂ = 30°, а₂ = 45° иа₃ = 6°° (рис. 1.16). Ответ: 44,1 Н.

Рис. 1.14                   Рис. 1.15                   Рис. 1.16

Рис. 1.17. Сумма 3-х сил

     Равнодействующая r трёх сил f 1, f 2, f 3, не лежащих в одной плоскости, определяется диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах, как результат двукратного применения правила параллелограмма - это правило параллелепипеда (рис.1.17).
Для любой системы (рис.1.18, а) сил главный вектор определяется последовательным

сложением системы по правилу параллелограмма или построением силового многоугольника. Этот способ является более простым и удобным (рис.1.18, б). Для определения главного вектора r откладывается от произвольной точки О в определенном масштабе силу f 1. Затем к концу вектора f 1 прикладываем начало вектором f 2. К концу вектора f 2 начало вектора f 3 и т.д. Соединяя начало первого вектора с конца последнего f ., получим вектор r , изображающий геометрическую сумму или главный вектор

R = F 1 + F 2 + F 3 ... + F n

13

     Равнодействующая системы сходящихся сил приложена в точке их пересечения, равна их геометрической сумме и определяется по модулю и направлению векторов, замыкающих ломаную линию, звеньями которых являются векторы, геометрически равные силам системы. Это правило силового многоугольника. Модуль и направление равнодействующей не зависят от принятого порядка построения векторов на силовом многоугольнике. Правило силового многоугольника справедливо как для плоской, так и для пространственной системы сил.
     Проекцией силы на ось координат называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между

направлением силы и положительным направлением оси.
     В частности, если а < 90°, то Fₓ = Fхcosa, если а > 90°, то Fₓ = - Fхcos(180° -а); если а = 90°, то Fₓ = 0. Это отрезок оси, заключённый между двумя перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора силы (рис. 1.19).
     Если направление проекции силы совпадает с положительным направлением оси,

Рис. 1.18. Силовой многоугольник

то проекция считается положительной, и наоборот. Аналитический способ задания силы заключается в том, что должны быть заданы координаты точки приложения силы и три проекции силы на оси координат.
     Для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая R этой системы (суммы проекций всех сил на три координатные оси) равнялась нулю: R = 0 (SFᵢₓ = 0; FF-ₗy = 0; FFₖ- = 0).
     Геометрические условия равновесия заключаются в том, что равнодействующая R является вектором, замыкающим силовой многоугольник, построенный на силах системы - имеется в виду, что совпадение начала первой стороны многоугольника с окончанием последней стороны.

Рис. 1.19. Проекции сил F и Q на оси x и у    Таким образом, для
                                            равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнут.

14