Курс алгебры и начал математического анализа в инженерных классах. Дидактические материалы и методические указания

А.А. Прокофьев, С.С. Карташёв 

Курс алгебры и начал математического 
анализа в инженерных классах  

Дидактические материалы и методические указания 

Москва 
«Интеллект-Центр» 
2023 

Электронное издание

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721.6
П80

П80
Прокофьев, А. А.

Курс алгебры и начал математического анализа в инженерных классах. Дидактические материалы 
и методические указания 
/ А. А. Прокофьев, С. С. Карташёв. — Эл. изд. — 1 файл pdf : 
179 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — Систем. требования: Adobe Reader 
XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : электронный.

ISBN 978-5-907651-39-5

Данное пособие содержит дидактические материалы по ряду тем школьного курса математики, которые 
будут полезны при обучении учащихся инженерных классов: элементы математической логики, метод математической 
индукции, формула бинома Ньютона, множества, комплексные числа, функции, предел последовательности, 
предел функции, интегральное исчисление, дифференциальные уравнения.
Каждая глава пособия содержит разбор полезных для изучения темы примеров и варианты самостоятельных 
и контрольных работ.
Пособие в первую очередь предназначено учителям, обучающим учащихся инженерных классов. Также 
оно будет полезно учителям, ведущим преподавание математики в профильных 10-х и 11-х классах и, безусловно, 
учащимся старших классов, желающим повысить уровень своей математической подготовки и познакомиться 
с новыми разделами математики.

УДК 373.167.1:512+512(075.3) 
ББК 22.14я721.6

Электронное издание на основе печатного издания: Курс алгебры и начал математического анализа в инженерных классах. 
Дидактические материалы и методические указания / А. А. Прокофьев, С. С. Карташёв. — Москва : Издательство «Интеллект-
Центр», 2023. — 176 с. — ISBN 978-5-907651-21-0. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907651-39-5
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2023
© А. А. Прокофьев, С. С. Карташёв, 2022

Оглавление 
Введение ................................................................................................................................................. 5 

Глава 1. Элементы математической логики.................................................................................... 7 
§ 1. Высказывания и операции над ними .............................................................................................. 7 
§ 2. Неопределенные высказывания. Знаки общности и существования........................................... 10 
§ 3. Некоторые приемы доказательства................................................................................................. 12 
Дидактические материалы............................................................................................................... 15 

Глава 2. Метод математической индукции ...................................................................................... 18 
§ 1. Использование метода математической индукции для доказательства равенств...................... 18 
§ 2. Использование метода математической индукции для доказательства делимости выражений......20 
§ 3. Использование метода математической индукции для доказательства неравенств.................. 21 
Дидактические материалы............................................................................................................... 24 

Глава 3. Бином Ньютона...................................................................................................................... 25 
Дидактические материалы............................................................................................................... 29 

Глава 4. Множества............................................................................................................................... 31 
§ 1. Понятие множества и основные числовые множества ................................................................. 31 
§ 2. Операции над множествами ............................................................................................................ 37 
Дидактические материалы............................................................................................................... 41 

Глава 5. Комплексные числа............................................................................................................... 43 
§ 1. Определение комплексных чисел. Операции сложения и умножения........................................ 43 
§ 2. Комплексно-сопряженные числа. Модуль комплексного числа.  
Операция деления комплексных чисел .......................................................................................... 44 
§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел ....................................................................... 47 
§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числа ......................................................................... 51 
§ 5. Извлечение корня из комплексного числа ..................................................................................... 54 
§ 6. Алгебраические уравнения.............................................................................................................. 56 
Дидактические материалы............................................................................................................... 57 

Глава 6. Функции .................................................................................................................................. 58 
§ 1. Определение и свойства функций................................................................................................... 58 
§ 2. Типы функций, их свойства и графики .......................................................................................... 61 
§ 3. Элементарные преобразования графиков функций ...................................................................... 69 
Дидактические материалы............................................................................................................... 73 

Глава 7. Последовательности.............................................................................................................. 77 
§ 1. Последовательности......................................................................................................................... 77 
§ 2. Предел последовательности ............................................................................................................ 82 
Дидактические материалы............................................................................................................... 92 

Глава 8. Предел и непрерывность функции..................................................................................... 94 
§ 1. Предел функции................................................................................................................................ 94 
§ 2. Непрерывность функции.................................................................................................................. 104 
§ 3. Вычисление пределов функций....................................................................................................... 106 
Дидактические материалы............................................................................................................... 109 

Глава 9. Производная ........................................................................................................................... 111 
§ 1. Определение производной. Задачи, приводящие к понятию производной ................................ 111 
§ 2. Производные элементарных функций............................................................................................ 113 
§ 3. Правила дифференцирования. Дифференциал.............................................................................. 115 
§ 4. Применение производной к исследованию функций.................................................................... 120 
Дидактические материалы............................................................................................................... 133 

Глава 10. Первообразная и интеграл................................................................................................. 137 
§ 1. Первообразная функции .................................................................................................................. 137 
§ 2. Неопределенный интеграл............................................................................................................... 139 
§ 3. Определенный интеграл................................................................................................................... 143 
Дидактические материалы............................................................................................................... 147 

Глава 11. Дифференциальные уравнения ........................................................................................ 150 
§ 1. Основные понятия ............................................................................................................................ 150 
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными................................................................................ 153 
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения...................................................................................... 156 
Дидактические материалы............................................................................................................... 161 

Ответы..................................................................................................................................................... 163 

Приложение ............................................................................................................................................ 171 

Введение 

В настоящее время отсутствует единая программа обучения математике учащихся инженерных 
классов. Данное пособие содержит дидактические материалы по ряду тем школьного курса математики, 
которые будут полезны при обучении учащихся инженерных классов. Отсутствие в пособии 
материалов по ряду важных тем объясняется тем, что они присутствуют в достаточном объёме 
в школьных учебниках. Отбор содержания пособия (тематических блоков, фактов и методов математики) 
проводился авторами в двух направлениях. 
В первом случае проводился отбор материала, не входящего (или входящего в недостаточном 
объёме) в программу общеобразовательной школы, но целесообразного для изучения учащимися инженерных 
классов. Целесообразность материала рассматривается с точки зрения его роли в развитии 
учащихся при получении среднего образования, целесообразности использования его для повышения 
уровня абстрактности изложения и повышения уровня абстрактности мышления учащихся, необходимого 
с точки зрения усвоения курса учащимися и использования полученных знаний при дальнейшем 
обучении в техническом вузе. 
Во втором – отбирался материал, составляющий основу и фундамент школьного математического 
образования, обеспечивающий необходимый уровень интеллектуальных способностей средствами 
и методами элементарных разделов математики, которыми пользуются уже многие годы, без 
освоения которых невозможно получение высшего образования. 
Проведенный авторами анализ программ школьных курсов (общеобразовательных школ, физико-
математических школ и классов, а также классов углубленного изучения математики), широкого спектра 
учебников и специальных учебных пособий по математике, а также учебников по математике для высших 
технических учебных заведений, с учетом личного опыта преподавания авторами в техническом вузе и 
в школе, позволил выделить ряд тем, целесообразных для развития учащихся инженерных классов с учетом 
возрастных особенностей и формирования у них правильных представлений с точки зрения их изучения 
и использования в процессе дальнейшего обучения в вузе. Были выделены следующие темы. 
«Элементы математической логики». В рамках этой темы желательно познакомить учащихся с 
методами построения отрицания высказываний и основными операциями над высказываниями, с понятиями 
прямой, обратной, противоположной прямой и противоположной обратной теоремами, методом 
доказательства от противного. 
«Метод математической индукции», как один из наиболее важных методов доказательства, достаточно 
часто применяемый в вузовских курсах  «Линейная алгебра», «Дискретная математика» и др. 
Формула бинома Ньютона являющаяся полезной при освоении вузовских курсов «Математический 
анализ» и «Теория вероятностей». 
В теме «Множества» затронуты вопросы доказательства равенства множеств путем преобразований 
множеств согласно основным свойствам операции, а также вопросы, связанные со сравнением 
действительных чисел, необходимые в дальнейшем при решении уравнений и неравенств. Также 
изучение данной темы является полезным при изучении информатики в старших классах. 
Тема «Комплексные числа» важна с точки зрения общего развития и её изучение будет полезно при 
прохождении темы «Многочлены» в школьном курсе (в частности, в вопросах разложения многочлена на 
множители) и темы «Дифференциальные уравнения». Полученные при этом знания имеют достаточно 
широкое применение во всех вузовских курсах математики и физики, начиная с первого курса. 
При изучении раздела «Функции» важно научить применять свойства функции при решении 
различных задач. Особое внимание уделено построению эскизов графиков функций, как с применением 
производной, так и без неё, с использованием метода элементарных преобразований графиков 
функций. Умение работать с графиками полезно в вузовских курсах «Математического анализа» 
и «Аналитической геометрии». 
Темы «Предел последовательности», «Предел функции» и «Интегральное исчисление» важны, 
так как являются фундаментом курса математического анализа в вузе, и изучаются в школе для правильного 
формирования понятий, полезных при дальнейшем изучении математики, а также демонстрации 
возможностей математики для решения прикладных задач. 
Тема «Дифференциальные уравнения» имеет прикладной характер и даёт возможность развития 
навыков математического моделирования. 
Каждая глава пособия содержит разбор полезных для изучения темы примеров и варианты самостоятельных 
и контрольных работ. Окончание решения рассмотренных примеров и доказательств 
отмечается значком ▲. 
В конце пособия в приложении 1 приведен пример учебно-тематического планирования курса алгебры 
и начал анализа в инженерных классах в соответствии с учебными пособиями (Шабунин М.И., 

Прокофьев А.А. Математика 10 и 11 кл. Учебное пособие для инженерных классов (Просвещение), 
2018). Отметим, что данную книгу можно использовать и при обучении учащихся инженерных классов 
по другим учебникам, входящим в Федеральный перечень учебников текущего и последующих 
годов. 
Указанные пособия имеют отличительной особенностью прикладную направленность, большое 
количество разобранных примеров, знакомящих учащихся с различными методами решений и доказательств. 
С 2012 по 2016 гг. учебники этих авторов входили в федеральный перечень учебников. 
Апробация проходила во многих школах (в частности, в московских школах: Лицей № 1557 и школа 
1298 «Профиль Куркино»). 
Настоящее пособие в первую очередь предназначено учителям, обучающих учащихся инженерных 
классов, но будет также полезно учителям, ведущим преподавание математики в профильных 
10-х и 11-х классах, а также, безусловно, учащимся старших классов, желающим повысить уровень 
своей математической подготовки и познакомиться с новыми разделами математики. 

Глава I. Элементы математической логики 

Материал, изучаемый в этой главе, является обобщением и систематизацией начальных представлений 
о математической логике, широко применяемых в основной школе при решении задач 
и доказательствах теорем. При рассмотрении высказываний и операций над ними учащиеся могут 
с помощью простых высказываний и интуитивных представлений самостоятельно составить таблицы 
истинности для основных операций. Следует уделить особое внимание составлению таблицы 
истинности для импликации и построению отрицания импликации. 
Также необходимо подчеркнуть, что часто для доказательства истинности высказывания бывает 
проще доказать ложность его отрицания. 
При изучении неопределенных высказываний особое место занимают примеры записи теорем, 
известных из геометрии и алгебры, в формальном виде, а также построение их отрицаний. 
Рассмотрение различных приемов доказательства начинается с изучения теорем (обратная, 
противоположная, обратная противоположной), связанных с исходной. При этом важно понимать, 
истинность каких теорем совпадает с истинностью исходной. Часто встречающейся ошибкой является 
неверное построение отрицания теоремы «Для всех x  из A  следует B », что приводит к неправильным 
доказательствам. 

§ 1. Высказывания и операции над ними 

Высказыванием называется утверждение, которое является либо истинным, либо ложным (закон 
исключённого третьего). 
Никакое высказывание не может быть одновременно истинным или ложным (закон противоречия); 
утверждение, о котором невозможно однозначно решить вопрос, истинно оно или ложно, высказыванием 
не является. 

Отрицанием высказывания A (обозначается символом A , читается «не A») называется такое 
высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда A  ложно (таблица 1). 

Таблица 1 
A 
A

И 
Л 

Л 
И  

Конъюнкцией двух высказываний A  и B  (обозначается символом A
B
∧
, читается « A  и B ») 
называется высказывание, которое является истинным в случае, когда истинны оба высказывания A 
и B , и ложным во всех остальных случаях (таблица 2). 

Дизъюнкцией высказываний A и B  (обозначается символом A
B
∨
, читается «A или B») называется 
высказывание, которое истинно в тех случаях, когда истинно хотя бы одно из высказываний 
A или B , и ложно, если ложны оба высказывания A и B . 

Таблица 2 
A 
B
A
B
∧
 
A
B
∨
 
A
B
∼
 
A
B
⇒

И 
И 
И 
И 
И 
И 

И 
Л 
Л 
И 
Л 
И 

Л 
И  
Л 
И 
Л 
Л 

Л 
Л 
Л 
Л 
И 
И 

Замечание. Дизъюнкция («или») понимается в смысле, отличном от бытового: логическая операция 
дизъюнкция не является «разделительным или». Дизъюнкция двух высказываний является истинной 
не только тогда, когда одно из высказываний истинно, а другое ложно, но и в том случае, когда 
истинны оба. 

Эквиваленцией высказываний A и B  (обозначается A
B
∼
, читается «A эквивалентно B ») называется 
такое высказывание, которое истинно, если оба высказывания A  и B  истинны или оба 
ложны, и ложно, если одно из этих высказываний истинно, а другое ложно. 
Импликацией высказываний A и B  (обозначается A
B
⇒
, читается «если A, то B » или «из A 
следует B », « A влечёт за собой B ») называется высказывание, которое ложно лишь в том случае, 
когда A истинно, а B  ложно. 
 
Свойства операций (законы алгебры высказываний) 
1) Коммутативность: A
B
B
A
∨
=
∨
, A
B
B
A
∧
=
∧
. 
2) Ассоциативность: (
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∨
∨
=
∨
∨
,  (
)
(
)
A
B
C
A
B
C
∧
∧
=
∧
∧
. 
3) Дистрибутивность:  
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∨
∧
=
∧
∨
∧
, (
)
(
)
(
)
A
B
C
A
C
B
C
∧
∨
=
∨
∨
∧
. 

4) Законы де Моргана: A
B
B
A
∨
=
∧
 и A
B
B
A
∧
=
∨
. 
Кроме того, справедливы следующие равенства (через J  обозначено тождественно истинное 
высказывание): 

A
A
=
; 
A
A
A
∨
=
; 
 A
A
A
∧
=
; 

A
A
J
∨
=
 (закон исключенного третьего); 
A
J
J
∨
=
; 
A
J
A
∧
=
. 
Если L  | тождественно ложное высказывание, то 
A
L
A
∨
=
; 
A
A
L
∧
=
 (закон противоречия); 
A
L
L
∧
=
; 
J
L
=
. 
 
Пример 1. Установить, является истинным или ложным высказывание 
{
A ≡ Число 54 делится 
на 2 или на 3}. 
Решение. Высказывание A  можно представить в виде дизъюнкции двух высказываний: 

A
B
C
=
∨
, где 
{
B ≡ Число 54 делится на 2}, 
{
C ≡ Число 54 делится на 3}. Так как оба высказывания 
истинны, то A истинно. ▲ 
При решении задач, в которых присутствует операция импликации, важно понимать, что высказывание 
A
B
⇒
 является ложным в единственном случае – когда A истинно, а B  ложно. 
 
Пример 2. Даны два высказывания: 
{
A ≡ Число 
222
2
1
−  делится на 15} и 
{
B ≡ Число 
222
2
1
−  
делится на 3}. Является ли истинным высказывание C
A
B
=
⇒
? 
Решение. Не выясняя, являются ли истинными высказывания A и B , покажем, что высказывание 
{

C ≡ Если число 
222
2
1
−  делится на 15, то оно делится на 3} истинно. 
Рассмотрим несколько случаев: 
1) A истинно, т.е. 
222
2
1
−  делится на 15; то 
222
2
1
−  делится на 3; т.е. B  истинно. Таким образом, 
если A и B  истинны, то A
B
⇒
 истинно. В данном случае невозможна ситуация, когда A истинно, 
а B  ложно. 
2) A  ложно, т.е. 
222
2
1
−  не делится на 15, то 
222
2
1
−  может как делиться, так и не делиться на 3, 
т.е. B  может быть как истинным, так и ложным. Таким образом, если A  ложно, то высказывание 
C
A
B
=
⇒
 является истинным независимо от значения B . ▲ 
 
Пример 3. Установить, являются истинными или ложными высказывания: 
{
A ≡ Если 54 – простое число, то 27 – простое число}, 

{
B ≡ Если 54 – простое число, то 
2022
2023
2
3
+
 – простое число}, 
{
C ≡ Если 54 – простое число, то число π  меньше 4}. 
Решение. Зададим высказывания и выясним, истинны они или ложны: 
{
D ≡ 54 – простое число} – ложно,  
{
E ≡ 27 – простое число} – ложно, 

{
F ≡
2022
2023
2
3
+
 – простое число} – неизвестно, 
{
G ≡ число π  меньше 4} – истинно. 
Высказывания A, B  и C  можно представить в виде импликаций: 

A
D
E
=
⇒
, B
D
F
=
⇒
, C
D
G
=
⇒
. 
Тогда высказывания A, B , C  являются истинными, так как D  – ложно. 
Важно отметить, что в высказывании C
D
G
=
⇒
 высказывания D  и G  по смыслу между собой 
никак не связаны. ▲ 

При решении задач и доказательстве теорем часто используется отрицание импликации: 

A
B
A
B
A
B
A
B
⇒
=
∨
=
∧
=
∧
. 
 
Пример 4. Постройте отрицание высказывания 
{
C ≡ Если сумма цифр целого числа делится на 
3, то и само число делится на 3 без остатка}. 
Решение. Зададим высказывания 
{
A ≡ Сумма цифр целого числа делится на 3} и  
{
B ≡ целого 

числа делится на 3 без остатка}. Тогда C
A
B
=
⇒
. В соответствии с формулой A
B
A
B
⇒
=
∧
 получаем 
{

C ≡ Сумма цифр целого числа делится на 3, и само число не делится на 3 без остатка}. ▲ 

 
Равносильность высказываний можно доказывать с помощью сравнения их таблиц истинности 
или преобразуя высказывания по законам алгебры высказываний. 
 
Пример 5. С помощью таблиц истинности и преобразований высказываний проверить, верно 
ли равенство: 
(
)
(
)
(
)
A
B
C
A
B
A
C
⇒
∨
=
⇒
∨
⇒
. 
Решение. П е р в ы й  с п о с о б . Составим таблицу истинности высказываний (таблица 3). 
Сравнивая 5-й и 8-й столбцы этой таблицы, устанавливаем равносильность данных высказываний. 
 
Таблица 3 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 

 
 
 
 
 
 
 
 

A 
B  
C  
B
C
∨
 
(
)
A
B
C
⇒
∨
 
A
B
⇒
 
A
C
⇒
 
(
)
(
)
A
B
A
C
⇒
∨
⇒
 

И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 

И 
И 
Л 
И 
И 
И 
Л 
И 

И 
Л 
И 
И 
И 
Л 
И 
И 

И 
Л 
Л 
Л 
Л 
Л 
Л 
Л 

Л 
И 
И 
И 
И 
И 
И 
И 

Л 
И 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 

Л 
Л 
И 
И 
И 
И 
И 
И 

Л 
Л 
Л 
Л 
И 
И 
И 
И 

 
В т о р о й  с п о с о б . Проверим теперь равносильность высказываний с помощью их преобразований: 

(
)
(
)

A
B
C
A
B
C
A
B
C
⇒
∨
=
∨
∨
=
∨
∨
, 

(
)
(
)
(
)
(
)
A
B
A
C
A
B
A
C
A
B
A
C
A
B
C
⇒
∨
⇒
=
∨
∨
∨
=
∨
∨
∨
=
∨
∨
. 
Высказывания равносильны. ▲ 
 
Замечание. Для конъюнкции A
B
∧
 часто используют запись AB . 
 
Пример 6. Построить отрицание высказывания и упростить его: 

(
(
))
AB
A
B
A
⇒
∨
⇒
. 

Решение. 
(
(
))
(
(
))
AB
A
B
A
AB A
B
A
⇒
∨
⇒
=
∨
⇒
=
(
)
ABA B
A
ABB A
AL
L
⇒
=
=
=
. ▲ 

 
Покажем, как с помощью преобразований высказываний можно решать логические задачи. 
 
Пример 7. На столе в приемной комиссии института перед абитуриентом стоят две коробки. 
В каждой их них лежит либо табличка «Принят», либо табличка «Не принят». На крышках коробок 
написано: «В обеих коробках лежит по табличке «Принят». Причем известно, что если в первой 
коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «
Не принят», то надпись на коробке ложна. Что касается второй коробки, то там все наоборот: 
если в ней находится табличка «Принят», то надпись на коробке ложна, если же там табличка «Не 
принят», то надпись на коробке истинна. Какие таблички находятся в коробках? 
Решение. Обозначим высказывания: 
{
A ≡ В первой коробке лежит табличка «Не принят»} 
и 
{
B ≡ Во второй коробке лежит табличка «Принят»}. 
Тогда надписи на коробках – это высказывание AB. Условие «Если в первой коробке находится 
табличка «Принят», то надпись на коробке истинна, если же там находится табличка «Не принят», то 
надпись на коробке ложна» означает, что истинно высказывание: 

(
)(
)
(
)(
)
A
AB A
AB
A
AB AB
A
A
AB
⇒
⇒
=
⇒
⇒
=
=
∼

(
)
(
)
(
)

A
A AB
A AB
AB
A A
B
AB
A
AB
AB
A
J

=
=
∨
=
∨
∨
=
∨
∨
=
∨
=
. 

Условие «Если во второй коробке находится табличка «Принят», то надпись на коробке ложна, 
если же там находится табличка «Не принят», то надпись на коробке истинна» означает, что истинно 
высказывание: 

(
)(
)
(
)(
)
B
AB B
AB
B
AB AB
B
B
AB
⇒
⇒
=
⇒
⇒
=
=
∼
(
)
(
)
(
)

L
L

B AB
B AB
B A
B
BB
BA
BA
J

=
=
∨
=
∨
=
∨
=
=
. 

Таким образом, истинна конъюнкция этих высказываний: 

(
)
)

L
AB
AB
A BA
ABBA
ABA
AB

=
=
∨
=
∨
=
. 

Таким образом, высказывание A ложно, B  – истинно. В первой коробке находится табличка 
«Не принят», во второй коробке – табличка «Принят». ▲ 
 
§ 2. Неопределенные высказывания.  
Знаки общности и существования 
 
Утверждения, зависящие от переменной, заданной на некотором множестве, и обращающиеся 
в высказывание при конкретном значении переменной, называются неопределенными высказываниями 
или предикатами. 
Множеством истинности предиката 
( )
P x , заданного на множестве M  называют множество таких 
значений переменной x , при которых высказывание 
( )
P x  истинно. На предикаты естественным 
образом переносятся логические операции, рассмотренные в § 1. Свойства операций при этом сохраняются. 

Неопределенные высказывания возникают при решении задач алгебры и геометрии. Например, 
всякое уравнение или неравенство можно рассматривать, как неопределенное высказывание, и решить 
это уравнение или неравенство – означает найти множество истинности некоторого неопределенного 
высказывания 
( )
A x . При этом путем цепочек преобразований исходные уравнения или неравенства 
заменяются на равносильные уравнения, неравенства, их совокупности или системы. 
Если на множестве M  задан предикат 
( )
A x , то утверждение «неопределённое высказывание 
истинно для всех элементов множества M» записывают с помощью знака общности ∀  следующим 
образом: 
( )
x A x
∀
 или (
x
M
∀ ∈
)
( )
A x . 
Если неопределённое высказывание 
( )
A x  истинно хотя бы для одного элемента из множества 

M , т.е. существует элемент 
0x
M
∈
 такой, что 
0
(
)
A x
 – истинное высказывание, то используют знак 
существования ∃:  
( )
x A x
∃
 или (
)
( )
x
M A x
∃ ∈
. 
Если перед неопределённым высказыванием стоит знак ∀  или знак ∃, то каждое такое утверждение 
либо истинно, либо ложно и поэтому оно является высказыванием. 
Если истинно высказывание 
( )
( )
x A x
B x
∀
∼
, то множества истинности 
( )
A x  и 
( )
B x  совпадают. 
 
Пример 1. Пусть 
( )
f x  и ( )
g x  – некоторые функции, заданные на множестве X ⊂ , Доказать 
истинность высказывания: 
{|
( ) |
( )}
({ ( )
( )}
{ ( )
( )})
x
X
f x
g x
f x
g x
f x
g x
∀ ∈
>
>
∨
< −
∼
. 
Решение. Рассмотрим неопределенные высказывания, заданные на множестве X : 
( )
{
A x ≡
|
( ) |
( )
f x
g x
>
}, 
( )
{ ( )
( )}
B x
f x
g x
≡
>
, 
( )
{ ( )
( )}
C x
f x
g x
≡
< −
, 
( )
{ ( )
0}
D x
f x
≡
≥
. 
Требуется доказать истинность высказывания: 
{ ( )
( ( )
( ))
x
X
A x
B x
C x
∀ ∈
∨
∼
. 

При любом x
X
∈
имеем: |
( ) |
( )
f x
f x
=
, если 
( )
0
f x ≥
, и |
( ) |
( )
f x
f x
= −
, если 
( )
0
f x <
. Получаем: 
{|
( ) |
( )}
(({ ( )

0}
{ ( )
( )})
({ ( )
0}
{
( )
( )}))
f x
g x
f x
f x
g x
f x
f x
g x
>
≥
∧
>
∨
<
∧ −
>
∼
, 

( )
{(
( )
( ))
(
( )
( ))}
A x
D x
B x
D x
C x
∧
∨
∧
∼
. 

Сравним высказывания (
( )
( ))
(
( )
( ))
D x
B x
D x
C x
∧
∨
∧
 и 
( )
( )
B x
C x
∨
 c помощью таблицы истинности (
таблица 4). 
 
Таблица 4 
A 
B  
C  
B
C
∨
 
(
( )
( ))
(
( )
( ))
D x
B x
D x
C x
∧
∨
∧
( )
( )
B x
C x
∨
 

И 
И 
И 
И 
И 
И 

И 
И 
Л 
И 
И 
И 

И 
Л 
И 
И 
Л  
И 

И 
Л 
Л 
Л 
Л 
Л 

Л 
И 
И 
И 
И 
И 

Л 
И 
Л 
И 
Л 
И 

Л 
Л 
И 
И 
И 
И 

Л 
Л 
Л 
Л 
Л 
Л 

 
Заметим, что значения высказываний 
( )
( )
B x
C x
∨
 и (
( )
( ))
(
( )
( ))
D x
B x
D x
C x
∧
∨
∧
 не совпадают 
в двух случаях: когда 
( )
D x  и 
( )
C x истинны, а 
( )
B x  ложно, и когда 
( )
D x и 
( )
C x  ложны, а 
( )
B x  истинно. 
В первом случае получаем неравенства 
( )
0
f x ≥
, 
( )
( )
f x
g x
< −
, 
( )
( )
f x
g x
<
, которые не могут 
выполняться одновременно.  
Во втором случае получаем неравенства 
( )
( )
f x
g x
>
, 
( )
( )
f x
g x
> −
, 
( )
0
f x <
, которые также не 
могут выполняться одновременно. ▲ 
Замечание. При решении уравнений и неравенств конъюнкции высказываний соответствует 
система, дизъюнкции – совокупность. Таким образом, мы показали, что неравенство |
( ) |
( )
f x
g x
>
 
равносильно совокупности двух неравенств: 
( )
( )
f x
g x
>
 или 
( )
( )
f x
g x
< −
. 
При установлении истинности или ложности высказываний, содержащих кванторы всеобщности 
и существования, полезно переходить к их отрицаниям. Так, для того, чтобы доказать ложность 
высказывания 
x
M
∀ ∈
( )
A x , необходимо указать только один элемент x
M
∈
, для которого 
( )
A x  

ложно, т.е. доказать истинность высказывания 
( )
( )
x
M A x
x
M A x
∀ ∈
= ∃ ∈
. 
Для того, чтобы доказать ложность высказывания 
( )
x
M A x
∃ ∈
, необходимо доказать, что для 
всех 
x
M
∈
 высказывание 
( )
A x
 ложно, 
т.е. 
доказать 
истинность 
высказывания 

( )
( )
x
M A x
x
M A x
∃ ∈
= ∀ ∈
. 
 
Следующий пример показывает, как перестановка кванторов изменяет высказывания. 
 
Пример 2. Выяснить смысл приведенных высказываний и установить, истинны они или ложны, 
считая, что , , , ,
x y a b c∈: 

1) 
(
3)
x y x
y
∀ ∃
+
=
,  
4) 
2
2
, ,
(
(
0)
4
0)
a b c
x ax
bx
c
b
ac
∀
∃
+
+
=
⇔
−
≥
, 

2) 
(
3)
y
x x
y
∃ ∀
+
=
,  
5) 
(
)
(
)
2
2
, ,
(
0)
(
0)
4
0
a b c
a
x ax
bx
c
b
ac
∀
≠
∧ ∃
+
+
=
⇔
−
≥
. 

3) 
2
(
1
)
x x
x
x
∀
≤ ⇒
≤
, 
 
Решение. 1) Высказывание означает, что для любого x  найдется y  такой, что 
3
x
y
+
=
. Данное 
высказывание истинно: для каждого x  найдется 
3
y
x
=
−
, тогда, действительно, 
3
x
y
+
=
. 
2) Высказывание означает, что найдется y  такой, что для любого x  выполняется 
3
x
y
+
=
. Построим 
отрицание этого высказывания: 

(
3)
(
3)
y
x x
y
y x x
y
∃ ∀
+
=
∀ ∃
+
≠
∼
. 

Это высказывание означает, что для любого x  найдется y  такой, что 
3
x
y
+
≠
. Это высказывание 
истинно. Действительно, для произвольного x  можно взять y , равный, например, 4
y
−
, и тогда 

4
3
x
y
+
=
≠
. Таким образом, исходное высказывание ложно. 

3) Высказывание означает, что для всех x  из неравенства 
1
x ≤
 следует неравенство 
2x
x
≤
. 
Построим отрицание высказывания: 

2
2
(
1
)
(
1
)
x x
x
x
x x
x
x
∀
≤ ⇒
≤
∃
≤ ⇒
≤
∼
∼
2
2
(
1
)
(
1
)
x x
x
x
x x
x
x
∃
≤ ∧
≤
∃
≤ ∧
>
∼
. 
Последнее высказывание является истинным, в качестве x  можно взять любое отрицательное 
число. Исходное высказывание ложно. 
4) Высказывание означает, что для любых коэффициентов ,a b  и c  уравнение 
2
0
ax
bx
c
+
+
=
 

имеет решение тогда и только тогда, когда 
2
4
0
b
ac
−
≥
. Это высказывание ложно, так как найдутся 
значения коэффициентов, а именно, 
0,
0
a
b
=
=
, 
0
c ≠
, при которых высказывание 
2
4
0
b
ac
−
≥
 ис-

тинно, а уравнение 
2
0
ax
bx
c
+
+
=
 решений не имеет. 
5) В отличие от предыдущего случая, высказывание означает, что квадратное уравнение 

2
0
ax
bx
c
+
+
=
 (
0
a ≠
) имеет решение тогда и только тогда, когда 
2
4
0
b
ac
−
≥
. Это высказывание истинно. ▲ 
 

Пример 3. Натуральное число n является составным тогда и только тогда, когда оно имеет делители, 
отличные от 1 и самого себя. Записать символически с помощью кванторов это определение. 
Решение. Обозначим неопределенное высказывание 
( )
{
A n ≡
Число n  является составным}. 
Получим высказывание: 
(
)
( )
(
(
1
)
n
A n
m
k
m
m
n
n
km
∀ ∈
∃
∈
∃ ∈
≠ ∧
≠
∧
=
∼
. ▲ 
 
Пример 4. Записать с помощью кванторов высказывание неопределенное высказывание 
( , )
A m n , заданное на множестве натуральных чисел: 
( , )
{
A m n ≡ Числа m  и n не имеют общих делителей, 
отличных от 1}. 
Решение. Высказывание означает, что если числа m  и n  имеют общий делитель a, то он 
равен 1: 
(
)
( , )
{
(
(
))
(
(
)
(
1)}
A m n
a
b
m
ab
c
n
ac
a
≡ ∀ ∈
∃ ∈
=
∧ ∃ ∈
=
⇒
=
.  ▲ 
 
§ 3. Некоторые приемы доказательства 
 
Пусть 
( )
A x , 
( )
B x  – неопределенные высказывания, заданные на множестве X . Рассмотрим 
теорему 
( )
( )
x
X A x
B x
∀ ∈
⇒
. 
 
Эту теорему можно выразить одной из следующих формулировок: 
 
если 
( )
A x , то 
( )
B x , 
из 
( )
A x следует 
( )
B x , 
( )
A x  влечет за собой 
( )
B x , 

B  необходимое условие для A, 
A достаточное условие для B . 
 
На примере геометрических фигур полезно рассмотреть понятия необходимых достаточных 
условий. Так из принадлежности фигуры определенному классу следует выполнимость некоторых 
необходимых условий для элементов фигуры, называемых свойствами фигуры. Соответственно выполнимость 
некоторых условий для элементов фигуры является достаточным для принадлежности к 
определенному классу – их называют признаками фигуры. 
 
Например, используя определение (ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны), 

приведем в таблице свойства и признаки ромба.