Алгебра. 7 класс. Новые дидактические материалы для углублённого изучения математики

С.М. Крачковский

АЛГЕБРА

7 класс

Новые дидактические материалы
для углублённого изучения
математики

Москва
Издательство «Интеллект-Центр»

2023

2-е издание, электронное

УДК 373.167.1:51+51(075.3)
ББК 22.1я721
К78

Рецензент:

Е. В. Лукьянова — кандидат педагогических наук, 
учитель высшей категории ГБОУ «Школа Марьина Роща им. В. Ф. Орлова»

К78
Крачковский, С. М.
Алгебра. 7 класс. Новые дидактические материалы для углублённого изучения 
математики / С. М. Крачковский. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 
58 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2023. — Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-907528-95-6

Дидактические материалы представляют собой сочетание элементов теоретической 
информации с набором заданий для учащихся 7 класса с углублённым изучением 
математики. Эти материалы помогут разнообразить работу в классе и дома, отработать 
приёмы решения задач повышенного уровня. Данная книга будет полезна учащимся 
школ, в том числе работающим по программе «Математическая вертикаль», учителям 
математики, студентам педагогических специальностей и всем, кто интересуется математикой.


УДК 373.167.1:51+51(075.3) 
ББК 22.1я721

Электронное издание на основе печатного издания: Алгебра. 7 класс. Новые дидактические 
материалы для углублённого изучения математики / С. М. Крачковский. —  Москва : Издательство «
Интеллект-Центр», 2021. — 56 с. — ISBN 978-5-907431-12-6. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты 
авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907528-95-6
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2021
© С. М. Крачковский, 2021

Содержание

Введение ................................................................................ 4

1. Повторение материала по математике 5—6 классов ................ 5 
1.1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями ........ 5
1.2. Жадачина проценты и части .......................................... 8 
1.3. Числовые и буквенные выражения ................................. 10 

2. Линейные уравнения с одной переменной ............................. 12
2.1. Решение уравнений методом сведения их
к уравнениям с целыми коэффициентами ....................... 12 
2.2. Линейные уравнения с параметром ................................ 14 
2.3. Решение задач с помощью уравнений ............................. 16 

3. Делимость и степень с натуральным показателем ................... 17
3.1. Делимость и остатки ..................................................... 17 
3.2. Свойства степеней и вычисления с ними ........................ 19 

4. Формулы сокращённого умножения ...................................... 21 
4.1. Жадачина вычисление и доказательство .......................... 21 
4.2. Выделение полного квадрата .......................................... 23 
4.3. Разложение многочленов на множители ......................... 26 
4.4. Разложение на множители при решении уравнений ......... 28 
4.5. Обобщения формул сокращённого умножения ................. 29 

5. Линейная функция и её график ............................................ 31 
5.1. График линейного уравнения и его свойства .................... 31 
5.2. Кусочно-линейные функции и функции с модулем .......... 33
5.3. Графики уравнений ...................................................... 35 

6. Системы линейных уравнений .............................................. 36 
6.1. Основные методы решения систем линейных уравнений ... 36 
6.2. Жаменапеременных в системах уравнений ...................... 37 
6.3. Системы с параметрами ................................................ 37 
6.4. Решение задач с помощью систем уравнений .................. 38 

Варианты для итогового повторения ........................................ 40 
Вариант 1 .......................................................................... 40 
Вариант 2 .......................................................................... 42 
Вариант 3 .......................................................................... 43 
Вариант 4 .......................................................................... 44 

Ответы ................................................................................... 45 
Список литературы ................................................................. 55 

Введение

Предлагаемые дидактические материалы предназначены для на-

работки активных навыков решения задач повышенного уровня по

курсу алгебры 7-го класса.

Жаданиясгруппированы по темам и методам решения, но порядок,

в котором они представлены, не является сколько-либо обязатель-

ным. Он может изменяться в зависимости от текущих учебных целей

или подстраиваться под учебник алгебры, по которому учатся в ва-

шем классе. Материалы пособия не ориентированы на какой-то кон-

кретный учебник, но могут эффективно дополнять любой из них, не

являясь заменой ему. Цель пособия — дать возможность решения дос-

таточно большого числа как типовых, так и нестандартных заданий

повышенного уровня сложности по всем основным темам курса ал-

гебры 7 класса.

Жаданияпособия могут быть полезны при подготовке к итоговой

контрольной работе или экзамену за 7 класс, в том числе в классах,

работающих по программе «Математическая вертикаль». Также по-

собие можно использовать при подготовке к поступлению в профиль-

ные 8-е классы математических школ.

Помимо набора задач в некоторых случаях даются примеры реше-

ния типовых задач и краткие указания. В конце сборника приводятся

несколько вариантов экзамена в профильные 8 классы ГБОУ г. Москвы

«Школа № 1514» и других школ за последние годы. Эти варианты

можно использовать для самоконтроля и организации заключительно-

го повторения.

Желаем вам больших успехов в изучении математики!

1. Повторение материала по математике 5—6 классов

1.1. Действия с обыкновенными и десятичными дробями

1. Найдите значение числового выражения:

а)
1
1
5 5 1
: 13
9 5
11
7
,
,
⋅
−
;       

б)
(
)
(
)
3,5
4,8
3,1
7
10,5
3
−
+ −
⋅
−
−
.

2. Найдите значение выражения:

а)

(
)

1,26 : 2,4
1
5 0,8
0,8 1,5
3
6
+
−
⋅
;            

б)
2,5 1,24
7
10
0,4
0,4 : 0,016
10

⋅
+
⋅
−
;             

в)

3
1
0,2
0,04
5
2
1,6 : 0,4
0,6
10
5

−
⋅

−
⋅
+
.

3. Найдите значение выражения:

а)

1
2
: 2
1,8
0,4
0,3
10
3,15 : 22,5

−
⋅
+
;         

б)

(
)

3
3,5 1,24
12,4 0,7 0,5
4
13
1
9
0,5
5
40

⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
− −
.

4. Найдите значение числового выражения:

1
1
2
2
1
1,9
19,5 : 4
3,5
4
2
3
2
3
15
:
62
1
0,16
0,5
1
4,1
75
20

⋅
+
+
+

−
⋅
+
.

5. Найдите значение числового выражения:

1
1
1
1
0,1
:
0,1
2,52
6
15
6
15
1
1
1
7
0,5
0,25
: 0,25
3
5
6
13

+
+
+
−
⋅
−
+
−
−
⋅
.

6. Найдите 47% от значения выражения:

3
3
1
0,425
0,05 : 0,1
6
5
5
4
2
0,05
1
1
5
30,5
3
26 : 3
6
3
7

+
−
+
+
−
+
+
.

7. Найдите число, если 20% этого числа равны значению выражения:

1
3
1
2
4,5
0,375
2
: 1,1
3
5
6
4
3 :
1
1
7
2,5
0,4 3
2,75
1
3
2

+
⋅
+
−
−
⋅
−
.

8. Найдите число, если 25% этого числа равны:

18
1
1
1
9,12
7,4
6
: 5
25
3
3
−
−
⋅ −
.

9. Вычислите удобным способом:

7
1
1
1
1
0,25
3
30
:
15
3
4
5
−
−
+
.

10. Вычислите: 1 + 3 + 5 + 7 + … + 97 + 99 + 101. 

11. Найдите произведение всех целых чисел от —15 до 14.  

12. Вычислите удобным способом:

а)
7
5
11
19
5
4
3
6
18
24
18
24
−
+
−
;          

б)
7
8
9,6
3,5 8,7
8,7 3,1
10 ⋅
+
⋅
−
⋅
;          

в)
3
8
1
3
12
: 1
0,25
3
1
7
15
30
4
+
−
−
.

13. Найдите значение выражения:

1
1
1
1
1
1
1
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
10 11
11 12
+
+
+
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
,

не приводя дроби к общему знаменателю.

14. Вычислите удобным способом:

а) 254 399
145
254
399 253
⋅
−
+
⋅
;

б)
1
1
1
1
3 4
4 5
5 6
6 7
+
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
.

15. Вычислите: 2022 20212021
2021 20222022
⋅
−
⋅
.

1.2. Задачи на проценты и части

1.
Найдите:

а) 25% от числа 15;                

б) число, 45% которого равны 50,25;    

в) какой процент составляет 25 от 400. 

2.
В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград
подорожал на 25%, а в ноябре ещё на 20%. Сколько рублей стоил
1 кг винограда после подорожания в ноябре?

3.
Магазин продаёт картофель по цене а рублей за килограмм. В пер-

вый день было продано 1
3 всего картофеля, а во второй день —

25% оставшегося. Какую сумму выручил магазин от продажи
картофеля за 2 дня, если всего у него было 12 тонн картофеля?   

4.
Один рабочий выпускал на 50 деталей меньше другого. Когда выработка 
первого повысилась на 1%, а второго на 2% в день, то
вместе они стали выпускать 254 детали в день. Сколько деталей
выпускал каждый рабочий первоначально?

5.
Цена входного билета на стадион составляла 40 рублей. После
снижения входной платы число зрителей увеличилось на 25%, а
выручка выросла на 12,5%. Какова новая цена билета?

6.
Из двух пунктов, расстояние между которыми 94 км, отправились 
одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист.
Скорость пешехода на 16 км/ч меньше скорости велосипедиста.
Найдите скорость каждого, если известно, что встретились они
через 4 ч и пешеход сделал в пути получасовую остановку.

7.
В библиотеке Кати альбомы составляли 25% всех книг. После того, 
как она купила ещё 3 альбома, они стали составлять 28% общего 
числа книг. Сколько всего книг стало теперь у Кати?

8.
Сплавили два слитка. Первый весил 115 г и содержал 20% меди.
Второй весил 85 г и содержал 56% меди. Какой процент меди содержится 
в получившемся сплаве?

9.
Сколько воды нужно добавить к 750 г 15% раствора сахара, чтобы 
процентное содержание сахара стало 5%? 

10. Семья состоит из трёх человек: отца, матери и сына. Если бы
зарплата матери увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы
на 43%. Если бы стипендия сына увеличилась втрое, общий доход
семьи вырос на 20%. Сколько процентов дохода семьи составляет
зарплата отца?

11. Из данных четырёх чисел первые три относятся между собой как

1
1
1
:
:
5
3
20 ,

а четвёртое составляет 15% второго. Найдите эти числа, если известно, 
что второе число на 8 больше суммы остальных.

12. Число участников олимпиады по физике составляет 250% от числа 
участников олимпиады по химии, а число участников олимпиады 
по химии составляет 32% от числа участников олимпиады
по математике. Сколько процентов составляет число участников
олимпиады по математике от числа участников олимпиады по
физике?

1.3. Числовые и буквенные выражения

1. Периметр прямоугольника равен 12 см, а одна из его сторон — а см.
Какова площадь прямоугольника?

2. Из двух пунктов, расстояние между которыми р км, одновременно
отправились пешеход и велосипедист. Они встретились через t ч.
Скорость велосипедиста v км/ч.
Напишите формулу, описывающую скорость пешехода. Ответьте

на вопрос задачи, если р = 9, 
1
2
t =
, v = 12. 

3. Жапишитев виде равенства: утроенная разность х и у составляет
20% их суммы.

4. Жапишитев виде равенства: 30% разности п и т в два раза больше
их суммы.

5. Докажите, что значение выражения
(4
9(2
1))
14
у
у
у
−
−
−
−
не зависит 
от у.

6. Докажите, что значение выражения
(
)
(
)
12
3
4
9
x
x
x
−
−
−
+
постоян-

но при любом значении переменной.

7. Упростите
выражение
(
)
(
)
2
0,3
0,5
4
3
a
c
a
c
−
⋅
−
⋅
−
и
найдите
его

значение при
1,5
а = −
и
2
3
с = −
.

8. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения
5(
12)
(33
26 )
п
п
−
−
−
−
кратно 3.

9. Докажите, что при любом натуральном т значение выражения
12(2
1)
2(2
1)
т
т
−
+
−
кратно 14.  

10. Найдите значение выражения 3а + 3b — 2, если а + b = 2. 

11. Найдите значение выражения 2а — 2b +4, если а — b = 3. 

12. Сравните значения выражений 2xy — x и 3xy — y при x = — 2  и y = 8. 

13. Упростите
выражение
(
)
(
)
1
1
3
0,3
0,6
0,8
1,6
1
2
3
4
a
b
b
a
⋅
−
−
−
⋅
−
и

найдите его значение, если 1
0,5
2
2 a
b
−
= − .

14. Упростите выражение
(
)
2
3
0,6
1
5
1,4
0,7
1
5
3
7
a
b
a
b
⋅
−
−
−
⋅
+
и най-

дите его значение, если 1
1
2 a
b
+
= − .

15. Упростите выражение и найдите его значение:

а)
(
)
(
) 2
2
0,3
1
3
5
5
x
x
⋅
−
−
−
⋅
при
1
3
x = −
;

б) 2021
7
7
x
y
−
+
при
5
17
x
y
−
=
.