Математическое обеспечение чертежа при конструировании деталей в машиностроении

В.И. Нартя









Математическое обеспечение чертежа при конструировании деталей в машиностроении



Монография















Инфра-Инженерия Москва-Вологда 2018

УДК 621.81(075)
ББК 34.42я73

ФЗ №436-Ф3

Издание не подлежит маркировке в соответствии сп. 1ч.4ст. 11

   Н 28


Рецензенты:

              Байджанов Д.О., доктор технических наук, профессор;
Ким В.А., доктор технических наук, профессор; Смирнов Ю.М., доктор технических наук, профессор.




       Нартя В.И.
Н 28 Математическое обеспечение чертежа при конструировании деталей
       в машиностроении / В.И. Нартя. -М.: Инфра-Инженерия, 2018.-80с.
ISBN 978-5-9729-0170-8
         В работе применена скалярно-параметрическая форма описания ортогональных проекций геометрических фигур. Математический аппарат базируется на методах аналитической геометрии, которым ставятся в соответствие традиционные графические алгоритмы как представления геометрических объектов различных классов, так и решения позиционных и метрических задач.
         Рекомендуется студентам, аспирантам, преподавателям технических вузов, научным сотрудникам и инженерам-конструкторам, работающим в области кибернетизации инженерной графики при разработке графических пакетов на разных языках программирования, а также при решении задач САПР- визуализации геометрических объектов и обработки деталей на металлорежущем оборудовании с ЧПУ.


УДК 621.81(075)
ББК 34.42я73










© Нартя В.И., автор, 2018
© Издательство «Инфра-Инженерия», 2018


   ISBN 978-5-9729-0170-8

ПРЕДИСЛОВИЕ


      В последнее время наметилась тенденция дополнять чертёж аналитическим описанием и, следовательно, предполагая известными основные понятия геометрии, геометрические факты записывать в виде соотношений между координатами. Это дает возможность разрабатывать различные математические модели отображения пространства на плоскость и, затем, программное обеспечение для применения систем и средств автоматизированного выполнения чертежей.
      Идея «строгого» соответствия графического и численно-аналитического представления, а также оценки состава изображений объектов пространства при ортогональном проецировании на две или три взаимно-перпендикулярные плоскости проекций была предложена в свое время ещё основателем метода -Г. Монжем, который небезосновательно считал наиболее перспективным приёмом использование аппарата Р. Декарта. Эту идею автор учебного пособия реализовал, используя скалярно-параметрическую форму описания проекций, как основную при разработке математических моделей изображений плоских и трехмерных объектов. Основные достоинства такого подхода:
      - численно читается каждая проекция объекта в отдельности, т.е. достигается расчленение в аналитическом описании по изображениям;
      - при конструировании поверхностей описываются одновременно два каркаса линий, обеспечивающие как полноту задания, так и наглядность (при переходе к аксонометрическим проекциям);
      - упрощается решение задач позиционного и метрического характера (по сравнению с другими формами аналитического описания);
      - достигается простота разработки блок-схем, а также алгоритмов представления изображений на выбранном языке программирования.

                                   Автор приносит глубокую благодарность докт. техн. наук, проф. Исагулову А.З., докт. техн. наук, проф. Кузембаеву С.Б.
          и доцентам, канд. техн. наук - Синчукову А.Н., Цой С.М. за оказанную организационную и техническую помощь при подготовке рукописи к изданию.


3

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА

А. Обозначение геометрических фигур
1. Геометрическая фигура обозначается - Ф.
2. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:
     А,В, С, D, ...
, „ ¹,²,³,_⁴, •••  ________ _     _____         _    ____ ....       „
3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекции, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:
     a, b, c, d, ...
     Линии уровня обозначаются
     h - горизонталь;
     v - фронталь;
     w - профильная прямая (профиаль).
     Для прямых используются также следующие обозначения:
     (АВ) - прямая, проходящая через точки АиВ;
     [АВ) - луч с началом в точке А;
     [АВ] - отрезок прямоИ, ограниченный точками АиВ.
4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:
     а, Р, у, S, ...
Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, иногда указываются геометрические элементы, которыми они определяются.
5. Углы обозначаются:
     Z АВС - угол с вершиноИ в точке В или Z а°, Z Р°, Z у°, .
6. Расстояния между элементами пространства обозначаются двумя вертикальными отрезками | |. Например:
     |  АВ| - расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ);
     |  А а | - расстояние от точки А до линии a;
     |  Аа | - расстояние от точки А до поверхности а;
     |  ab |- расстояние между линиями а и b;
     |аР|- расстояние между поверхностями аир.
7. Угловая величина (градусная мера) обозначается знаком л , которыИ ставится над углом:
     АВС - величина Z АВС;
     ф° - величина Z ф°.
ПрямоИ угол отмечается квадратом с точкоИ внутри - h_.
8. Для координатных плоскостеИ проекциИ приняты следующие обозначения: ■',',W'b-:
     V - фронтальная плоскость проекциИ;
     Н - горизонтальная плоскость проекциИ;
     W - профильная плоскость проекциИ.

4

При замене плоскостей проекций новую плоскость обозначают той же буквой, что и плоскость, которую она заменила, с добавлением подстрочного индекса:
     H^W^V,™
9. Оси проекций обозначаются: х, у, z,
     где х - ось абсцисс;
     у - ось ординат;
     z - ось аппликат.
Точка пересечения осей проекций обозначается буквой О.
10. Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса А', А", А'" или 1', 1", 1"', соответствующего плоскости проекций, на которой они получены:
     А', В', С ',D', ... - горизонтальные проекции точек;
     А'', В'', С'', D'', ...- фронтальные проекции точек;
     А''', В''', С''', D''', ..- профильные проекции точек;
     a', b', c',d ', ... - горизонтальные проекции линий;
     a", b", c", d ", ... - фронтальные проекции линий;
     a"', b"', c"', d"', ...- профильные проекции линий;
     ц', Р', у',5', ...- горизонтальные проекции поверхностей;
     ц", Р'', у'', S'', ...- фронтальные проекции поверхностей;
     ц''', р''', у'», д'», .- профильные проекции поверхностей.
11. Следы поверхностей обозначаются той же буквой, что и поверхность, с добавлением подстрочного индекса н, V, W, указывающего плоскость проекции, на которой находится след.
     Так: цн - горизонтальный след поверхности ц;
     цV - фронтальный след поверхности ц.
12. Следы прямых обозначаются той же буквой, что и прямая, с добавлением подстрочного индекса н, v, w, указывающего плоскость проекции, на которой находится след.
     Так: ан - горизонтальный след прямой a;
     aV - фронтальный след прямой a.
13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами ₁, ₂, ₃, • • • , п:

     А1, А2, А3, ..., Ап;

     a1, a2, a3, ••., an;
     аь «2, аз, ... , цп;
     ФьФ²,®³,     ®,..                                  _____
Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом о: Ао, Во, Со, .

5

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами:
     = - совпадают, равны, результат действия;
     s - конгруэнтны;
     --- подобны;
     || - параллельны;
     — - скрещиваются;
     ± - перпендикулярны;
     0 - пустое множество;
     е - принадлежит, является элементом (для точки);
     с - включает, содержит (большее множество включает множество меньшей мощности);
     U - объединение множеств;
     А - пересечение множеств.

6

ГЛАВА 1. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ, ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ И ИХ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ


     § 1. Точка

     Операцию введения на чертеже осей координат называют арифметизацией эпюра Монжа (рис. 1.1-1.3).

х А’=А" о = А"' У

Рис. 1.3

     Горизонтальная проекция А' точки А определяется координатами ХА, YA, фронтальная: А'' — ХА, 2А, профильная: А''' — Y^ 2А.


     § 2. Прямая линия
     Прямую линию и каждую ее проекцию можно рассматривать как одномерное (однопараметрическое) множество точек. Точка же — нульмерное множество.
     Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций.


Рис. 1.4                                   Рис. 1.5

7

     Горизонтальная проекция a' прямой а (рис. 1.4 и 1.5) описывается параметрическими выражениями:
x = t₁ cos ф₁° + db                    (1)
y = ti sin Ф1°;
фронтальная - а":
x = t₂ cos ф₂° + d₂,                   (2)
z=t₂ sin ф₂°.
     Координаты точек профильной проекции аможно определить, исключив в выражениях (1) и (2) абсциссу х:
уМ^шфЛ                                 (3)
z = t2 sin ф2°.
     В выражениях (1, 2, 3) t₁ и t₂ - переменные параметры, определяющие длины отрезков на проекциях а 'и а "отточек a 'ᵥ и а "н соответственно; ф1°, ф2° - углы между проекциями прямой а и осью абсцисс, взятые против хода часовой стрелки от оси х для а' и по ходу - для а" (рис. 1.5); d₁ и d₂ - абсциссы точек а'ᵥ и а"н пересечения проекций а' и а" с осью х. Переменные параметры t1 и t₂ для отрезков прямых, расположенных в первом октанте, принимают значения 0 < t1, t₂ < N; углы ф1° и ф2° могут быть зафиксированы в пределах 0° < ф₁°, ф₂° < л.
     Координаты проекций произвольных точек на прямой а, например, точки В, определяются из выражений (1), (2) после задания хотя бы одной координаты:

     Возможны также и другие способы параметрического задания прямой, которые рассмотрены в главе 3.
     Следы прямой - точки пересечения (встречи) с плоскостями проекций:
     а)       горизонтальный след ан = а ПН при t₂ = 0 определяется координатами: X = d2, Y = (d2 -d1)tg91°, Z = 0;
     б)      фронтальный след аᵥ = а nV (t₁ = 0):X = d₁, Y = 0, Z = (d₁ - d₂)tg ф₂°;
     в)       профильный след аw = а nW (на рис. 1.4, 1.5 не показан): Y = -d₁ tg ф₁°, Z = -d2 tg ф₂° при условии X=0.

8

     Прямые линии частного положения - линии уровня, параллельные какой-либо одной плоскости проекций, и проецирующие, перпендикулярные к одной из плоскостей проекций.

Рис. 1.7

      'Параметрическое задание проекций прямых частного положения упрощается и сводится, например, для горизонтали (рис. 1.6, 1.7) к виду:

h' -

x = t₁ cos ф₁° + d₁, у = ti sin ф1°;

h" -

х= t₂;

h--

у = ti sin Ф1 z = Zₕ.

z Z h,

°
,

     А для фронтально-проецирующей прямой l (рис. 1.8, 1.9): х = X ₗ, у = t₁, z = Zi .

     Аналогично могут быть описаны в параметрической форме проекции других прямых частного положения.

9

     Определение параметров di, ф1° по координатам ХА, YA, Хв, YB точек А', В', задающих горизонтальную проекцию прямой (A'B'), основано на использовании свойств подобия прямоугольных треугольников (рис. 1.10):

~ Хв

di =

ybxa

Ya

yb

ya

Y - Y yb ya

Рис. 1.10

о
я - ^i = arctg

Xa - Хв

a

—

     Аналогично можно определить d2, ф₂° и затем записать параметрические выражения (1)-(3) проекций прямой а.


    § 3. Плоскость

     На чертеже плоскость можно представить как однопараметрическое множество прямых, заполняющих её. Это множество получим, непрерывно перемещая, например, горизонтальный след a н плоскости a параллельно самому себе вдоль фронтального следа aᵥ (рис. 1.11).
     В таком случае параметрическое задание множества горизонтальных проекций горизонталей будет иметь вид

x = t₁cos^₁° + d i,                    (4)
у = t₁ sin ф1°,
где di - переменный параметр. Определенной проекции горизонтали hi' необходимо поставить в соответствие отметку по вертикали zh и, таким образом, при х = varia выделить множество фронтальных проекций горизонталей. Отметка zh определяется из предыдущего выражения (4) и параметрического уравнения фронтального следа a ᵥ -

x = t₂cosф₂° + d, z =t₂ sin ф₂°.
     Если в выражении (4) принять t1 =0:
z h = (di - d) tg ф2°.

(5)



(6)

10