Классическая электродинамика. Электромагнитные волны. Четырехмерная электродинамика

 
 
 
 
Â. È. ßêîâëåâ 
 
 
ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÀß 
ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 
 
ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÛÅ ÂÎËÍÛ. 
×ÅÒÛÐÅÕÌÅÐÍÀß ÝËÅÊÒÐÎÄÈÍÀÌÈÊÀ 
 

Ó÷åáíîå ïîñîáèå 

Èçäàíèå âòîðîå, èñïðàâëåííîå è äîïîëíåííîå 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-2023 

537+538 
22.313 
 
- 
 
 
 
– 2-– -– ISBN 978-5-9729-1301-5 
 

-. 
 
537+538 
22.313 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9729-1301-5 2023 
 
- 
-

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 7.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
. . . . . . .
11
7.1.
Свободное электромагнитное поле.
Волновое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
7.2.
Плоские волны. Основные соотношения
. . . . . . . . . .
13
7.3.
Пример плоской волны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
7.4.
Уравнения Максвелла для монохроматических процессов
20
7.5.
Монохроматическая плоская волна:
поля, волновой вектор,
фазовая скорость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
7.6.
Монохроматическая плоская волна:
поляризация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
7.7.
Отражение и преломление электромагнитной волны на
границе раздела двух сред . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
7.8.
Формулы Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
7.9.
Характерные особенности процесса
отражения-преломления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
7.10. Просветление оптики.
О диэлектрических зеркалах . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
7.11. Предварительно о монохроматической сферической волне 49
7.12. Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51

Глава 8.
ФУРЬЕ-РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО 
ПОЛЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
8.1.
Формулы преобразования Фурье . . . . . . . . . . . . . . .
54
8.2.
Некоторые характерные случаи фурье-преобразования
.
58

Оглавление

8.3.
Соотношение неопределённости
. . . . . . . . . . . . . . .
63
8.4.
О физическом содержании соотношения неопределённости 72
8.5.
Спектр случайного процесса . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
8.6.
Преобразования Фурье для функций четырёх переменных. 
Уравнения Максвелла в фурье-представлении . . . .
79
8.7.
Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86

Глава 9.
ДИСПЕРСИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 89
9.1.
Краткий обзор электромагнитных свойств различных сред
и их механизмов дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
9.2.
Классическая электронная теория
дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
9.3.
Дисперсия и волновой пакет . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
9.4.
Метод стационарной фазы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.5.
О затухании и усилении электромагнитной волны в среде 110
9.6.
Задачи к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Глава 10.
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ. РЕЗОНАТОРЫ. ВОЛНОВОДЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116
10.1. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2. Стоячие волны при отражении от стенки конечной проводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
119
10.3. Два примера электромагнитных волн в ограниченных
областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
10.4. Резонаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.5. Вынужденные колебания полей в щелевом резонаторе с
потерями
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.6. Волноводы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.7. Волновод с прямоугольным поперечным сечением
. . . . 140
10.8. ТЕМ-волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.9. Задачи к главе 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Глава 11.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА . . . . . . . . .
152
11.1. Вводные замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11.2. Уравнение эйконала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.3. Пример прохождения волны в!неоднородное полупространство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
158
11.4. Второе приближение геометрической оптики для конкретного 
примера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Оглавление
5

11.5. Световые лучи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.6. Примеры применения уравнения луча
. . . . . . . . . . . 168
11.7. Принцип Ферма
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.8. Гомоцентричность и астигматизм оптического пучка. Фокальные 
линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.9. Мнимое изображение, создаваемое тонкой призмой . . . . 180
11.10. Преломление луча на сферической поверхности. Парак-
сиальное приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.11. О критерии параксиальности . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.12. Центрированные оптические системы . . . . . . . . . . . . 195
11.13. Тонкая линза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
11.14. Кардинальные элементы оптической системы . . . . . . . 202
11.15. Оптическая система глаза
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
11.16. Оптические инструменты, вооружающие глаз . . . . . . . 211

Глава 12.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ
ВОЛН
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
12.1. О природе интерференции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
12.2. Интерференция монохроматического
света . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.3. Первый шаг в сторону от монохроматической идеализации227
12.4. Квазимонохроматичность и когерентность . . . . . . . . . 229
12.5. Опыт Юнга. Качественное рассмотрение. Продольный
размер когерентности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
12.6. Опыт Юнга. Количественный анализ . . . . . . . . . . . . 237
12.7. Влияние размеров источника на интерференционные явления. 
Поперечный размер когерентности . . . . . . . . . 240
12.8. Корреляционная функция стационарного случайного волнового 
поля и её роль в явлении интерференции
. . . . . 246
12.9. Апертура интерференции и условие применимости протяжённого 
источника
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.10. Интерференция на тонкой плёнке. Локализация интерференционных 
полос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.11. Задачи к главе 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Глава 13.
ДИФРАКЦИЯ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
13.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
13.2. Математическая постановка задачи дифракции и при-
ближённые граничные условия Кирхгофа
. . . . . . . . . 275

Оглавление

13.3. Решение задачи дифракции методом разложения на плоские 
волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
13.4. Принцип Гюйгенса-Френеля.
Интеграл Кирхгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
13.5. Зоны Френеля. Зонная пластинка . . . . . . . . . . . . . . 290
13.6. Вывод интеграла Кирхгофа
. . . . . . . . . . . . . . . . . 295
13.7. Интеграл Кирхгофа
для цилиндрических волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
13.8. Приближения Френеля и Фраунгофера . . . . . . . . . . . 303
13.9. Примеры дифракционных картин Фраунгофера . . . . . . 307
13.10. Пример дифракционной картины
Френеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
13.11. Дифракционные решётки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
13.12. Дифракционная решётка как спектральный прибор
. . . 327
13.13. Интерферометр Фабри-Перо . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.14. Задачи к главе 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

Глава 14.
ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
339
14.1. Волновое уравнение для скалярного и векторного потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
339
14.2. Запаздывающие потенциалы . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
14.3. Мультипольное разложение для запаздывающих потенциалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
343
14.4. Примеры электромагнитных полей
от гармонических источников
. . . . . . . . . . . . . . . . 348
14.5. Дипольное излучение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
14.6. Магнитно-дипольное и квадрупольное излучения . . . . . 358
14.7. Излучение антенны
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
14.8. Интерференционный способ управления диаграммой направленности 
антенн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
14.9. О физическом механизме возникновения показателя преломления 
электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . 375
14.10. Рассеяние электромагнитных волн
. . . . . . . . . . . . . 379
14.11. Рассеяние свободными зарядами . . . . . . . . . . . . . . . 381
14.12. Задачи к главе 14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

Оглавление
7

Глава 15.
СФЕРИЧЕСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

391
15.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
15.2. Электромагнитные мультипольные поля (осесимметричный 
случай) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
15.3. Сферическая стоячая волна.
Сферический резонатор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
15.4. Замкнутая задача излучения антенны
. . . . . . . . . . . 400

Глава 16.
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 
И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
. . . . . . . . . . . . .
408
16.1. Постулаты Эйнштейна. Инвариантность интервала.
Преобразование Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
16.2. Четырёхмерное пространство Минковского. Четырёхмер-
ные тензоры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
16.3. Метрический тензор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
16.4. Ковариантность уравнений электродинамики . . . . . . . 419
16.5. Поле равномерно движущегося заряда . . . . . . . . . . . 421
16.6. Тензор электромагнитного поля. Ковариантный вид уравнений 
Максвелла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
16.7. Ковариантная форма уравнения движения материальной 
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16.8. Преобразование Лоренца для поля
. . . . . . . . . . . . . 427
16.9. Инварианты поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
16.10. Ковариантность выражения для силы Лоренца и законов
сохранения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
16.11. Четырёхмерный волновой вектор. Эффект Доплера . . . 436

Глава 17.
ИЗЛУЧЕНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЗАРЯДОВ439
17.1. Потенциалы Лиенара-Вихерта . . . . . . . . . . . . . . . . 439
17.2. Поля движущегося заряда
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
17.3. Четырёхвектор энергии-импульса излучения релятивистской 
частицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
17.4. Угловое распределение излучения . . . . . . . . . . . . . . 453
17.5. Физический смысл мощности излучения . . . . . . . . . . 456
17.6. Торможение излучением
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
17.7. Сила торможения и баланс
энергии-импульса при излучении
. . . . . . . . . . . . . . 464

Оглавление

17.8. Сила торможения излучением для
заряда, движущегося в заданном
электромагнитном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
17.9. Излучение заряда, движущегося в однородном электрическом 
поле при v∥E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
17.10. Синхротронное излучение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

Библиографический список
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
481

Предисловие

Вторая часть книги представляет собой переработанный вариант частей 
2 и 3 учебного пособия по курсу электродинамики, выпущенных
Редакционно-издательским центром Новосибирского государственного
университета в 2009г. (часть 2) и 2014г. (часть 3) для студентов физического 
факультета. Книга посвящена волновым процессам, включая
элементы волновой оптики, и основную её часть составляет последовательное 
рассмотрение «конструкции» электромагнитных волн, законов
их распространения в пустоте и в материальных средах с простейшими
свойствами, включая приближение геометрической оптики. Рассматриваются 
интерференция, дифракция, излучение и рассеяние электромагнитных 
волн.
Основная часть этой книги (главы 7—14) написана как пособие для
первоначального изучения основ теории волновых процессов в электродинамике 
и опирается на полную систему уравнений Максвелла с
токами смещения. Для описания монохроматических процессов используется 
комплексное представление физических величин. Требуемые для
изучения данного материала математические знания не выходят за пределы 
стандартного курса математического анализа и простейших дифференциальных 
уравнений. Решения для всех встречающихся дифференциальных 
уравнений в частных производных получаются по ходу
изложения материала.
Считая, что понимание теории необходимо и для экспериментальной 
работы, автор стремился сделать изложение по возможности доступным, 
следя за последовательностью и отсутствием логических пробелов 
в цепочках рассуждений. Этой же цели служит использование
специальных необщепринятых обозначений типа ˆf, ˆE (со «шляпками»)
для выделения комплексных амплитуд соответствующих физических
величин. Все главы этой основной части книги (кроме главы по геометрической 
оптике) снабжены небольшим количеством задач (с соответствующими 
подсказками) для самостоятельной работы.

Предисловие

Последние три главы (главы 15—17) содержат более специальный
материал, требующий для освоения большую предварительную подготовку. 
При первом чтении эти главы можно опустить и обратиться к
ним после полноценного освоения основной части курса (или при возникновении 
практической необходимости).
Первая из названных глав возникла из желания привычные решения 
уравнений Максвелла в виде монохроматических плоских волн дополнить 
осесимметричными векторными мультиполями, задаваемыми в
сферических координатах. Тем самым класс решаемых волновых задач
расширяется за счёт включения областей со сферическими границами.
Это позволило продемонстрировать формулировку замкнутой задачи
излучения для простейшей сферической антенны и тем облегчить изложение 
вопроса об излучении антенны, подчеркнув приближённость
обычно применяемого подхода. Это же дало возможность рассмотреть
сферический резонатор и изучить его осесимметричную моду.
В последних двух главах конспективное изложение специальной теории 
относительности Эйнштейна завершается релятивистским обобщением 
электродинамики. Особое внимание уделено излучению релятивистских 
частиц. Исключив неявное отождествление мощности излучения 
и скорости потери энергии частицы за счёт излучения, встречающееся 
в учебной литературе, здесь удалось существенно упростить описание 
процесса, элементарно построив баланс энергии-импульса при излучении 
частицы. Независимыми компонентами этого баланса являются
мощность излучения, скорость потери энергии частицей и скорость передачи 
энергии буферному полю. При этом в процессе четырёхмерного
обобщения баланса попутно получается наглядный вывод формулы для
силы торможения излучением релятивистского заряда.

Для данного издания определяющую роль сыграла инициатива проф.
В. Г. Сербо. В процессе написания книги автору сильно помогла моральная 
поддержка со стороны руководства как ИТПМ им. С. А. Христиано-
вича СО РАН в лице акад. В. М. Фомина и проф. А. М. Оришича, так и
кафедры общей физики НГУ (проф. А. Г Погосов). Критические замечания 
и пожелания по книге, высказанные проф. Г. Л. Коткиным, способствовали 
устранению замеченных шероховатостей изложения. Всем
им я искренне признателен. Благодарю аспиранта физического факультета 
НГУ Р. Галева за помощь в создании иллюстраций.

Глава 7

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ
ВОЛНЫ

До сих пор (в ч. 1 учебного пособия) мы ограничивались рассмотрением 
электрического и магнитного полей либо стационарных, либо
квазистационарных, удовлетворяющих уравнениям Максвелла без токов 
смещения. Такие поля всегда связаны с создающими их источниками 
в виде зарядов и токов и в отсутствие источника не существуют.
Теперь мы переходим к изучению полей, для которых токи смещения
приобретают определяющее значение. В частности, при наличии токов
смещения поля могут существовать и в отсутствие токов и зарядов. Это
— электромагнитные волны. В данной главе мы рассмотрим так называемые 
плоские волны и те физические вопросы, которые разрешаются
с использованием этой идеализированной модели.

7.1. Свободное электромагнитное поле.
Волновое уравнение

Ещё Максвелл обратил внимание, что полученная им система уравнений 
допускает существование свободного электромагнитного поля, не
связанного ни с какими токами или зарядами. Токи и заряды могут порождать 
электромагнитное поле, которое сколь угодно далеко может
оторваться от породивших это поле источников и существовать в виде

Глава 7. Электромагнитные волны

электромагнитной волны. Эти поля описываются однородными уравнениями 
Максвелла (без зарядов и токов), которые для вакуума имеют
вид

rot E = −1

c
∂B
∂t
(1),
div B = 0
(2),

rot B = 1

c
∂E
∂t
(3),
div E = 0
(4).

(7.1)

Эта замкнутая система получена из уравнений (6.16) исключением ρ, j,
заменой D и H на E, B, что для вакуума справедливо из-за ε = 1, μ = 1.
Так как в последующем нам придётся рассматривать электромагнитные 
волны и в материальных средах (непроводящих), начнём с уравнений, 
справедливых в общем случае

rot E = −1

c
∂B
∂t ,
div B = 0,

rot H = 1

c
∂D
∂t ,
div D = 0.

(7.2)

Но эти уравнения незамкнуты. В случае статических полей они замыкались 
материальными уравнениями D = εE, B = μH. Хотя в произвольно 
меняющихся со временем и в пространстве полях эти соотношения
несправедливы, для вопросов, обсуждающихся в книге, ими можно свободно 
пользоваться, внося непринципиальные уточнения, учитывающие
так называемую частотную дисперсию.
Таким образом, однородную систему уравнений Максвелла для общего 
случая непроводящей среды, характеризующейся проницаемостями 
ε = const, μ = const, мы представим в виде

rot E = −μ

c
∂H
∂t
(1),
div H = 0
(2),

rot H = ε

c
∂E
∂t
(3),
div E = 0
(4).

(7.3)

Начнём с того, что, исключив из этой системы одну из переменных
(E или H), для второй получим уравнение, которое называется волновым 
уравнением. Например, подействуем оператором rot на первое из
уравнений (7.3) и в правую часть получившегося равенства подставим
уравнение (3):

rot rot E = −μ

c
∂
∂t rot H = −εμ

c2
∂2E
∂t2 ;

7.2. Плоские волны. Основные соотношения
13

воспользовавшись теперь инвариантным определением лапласиана векторного 
поля ΔE = grad div E − rot rot E и условием div E = 0, получим

ΔE = εμ

c2
∂2E
∂t2 .
(7.4)

Это и есть волновое уравнение для поля E. Здесь необходимо обратить
внимание на следующее: хотя при выводе волнового уравнения использовалось 
условие div E = 0, отсюда вовсе не следует, что любое решение 
уравнения (7.4) удовлетворяет этому дополнительному требованию.
Поэтому векторное волновое уравнение мы везде будем сопровождать
необходимым условием и записывать в виде пары

ΔE = εμ

c2
∂2E
∂t2 ,
div E = 0.
(7.5)

Аналогичные действия можно повторить и получить точно такие же
уравнения для поля H

ΔH = εμ

c2
∂2H
∂t2 ,
div H = 0;
(7.6)

следует только при этом помнить, что если одно из полей получается с
использованием волнового уравнения, то другое должно определяться
из соответствующего уравнения первого порядка Максвелла. Иными
словами, произвольные независимые решения систем уравнений (7.5),
(7.6) не удовлетворяют первоначальным уравнениям (7.1), (7.3).

7.2. Плоские волны. Основные соотношения

Рассмотрим простейший частный случай электромагнитных волн
(так называемые плоские волны), в котором поля зависят лишь от одной 
пространственной координаты (например, z) и времени:

E = E(z, t),
H = H(z, t).
(7.7)

1. Покажем, что в волне (7.7) электрическое и магнитное поля не
имеют z-компонент и, кроме того, направление распространения волны
связано с осью z. Эти два утверждения составляют одно из основных
свойств рассматриваемой волны —поперечность плоской электромагнитной 
волны.

Глава 7. Электромагнитные волны

Первое утверждение докажем на примере поля E, заметив, что z-
компонента уравнения (3) и скалярное уравнение (4) системы (7.3)

∂Hy
∂x − ∂Hx

∂y
= ε

c
∂Ez
∂t ,
∂Ex
∂x + ∂Ey

∂y + ∂Ez

∂z = 0

в случае (7.7) сводятся к соотношениям ∂Ez/∂t = 0, ∂Ez/∂z = 0, т. е. к
условию Ez = E0 = const . Но такое неизменное во времени однородное
поле отношения к волне не имеет. Следовательно, в волне можно положить 
Ez = 0. Аналогичный результат для поля H получается из рассмотрения 
уравнений (1), (2) системы (7.3). Таким образом, в рассматриваемой 
плоской волне (7.7) электрическое и магнитное поля имеют
только перпендикулярные к выделенному направлению z компоненты,
т. е.
E = E⊥(z, t),
H = H⊥(z, t),
Ez = 0,
Hz = 0.
(7.8)

Для доказательства второго утверждения заметим, что каждая из
ненулевых компонент полей (7.8), как следует из уравнений (7.5), (7.6),
удовлетворяет одномерному скалярному волновому уравнению

∂2f
∂z2 = εμ

c2
∂2f
∂t2 .
(7.9)

Общее решение (7.9), как легко убедиться, складывается из двух независимых 
произвольных распределений, перемещающихся вдоль и против
оси z без изменения формы со скоростью

u =
c
√εμ.
(7.10)

То есть общее решение уравнения (7.9) представляется суммой

f = f1(z − ut) + f2(z + ut),
(7.11)

где f1(ξ1), f2(ξ2) — произвольные функции от своих аргументов ξ1 =
z−ut, ξ2 = z+ut. В этом убеждают значения соответствующих вторых
производных

∂2fi
∂z2 = d2fi

dξ2 ,
∂2fi
∂t2 = (±u)2 d2fi

dξ2
(i = 1, 2)

для каждого из слагаемых решения (7.11). Отсюда понятно, что выделенная 
в (7.7) координата z действительно связана с направлениями

7.2. Плоские волны. Основные соотношения
15

распространения рассматриваемых волн. Следовательно, соотношения
(7.8) означают, что электрическое и магнитное поля E, H в плоской
волне перпендикулярны к направлению ее распространения, т. е. плоская 
волна является поперечной.
2. Связь между полями E и H в волне. Рассмотрим одну из
этих волн, например, бегущую в положительном направлении оси z.
В такой волне все величины являются функциями только от ξ = z −ut:

E = E(ξ),
H = H(ξ)
(7.12)

(индексы ⊥, отмечающие перпендикулярность, здесь опускаем, чтобы
не загромождать последующие формулы необязательными деталями).
Если E(ξ), к примеру, произвольная функция, то H(ξ) уже не может являться 
произвольной; она определяется из первого уравнения системы
(7.3). Подставив сюда значения

rot E(ξ) = [grad ξ × dE

dξ ] = [ez × dE

dξ ] = d

dξ [ez × E(ξ)],

∂H(ξ)

∂t
= dH(ξ)

dξ
∂ξ
∂t = −udH

dξ ,

следующие из выражений (7.12), получим

d
dξ [ez × E] = μ

c udH

dξ .

Отсюда после интегрирования, подстановки значения u из определения
(7.10) и замены ez на единичный вектор n по направлению распространения 
волны приходим к искомому результату

H =
ε

μ[n × E].
(7.13)

Видно, что по величине векторы E, H в каждой точке пространства и
в каждый момент времени связаны соотношением

εE2 = μH2,
(7.14)

согласно которому плотности энергии электрического и магнитного полей 
между собой равны, так что суммарная плотность энергии электромагнитного 
поля в волне

w = 1

4π εE2 = 1

4π μH2.
(7.15)

Глава 7. Электромагнитные волны

x

y

z
O
S
nE
H
x
n
H
E
S
z

y

Рис. 7.1

Из соотношения (7.13) видно, что поля E и H в плоской волне не
только перпендикулярны к направлению распространения, но они ещё
перпендикулярны друг к другу (рис. 7.1). Причём в каждой точке пространства 
они расположены так, что направление вектора Пойнтинга

S = c

4π [E × H] = c

4π

ε

μE2n = c

4π

μ

ε H2n
(7.16)

совпадает с направлением распространения волны. С использованием 
соотношения (7.15) для плотности энергии предыдущее выражение
можно представить в виде

S =
c
√εμwn,
(7.17)

т. е. энергия переносится со скоростью (7.10) распространения волны,
которая в случае вакуума равна c. В этой связи здесь уместно напомнить, 
что константа c, входящая в уравнения Максвелла, до сих пор рассматривалась 
как электродинамическая постоянная. Теперь мы убеждаемся, 
что эта константа на самом деле представляет собой фундаментальную 
физическую величину — скорость распространения электромагнитных 
волн (скорость света) в пустоте.

7.3. Пример плоской волны

Продемонстрируем порождение плоской электромагнитной волны
простейшей структуры источником в виде стороннего поверхностного
тока, действующего в течение конечного промежутка времени.