Классическая электродинамика. Электричество и магнетизм

В. И. Яковлев



КЛАССИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

Учебное пособие


Издание второе, исправленное и дополненное












Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

  УДК 537+538
  ББК 22.313
        Я47

Рецензент:
д. ф.-м. н., заведующий кафедрой общей физики Новосибирского государственного университета А. Г. Погосов




        Яковлев, В. И.
  Я47     Классическая электродинамика. Электричество и магнетизм :
        учебное пособие / В. И. Яковлев. - 2-е изд., испр. и доп. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 360 с. : ил., табл.
           ISBN 978-5-9729-1300-8

           Рассмотрены вопросы электростатики и магнитостатики. Содержится переход к исследованию нестационарных полей с введением системы уравнений Максвелла. Представлены нестационарные процессы в квазистационарном приближении.
           Для студентов технических специальностей с углублённым изучением физики и математики, а также инженерно-технических работников.



УДК 537+538
ББК 22.313











   ISBN 978-5-9729-1300-8 © Яковлев В. И., 2023

                       © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                       © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

                Оглавление





   Предисловие ......................................... 7

Глава 1.       ЭЛЕКТРОСТАТИКА                              9
   1.1. Закон Кулона ................................... 9
   1.2. Принцип суперпозиции .......................... 11
   1.3. Электрический потенциал........................ 13
   1.4. Поток вектора E. Теорема Гаусса................ 16
   1.5. Теорема Гаусса для симметричных распределений зарядов 20
   1.6. Основное уравнение электростатики...............25
   1.7. Общее решение уравнения Пуассона в безграничном пространстве. Дельта-функция Дирака ..................27
   1.8. Силовые линии электрического поля...............29
   1.9. Граничные условия для поля E....................33
   1.10. Проводник в электрическом поле.................36
   1.11. О некоторых частных решениях уравнения Лапласа.
       Пример математической постановки физической задачи . 37
   1.12. Стандартные задачи электростатики. Единственность решения................................43
   1.13. Метод изображения в задачах электростатики.....45
   1.14. Мультипольное разложение.......................50
   1.15. Энергия взаимодействия электрических зарядов. Диполь во внешнем электрическом поле.........................58
   1.16. Плотность энергии электрического поля..........61
   1.17. Полиномы Лежандра в решениях уравнения Лапласа ... 66
   1.18. Мультипольное разложение для осесимметричного распределения зарядов.................................71
   1.19. Задачи к главе 1...............................75

Глава 2.       ДИЭЛЕКТРИКИ                              78

Оглавление

   2.1. Предварительные соображения. Вектор поляризации. Электрическое поле в среде............................78
   2.2. Свободные и связанные заряды. Вектор индукции.
       Система уравнений для поля в диэлектрике. Граничные условия..........................................80
   2.3. Об электрическом поле в однородном диэлектрике..84
   2.4. Диэлектрический шар в однородном электрическом поле . 86
   2.5. Первый вывод соотношения рсв = - div P..........89
   2.6. Два типа диэлектриков. Оценки величин...........90
   2.7. Второй вывод соотношения рсв = - div P..........94
   2.8. Формулы Клаузиуса—Моссотти......................96
   2.9. Энергия электрического поля в диэлектрике.......98
   2.10. Силы, действующие на диэлектрик...............101
   2.11. Примеры использования принципа виртуальных перемещений для определения поверхностных сил..............108
   2.12. Сведение объёмных сил к натяжениям............111
   2.13. Тензор натяжений электрического поля..........117
   2.14. Задачи к главе 2..............................121

Глава 3.       ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК                        124
   3.1. Плотность тока.................................124
   3.2. Закон сохранения заряда. Уравнение непрерывности........................................128
   3.3. Закон Ома. Проводимость металлов. Условие применимости закона Ома......................129
   3.4. Закон Джоуля—Ленца.............................134
   3.5. Электрические цепи. ЭДС. Законы Кирхгофа ......135
   3.6. Граничные условия для полей при наличии тока...139
   3.7. Об аналогии и характерном отличии между полями в диэлектриках и проводниках ........................140
   3.8. Релаксация зарядов в среде.....................145
   3.9. Ток в газе и жидкости. Подвижности ионов и электронов. Несамостоятельный разряд в    газе...................146
   3.10. Несамостоятельный разряд между двумя параллельными электродами..........................................150
   3.11. Ток в вакууме. Закон 3/2......................157
   3.12. Задачи к главе 3..............................161

Глава 4.       МАГНИТНОЕ ПОЛЕ                           164

Оглавление

5

   4.1. Взаимодействие постоянных токов.Магнитное поле. Сила Лоренца..............................................164
   4.2. Закон Био-Савара. Принцип суперпозиции. Системы
       единиц ..........................................166
   4.3. Вектор-потенциал магнитного поля ...............169
   4.4. Уравнение для векторного потенциала и его общее решение в свободном пространстве.....................173
   4.5. Основные уравнения магнитного поля..............177
   4.6. Поток и циркуляция магнитного поля..............178
   4.7. Граничные условия и математическая формулировка
       задачи определения постоянного магнитного поля. Соленоид произвольного поперечного сечения.......182
   4.8. Об использовании векторного потенциала для описания
       магнитного поля..................................187
   4.9. Магнитное поле ограниченной системы токов на больших
       расстояниях (магнитный диполь)...................192
   4.10. Сила и момент сил, действующие на магнитный диполь во внешнем магнитном поле............................196
   4.11. Связь магнитного и механического моментов атомной системы..............................................202
   4.12. Прецессия магнитного момента. Магнитный резонанс . . . 204
   4.13. Задачи к главе 4...............................207

Глава 5.        МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В СРЕДЕ                  210
   5.1. Основные уравнения..............................210
   5.2. Доказательство соотношения jm = c rot M.........213
   5.3. Диа- и парамагнетики ...........................215
   5.4. Интегральные соотношения и граничные условия для поля в магнетиках ...................................219
   5.5. Примеры полей в присутствии намагничивающихся сред . 223
   5.6. О применении скалярного потенциала в задачах
       магнитостатики...................................227
   5.7. Коротко о ферромагнетиках ......................230
   5.8. Электромагниты и постоянные магниты.............235
   5.9. Задачи к главе 5................................241

Глава 6.        КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ                                          244
   6.1. Закон электромагнитной индукции.................245

Оглавление

   6.2. Максвелловская трактовка явления электромагнитной индукции. Первая пара уравнений Максвелла.............247
   6.3. Потенциалы электромагнитного поля ...............250
   6.4. Ток смещения. Вторая пара уравнений Максвелла .... 252
   6.5. Квазистационарное приближение ...................255
   6.6. Примеры вихревого электрического поля............263
   6.7. Сохранение магнитного потока. МК-генератор.......266
   6.8. Квазистационарные электромагнитные поля в объёмных проводниках. Диффузия поля ...........................269
   6.9. Периодические электромагнитные поля в объемных проводниках. Скин-эффект .............................277
   6.10. Энергия магнитного поля ........................282
   6.11. Коэффициенты взаимной индукции. Плотность энергии магнитного поля.......................................284
   6.12. Силы, действующие на проводники с током.........291
   6.13. Пондеромоторные силы магнитного поля............293
   6.14. Тензор натяжений магнитного поля ...............297
   6.15. Закон сохранения энергии электромагнитного поля. Поток энергии.........................................298
   6.16. Закон сохранения и плотность импульса электромагнитного поля.............................................304
   6.17. Задачи к главе 6................................308

Приложение А. Векторный анализ                           312
   А.1. Ортогональные системы координат..................312
   А.2. О разложении векторного поля. Комментарии по векторной алгебре.......................................317
   А.З. Скалярное поле. Градиент.........................322
   А.4. Векторное поле. Поток. Дивергенция.
       Теорема Остроградского-Гаусса.....................326
   А.5. Вычисление дивергенции в ортогональных координатах . . 329
   А.6. Циркуляция и ротор поля. Теорема Стокса............................................333
   А.7. Вычисление ротора в ортогональных координатах....336
   А.8. Оператор набла. Вторые производные. Производные от произведений......................................339

Приложение В. Международная система единиц (СИ)          346
   Международная система СИ..............................346
   Библиографический список..............................358

            Предисловие



   Книга, которую читатель держит в руках, представляет собой переработанный вариант части 1 учебного пособия по курсу классической электродинамики, выпущенного Редакционно-издательским центром Новосибирского государственного университета в 2003г для студентов физического факультета. Содержит электростатику, магнитостатику, полную систему уравнений Максвелла и завершается рассмотрением нестационарных электромагнитных процессов в квазистацио-нарном приближении.
   Изложение материала в книге соответствует традиции преподавания курса общей физики в НГУ, начало которой было положено академиком Г.И.Будкером и развитие получила в деятельности академиков Б.В.Чирикова, Д.Д.Рютова и чл.-кор. РАН И.Н.Мешкова. Эта традиция заключается в объединении привычного курса общей физики с элементами теоретической физики, что облегчает усвоение материала и способствует лучшему пониманию предмета. Это особенно проявляется при изучении полей в присутствии диэлектриков и намагничивающихся сред, когда в создании поля наряду с внешними источниками участвуют заряды и токи, возникающие в веществе, которые сами зависят от исследуемого поля.
   В связи со сказанным значительное внимание в книге уделено выработке первоначальных навыков использования теоретических средств для решения конкретных физических задач. С этой целью в книгу включены наборы частных решений уравнения Лапласа, получающихся разделением переменных в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат, и набор решений одномерного уравнения диффузии. Во все разделы курса внесён пункт, названный математической постановкой физической задачи, и приведены примеры построения решений с помощью частных решений соответствующих уравнений и других структурных элементов. В результате этого дифференциальные уравнения электродинамики и граничные условия, возникающие в ходе изложения предмета, должны, как полагает автор, перестать казаться простыми украшениями, а становиться эффективным рабочим инструментом, использование которого во многих случаях облегчает, а в большинстве случаев представляет единственную возможность получения физического результата. При этом не предполагается, что читатель обязательно владеет методами решения дифференциальных уравнений в частных производных. Для начала достаточно знаний по дифференциальному и интегральному исчислениям, включая основы

Предисловие

векторного анализа. С последним читатель столкнётся уже в первых параграфах книги. Всё последующее изложение также явно опирается на понятия, составляющие предмет векторного анализа, и поэтому достаточно свободное владение им является необходимым условием освоения данного курса. В книге содержится соответствующее Приложение, которым в случае необходимости можно воспользоваться для приобретения нужных навыков.
   Для данного издания в книгу внесены и другие добавления, предназначенные сделать книгу более доступной и пригодной для использования не только студентами классических университетов и технических высших учебных заведений с углублённым изучением математики и физики, но также для самостоятельного овладения простыми теоретическими методами исследования электромагнитных процессов. Этому должны способствовать приведенные в конце каждой главы задачи, предназначенные для самостоятельной работы.
   Изложение материала в книге проводится на основе гауссовой системы единиц. Её преимущества при описании электромагнитных процессов по сравнению с Международной системой единиц (СИ) хорошо освещены в § 85 широко известного учебника Д. В. Сивухина. В нём содержатся также краткие ответы по всем вопросам, связанным с переходами из одной системы единиц в другую, поэтому этот материал в книге воспроизведён в виде Приложения.
   Настоящее издание осуществляется по инициативе проф. В.Г.Сербо, за что я очень ему благодарен. Благодарю руководство Института механики им. С.А.Христиановича Сибирского Отделения РАН в лице директора академика В.М. Фомина и его заместителя проф. А.М. Оришича за создание оптимальных условий для работы над книгой. Я признателен сотруднику ИЯФ СО РАН Д.А. Максимову за помощь в создании иллюстраций.

Глава 1





                ЭЛЕКТРОСТАТИКА





            1.1. Закон Кулона



   Это — экспериментально установленный закон силового взаимодействия двух точечных заряженных тел, неподвижных относительно рассматриваемой системы, отсчёта, согласно которому

F12 =

q i q 2 r 12
2       ,
r22 r12

(1.1)

где F₁₂ — сила, действу'юшая на заряд q₂

со стороны заряда q 1, r 12 =

r₂ — r 1, r 1, r<2 — радиусы-векторы зарядов (рис. 1.1).

   Здесь закон Кулона записан в абсолютной гауссовой системе, в которой сила измеряется в динах, расстояние — в сантиметрах, а заряд — в гауссовых единицах. Единичный заряд в гауссовой системе это заряд, который на равный себе заряд, находящийся на расстоянии 1 см, дей


Рис. 1.1

ствует с силой в 1 дину. Представление об этой единице измерения даёт её сравнение с элементарным зарядом (зарядом электрона):


e = 4,8 • 10- ¹⁰абс. ед. = 4,8 • 10⁻ ¹⁰Г.


(Единицы измерения электрических величин в гауссовой системе в этой книге будут обозначаться либо записью «абс. ед.», либо символом Г.)

Глава 1. Электростатика

   Закон (1.1) утверждает, что заряды, находясь на расстоянии друг от друга, взаимодействуют между собой. Такое представление соответствует теории дальнодействия.
   Закон Кулона можно представить в другом виде, введя понятие электрического поля. Для этого следует считать, что заряд q₁ во всём окружающем пространстве создаёт электрическое поле (независимо от того, имеется в пространстве ещё какой заряд, или не имеется). Если же в это поле поместить заряд q2, то на него со стороны поля действует сила
F12 = q 2 Е i( г 2),               (1.2)


равная произведению величины заряда на напряжённость поля Е ₁( г) в месте расположения заряда, причём, как следует из формулы (1.1),


Еi(г 2) =

q 1 г 12
2      '
Г22 Г12


Таким образом, точечный заряд q, расположенный в точке с радиусом-вектором г о, создаёт в пространстве электрическое поле с напряжённостью Е(г) (рис. 1.2):


Е ⁽г) =

q г - г о
|г - г о 1² |г - г о I'



(1.3)

           q              E(r)     Представление закона Кулона в
                                виде соотношения (1.2) соответству-, /                      ет концепции близкодействия: сиу ^^r                    левое воздействие на заряд может
                                оказать только электрическое по-
   O                            ле, существующее в месте распо-
                                ложения заряда.
           Рис. 1-2                В электростатике эти две кон-
                                цепции (т. е. взаимодействие зарядов на расстоянии и взаимодействие посредством электрического поля) полностью эквивалентны. Только в электродинамике, где существуют свободные электромагнитные волны, независимые от зарядов, доказывается реальность электромагнитного поля.

1.2. Принцип суперпозиции

11

Рис. 1.3



            1.2.  Принцип суперпозиции


  Для одного точечного заряда создаваемое им электрическое поле выражается формулой (1.3). Как показывают результаты экспериментов, в электродинамике справедлив принцип суперпозиции, согласно которому электрическое поле от системы зарядов равно сумме электрических полей от её составляющих, т. е.


           E(r) = £Eₜ(r) = £ i              i


(1.4)

где qi, ri — заряд и pадиус-вектор г-го заряда.
   Заметим, что в классической электродинамике принцип суперпозиции рассматривается как абсолютно точный, хотя известно, что в области очень высоких частот или высоких напряжённостей полей этот принцип нарушается.
   Результат, представленный формулой (1.4), для простейшего варианта двух зарядов проиллюстрируем с помощью геометрических построений рис. 1.3 (а) и (б). Здесь случаю одинаковых зарядов q отвечает рис. (а), а зарядам с противоположными знаками — рис. (б); в обоих случаях точка наблюдения P расположена симметрично относительно зарядов.
   В каждом из этих случаев суммарное поле имеет лишь по одной декартовой компоненте; и это обусловлено симметрией в условиях задачи.

Глава 1. Электростатика

   Ещё на один пример использования симметрии обратим здесь внимание. Рассмотрим поле равномерно заряженного кругового кольца в точках на его оси симметрии (ось z, рис. 1.4). Заряд кольца q. Видно, что два элементарных заряда dq, расположенные в симметричных точках с координатами а и a + п на кольце, в точке P на оси z в совокупности создают поле

dE⁽P) = ²r cos eez = ²(ₐ2 + z2)3/2 ez,

направленное по оси z (радиальные составляющие взаимно компенсируют друг друга). Для суммарного поля имеем

q z
EЕ⁽P) = (a² + z²)³/² e.

Очевидно, что в любой точке пространства вне оси z поле

E (r) = Eᵣ (r,z) er + Ez (r, z) ez

осесимметрично, состоит из двух компонент, не зависящих от угловой а-координаты точки наблюдения.

1.3. Электрический потенциал



            1.3.  Электрический потенциал



13

   1.    Электрическое поле неподвижных зарядов (т. е. электростатическое поле) обладает следующим интегральным свойством: работа электрического поля по перемещению пробного заряда q по любому замкнутому контуру равна нулю. Это утверждение есть непосредственное следствие закона сохранения энергии, ибо в противном случае мы бы имели вечный двигатель 1-го рода.
   Так как сила, действующая на пробный заряд в электрическом поле, равна
F = qE,
то рассматриваемая работа выражается через циркуляцию электрического поля по замкнутому контуру t:

A = q





Efdt = q

E • d£.

Следовательно, названное свойство может быть представлено в виде интегрального соотношения


E E$dt = 0,

(1.5)

откуда следует, что электростатическое поле потенциально.
   2.    Как следует из векторного анализа, для потенциального векторного поля существует скалярный потенциал р(r), с помощью которого поле определяется однозначно как


E = — grad р.

(1.6)


Из-за важности скалярного потенциала мы здесь не ограничимся ссылкой на векторный анализ, а проведём необходимые рассуждения, чтобы самим получить приведенное соотношение (1.6) и понять энергетический смысл потенциала.
   Итак, поле E(r) потенциально. Отсюда следует, что работа по перемещению пробного заряда (возьмём единичный пробный заряд) из одной точки P в другую P0 не зависит от формы пути (рис. 1.5). Пусть P । — фиксированная точка, а точка P имеет координаты x, y, z. Тогда интеграл /P⁰ (E • d£), не зависящий от контура £, определяет однозначную скалярную функцию от координат x,y,z :


                           /•P0
I (E • dt) = у(x,y, z) Jp ⁽ x,y,z)


(1.7)

Глава 1. Электростатика

Рис. 1.5

Г,
_ /       а
P 0
/dl(dx,dy, dz)
                          P (x,y,z)



                          Рис. 1.6


и именно эта величина называется скалярным потенциалом электрического поля. Следовательно, скалярный потенциал в некоторой точке пространства равен работе, совершаемой электрическим полем при перемещении единичного пробного заряда из данной точки в ту точку, где потенциал условно принят равным нулю.
   Иначе можно сказать: потенциал в точке P равен работе, которую мы должны совершить против поля, чтобы перенести единичный пробный заряд из фиксированной точки P0 в точку P. Таким образом, заряд q, находящийся в рочке P, обладает потенциальной энергией U(P) = q?(P), причём потенциальная энергия в точке P0 принимается улвной нулю. (Произвол в выборе фиксированной точки P0 приводит к тому, что при заданном поле E(r) потенциал ?(x,y, z) определяется с точностью до аддитивной постоянной.)
   А теперь перейдём к обратной задаче — по заданному распределению потенциала ?(x, y, z) найти векторное поле E. Для этого наряду с точкой P(x, y, z) возьмёьi точку P'(x + dx, y + dy, z + dz) (рис. 1.6) и рассмотрим работу электрического поля на перемещении dt(dx, dy, dz), равную
5A = E(x,y,z) • dt = Eₑdt.
С другой стороны, эта работа равна


6A =

[ P0 (E • dt) - f P0 jp              jp '

(E • dt) = ?(P) - ?(P') = -d?,

где d? = d^dt = gradₑ? • dt. (Здесь последнее равенство записано с использованием важного свойства градиента — проекция градиента на любое направление равна производной по этому направлению.) Приравнивая полученные выражения для 5A, получаем


Ee = -grade?.