Физика твердого тела

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

А. Ф. Шиманский, М. М. Симунин

ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Учебное пособие

Красноярск 
СФУ 
2021

УДК 539.21(07)
ББК 22.3я73
Ш611

Р е ц е н з е н т ы: 

А. С. Паршин, доктор физико-математических наук, доцент, зав. каф. 
«Техническая физика» ФГБОУ ВО «Сибирский государственный университет 
науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева»;
В. Ф. Павлов, доктор химических наук, зав. отделом, СКТБ «Наука» 
КНЦ СО РАН

Шиманский, А. Ф.
Ш611 Физика твердого тела : учеб. пособие / А. Ф. Шиманский, 
М. М. Симунин. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. – 128 c.
ISBN 978-5-7638-4588-4

Приведено краткое изложение курса физики твердого тела, включая представления 
о строении кристаллов и аморфных веществ, основы электронного строения 
атомов и твердых тел.
Предназначено для студентов направления 22.03.01 «Материаловедение и технологии 
материалов», изучающих основы дисциплины «Физика твердого тела» 
и получающих техническое образование. 

Электронный вариант издания см.: 
УДК 539.21(07)
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.3я73

ISBN 978-5-7638-4588-4 
© Сибирский федеральный 
университет, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .......................................................................................................5

1. Структура кристаллов. Некристаллические твердые тела ..........7
1.1. Кристаллическое строение твердых тел .............................................7
1.2. Металлические кристаллы ................................................................ 13
1.3. Ионные кристаллы ............................................................................. 15
1.4. Ковалентные кристаллы .................................................................... 20
1.5. Молекулярные кристаллы ................................................................. 22
1.6. Кристаллы с водородными связями ................................................. 23
1.7. Свойства твердых тел ........................................................................ 24
1.8. Некристаллические твердые тела ..................................................... 26
Контрольные вопросы и задания ............................................................. 30

2. Атомные дефекты кристаллической решётки.  
Разупорядочение в твёрдом теле .......................................................... 32
2.1. Собственное разупорядочение ......................................................... 32
2.2. Равновесная концентрация точечных дефектов.  
Тепловые дефекты  ............................................................................. 34
2.3. Дефекты нестехиометрического происхождения  .......................... 36
2.4. Примесное разупорядочение ............................................................ 38
2.5. Твёрдые растворы. Изоморфизм  ...................................................... 39
Контрольные вопросы и задания ............................................................. 44

3. Квантовая теория строения атома ................................................... 46
3.1. Теория Н. Бора о строении атома  .................................................... 46
3.2. Развитие теории Бора  ....................................................................... 54
3.3. Основные принципы квантовой механики  ..................................... 56
3.4. Уравнение Шредингера  .................................................................... 60
3.5. Частные решения уравнения Шрёдингера  ..................................... 65
3.6. Атомные орбитали. Атом водорода  ................................................. 69
3.7. Строение многоэлектронных атомов  .............................................. 75
Контрольные вопросы и задания ............................................................. 77

4. Основы электронной теории твёрдого тела  .................................. 78
4.1. Обобществление электронов в металлах  ........................................ 78
4.2. Расщепление энергетических уровней с образованием  
энергетических зон, заполнение зон электронами, металлы,  
диэлектрики, полупроводники  ......................................................... 79
4.3. Теория свободных электронов  ......................................................... 83

Оглавление

4.4. Основы зонной теории. Теория почти свободных электронов  ..... 94
4.5. Эффективная масса носителей заряда ........................................... 102
Контрольные вопросы и задания ........................................................... 103

5. Полупроводники ................................................................................ 105
5.1. Собственные полупроводники  ....................................................... 105
5.2. Примесные полупроводники  ......................................................... 110
5.3. Контактные явления в металлах и полупроводниках  .................. 116
Контрольные вопросы и задания ........................................................... 122

Заключение ............................................................................................. 124

Библиографический список ................................................................ 125

ВВЕДЕНИЕ

Современные достижения науки, открытие новых явлений и процессов 
определяют колоссальное многообразие материалов, что затрудняет 
детальное изучение индивидуальных особенностей того или иного 
их представителя и технологии его получения. Вместе с тем в основе 
проектирования разнообразных технологических процессов лежат общие 
фундаментальные теоретические представления, позволяющие 
разрабатывать подходы к созданию материалов с заданной структурой, 
физическими, механическими и химическими свойствами. 
При кратком перечислении достаточно указать на материалы, 
обладающие особыми электрическими (полупроводники, сверхпроводники, 
пьезоэлектрики, сегнето- и антисегнетоэлектрики), магнитными (
ферро- и антиферромагнетики), оптическими (люминофоры, 
кристаллы для инфракрасной и ультрафиолетовой оптики), ультрачистые 
материалы и т. п. В последнее время возможности дизайна материалов 
продвинуты в нанометровый диапазон, появившиеся, как следствие 
этого, конструкционные и функциональные наноструктурные 
материалы и нанотехнологии обуславливают новую промышленную 
революцию, следующую за происходящей сегодня информационной 
революцией.
Решение задач создания современных материалов с заданными 
свойствами возможно лишь на базе глубоких знаний в области материаловедения, 
позволяющих целенаправленно управлять технологическими 
процессами, оптимизировать режимы тех или иных операций, 
повышать надежность, качество, эксплуатационные и технико-экономические 
параметры изделий.
Материаловедение изучает связь между составом, структурой 
и свойствами материалов, а также закономерности их изменений при 
внешних воздействиях. Поэтому говорят, что «в основе материаловедческой 
науки лежит «формула»: «состав – структура – свойства», которая 
подразумевает диалектическое движение от познания состава 
и строения материала к предсказанию его свойств, с другой стороны, 
формирование требований к составу и строению материала исходя 
из его необходимых характеристик. «Формула» материаловедения отражает 
роль инженера-материаловеда в улучшении свойств материалов 
путем регулирования процессов формирования их структуры посредством 
технологических изменений. 

Введение

В связи с этим выделим основные уровни структуры – это макроструктура, 
микроструктура, атомно-кристаллическая и субатомная 
(электронная).
Макроструктура – строение материала, видимое невооружённым 
глазом или при малом увеличении. Элементами макроструктуры 
являются макродефекты (раковины, газовые пузыри, расслоения, трещины 
и т. п.), как следствие неправильного ведения технологического 
процесса, т. е. это – отклонения от нормы.
Микроструктура – строение материалов, видимое в микроскоп 
при достижимых с его помощью увеличениях, включая распределение 
составляющих компонентов, фаз, структурных элементов и дефектов 
структуры. 
Атомно-кристаллическая структура – взаимное расположение 
атомов в кристалле.
Субатомная структура – это структура в квантовом масштабе, 
т. е. формируется из субатомных частиц, к числу которых относятся 
электроны, с этой точки зрения для материаловедения важнейшее значение 
имеет электронная структура веществ и материалов. 
Физика твёрдого тела служит теоретической базой для изучения 
материаловедения. Объектами физики твердого тела являются атомно-
кристаллическая и электронная структура. Предмет физики твердого 
тела – изучение и установление связи атомно-кристаллической и электронной 
структур с различными физическими свойствами (электрическими, 
магнитными, термическими и др.) твердых тел и происходящими 
в них физическими явлениями. 
Целью данного пособия является краткое изложение курса физики 
твердого тела, включая представления о строении кристаллов и аморфных 
веществ, основы электронного строения атомов и твердых тел.
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов направления «
Материаловедение и технологии материалов», изучающих основы 
дисциплины «Физика твердого тела» и получающих техническое 
образование. Предлагаемое пособие отличается простотой изложения 
и используемого для описания физических явлений математического 
аппарата.

1. СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ.  
НЕКРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА

Твёрдые тела состоят из плотноупакованных частиц, которыми могут 
быть атомы, молекулы либо ионы. Большинство из них находится 
в кристаллической форме, т. е. характеризуется закономерной периодичностью 
распределения элементов в пространстве. Вместе с тем часть 
твердых тел не имеет кристаллической структуры, в них отсутствует порядок 
пространственного периодического расположения структурных 
элементов [1–6]. 

1.1. Кристаллическое строение твердых тел

Структурные элементы, из которых построен кристалл, периодически 
расположены в пространстве по параллельным плоскостям и прямым. 
Закономерность их расположения описывается пространственной 
или кристаллической решеткой. Кристаллическая решётка – пространственная 
сетка, в узлах которой располагаются частицы (атомы, ионы, 
молекулы), образующие кристалл.
Кристаллическая решетка характеризуется шестью величинами: 
тремя осевыми трансляциями (переносами) (a, b, c) и тремя осевыми 
углами (α, β, γ). В векторном изображении она может быть представлена 
тремя основными векторами: a
b
c

1
1
1
, 
, 
i
i
i
i
i
i
h
k
l
x
y
z
=
=
=
.

d =

2
2
2
1

h
k
l
a
b
c




 
+
+




 




 

.
(1.1)

d =

2
2
2
a

h
k
l
+
+

.
(1.2)

d =

2
2
2

2
2

1

h
k
l
a
c
+
+

.
(1.3)

, 
a
b
c

1
1
1
, 
, 
i
i
i
i
i
i
h
k
l
x
y
z
=
=
=
.

d =

2
2
2
1

h
k
l
a
b
c




 
+
+




 




 

.
(1.1)

d =

2
2
2
a

h
k
l
+
+

.
(1.2)

d =

2
2
2

2
2

1

h
k
l
a
c
+
+

.
(1.3)

 и c . Трансляция переносит 
каждую точку в новое повторяющееся положение вдоль её направления. 
Транслируемый тремя трансляциями элементарный объем имеет 
форму параллелепипеда и называется трансляционной (элементарной) 
ячейкой (рис. 1.1).
Таким образом, элементарная ячейка – параллелепипед с характерным 
для данной решётки расположением частиц, с помощью которого 
весь кристалл может быть построен путём его многократного повторения 
в трёх направлениях. Параметры элементарной ячейки: три ребра 
ячейки (трансляции) a, b, c и три угла между ними α, β, γ.
Тип пространственной решетки, характер размещения атомов (ионов 
или молекул), силы межатомного взаимодействия являются важнейшими 
факторами, определяющими свойства кристаллических тел. 
Возможные типы кристаллических решеток представлены на рис. 1.2.

1. Структура кристаллов. Некристаллические твердые тела 

Если принять направления, совпадающие c ребрами трансляционной 
ячейки, за оси координат, а единицей линейного измерения вдоль 
трансляции считать длину соответствующей трансляции, то каждый 
узел пространственной решетки приобретает целочисленную тройку 
координат, например m, p, q.

Рис. 1.1. Кубическая элементарная ячейка (а) и параметры элементарной ячейки (б)

а 
б

z

y

x

a
b

c

α
β

γ

Рис. 1.2. Типы кристаллических решеток

1.1. Кристаллическое строение твердых тел

Координаты узла, или его базис, заключают в двойные квадратные 
скобки и разделяют запятыми [[m, p, q]].
Для описания кристаллографического направления служит базис 
узла, являющегося концом вектора, совпадающего с этим направлением 
и проведенного через начало координат. Индексы кристаллографического 
направления записывают без разделительных знаков и заключают 
в квадратные скобки [mpq] (рис. 1.3).

Для описания кристаллографической плоскости характеризуется её 
положение по отношению к координатным осям. В этом случае ориентация 
плоскости определяется отрезками, которые отсекает плоскость 
на осях координат: xi, yi, zi. Для удобства и простоты при описании положения 
кристаллографической плоскости пользуются не самими отрезками, 
а тремя целыми числами, являющимися величинами, обратными 
этим отрезкам,

1
1
1
, 
, 
i
i
i
i
i
i
h
k
l
x
y
z
=
=
=
.

d =

2
2
2
1

h
k
l
a
b
c




 
+
+




 




 

.
(1.1)

d =

2
2
2
a

h
k
l
+
+

.
(1.2)

d =

2
2
2

2
2

1

h
k
l
a
c
+
+

.
(1.3)

1

.

Эти числа называют индексами плоскости или индексами Миллера. 
При написании индексы Миллера заключаются в круглые скобки (hkl), 
как показано на рис. 1.4.
Межплоскостным расстоянием d, или постоянной решетки, называется 
расстояние между двумя соседними параллельными плоскостями 
в кристалле. В общем случае

 
d =

2
2
2
1

h
k
l
a
b
c




 
+
+




 




 

.
(1.1)

d =

2
2
2
a

h
k
l
+
+

.
(1.2)

. 
(1.1)

Рис. 1.3. Примеры кристаллографических направлений

1. Структура кристаллов. Некристаллические твердые тела 

Для кубической системы, где a = b = c,

 
d =

2
2
2
a

h
k
l
+
+

.
(1.2)

d =

2
2
2

2
2

1

h
k
l
a
c
+
+

.
(1.3)

d =

2
2
2

2
2

1

3
4
h
hk
k
l
a
c
+
+
+

(1.4)

d(01) = d(10) =

1
0
a
a
=
+

;
(1.5)

(
)
11
1 1
2
a
a
d
=
=
+

;
(1.6)

( )
12
1
4
5
a
a
d
=
=
+

.
(1.7)

r

. 
(1.2)

Для тетрагональной системы, где a = b,

 
d =

2
2
2

2
2

1

h
k
l
a
c

+
+

.
(1.3)

d =

2
2
2

2
2

1

3
4
h
hk
k
l
a
c
+
+
+

(1.4)

d(01) = d(10) =

1
0
a
a
=
+

;
(1.5)

(
)
11
1 1
2
a
a
d
=
=
+

;
(1.6)

( )
12
1
4
5
a
a
d
=
=
+

.
(1.7)

. 
(1.3)

Для гексагональной системы

 
d =

2
2
2

2
2

1

3
4

h
hk
k
l

a
c

+
+
+

(1.4)

d(01) = d(10) =

1
0
a
a
=
+

;
(1.5)

(
)
11
1 1
2
a
a
d
=
=
+

;
(1.6)

( )
12
a
a
d
=
=
.
(1.7)

. 
(1.4)

Рассмотрим описание положения кристаллографических плоскостей 
и расчет межплоскостных расстояний на простейшем примере 
простой кубической решетки, представленной в двумерном изображении 
в виде плоской сетки узлов. Параметр решетки примем равным a. 

Рис. 1.4. Индексы Миллера основных плоскостей кубического кристалла

1.1. Кристаллическое строение твердых тел

С этой целью проведем ряд узловых прямых, являющихся следами кристаллографических 
плоскостей, найдем индексы плоскостей и межплоскостные 
расстояния, индексы плоскостей приведены на рис. 1.5. 
Межплоскостные расстояния для рассматриваемых плоскостей соответственно 
принимают следующие значения:

 
d(01) = d(10) =

1
0
a
a
=

+

;
(1.5)

(
)
11
1 1
2
a
a
d
=
=
+

;
(1.6)

( )
12
1
4
5
a
a
d
=
=
+

.
(1.7)

0,73 >
A

B

r
r
> 0,41

1

; 
(1.5)

 
(
)
11
1 1
2
a
a
d
=
=
+

;
(1.6)

( )
12
1
4
5
a
a
d
=
=
+

.
(1.7)

0,73 >
A

B

r
r
> 0,41

1

 
(1.6)

 
( )
12
1
4
5
a
a
d
=
=
+

.
(1.7)

0,73 >
A

B

r
r
> 0,41

1

 
(1.7)

Межплоскостные расстояния в кристаллах – величины того же 
порядка, что и длины волн рентгеновских лучей, поэтому кристалл является 
для них своеобразной трехмерной дифракционной решеткой. 
Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке (рис. 1.6) 
приводит к таким же результатам, какие должно было бы дать зеркальное 
отражение лучей от атомных плоскостей кристалла. 
Допустим, что рентгеновские лучи с длиной волны λ падают под 
углом скольжения θ к поверхности семейства параллельных кристаллографических 
плоскостей (hkl) кристалла с межплоскостным расстоянием 
d. Длина пути рентгеновского луча 1–1′, который отражается от верхнего 
слоя атомов (рис. 1.7), меньше, чем у рентгеновского луча 2–2′, 

Рис. 1.5. Схема кристаллографических плоскостей

Y

(10)

(01)

(11)

a

X

(12)

1. Структура кристаллов. Некристаллические твердые тела 

который отражается от второго слоя атомов. Для того чтобы две испускаемые 
волны имели одинаковую фазу и усиливали друг друга, разность 
длин их пути Δ должна отличаться на целое число длин волн nλ. 
С другой стороны, как следует из рис. 1.7,

 
Δ = 2dhkl sinθ. 
(1.8)

Таким образом, угол отражения рентгеновских лучей должен быть 
связан с межплоскостным расстоянием d соотношением, называемым 
уравнением Вульфа – Брэгга,

 
nλ = 2dhkl sinθ или λ = 2dHKL sinθ, 
(1.9)

где dhkl – межплоскостное расстояние для семейства плоскостей (hkl); 
n – порядок отражения (целое число); λ – длина волны; θ – угол скольжения 
пучка лучей по отношению к отражающей плоскости. 
Отношение dhkl / n можно рассматривать как межплоскостное расстояние 
для гипотетических отражающих плоскостей с индексами 
(HKL), причем H = nh, K = nk, L = nl. Индексы (HKL) отвечают каждому 
отражению или каждому интерференционному максимуму и называются 
поэтому индексами интерференции.

Рис. 1.6. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке

Рис. 1.7. К выводу уравнения Вульфа – Брэгга

1

B
θ

θ θ

D

d
C
E

1'
2
2'