Математическая статистика. Специальные разделы высшей математики

Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В.П. Сакулин, Н.Н. Рыбакова, И.В. Мельникова 
 
 
 
 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
 
Учебное пособие 
 
 
Электронное издание 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2022 
 

УДК 
519.22(07) 
ББК 
22.17я73 
С159 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
С.Г. Колесников, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры 
и математической логики Института математики и фундаментальной информатики 
СФУ;  
О.Н. Жданов, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры безопасности 
информационных технологий СибГУ 
 
Сакулин, В.П. 
С159 Математическая статистика. Специальные разделы высшей математики : 
учеб. пособие / В.П. Сакулин, Н.Н. Рыбакова, И.В. Мельникова. – 
Электрон. дан. (1 Мб). – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2022. – Систем. 
требования : PC не ниже класса Pentium I ; 128 Mb RAM ; Win-
dows 98/XP/7/10 ; Adobe Reader V 8.0 и выше. – Загл. с экрана. 
ISBN 978-5-7638-4595-2 
 
Изложены основные разделы курса «Специальные разделы высшей математики: 
математическая статистика». Теоретический материал сопровождается иллюстрациями, 
приведены примеры прикладного характера. Предложены упражнения 
для самостоятельного решения и примеры их решения. 
Предназначено для магистрантов инженерных специальностей. 
 
Электронный вариант издания см.:  
УДК 519.22(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.17я73 
 
ISBN 978-5-7638-4595-2 
 
 
   © Сибирский федеральный университет, 2022 
 
 
Электронное учебное издание 
 
Сакулин Владимир Петрович, Рыбакова Наталья Николаевна, Мельникова Ирина Витальевна 
 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 
СПЕЦИАЛЬНЫЕ РАЗДЕЛЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
 
Редактор Т.М. Пыжик 
Компьютерная верстка Д.Р. Мазай 
 
Подписано в свет 27.04.2022. Заказ № 14888 

 
Библиотечно-издательский комплекс  
Сибирского федерального университета 
660041, Красноярск, пр. Свободный, 82а 
Тел. (391) 206-26-16; http://bik.sfu-kras.ru 
E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru 

Оглавление

Введение
7

1. Основные понятия теории вероятностей
8

1.1.
События, пространство элементарных событий . . .
8

1.2.
Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

1.3.
Вероятность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.3.1.
Классическое определение вероятности
. . .
13

1.3.2.
Статистическое определение вероятности . .
14

1.3.3.
Геометрическое определение вероятности . .
16

1.3.4.
Теорема сложения
. . . . . . . . . . . . . . . .
18

1.3.5.
Аксиоматическое определение вероятности .
19

2. Случайные величины
19

2.1.
Закон распределения случайной величины . . . . . .
20

2.2.
Некоторые числовые характеристики случайных ве-

личин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.2.1.
Математическое ожидание случайной вели-

чины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

2.2.2.
Дисперсия случайной величины . . . . . . . .
24

2.2.3.
Моменты случайной величины . . . . . . . . .
28

2.2.4.
Квантили случайной величины
. . . . . . . .
29

2.3.
Некоторые законы распределения случайных

величин
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.3.1.
Нормальный закон распределения
. . . . . .
31

2.3.2.
Вероятность попадания случайной величи-

ны в интервал. Правило трех сигм
. . . . . .
36

3

2.3.3.
Логарифмически-нормальный закон распре-

деления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

2.3.4.
Гамма-распределение . . . . . . . . . . . . . . .
43

2.3.5.
Распределение Стьюдента . . . . . . . . . . . .
43

2.3.6.
Распределение хи-квадрат
. . . . . . . . . . .
44

2.3.7.
F-распределение
. . . . . . . . . . . . . . . . .
45

2.4.
Предельные теоремы теории вероятностей . . . . . .
46

2.4.1.
Закон больших чисел
. . . . . . . . . . . . . .
47

2.4.2.
Центральная предельная теорема . . . . . . .
55

3. Задачи математической статистики

и первичная обработка экспериментальных данных
57

3.1.
Предмет и задачи математической статистики
. . .
57

3.2.
Генеральная совокупность и выборка . . . . . . . . .
58

3.3.
Методы выборочного отбора
. . . . . . . . . . . . . .
61

3.3.1.
Объем выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

3.3.2.
Типы выборок . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

3.4.
Представление статистических данных . . . . . . . .
65

3.4.1.
Задания для самостоятельной работы к па-

раграфу 3.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67

3.5.
Статистическая оценка параметров распределения .
68

3.5.1.
Точечные оценки параметров распределения
68

3.5.2.
Задания для самостоятельной работы к под-

параграфу 3.5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

3.5.3.
Интервальные оценки параметров распреде-

ления
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76

4

3.5.4.
Задания для самостоятельной работы к под-

параграфу 3.5.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77

3.6.
Проверка статистических гипотез
. . . . . . . . . . .
78

3.6.1.
Построение теоретического закона распре-

деления

по опытным данным. Проверка гипотезы о

виде закона

распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85

3.6.2.
Задания для самостоятельной работы к под-

параграфу 3.6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88

3.7.
Регрессионный и корреляционный анализ . . . . . .
89

3.7.1.
Линейное уравнение парной регрессии
. . .
90

3.7.2.
Задания для самостоятельной работы к па-

раграфу 3.7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

3.8.
Варианты решенных заданий к главе 3 . . . . . . . .
101

3.8.1.
Задание 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101

3.8.2.
Задание 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107

3.8.3.
Задание 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

3.8.4.
Задание 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111

3.8.5.
Задание 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117

Заключение
123

Библиографический список
124

Приложения
126

Приложение 1. Таблица значений функции Φ(x) =
1
√

2π

x0
e−x2/2 dx 126

Приложение 2. Критические точки распределения χ2 . .
128

5

Приложение 3. Критические точки распределения Стью-

дента
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130

Приложение 4. Шкала Чеддока
. . . . . . . . . . . . . . .
131

6

Введение

Для решения задач, связанных с анализом эксперименталь-

ных данных при наличии случайных воздействий, разработаны

методы, составляющие раздел математики, называемый матема-

тической статистикой. Эти методы позволяют находить законо-

мерности массовых случайных явлений, делать обоснованные вы-

воды и прогнозы.

Благодаря широкому внедрению в современную инженер-

ную практику персональных компьютеров и разработке стати-

стических программных пакетов специалисту уже не требуется

выполнять трудоемкие расчеты. Основная его работа – это поста-

новка задач, выбор методов их решения и интерпретация резуль-

татов.

В основе математической статистики лежит теория вероятно-

стей. В данном пособии кратко изложены разделы теории вероят-

ностей и математической статистики, наиболее часто использую-

щиеся при обработке результатов экспериментов (наблюдений), а

также предложены решения практических задач. Поэтому учеб-

ное пособие будет полезно и студентам дипломникам, которые

сталкиваются с необходимостью статистической обработки и ана-

лиза результатов проведенных наблюдений или эксперименталь-

ных исследований современными методами.

7

1.
Основные понятия теории вероятностей

Теория вероятностей — наука о вычислении вероятностей

случайных событий, позволяющая по вероятностям одних слу-

чайных событий находить вероятности других случайных собы-

тий, связанных каким-либо образом с первыми. В более широ-

ком смысле она изучает количественные закономерности массо-

вых случайных явлений и занимается созданием, определением

и описанием моделей, связанных с понятием вероятности. Теория

вероятностей возникла в XVII веке и применялась вначале в ос-

новном в азартных играх (кости, карты и т.д.). Основателями ее

можно считать Гюйгенса, Б. Паскаля, П. Ферма и Я. Бернулли. В

XIX веке развитие теории вероятностей стимулировалось потреб-

ностями обработки экспериментальных данных, теории стрельбы,

статистики и т.д. Известные учёные Лаплас, Гаусс, Пуассон обо-

гатили теорию и методами математического анализа. Большой

вклад в развитие теории внесли русские учёные Чебышёв, Мар-

ков, Ляпунов, Хинчин, Колмогоров.

Теория вероятностей лежит в основе многих дисциплин (та-

ких, как «Теория массового обслуживания», «Теория надёжно-

сти», «Математическая статистика» и др.).

1.1.
События, пространство элементарных событий

Термины «опыт», «испытание», «эксперимент», «наблюде-

ние» в теории вероятностей обозначают одно и то же. В резуль-

тате их появляются или не появляются случайные события. Со-

бытия бывают неразложимыми (элементарными) и составными.

8

При испытании элементарными событиями будут его непосред-

ственные результаты (элементарные исходы). В теории вероятно-

стей для обозначения элементарных событий используются ма-

лые буквы латинского алфавита с индексами (e1, e2, . . .), а состав-

ных – большие (A, B, C, . . .).

Пример 1.1. Испытание — бросание один раз игральной кости. Элемен-

тарные события (исходы):

• e1 — «выпадение одного очка»;

• e2 — «выпадение двух очков»;

• и т.д.

• e6 — «выпадение шести очков».

Составные события:

• A — «выпадение четного числа очков»;

• B — «выпадение нечетного числа очков» и др.

Пусть производится некоторый эксперимент. Множество E всех его

элементарных исходов называется пространством элементарных собы-

тий данного эксперимента. В условиях примера 1 E = {e1, e2, . . . , e6}.

Пример 1.2. Эксперимент — трехкратное подбрасывание монеты. Пусть

1 означает выпадение герба, 0 — выпадение решки. Тогда пространство

элементарных событий для этого эксперимента состоит из троек (эле-

ментарных исходов):

E = {000, 001, 010, 100, 011, 101, 110, 111}.

9

Пример 1.3. Эксперимент — стрельба по плоской мишени (пулями, альфа-

частицами и т.д.). В знаменитых опытах Э. Резерфорда по рассеянию

альфа-частиц разумно считать альфа-частицу точкой, не имеющей раз-

мера. Введем на мишени прямоугольную декартову систему координат

Oxy. Тогда каждая точка мишени будет иметь координаты (x, y). Обо-

значим элементарное событие «частица попала в точку с координатами

(x, y)» через (x, y). Тогда в качестве пространства для данного экспери-

мента можно взять множество E = {e(x, y) : −∞ < x, y < +∞}.

В некоторых опытах мишень ограничена. Тогда, например,

E = {e(x, y) : x2 + y2 ⩽ R2},

где R — радиус цилиндра, внутри которого летит частица.

Таким образом, ввиду большого разнообразия случайных яв-

лений для описания каждого реального испытания множество

выбирается наиболее подходящим образом.

Определение 1.1. Событие A называется благоприятствующим собы-

тию B (A → B), если при наступлении A наступает B.

Пример 1.4. В условиях примера 1.2 рассмотрим события

• A — «выпадение одного герба»;

• B — «выпадение двух гербов»;

• C — «выпадение не более двух гербов».

Тогда A → C; B → C.

10

С теоретико-множественной точки зрения события можно

рассматривать как множества благоприятствующих им элемен-

тарных исходов опыта.

Определение 1.2. События A и B называются несовместными (несов-

местимыми), если в результате одного опыта они не могут произойти

вместе. В противном случае события называются совместными (сов-

местимыми).

Элементарные исходы опыта – несовместные события. Оче-

видно, что несовместные события не имеют общих благоприят-

ствующих исходов.

Пример 1.5. В условиях примера 1.4 несовместными будут события A

и B, а совместными – A и C, B и C.

Определение 1.3. Событие, которое не может произойти при опыте,

называется невозможным (U).

Множество благоприятствующих ему элементарных исходов

опыта является пустым.

Пример 1.6. При однократном подбрасывании игральной кости (пример

1.1) достоверным является событие, состоящее в том, что выпавшее

число очков будет четным или нечетным, а невозможным событием –

что это число будет и четным и нечетным одновременно.

11

1.2.
Алгебра событий

Определение 1.4. Суммой (объединением) событий A и B называется

событие C = A + B (C = A B), состоящее в появлении хотя бы одного

из этих событий.

Пример 1.7. В условиях примера 1.4 событие A+B состоит в том, что

при трехкратном подбрасывании монеты герб выпадет один или два раза,

а A + C = C и B + C = C.

Определение 1.5. Суммой событий A1, A2, . . . , An называется событие

A = n
i=1 Ai (A =
ni=1
Ai), состоящее в появлении хотя бы одного из них.

Определение 1.6. Произведением (пересечением) двух событий A и

B называется событие C = A · B (C = A B), состоящее в совместном

появлении событий A и B.

Пример 1.8. В условиях примера 1.4 A · C = A; B · C = B; A · B = U.

Определение 1.7. Произведением событий A1, A2, . . . , An называется со-

бытие A =
ni=1
Ai (A =
ni=1
Ai), состоящее в совместном появлении всех

событий A1, A2, . . . , An.

Определение 1.8. Разностью событий A и B называется событие C =

A − B, состоящее в том, что при опыте происходит событие A и не

происходит событие B.

Пример 1.9. В условиях примера 1.4 A − B = A; B − A = B; A − C = U.

Определение 1.9. Событием, противоположным событию A, называ-

ется событие A, заключающееся в не наступлении события A, то есть

A = E − A.

12

Очевидно, что противоположные события несовместны (A ·

A = U), а их сумма есть событие достоверное (A + A = E).

Пример 1.10. В условиях примера 1.1 события A и B противоположные.

1.3.
Вероятность

Из повседневного опыта известно, что одни случайные собы-

тия наступают достаточно часто, другие менее часто или совсем

редко. Поэтому для количественной оценки степени возможности

событий необходимо ввести число, которое тем больше, чем бо-

лее возможно событие. Такое число называется вероятностью со-

бытия. Следовательно вероятность события есть численная мера

степени возможности этого события в тех или иных определенных

условиях.

Существует несколько подходов к определению вероятности

события.

1.3.1.
Классическое определение вероятности

Пусть E = {e1, e2, . . . , en} — конечное пространство элементар-

ных событий, и все его элементарные события ek (элементарные

исходы опыта) равновозможны (k = 1, 2, . . . , n).

Определение 1.10. Вероятностью события A называется отношение чис-

ла благоприятствующих этому событию исходов к общему числу исходов,

то есть

P(A) = m

n ,

13

где P(A) — вероятность события A;

m — число исходов, благоприятствующих событию A;

n — общее число исходов.

Это определение было введено в XVIII веке французским

математиком П.С. Лапласом. Классическое определение позво-

ляет во многих случаях непосредственно подсчитать искомую ве-

роятность.

Пример 1.11. При трехкратном бросании монеты общее количество эле-

ментарных исходов равно n = 8 (пример 1.2). Число исходов, благоприят-

ствующих событию A — «выпадение одного герба», равно m1 = 3 (A =

= {001, 010, 100}); событию C — «выпадение не более двух гербов» равно

m2 = 7 (C = {000, 001, 010, 100, 011, 101, 110}). Тогда

P(A) = m1

n = 3

8 = 0.375;

P(C) = m2

n = 7

8 = 0.875.

1.3.2.
Статистическое определение вероятности

Классическим определением вероятности пользуются лишь

в том случае, когда можно произвести непосредственный подсчет

количества возможных исходов опыта и исходов, благоприятству-

ющих рассматриваемому событию. Однако при изучении реаль-

ных случайных явлений или процессов такой подсчет, как прави-

ло, невозможен. Измерение вероятности события опытным путем

отличается от измерения физических величин и основано на неза-

висимых повторениях случайного эксперимента.

14