Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА 

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 

 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск  

СФУ 
2022 

УДК 538.9(07) 
ББК  22.3я73 

Ф503 
 
Р е ц е н з е н т ы :  

С. В. Комогорцев, доктор физико-математических наук (Институт фи-

зики им. Л. В. Киренского); 

В. А. Гавричков, доктор физико-математических наук (Институт физики 

им. Л. В. Киренского) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Ф503 
Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел : 

учеб. пособие / Н. Г. Замкова, В. С. Жандун, О. Н. Драганюк, 
С. Г. Овчинников. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2022. – 256 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4653-9 

 

Изложены основные понятия зонной теории твердых тел и динамики блохов-

ских электронов. На основе зонной теории рассмотрены электрические и оптические 
свойства металлов и полупроводников, а также основные магнитные свойства 
твердых тел.  

Предназначено для бакалавров направления подготовки 03.03.02 «Физика». 

 

Электронный вариант издания см.: 
УДК 538.9(07) 

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.3я73 

 
 
 
 
Работа поддержана Правительством РФ (договор № 075-15-2019-1886)  

и Российским научным фондом № 22-22-20024, Красноярским краевым фондом науки 

 
 
 
 

ISBN 978-5-7638-4653-9 
© Сибирский федеральный 

университет, 2022  

Оглавление 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

Предисловие ..............................................................................................  
5 

1. Электронные свойства металлов .......................................................  
6 

1.1. Характерные свойства металлов ....................................................  
6 

1.2. Модель Друде ..................................................................................  
9 

1.3. Статические свойства металлов в модели Друде ..........................  10 

1.3.1. Закон Ома ...............................................................................  10 
1.3.2. Теплоемкость металлов .........................................................  14 
1.3.3. Теплопроводность металлов. Закон Видемана – Франца ....  16 
1.3.4. Эффект Холла и магнетосопротивление ...............................  19 

1.4. Оптические свойства металлов в модели Друде ...........................  26 

 

2. Теория металлов Зоммерфельда ........................................................  38 

2.1. Свойства электронного газа Ферми ...............................................  38 
2.2. Распределение Ферми – Дирака .....................................................  43 
2.3. Температурное поведение функции  Ферми – Дирака ..................  45 

2.3.1. Основное состояние (T = 0 К) ...............................................  45 
2.3.2. Конечные температуры ..........................................................  50 

2.4. Температурная зависимость  химического потенциала  

в металлах ........................................................................................  53 

2.5. Теплоемкость электронного газа ....................................................  58 
2.6. Электропроводность электронного газа  

в модели Зоммерфельда ..................................................................  60 

2.7. Теплопроводность электронного газа   

и закон Видемана – Франца ............................................................  63 

 

3. Зонная теория .......................................................................................  65 

3.1. Образование энергетических зон в твердом теле ..........................  65 
3.2. Теорема Блоха .................................................................................  70 
3.3. Модель Кронига-Пенни ..................................................................  76 
3.4. Приближение слабой связи .............................................................  82 
3.5. Поверхность Ферми ........................................................................  92 
3.6. Приближение сильной связи ..........................................................  97 
3.7. Зонная картина твердых тел ...........................................................  104 
3.8. Роль сильных электронных корреляций  в формировании 

электронной структуры ..................................................................  113 

 

4. Динамика блоховских электронов.....................................................  121 

4.1. Движение электрона  под действием электрического поля ..........  122 
4.2. Эффективная масса .........................................................................  127 
4.3. Дырки ...............................................................................................  133 
4.4. Движение электрона во внешнем магнитном поле .......................  136 

Оглавление 

4 

4.5. Квантование энергии электрона в магнитном поле.  

Уровни Ландау ................................................................................  139 

4.6. Квантование орбит электронов в магнитном поле ........................  141 
4.7. Степень вырождения уровней Ландау ...........................................  143 
4.8. Плотность состояний электрона в магнитном поле ......................  145 
4.9. Осцилляционные эффекты в магнитном поле ...............................  148 
4.10. Экстремальные орбиты .................................................................  152 

 

5. Электронные свойства полупроводников ........................................  155 

5.1. Собственные полупроводники .......................................................  156 
5.2. Концентрация носителей в собственных полупроводниках .........  164 
5.3. Положение уровня химического потенциала   

в собственных полупроводниках ...................................................  169 

5.4. Несобственные (примесные) полупроводники ..............................  171 
5.5. Водородоподобная модель донорных  и акцепторных центров  

в примесных полупроводниках ......................................................  173 

5.6. Концентрация носителей  в несобственных полупроводниках ....  177 
5.7. Температурная зависимость концентрация носителей   

и положение уровня химического потенциала   
в несобственных полупроводниках ................................................  179 

5.8. Электропроводность полупроводников .........................................  184 
5.9. Поглощение света в полупроводниках ..........................................  189 

 

6. Магнитные свойства твердых тел .....................................................  197 

6.1. Классификация магнетиков ............................................................  197 
6.2. Диамагнетизм ..................................................................................  201 
6.3. Парамагнетизм.................................................................................  203 
6.4. Магнитный момент многоэлектронного атома .............................  207 
6.5. Гамильтониан атома  во внешнем магнитном поле ......................  211 
6.6. Диамагнетизм и парамагнетизм системы   

слабовзаимодействующих атомов .................................................  214 

6.7. Парамагнетизм и диамагнетизм электронов   

проводимости в металлах ...............................................................  220 

6.8. Магнитное упорядочение ................................................................  225 
6.9. Обменное взаимодействие ..............................................................  228 
6.10. Спиновый гамильтониан. Модель Гейзенберга ...........................  233 
6.11. Модель Гейзенберга  в приближении среднего поля ..................  235 
6.12. Температурная зависимость намагниченности ферромагнетика 

в приближении среднего поля. Закон Кюри – Вейсса ................  239 

6.13. Антиферромагнетики ....................................................................  243 

 

Заключение ...............................................................................................  253 
Библиографический список ...................................................................  254  

 

Общая физика. Прикладные аспекты атомной физики 

5 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
Физика твердого тела – весьма обширная область, основанная на ты-

сячах экспериментальных фактов и множестве теорий, стремящихся дать 
им объяснение. Вместе с тем это один из фундаментальных разделов физики, 
знание основ которого в той или иной степени необходимо любому 
специалисту, имеющему дело с твердыми телами. В то же время физика 
твердого тела находится в постоянном развитии как в фундаментальных, 
так и в прикладных областях. В годовом курсе охватить все это многообразие 
невозможно. Поэтому в настоящем пособии рассмотрены некоторые 
основные факты и сформулированы общие идеи и принципы физики твердого 
тела с тем, чтобы после освоения курса учащийся был в состоянии 
читать и понимать оригинальные работы и монографии, необходимые 
в дальнейшей самостоятельной работе по своей специальности.  

Предлагаемое пособие основано на материале лекций, читаемых 

в курсе «Электронные свойства твердых тел», являющегося второй частью 
дисциплины «Физика твердого тела» и состоит из 6 глав. В первой главе 
рассмотрены свойства металлов в рамках классической модели Друде, обсуждаются 
ее недостатки и пути их устранения. Вторая глава посвящена 
описанию свойств металлов в модели свободного электронного газа 
Зоммерфельда. В третьей главе даны основы зонной теории твердых тел, 
рассмотрены приближения сильной и слабой связи. Обсуждаются пределы 
применимости стандартной зонной теории и роль сильных электронных 
корреляций. В рамках модели Хаббарда показаны особенности электронной 
структуры сильно коррелированных электронных систем. Четвертая 
глава посвящена особенностям поведения электронов в периодическом потенциале 
кристаллической решетки в присутствии внешних полей. В пятой 
главе рассматриваются свойства полупроводниковых кристаллов с точки 
зрения их электронной структуры. И, наконец, в шестой главе кратко описаны 
основные магнитные свойства твердых тел, такие как диамагнетизм 
и парамагнетизм, а также ферро- и антиферромагнетики в рамках модели 
Гейзенберга в приближении среднего поля.  

Содержание пособия соответствует программе дисциплины «Физика 

твердого тела».  

 
 

Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел 

6 

1. ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА МЕТАЛЛОВ 

 
 
Все твердые тела можно разделить на три большие группы относи-

тельно их электрических свойств: металлы, диэлектрики и полупроводники (
табл. 1.1). Металлическое состояние – одно из наиболее важных состояний 
вещества. Более 3/4 всех элементов таблицы Менделеева предпочитают 
именно металлическое состояние. 

 
 

1.1. Характерные свойства металлов 

 
Наиболее яркими физическими свойствами металлов являются высокая 

электро- и теплопроводность. Металлы – прекрасные проводники, характерная 
величина удельной электропроводности в металле 106 108 (Ом∙м)–1. 
Диэлектрики, в отличие от металлов, не проводят ток и обладают высоким 
сопротивлением и низкой электропроводностью. Полупроводники же 
имеют промежуточные значения электропроводности и сопротивления 
(табл. 1.1).  

 

Таблица 1.1 

Значения удельной электропроводности σ для металлов,  

полупроводников и диэлектриков 

 

Тип твердого тела
σ, (Ом∙м)–1

Металл
106 108

Полупроводник
10-8 106

Диэлектрик
<10–8

 

 

 

Рис. 1.1. Схема, показывающая зависимость электросопротивления  

от температуры для диэлектриков, полупроводников и металлов  

1. Электронные свойства металлов 

7 

У всех трех типов веществ наблюдается также разная температурная 

зависимость сопротивления (рис. 1.1). У металлов сопротивление возрастает 
с увеличением температуры, тогда как у полупроводников уменьшается. 
Сопротивление диэлектриков практически не зависит от температуры. 
Ответы на вопросы о том, почему проводимость твердых тел изменяется 
в таких широких пределах, почему одни вещества хорошие 
проводники (металлы), а другие совсем не проводят ток (диэлектрики), 
напрямую связаны с изучением электронной структуры твердых тел. 

Диэлектрики – это в основном ионные и молекулярные кристаллы. 

В ионных кристаллах электроны локализованы вблизи аниона, и энергия 
связи электрона с анионом велика (Eсв ~3–8 эВ). В металлах валентные 
электроны, наоборот, не связаны с ионами и могут свободно перемещаться 
по объему. В отличие от связанных электронов в диэлектриках, электроны 
в металлах называют свободными электронами или электронами проводимости, 
так как они легко реагируют на внешние поля и являются носителями 
заряда, т. е. создают электрический ток. Ионные остовы (то, что 
осталось от атома после отрыва внешних валентных электронов (рис. 1.2) 
сферически симметричны, и их объем составляет 10–20 % атомного объема. 
Поэтому для металлов характерны плотноупакованные решетки 
с большим числом ближайших соседей: ГПУ, ГЦК, ОЦК. 

Классификация металлов: 
1. Простые (нормальные, sp-металлы): щелочные (Li, Na, K, Cs, Rb), 

щелочно-земельные (Be, Mg, Ca, Sr, Ba), благородные (Cu, Ag, 
Au), sp3-металлы (Al, Ga, In, Pb). 

2. Переходные: 3d-металлы (Mn, Fe, Co, Ni), 4d-металлы (Nb, Mo), 

5d-металлы (Pt, Ta, W). 

3. Редкоземельные: 4f-металлы (Ce, Pr, Nd, Eu, Ho), 5f-металлы (Ac, 

U, Th). 

 

 

Рис. 1.2. Ионный остов 

Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел 

8 

Металлы и диэлектрики – это два предельных класса. Микроскопи-

чески они различаются разной концентрацией свободных электронов. 
Концентрацию свободных электронов в металле можно определить как 

n = NZ

V , где N – число атомов, Z – число валентных электронов, V – объем. 

Количество молей v = 
μ
A

N
m

N

. Выражая число атомов как N = 

μ
A

m N , по-

лучаем выражение для концентрации электронов в металле: 

 

 
n = 
ρ

μ
μ
A
A

mZ
Z
N
N
V

, 
(1.1) 

 

где ρ = m/V – удельная плотность вещества; μ – молярная масса. 

Оценим значение концентрации свободных электронов для некото-

рых металлов. 

Медь: ρ = 9∙103кг/м3; μ = 63,5∙10–3кг/моль; 
 

n = 

3
23

3

9 10
6 10

63,5 10

 


 ≈ 8∙1028 м–3. 

 
Алюминий: ρ = 2,7∙103кг/м3; μ = 27∙10–3кг/моль; 
 

n = 

3
23

3

2,7 10
6 10

27 10

 



 ≈ 18∙1028 м–3. 

 
Таким образом, характерная концентрация свободных электронов 

в металле n ~ 1028–1029 м–3. В табл. 1.2 приведены величины концентрации 
электронов проводимости для ряда металлов. В диэлектриках концентрация 
электронов существенно меньше: n ~ 109 м–3.  

 

Таблица 1.2 

Концентрация электронов проводимости (n)  

для металлов различной валентности (Z) 

 

Металл
Z
n∙1028 м–3
Металл
Z
n∙1028 м–3

Li
1
4,7
Be
2
24,7

Na
1
2,65
Mg
2
8,61

K
1
1,4
Ba
2
3,15

Rb
1
1,15
Fe
2
17

Cs
1
0,91
Al
3
18,1

Cu
1
8,47
Pb
4
13,2

Ag
1
5,86
Sb
5
16,5

Au
1
5,9
Bi
5
14,1

1. Электронные свойства металлов 

9 

1.2. Модель Друде 

 
В соответствии с идеей, что электроны в металле могут свободно 

перемещаться в объеме твердого тела, в 1900 г. была предложена простая 
классическая модель (модель Друде – Лоренца), в рамках которой было 
дано объяснение ряду физических свойств металлов. Прежде, чем обращаться 
к современным теориям электронной структуры твердого тела, 
рассмотрим свойства металлов в этой простой модели. Может показаться 
бесполезным тратить время на старую классическую модель, однако, это 
не так. Модель металлов Друде физически наглядна. В ее рамках было 
дано первое микроскопическое объяснение ряда физических явлений, таких 
как электро- и теплопроводность, эффект Холла, закон Видемана – 
Франца и т. д. Некоторые ее результаты поражают своей точностью. Модель 
Друде часто используется и сегодня благодаря своей физической 
прозрачности. Кроме того, модель Друде дает возможность увидеть, что 
именно надо пересмотреть, чтобы получить более адекватную физическую 
картину. 

В теории Друде металл представляет собой трехмерную кристалли-

ческую решетку, по объему которой могут свободно перемещаться большое 
число электронов (рис. 1.3). Электроны рассматриваются как своеобразный 
электронный газ, и к нему применяются законы классической кинетической 
теории газов, т. е. используется классическая статистика 
Максвелла – Больцмана.  

 
 

 

 

Рис. 1.3. Представление металла в классической модели Друде 

Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел 

10 

Основные приближения модели Друде приведены ниже. 
1. Приближение независимых электронов: в рамках этого приближе-

ния считается, что электроны не взаимодействуют между собой, 
т. е. пренебрегается электрон-электронным взаимодействием. Это 
приближение, как позднее выяснилось, оказалось наиболее удачным. 

2. Свободные электроны: в рамках этого приближения пренебрегает-

ся взаимодействием электронов с ионами решетки (электронно-
ионным взаимодействием). Приближение оказалось плохим, и от 
него пришлось отказаться. 

3. Соударение электронов с ионами решетки считаются упругими, 

т. е. электроны отскакивают от ионов, как от твердых шаров. Такая 
картина, конечно, слишком упрощена, но во многих задачах 
не столь важны детали механизма рассеяния, сколько его наличие.  

4. Движение электронов в интервале времени между соударениями 

считается прямолинейным. Время между двумя столкновениями 
τ – время свободного пробега (или время релаксации). Расстояние, 
который проходит электрон за это время, – длина свободного пробега (
λ).  

 
 

1.3. Статические свойства металлов в модели Друде 

 
Рассмотрим статические свойства металлов, возникающих под воз-

действием постоянного электрического поля (E = const). 

 
1.3.1. Закон Ома 
 
Закон Ома устанавливает связь между величиной плотности тока j  

и приложенным электрическим полем E . В дифференциальной форме закон 
Ома имеет вид  

 

 
1
σ
ρ
j
E
E


, 
(1.2) 

 

где σ – удельная электропроводность; ρ – удельное сопротивление. 

Закон Ома описывает линейный отклик свободных электронов на 

внешнее поле. Скорость электронов складывается из двух компонент: тепловая 
скорость vт и скорость дрейфа vд. Тепловая скорость – это скорость 
хаотического движения электронов из-за столкновений с решеткой, в результате 
которых они получают от решетки тепловую энергию. Так как 
в теории Друде к электронному газу применяются классические законы 
кинетической теории, то, исходя из распределения Максвелла по скоро-

1. Электронные свойства металлов 

11 

стям, тепловую скорость можно определить, как среднеарифметическую 
скорость: 

 
vт = 
8

π
B
k T

m

. 
(1.3) 

 
Тепловая скорость электронов велика. Принимая mэл = 9·10–31 кг, по-

стоянная Больцмана kB = 1.4·1023Дж/К, T = 300 K (комнатная температура), 
получим, что  

vт = 

23

31

8 1,4·10
300

3,14 9 10








 
 ~ 105 м/c. 

 
Но поскольку все направления движения электронов в отсутствии 

поля равновероятны, то их средняя скорость теплового движения vт равна 
нулю. 

Вторая составляющая – скорость дрейфа vд – появляется при дей-

ствии на электроны постоянного электрического поля E . Теория Друде 
впервые позволила определить скорость дрейфа. На электроны действует 
кулоновская сила F
eE
 
 и под действием этой силы электроны приобре-

тают добавочную скорость, направленную против поля. Это направленное 
движение электронов называется дрейфом, а приобретенную скорость, соответственно, – 
дрейфовой скоростью, т. е. скоростью направленного движения 
электронов. 

Дрейфовая скорость непосредственно связана с плотностью электри-

ческого тока j . Пусть по проводнику сечением dS протекает ток I. Тогда 
плотность тока 

j = 
д
д

д

d
d
d

d
d
d
d
d

v
Q v
Q
Q

S
t
S
t v
V





. 

 

За время dt электрон проходит расстояние dl = vд dt, dQ = +edN, где dN – 
число электронов. Тогда плотность электрического тока можно записать 
в следующем виде: 

 
д
д

d
d
N
j
v e
nev
V


, 
(1.4) 

 

где e = –1,6·10–19 Кл – заряд электрона. Дрейфовая скорость электрона 
много меньше, чем тепловая скорость. Так, при токе I = 1 A и сечении 
проводника dS = 2 мм2 дрейфовая скорость  

 

vд = 
28
19
6

1

d
10
1,6 10
2 10

j
I

ne
S ne







 

 ≈ 3∙10–4 м/с ~ 10–4 м/с. 

Физика твердого тела. Электронные свойства твердых тел 

12 

Отметим, что в модели Друде рассматривается поведение среднего электрона 
под действием внешних полей, т. е. считается, что все электроны 
движутся с одной скоростью.  

Под действием электрического поля электроны движутся ускоренно. 

И если бы не наличие силы сопротивления, то ток нарастал бы неограниченно:  


дv
at

, 
ma
F
eE


, 
eE
a
m

, 

 

 
д

eE
v
t
m

. 
(1.5) 

 
То есть при t → ∞ дрейфовая скорость и плотность тока также стре-

мились бы к бесконечности: vд → ∞, j → ∞. Сопротивление в модели Дру-
де возникает за счет столкновения электронов с ионами кристаллической 
решетки. Сталкиваясь с ионом, электрон теряет скорость, а так как столкновения 
случайны, то в среднем электроны не сохраняют предпочтительное 
направление движения. Таким образом, действие кристаллической решетки 
можно свести к действию силы сопротивления. 

Пусть за время τ электрон испытывает одно столкновение с вероят-

ностью 1/τ, тогда вероятность того, что он испытает столкновение за время 
dt равна dt/τ. В свою очередь, вероятность того, что столкновение не произойдет, 
равна 1 – dt/τ. Электроны, не испытавшие столкновения, движутся 
под действием силы Кулона: 
k
F
eE

, и за время dt их импульс изменится 

на d
d
k
p
F t

. Импульс нестолкнувшихся электронов через время dt будет 

равен: 

d
(
d )
1
[ ( )
d ]
τ
t
p t
t
p t
p










; 

 

d
(
d )
1
[ ( )
d ]
τ
k

t
p t
t
p t
F
t










; 

 

2
d
(
d )
( )
d
( )
(d )
τ
k

t
p t
t
p t
F t
p t
О
t





; 

 

 
(
d )
( )
( )

d
τ
k

p t
t
p t
p t
F
t





. 
(1.6) 

 

Поскольку 
d
0
lim
t
d
0

(
d )
( )
d
lim
d
d
t

p t
t
p t
p

t
t





, то уравнение движения 

электрона будет иметь вид