Вариационное исчисление и теория оптимального управления

В. Ю. Киселёв, Т. Ф. Калугина




ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие













Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 519.6+517.9
ББК 22.161.8
      К44


Рецензент:
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Ивановского государственного энергетического университета Сковорода Борис Федосьевич




      Киселёв, В. Ю.
К44 Вариационное исчисление и теория оптимального управления : учебное пособие / В. Ю. Киселёв, Т. Ф. Калугина. - Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 132 с. : ил.
         ISBN978-5-9729-1416-6

         Даны сведения по вариационному исчислению и оптимальному управлению. Рассмотрены некоторые геометрические и изопериметрические задачи, задачи со свободными концами. Представлены примеры решения задач.
         Для студентов физико-математических, технических и экономических направлений подготовки. Может быть полезно преподавателям и инженерам.


                                                 УДК519.6+517.9
                                                 ББК 22.161.8




В авторской редакции






ISBN 978-5-9729-1416-6 © Киселёв В. Ю., Калугина Т. Ф., 2023
                      © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                      © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

Оглавление

Введение                                       5
1.   Простейшая задача вариационного исчисления                                     8
1.1. Об обозначениях производных                  8
1.2. Постановка задачи.                           8
1.3. Вариация функционала J                       9
1.4. Уравнение Эйлера                            10
2.   Уравнение Эйлера для лагранжианов разных
    видов                                        17
2.1. Лагранжиан, не зависящий от X               17
2.2. Лагранжиан, не зависящий от x               17
2.3. Лагранжиан, не зависящий от t               18
2.4. Функционалы в виде интегралов по длине дуги 19
2.5. Некоторые геометрические задачи             19
3.   Простейшая задача вариационного
    исчисления. Многомерный случай               23
3.1. Постановка задачи.                          23
3.2. Система уравнений Эйлера                    23
4. Лагранжева механика                           26
5. Экстремумы функционалов
    С ЛАГРАНЖИАНАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ                                  36
6. Задача со свободными концами                  40
7. Экстремумы нестандартных функционалов 44
7.1. Свойства вариации                           44
7.2. Экстремум отношения функционалов            45
7.3. Экстремум произведения функционалов         46
8. Функционалы, зависящие от функций
    НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ                        48
8.1. Уравнение минимальных поверхностей          51
9.   Изопериметрическая задача                   53
10.  Задача Лагранжа (поиск условного
    экстремума с голономными связями)            61
10.1. Геодезические на заданной поверхности      66

з

  11. Задача Больца                              69
  12. Задача Лагранжа с неголономными
      связями                                    73
  13. Задача с подвижными концами                78
  13.1. Задача с подвижными концами на двух заданных кривых                                      83
  14. Экстремали с изломами                      89
  15. Вторая вариация и различение максимумов
      и минимумов                                94
  15.1. Необходимые условия минимума и максимума функционала                                 95
  15.2. Формула для второй вариации и необходимые условия Лежандра                            96
  15.3. Исследование квадратичного функционала   99
  15.4. Следствия для функционала J(x)          102
  15.5. Список необходимых условий экстремума   103
  15.6. Достаточные условия слабого экстремума  103
  15.7. Достаточные условия сильного экстремума 105
  16. Оптимальное управление                    108
  16.1. Постановка задачи                       108
  16.2. Основная теорема                        109
  16.3. Классическая задача об остановке        113
  17. Прямые методы вариационного исчисления 122
  17.1. Метод Ньютона                           122
  17.2. Метод Ритца                             125

  Библиографический список                     129

4

            Введение



  Вариационное исчисление зародилось вместо с современным математическим анализом в конце XVII в.: в июне 1696 г. Иоганн I Бернулли в письме Готтфриду Вильгельму Лейбницу предложил решить за,да,чу о брахистохроне (см. пример 6.1 на с. 40). Правда, ранее, ещё в 1687 г., Исаак Ньютон поставил и решил задачу о форме носа корабля, имеющего наименьшее сопротивление движению — это тоже вариационная задача, но тогда она не была осознана как задача особого класса. Ещё раньше, примерно на две с половиной тысячи лет, возникла задача, Дидоны (см. пример 9.1 на с. 56), но в те времена легенда о финикийской царевне Элиссе—Дидоне была, конечно, забавной притчей о человеческой хитрости, а не задачей из области математики (каковой, то есть математики как науки, тогда ещё не существовало).
  В 1696 же году математическая почва для произрастания вариационного исчисления созрела: Лейбниц быстро решил задачу о брахистохроне и написал Иоганну Бернулли, чтобы тот дал другим математикам год на её решение. Тот опубликовал задачу повторно в январе 1697 г., и в течение года её решения были получены Яковом I Бернулли (братом Иоганна), маркизом Гийомом де Лопиталем и анонимным автором, в котором сразу же, по стилю работы, был узнан Исаак Ньютон. Итак, класс задач, в которых решением служило не число, а некоторая наилучшая кривая, был найден и осознан как предмет особого раздела математики, который мы теперь называем вариационным исчислением.
  Общий подход к решению такого рода задач был найден в 1732 г., когда 25-летний Леонард Эйлер опубликовал работу, в которой рассмотрел не частные задачи, а всевозможные „задачи, где отыскивают кривые, обладающие максимальным или минимальным свойством". В частности, он наконец-то строго решил изопериметрическую задачу (задачу Дидоны). Ключевым достижением Эйлера было отыскание уравнения, которое носит его имя 5

{уравнение Эйлера,). Это уравнение играет основную роль в вариационном исчислении. Итоги работы Эйлера в области вариационного исчисления были подведены в книге [15], изданной в 1744 г. С тех пор вариационное исчисление бурно развивалось, рассматривались новые варианты вариационных задач и их приложения к теоретической механике. Среди исследователей в области механики особую роль занимает великий математик Жозеф Луи Лагранж, первая работа которого на эту тему была изложена в письме к Эйлеру в 1755 г., когда Лагранжу было 19 лет. Основные работы Лагранжа по вариационному исчислению и его применению к механике были опубликованы в 1760-1761 гг.
  В дальнейшем вариационное исчисление развивали А. М. Лежандр (в конце XVIII в.), У. Р. Гамильтон, К. Г. Я. Якоби, М. В. Остроградский, К. Т. В. Вейерштрасс и многие другие (на протяжении XIX в.). Приближённые методы решения вариационных задач были разработаны в начале XX в. В. Ритцем и Б. Г. Га-лсркиным.
  В середине XX в. появляется новая отрасль вариационного исчисления — оптимальное управление: класс вариационных задач с изменяемым функциональным параметром (управлением), наилучший выбор которого составляет цель решения такой задачи. Как только особый характер такого рода задач был осознан, сразу выяснилось, что задачу Ньютона о наилучшей форме носа корабля, которую тот решил в 1687 г., тоже можно рассматривать как задачу оптимального управления! (См., например, [1, 3].) Теория оптимального управления быстро и успешно развивалась в 50-х и 60-х гг. XX в. в работах Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко и других математиков.
  Наука эта (вариационное исчисление и оптимальное управление), как и вообще любая отрасль математики, отнюдь не является законченной и застывшей. Исследования в ней продолжаются и в будущем принесут решения новых возникающих проблем.
  В этой книге мы даём основные сведения о вариационном исчислении и оптимальном управлении для студента, который хочет (или должен) познакомиться с этой наукой. Упор делается на методы решения задач разного рода. Меньшее внимание уделяется
6

подробному изложению условий, при которых верны приводимые утверждения. Делается это не всегда: во-первых, эти условия часто повторяются в схожих утверждениях, а во-вторых, есть надежда, что тот пытливый студент, кому эти условия интересны, сам сумеет сообразить, что нужно предполагать, чтобы те действия и преобразования, которые приходится применять (в доказательствах, например), были законны. Кроме того, акцентирование каждый раз внимания на многочисленных условиях, которые в примерах, как правило, выполняются, сильно тормозило и затемняло бы изложение.
  Вместо этого мы старались дать достаточно много примеров решения задач тех типов, которые представлены в нашей книге. Это и классические задачи (задача о брахистохроне, задача Дидоны, задача о минимальной поверхности, задача о геодезических и др.), и методы применения вариационного исчисления в механике (лагранжева механика, то есть принцип наименьшего действия), и разбор решений примеров учебного характера. Мы надеемся, что эти примеры будут интересны и полезны студенту, осваивающему на практике новую для него математическую дисциплину — вариационное исчисление и оптимальное управление. За дополнительными сведениями по этой науке можно обратиться к более подробным курсам, например [1, 3, 4, 5, 14, 16].
  Успехов вам в изучении математики!
  Книга написана на основе лекций, читанных одним из авторов (В. К.) в Ивановском государственном энергетическом университете (ИГЭУ).
  Первое издание вышло в 2021 году в ИГЭУ. Во втором издании исправлены замеченные неточности и добавлена глава 17, знакомящая с приближёнными методами решения вариационных задач.

В. Киселёв, Т. Калугина.

7

            1. Простейшая задача вариационного исчисления



1.1. Об обозначениях производных.
  Если f — функция нескольких переменных,
f = f (t; x 1; x 2; y;...).
то для обозначения частных производных мы будем, как правило, применять нижние индексы при букве, обозначающей функцию. Таким образом,
      f -df. f _df_ f               d²f f _0f
      ft dt ’ fx ¹  dx 1 ’ fx ¹ x ² dx 1 dx 2, fyy dy² , ...
  Если аргумент функции одного переменного обозначен через t (или t1 ,t₂ ,Т), то производные обозначаются точкой над буквой, обозначающей функцию¹. Например, для функции x(t)
...   dx  ....   d² x ..... d³ x
x⁽ t) dt’  x⁽ t) dt² ’ ⁽t)  dt³ . ...
  Производные функций одного переменного по переменным, обозначенным другими буквами (не t), мы будем обозначать штрихами. Например, как обычно, y'(x) = ^у (x).

1.2. Постановка задачи. Рассмотрим функционал J интегрального типа, определённый на пространстве функций x Е C¹ ([a; b]), непрерывных на отрезке [a; b] С R и имеющих непрерывную производную x (возможно, кроме точек t = ant = b):


J (x) = / b a a

L(t. x(t) ,x(t))dt.


Подынтегральная функция L в этом функционале называется лахранжиамом функционала J. Функция L (t; x; v) — это функция трёх переменных, t, x и v = x. Мы будем предполагать,

что она непрерывна по всем трём переменным, а по переменным x и v имеет непрерывные частные производные Lₓ = dLL L Т.- — Т. dL dL
L Lx = Lv = dv = ЭХ-

¹ Обозначение производных по времени точкой принадлежит Ныотопу.
8

  Для разных функций х функционал будет принимать разные значения J(х). Простейшая задача вариационного исчисления заключается в следующем: требуется найти такую функцию х е C 1([a; b]), для котороJ значение J(х) было бы наименьшим (или наибольшим) среди функций х, удовлетворяющих дополнительным граничным хсловиям: х(a) = A; х(b) = B, где A и B — заданные (фиксированные) граничные значения. Кратко будем записывать эту задачу в виде

J(х) ^ extr (min, max); х(a) = A; x(b) = B.


1.3. Вариация функционала J.
  Пусть дана некоторая функция х(t), удовлетворяющая граничным условиям. Изменим её на интервале (a; b) так, чтобы граничные условия сохранились. Для этого заменим х(t) на х(t) = х(t) + h(t), где приращение (или вариация) функции, равное h(t), удовлетворяет нулевым граничным условиям:

h(a) = 0; h(b) = 0.

Тогда новая функция ж(t), очевидно, так же будет удовлетворять исходным граничным условиям:

х(a) = A; х(b) = B.

Приращение функционала J(х) при переходе от х к х будет иметь вид


  Л J (х; h) = J (х) — J (х) =


=f a a

, - ,     , ч       , , ч . , ч       • , ч ч     - ,       , ч . , ч ч ч ,
(L (t; х (t) + h (t); х( t) + h( t)) — L (t; x (t); x( t))) dt.


Разность, стоящую под знаком интеграла, по формуле Тейлора можно представить в виде


  Т ( I  1 7  •  1 7 \  Т ( I   • \   Т / I    • \ 1 , Т / !    • \ I 1
  L(t; х + h; х +   h) — L(t; х; os) = Lₓ (t; x; rr) ■ h + Lx (t; x; rr) ■ h + e,


где e — бесконечно малая величина более высокого порядка, чем \\h\\ 1, при \\h\\i ^ 0 (|| ■ ||i — норма функции в пространстве 9

C¹ ([a; b])). Значит,

fb
I (Lₓ(t; x(t); x(t)) • h(t) a a

A J

+ Lx(t; x(t); x(t)) • fi(t))dt + e 1,

где e 1 обладает тем же свойством, что и е. Рассмотрим интеграл от второго слагаемого подынтегральной функции

                       ( Lx(t; x(t); x(t)) • h(t)dt a

и проинтегрируем это выражение по частям:


    [ Lx(t; x(t); x(t)) • h(t)dt = a
      = Lx(t; x(t); x(t)) • h(t) ^ - j dd~(ₜ (Lx(t'; x(t); x(t))) • h(t)dt.

В силу нулевых граничных условий для h (t), то есть того что h(a) = h(b) = 0, внеинтегральный член обращается в 0:
Lx(t; x(t); x(t)) • h(t)\a = 0 — 0 = 0,

так что
A J = У ^ Lx (t; x (t); x( t)) • h (t) — (L( Lx (t; x (t); x( t))) • h (t )^ dt+e 1.

Главная, линейная по приращению функции h, часть приращения функционала A J называется вариацией функционала J в точке x и обозначается bJ(x; h) или просто bJ. Она получается отбрасыванием слагаемого е 1, имеющего больший порядок малости, чем \\h\\ 1, так что

bJ(x; h)

= У ^1((t; x(t); x(t)) — dt (Lx(t; x(t); x(t)))

• h(t)dt.

1.4. Уравнение Эйлера. При малых \\h\\ 1 знак при ращения A J совпадает со знаком вариации bJ, поскольку разность их, равная е 1, имеет больший порядок малости. Если функция x = х даёт минимум функционалу J, то A J ^ 0 при любом (достаточно малом по норме) приращении h и, значит, SJ ^ 0. Еслx же x даёт максимум J, то точно так же SJ < 0.
10

  Покажем, что и в том и в другом случае SJ(х; h) = 0. Дей-ствителвно, если бы это был не 0, то, сменив знак приращения h, мы, в силу линейности по h вариации, сменили бы знак вариации SJ(х; h), не меняя малой нормы \\h\\ 1, и вместе со знаком вариации сменили бы знак приращения A J. Но это противоречило бы наличию экстремума при х = х.
  Теперв покажем, что для выполнения равенства SJ(х; h) = 0 (при всех h) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось уравнение
_.............. d _...........
Lₓ(t; х(t); х(t)) - -Lx(t; х(t); х(t)) = 0,

называемое уравнением Эшера² для функционала J(х). Действительно, если бы при каком-нибудь t = tо левая часть этого уравнения была не равна 0, мы могли бы выбрать приращение h, отличное от 0 и положительное лишь в некоторой малой окрестности точки t₀, в которой левая часть уравнения сохраняет знак (скажем, > 0). Тогда интеграл SJ(х; h) оказался бы положительным, поскольку его подынтегральная функция была бы больше 0 в окрестности точки t₀ и тождественно равна нулю вне этой окрестности.
  Итак, мы получили основное утверждение вариационного исчисления:


     Теорема 1.1 (теорема Эйлера - Лагранжа). Если функция х(t) даёт экстремум (безразлично, минимум или максимум) функционалу


то для функции х =

J(х)= I L(t; х; х)dt, a a
х выполняется уравнение Эйлера,


Lx

d
- —1= = 0. dt


   “Оно впервые было получено Леопардом Эйлером (см. [15]). В механике это же уравнение называется уравнением Лагранжа для лагранжиана, (или функции Лагранжа) L (см. [9, §2], [10, гл. 5]).
11

  Решения уравнения Эйлера называются экстремалями функционала J(x). Таким образом, экстремумы функционала могут достигаться только на его экстремалях: найдя экстремали, мы отыщем все функции, которые могут давать экстремум функционала. Заметим, однако, что теорема даёт лишь необходимое условие экстремума, то есть функция, служащая экстремалью, может и не давать экстремум функционала. Но во многих задачах наличие экстремума следует из содержательной постановки задачи, так что в случае нахождения единственной экстремали задача оказывается решённой: эта единственная экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям задачи, и служит решением задачи.


     Замечание 1.1. Заметим, что если функционал J изменить на постоянное слагаемое, то ни приращение, ни вариация функционала J не изменятся; не изменится и уравнение Эйлера. К изменению J на постоянную приводит добавление к лагранжиану L производной по t от какой-нибудь функции: действительно, если добавить к L величину f (t), то


    fb       .          fb          fb .           fb
   J (L + f (t))dt = J Ldt + J f (t) dt = J Ldt + f (b) — f (a),

то есть значение J изменяется на постоянную f (b) — f (a). При нахождении экстремалей такие слагаемые (полные производные по t от какой-либо функции) можно не учитывать. Иными словами, лагранжиан функционала определён с точностью до слагаемого, равного полной производной функции. Добавление в лагранжиан функции вида, например, g(x(t))x(t) (которая является полной производной по t, см. следующий абзац) не меняет уравнения Эйлера Lₓ = dt Lx, поскольку в обе части этого уравнения добавляется одно и то же слагаемое: Ц (g(x)x) = gₓ (x)x и d⁽dx⁽g⁽x)x)) = dt⁽g⁽x)) = gx⁽x)x-
  Функционалы


J (x) = / b a a

L (t; x; x) dt

12