Вариационное исчисление

К. А. Лебедев







        ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


Учебное пособие











Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2023

УДК 517.97
ББК 22.161.8

    ЛЗЗ


Рецензенты:
доктор педагогических наук, профессор С. В. Юнов; доктор технических наук, профессор Г.А. Аршинов




    Лебедев, К. А.
ЛЗЗ Вариационное исчисление : учебное пособие / К. А. Лебедев. -Москва ; Вологда : Инфра-Инженерия, 2023. - 220 с. : ил., табл.

          ISBN978-5-9729-1224-7


         Изложены теория и методы решения различных вариационных задач с иллюстрациями аналитического и численного способов их решения. Упор сделан на численные решения с помощью математического пакета mathCAD. Все решения задач доведены до «числа». В приложениях приводятся алгоритмы и программы. В основу положены лекции, которые читались автором на факультете компьютерных технологий и прикладной математики.
         Для студентов, обучающихся по направлениям 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», 02.03.03 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем», 09.03.03 «Прикладная информатика» при изучении дисциплины «Вариационное исчисление и оптимальное управление», а также аспирантов, обучающихся по специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические науки).


                                                         УДК517.97
                                                         ББК 22.161.8








ISBN 978-5-9729-1224-7

     © Лебедев К. А., 2023
     © Издательство «Инфра-Инженерия», 2023
                            © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2023

ВВЕДЕНИЕ

    Дисциплина «Вариационное исчисление и оптимальное управление» посвящена нахождению экстремумов функционалов и оптимизации динамических систем.
    Первая часть дисциплины «Вариационное исчисление», как и математический анализ, относится к классическим дисциплинам, подлежащим усвоению на математических отделениях университетов во всем мире. Вариационное исчисление является разделом высшей математики и насчитывает более 300-летнюю историю.
    В отличие от неё, вторая часть «Оптимальное управление», хотя и основывается на вариационном исчислении, имеет относительно молодой возраст, около 70 лет. Принцип максимума Понтрягина для оптимизации динамических систем возник как результат работы математиков над проблемой управления летательными аппаратами с целью вывода в открытый космос ракетных комплексов, для доставки атомного оружия в любую точку земного шара и управления многоступенчатыми ракетами, предназначенными для освоения околоземного пространства в начале 1960-х гг. Успехи в ракетостроении, совершенствовании информационных бортовых и наземных компьютерных систем привели к успешному процессу исследования планет Солнечной системы (Луны, Венеры, Марса, Сатурна, Плутона). Важную роль сыграл и принцип максимума, надёжно реализующий программное обеспечение для управления летательными аппаратами.
    Вариационному исчислению посвящено множество учебников, изданных в XX столетии [5, 6, 17, 18, 21] и в последние 20 лет [2, 4, 13]. Все они излагают предмет в соответствии с известным принципом высокого теоретического уровня (ВТУ-принцип), изложение ведётся от общего к частному, от абстрактного к конкретному, логически последовательно. Единственным исключением из общего правила

3

является учебник академика Л. Э. Эльсгольца [18], в котором автор в противовес ВТУ-принципу следует принципу высокого методического уровня (ВМУ-принципу), учитывая психологические особенности первичного восприятия сознанием студентов новых дисциплин.
    К сожалению, культура преподавания в соответствии с ВМУ-прин-ципом, которым была богата русская классическая школа, за последние 120 лет практически исчезла. ВТУ-принцип поглотил все богатые методические стороны, которые существовали ранее, методика сводится к стереотипному перепечатыванию текстов учебников. Наблюдается стремление излагать учебный материал строго формализовано, обобщённо, чисто технически, с позиций функционального анализа в абстрактных пространствах, соблюсти логическую последовательность, в отрыве от живого, диалектически противоречивого, творческого процесса освоения дисциплины, который предполагает совсем иные принципы преподавания. Доскональный анализ истории ВТУ-принципа представлен в монографии И. П. Костенко [9], где можно найти и принципы эффективного обучения (ВМУ), которые были характерны для русской классической средней и высшей школы. Дополняя известную монографию отечественного педагога, академика Ю. М. Колягина [10], И. П. Костенко рассматривает 1920-1980-е гг. как период развития ВТУ-принципа и его внедрения в советскую школу.
    В целом мы будем следовать учебнику [18]в плане принципов изложения, стараясь соблюсти ВМУ-принцип. Объём материала по сравнению с работой Л. Э. Эльсгольца [18] сокращён, но он дополняется в ходе проведения лабораторных занятий. Данное пособие, представленное в виде лекционного материала, по возможности приближено к форме устного изложения. Особенностью курса является дистанционное проведение лекций с помощью компьютера и интернет-техно-логий, что позволило использовать математический пакет mathCAD на всех лекциях для демонстрации возможностей численных и символьных вычислений и визуализации решения вариационных и оптимизационных задач, доведения всех примеров до «числа». Аналитические решения задач дополняются численными решениями. В отличие от сборников задач [1,7, 11, 15], упор сделан не на аналитическое, а на численное решение возникающих краевых задач с помощью пакета mathCAD, но в тех задачах, где возможно аналитическое решение, разумеется, даётся и оно. Численные и аналитические решения

4

сравниваются и оценивается точность численного решения. Математический пакет mathCAD был выбран среди других в силу его примечательной особенности «отсутствия» интерфейса, вернее интерфейса максимально приближенного к натуральной деятельности человека с ручкой и бумагой, что не вызывает дополнительных трудностей у учащихся в его освоении и делает его очень удобным, эффективным демонстрационным инструментом.

5

1. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛА

    Под функционалом понимают особые функции J[y], у которых аргументом являются функции y (x), заданные на отрезке [а, b].

    Пример 1. Примером широко известного функционала является определённый интеграл
b
J [ У ] = | У (x )dx, a
гдеу(x) - аргумент функционала J: C[a, b ] ^ R. Если y(x) > 0 ,то значение функционала численно равно площади криволинейной трапеции. Будем полагать, что y(x) есть непрерывная функция на отрезке [a, b]. Областью определения функционала является множество M = C[a, b] непрерывных функций на отрезке [a,b]. Тогда для любой такой функции можно вычислить интеграл и получить некоторое действительное число. Таким образом, мы имеем отображение J: M ^ R.

    Функционалом более общего вида может служить функционал b
J[y] = j Р(x)У(x)dx, где p(x) - заданная непрерывная функция. a
    Пример 2. Функционалом является длина l дуги плоской кривой, соединяющей две точки А(xo,yо) и B(xi,y i) на плоскости
             xi I--------
          l = j v¹⁺[y'⁽x)]²dx, y(xo)= y,⁰; y(xi)=y‘. x0
    Областью определения функционала является множество M = C⁽¹⁾[a, b] непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [ a,b ].
    Ещё пример функционала, который содержит производную b
J[y] = jq(x)УXx)dx, где q(x) - заданная непрерывная функция. a
    Пример 3. В высшей математике рассматривалась задача о нахождении площади поверхности вращения плоской кривой вокруг осих

6

          ⁵ = Ттjy⁽x)y/l + [y'(x)]²dx, y(x₀) - y°; y(xj - y¹ x

    И в данном примере областью определения функционала является множество M - C⁽¹⁾[a, b] непрерывно дифференцируемых функций на отрезке [a, b].
    Пример 4. Задача Ферма. Согласно принципу Ферма, луч света, выходящий из точки A и попадающий в точку B, избирает путь у(х), время перехода по которому является наименьшим. В однородной среде (плотность среды не меняется) скорость света постоянна и свет распространяется по прямым. Но если учитывать, что плотность


воздуха зависит от высоты у над уровнем моря, то и скорость света

будет зависеть от высоты — - v — v(y). Тогда время, затраченное dt
на движение из точки А в точку В, будет оцениваться интегралом
,  ~ B ds „          „    „   ..___ . ...        ..........._
t - T -I----. Учитывая, что дифференциал пути выражается через про-
       JAv⁽У⁾

изводную ds - ^Уу² + dx² -

I, f dy Y, 2   21,           ,
1 4 dT) dx ⁼ 1+⁺у dx, получим функционал

xl
J [ У ] - j
x 0



            l + у'² , „......................... „.................


------dx. Траектория луча света не будет прямой. Траектория v ⁽у⁾


солнечного луча, падающего вертикально к поверхности Земли из точки A и попадающего в точку B, не лежащую на вертикали, будет изогнутым.


    Пример 5. Частным случаем задачи Ферма является задача о брахистохроне - кривой, по которой материальная точка попадает из точка А в точку В за минимальное время. С этой задачи началось в 1969 г. развитие вариационного исчисления. В ней v(у) - 72gy и функ-

ционал имеет вид

J [ У ] -

1   x1
j
2 g g
V g x0

где g - ускорение свободного падения в поле тяжести Земли.

7

    Пример 6. Задача Пуанкаре есть частный случай задачи Ферма, когда v(у) = у ,и тогда функционал имеет вид

x1
                                    J [ у ] = f
x о

У

dx.

    Задача Пуанкаре имеет очень интересное приложение. Она является моделью геометрии Лобачевского и в истории математики сыграла большую роль, открыв дорогу к построению моделей аксиоматических систем и простого доказательства их непротиворечивости. Сам Лобачевский доказал непротиворечивость системы аксиом аналитическим методом (точки заменялись их координатами и объекты, прямые, окружности и т. д. рассматривались как функции между координатами), что значительно сложнее.


Пример 7. Типовой пример функционала J:C⁽¹⁾[a,b]^R даётинте-

грал b                                                     
     J[у] = f (у2 + у ’2)dx, у(a) = уо; у(b) = у',         
     a                                                     
или  b                                                     
     J [ у ] = f (у2 - у '2) dx, у (a ) = у °; у (b ) = у \
     a                                                     

    На них удобно проследить многие приёмы идеи аналитического и численного отыскания экстремумов функционалов. Функционалы более общего вида задаются формулами
          b                             b
    J[У] = f (p(X)у² + q(x)у '²)dx или J[у] = f (p(x)у² - q(x)у '²)dx. a                                   a
и в большинстве случаев имеют только численные решения.



    Рассмотрим приём вычисления значений функционалов в среде математического пакета mathCAD. Пусть аргумент функционала задан у(x) = x², требуется вычислить значения функционалов

8

Рис. 1.1

Л := f у(х) dx = 0.333 .VAV- |   “ '■ ■'
      Jo

Площадь криволинейной трапеции (при у>=0 )

J4

ая = -1.133

уС9²’

J5

Длина плоской кривой

Площадь поверхности вращения

Функционал 1

Функционал 2

J2 :=

dx = 1.479

J3 := 2 т

,2
   dx = 3.81

/
, Л fd , , 1
У<Л> + -У(Л)
       Vdx )

dx= 1.533

9

Определение функционала

    Рассмотренные примеры функционалов приводят к следующему общему определению функционала.
    Определение. Пусть дан некоторый класс M функций у(x). Если для каждой функции у(x) е M по некоторому алгоритму (закону, правилу) поставлено в соответствие определённое вещественное число J е R, то говорят, что на множестве M задан функционал J и пишут J = J[y]. Под множеством M обычно понимают класс непрерывных M - C⁽⁰⁾[a, b] или непрерывно-дифференцируемых функций M - C⁽¹⁾[a, b] на отрезке [a, b].
    При изучении вариационного исчисления, при выводе необходимых и достаточных условий экстремумов используются и обобщаются идеи и подходы математического анализа. Напомним, важные, основополагающие понятия математического анализа.
Функция одной переменной
     Функция есть первичное понятие математики. Функцией называется зависимость одной зависимой переменной у от другой независимой переменной x и обозначается у = f(x). Областью определения функции называется множество x-в, в котором функция имеет смысл и обозначается через X. Областью значений функции называется множество у-в, которые принимает функция, когда x пробегает все множество определениях. Функция есть отображение множества % в множество Y и обозначается f: X ^ Y, где множества X и Y принадлежат вещественным числам.
    Дифференциал и производная функции одной переменной
    Функцию в некоторой точке xо можно разложить в ряд Тейлора:
............. ,„z    . ч 1,, _z . ч 1 ,, _z . ч
     - f (xо) — Af (xо; Ax) - df (xо; Ax) + - d f (xо; Ar) +—d f (xо; Ax) +....

     Рассмотрим геометрический смысл дифференциала и производной. Проведём в точке M(xо, f(xо)) касательную MK. Её угловой коэффициент tg(а) равен производной f'(х₀) = tg(a). Если аргументу x дать приращение Ax, то функция получит приращение Af — NM₁, в то же время ордината касательной получит приращение df — NK. Отрезок

1о