Обработка спектральных линий

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

ОБРАБОТКА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Красноярск 

СФУ 
2022

 

УДК 535(07) 
ББК 22.3я73 

О230 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ципотан А. С. 
 

О230 Обработка спектральных линий: учеб. пособие / А. С. Ципотан, 

С. Н. Крылова, А. С. Крылов и др. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 
2022. – 56 с. 

 
 
 

Рассмотрены вопросы, посвящённые обработке спектральных линий. Дан 

теоретический материал об измеряемых спектральных величинах, характеристиках 
спектральных линий и методах аппроксимации экспериментальных данных, 
рассмотрен пример обработки спектров в программном пакете Wolfram 
Mathematica. 

Предназначено для студентов магистратуры, обучающихся по специальности 

16.04.01 «Техническая физика» и смежным специальностям, а также может быть 
полезно преподавателям вузов и специалистам в области спектроскопии. 

 

 
 
УДК 535(07) 
ББК 22.3я73 

 

Электронный вариант издания  
см.: http://catalog.sfu-kras.ru 
 

 
 

© Сибирский федеральный 

университет, 2022 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Введение ............................................................................................................... 5 

1. Общие сведения ............................................................................................... 6 

1.1. Измеряемые величины ...................................................................................... 6 

1.2. Характеристики спектрального прибора ........................................................ 9 

1.3. Уширение спектральных линий прибором ................................................... 11 

2. Характеристики спектральной линии ......................................................... 13 

2.1. Функция Лоренца (дисперсионный контур) ................................................. 15 

2.2. Функция Гаусса ............................................................................................... 15 

2.3. Функция Фойгта .............................................................................................. 17 

2.4. Векторное произведение функций Гаусса и Лоренца ................................. 17 

2.5. Функция затухающего гармонического осциллятора ................................. 18 

2.6. Функция резонанса Фано ................................................................................ 19 

2.7. Функции Пирсона ............................................................................................ 21 

3. Обработка данных Фурье-спектроскопии .................................................. 22 

3.1. Интерферограмма и восстановление оптического спектра 

из интерферограммы .............................................................................................. 22 

3.2. Преобразование Фурье .................................................................................... 25 

3.3. Эффект ограниченной интерферограммы. Аппаратная функция 

Фурье-спектрометра. Аподизация ........................................................................ 27 

3.4. Влияние аподизации на спектральное разрешение прибора ...................... 32 

3.5. Эффект влияния шага дискретизации. Дополнение нулями....................... 34 

3.6. Фазовая коррекция .......................................................................................... 35 

3.7. Получение спектра пропускания образца ..................................................... 36 

4. Аппроксимация спектральных данных ....................................................... 38 

4.1. Методы нулевого порядка: минимизация методом прямого поиска ......... 40 

4.2. Методы нулевого порядка: метод покоординатного спуска ....................... 40 

4.3. Методы нулевого порядка: симплексный метод .......................................... 41 

4.4. Методы нулевого порядка: случайный поиск .............................................. 42 

4.5. Методы первого порядка: градиентный метод (метод Коши) .................... 43 

4.6. Методы первого порядка: овражный метод ................................................. 43 

4.7. Методы первого порядка: метод сопряжённых градиентов 

(метод Флетчера – Ривза)....................................................................................... 44 

4.8. Методы второго порядка: метод Ньютона – Рафсона ................................. 44 

4.9. Методы второго порядка: метод Ньютона – Гаусса .................................... 46 

4.10. Методы второго порядка: метод Дэвидона – Флетчера – Пауэлла .......... 47 

5. Обработка спектров в программном пакете Wolfram Mathematica ......... 48 

5.1. Пример текста программы, написанной в пакете Wolfram Mathematica 

для обработки спектральных данных ................................................................... 48 

Заключение ........................................................................................................ 52 

Список литературы ........................................................................................... 53 

ВВЕДЕНИЕ 

 
Спектроскопия на сегодняшний день является мощным аналитиче-

ским инструментом, который можно использовать для определения иден-

тичности, структуры и окружения атомов и молекул путём анализа испус-

каемого или поглощаемого ими излучения. Анализируемый спектр оказы-

вается состоящим из дискретных линий и полос, возможно, перекрываю-

щих континуум. 

В первом приближении можно предположить, что излучение, испус-

каемое при переходе между уровнями, является строго монохроматиче-

ским и что спектральная линия, регистрируемая идеальным спектромет-

ром, будет бесконечно узкой. Однако линии, наблюдаемые с помощью 

простого спектрометра, имеют наблюдаемую ширину, которая прямо про-

порциональна ширине входной щели. Если ширину входной щели посте-

пенно уменьшать, ширина спектральной линии в конце концов достигнет 

предельного значения, определяемого дифракционными или аберрацион-

ными эффектами в приборе. Ширина линии также может быть уменьшена 

за счёт увеличения разрешающей способности до тех пор, пока при ис-

пользовании инструментов с самым высоким разрешением не будет обна-

ружено, что каждая спектральная линия состоит из собственного распре-

деления частот вокруг центра линии. Таким образом, измерение и обра-

ботка спектральных линий представляет собой нетривиальную задачу. 

В данном пособии рассмотрены вопросы, касающиеся измеряемых 

спектральных величин, характеристик спектральных линий и методов ап-

проксимации экспериментальных данных; рассмотрен пример обработки 

спектров в программном пакете Wolfram Mathematica. Настоящее пособие 

может быть полезно для студентов магистратуры, обучающихся по специ-

альности 16.04.01 «Техническая физика» и смежным специальностям, 

а также преподавателям вузов и специалистам в области спектроскопии. 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ 

 

1.1. Измеряемые величины 

 

В спектроскопии для измерения мощности, энергии и других харак-

теристик излучения обычно пользуются не фотометрическими единицами, 

традиционными для оптики, а энергетическими. Фотометрические величи-

ны связаны с энергетическими через функцию видности, которая отлична 

от нуля только в видимой части спектра. Поэтому в области длин волн 

за пределами видимого диапазона (короче 360 и длиннее 700 нм) такие по-

нятия, как «люмен», «люкс», «стильб», теряют смысл. Тем не менее поня-

тия «яркость», «световой поток», «освещённость» сохраняются в спектро-

скопии и для ультрафиолетовой, и для инфракрасной областей, несмотря 

на утрату их первоначального значения, связанного с визуальным восприя-

тием. Однако в качестве единиц при спектроскопических измерениях ис-

пользуются либо единицы систем СИ или СГС, либо принятые в атомной 

физике: электрон-вольты при измерении энергии термов, число квантов 

в секунду при измерении величины светового потока и др. Далее приво-

дятся основные величины, которые часто используются при спектральных 

измерениях, и их обозначения. 

Энергетический поток является величиной, аналогичной световому 

потоку. По определению это количество лучистой энергии в заданном ин-

тервале длин волн (λ1–λ2), протекающее в единицу времени сквозь некото-

рую площадку σ. Поток имеет размерность мощности и измеряется обычно 

в ваттах или микроваттах. Часто наряду с интегральным потоком Ф прихо-

дится иметь дело со спектральным потоком, т. е. с потоком, приходящимся 

на единичный интервал длин волн φλ или на единичный интервал волно-

вых чисел φν. Интегральный поток связан со спектральным соотношением: 

 

2
2

1
1

d
d










 

 




.
(1.1)

 
Освещённость E – это поток, приходящийся на единицу площади 

освещаемой поверхности. Освещённость измеряется в ваттах на 1 м2. Ча-

сто освещённость выражается числом квантов в секунду, приходящихся  

на 1 м2. 

Яркостью источника в данном направлении называется поток, посы-

лаемый единицей видимой поверхности в пределах единичного телесного 

угла:  

cos

d
B
d



 
  ,
(1.2)

 

где σ – площадь излучающей поверхности; dΩ – телесный угол, в котором 

излучается поток dФ; φ – угол между нормалью к площадке σ и направле-

нием наблюдения. 

Для широкого класса источников яркость не зависит от направления 

наблюдения. В этих случаях индекс φ опускается и яркость обозначается 

через В. Правильнее называть эту величину интегральной яркостью. Спек-

тральная яркость bλ (или bν) связана с интегральной соотношением: 

 

2
2

1
1

B
B d
B d











 



.
(1.3)

 
Единица измерений яркости: ватт на 1 м2 в единице телесного угла. 

Спектральная яркость, как и поток, относится к 1 Å или 1 см–1. 

Интенсивность спектральных линий I определяется как мощность, 

излучаемая единицей объёма источника в интервале длин волн, соответ-

ствующем полной ширине данной спектральной линии: 

 

2

1

I
i d










,
(1.4)

 

где iλ – спектральная мощность излучения, соответствующая данной ли-

нии. В качестве интервала интегрирования выбирается диапазон, за преде-

лами которого iλ падает практически до нуля. Т. к. это падение происходит 

обычно достаточно быстро, то пределы интегрирования можно расширить 

и можно написать: 

 

I
i d










.
(1.5)

Такие пределы интегрирования обычно удобнее для теоретических 

расчётов, в то время как при экспериментальных измерениях можно огра-

ничиться сравнительно небольшими расстояниями от центра линии. 

Экспозиция H – это энергия, приходящаяся на единицу поверхности 

фотоприёмника: 

H
Et

.
(1.6)

 
В большинстве спектральных исследований проводятся относитель-

ные, а не абсолютные измерения и, соответственно, все величины выра-

жаются в условной относительной шкале. В случаях абсолютных энерге-

тических измерений пользуются обычными энергетическими единицами: 

Дж, эрг, Вт/м2, эрг/см2 и т. д. 

Длина волны излучения λ является величиной, с которой наиболее 

часто приходится иметь дело при спектральных измерениях. Логично 

также для характеристики излучения пользоваться частотами ν = c / λ, вол-

новыми числами ν̃ = ν / c или круговыми частотами ω = 2πν (c – скорость 

света). Эти величины определяются только свойствами источника, в то вре-

мя как длина волны зависит от показателя преломления среды. Частотами 

и волновыми числами обычно пользуются при исследовании радио- и ин-

фракрасного диапазонов. Изучение этих областей развивалось значительно 

позднее спектроскопии видимого и ультрафиолетового излучения, для ко-

торых традиционно чаще используются длины волн, а не частоты. Все таб-

личные данные в литературе приведены в длинах волн, а не в волновых 

числах. Это, в сущности, и определяет традицию употребления этой вели-

чины как основной количественной характеристики спектральных линий. 

Наиболее употребительная единица для измерения длин волн – анг-

стрем (10–10 м). Система СИ предусматривает в качестве единицы измере-

ния нанометр (10–9 м или 10 Å). Наряду с этими единицами часто употреб-

ляется микрон (10–6 м или 104 Å). Волновые числа обычно измеряют в об-

ратных сантиметрах (см–1) (число длин волн, укладывающихся на 1 см). 

Иногда эту величину называют кайзером. Частоты измеряют в с–1 или Гц. 

 

1.2. Характеристики спектрального прибора 

 

Спектральный прибор производит гармонический анализ падающего 

излучения. Этот анализ, как правило, в оптике осуществляется с помощью 

диспергирующего элемента, отклоняющего лучи разных длин волн на раз-

личные углы. 

Существуют и другие принципы спектрального анализа излучения: 

селективные фильтры, пропускающие свет только в заданной узкой спек-

тральной области; различные приборы, действие которых основано на мно-

голучевой интерференции; приборы, действие которых основано на селек-

тивной частотной и амплитудной модуляции излучения (Фурье-спектро-

метры). 

Идеальным принято считать спектральный прибор, распределение 

энергии на выходе которого не зависит от его конструкции и особенно-

стей, а определяется только свойствами источника излучения. В реальном 

эксперименте и спектральный прибор, и приёмник излучения вносят 

в спектр искажения. 

Рассмотрим типичную схему спектральной установки (рис. 1.1). 

Она содержит щель 1, диспергирующий элемент 2, фокусирующую оптику 3. 

Спектр, представляющий собой дискретную или непрерывную последова-

тельность изображений щели, образованных лучами различных длин волн 

(λ1, λ2, λ3, ...), образуется на фокальной поверхности 4. Эти изображения 

попадают на приёмник 5, которым может быть глаз, фотопластинка, фото-

элемент, термопара, фотоприёмная матрица и т. д. 

В зависимости от способа регистрации – визуальной, фотографиче-

ской или фотоэлектрической – спектральный прибор называют спектро-

скопом, спектрографом или спектрометром. 

Изменение угла отклонения луча dφ с изменением длины волны dλ 

характеризует угловую дисперсию прибора: 

 

d
D
d




 .
(1.7)

 

 

 

Рис. 1.1. Общая схема спектрального прибора 

 

Прибор характеризуется также линейной дисперсией Dl, называемой 

также просто «дисперсией». (Термин «дисперсия» употребляется в спек-

троскопии также и в другом смысле: дисперсией называют зависимость 

показателя преломления вещества от частоты или длины волны света.) 

Линейная дисперсия: 

 

l

dl
D
d

 ,
(1.8)

 

где l – длина дуги, отсчитанная от какой-либо точки фокальной поверхно-

сти до места её пересечения с лучом. В некоторых случаях прибор харак-

теризуют обратной величиной (обратной дисперсией): 

 

1

l

d

D
dl


.
(1.9)

 

Измеряется обратная дисперсия обычно в ангстремах на миллиметр. 

Из общей энергии, испускаемой источником, до приёмника доходит 

лишь небольшая часть, пропускаемая спектральным прибором. Она харак-

теризуется светосилой прибора, которая, как правило, различна для излу-

чений разных длин волн. Чувствительность фотоприёмников также зави-

сит от длины волны регистрируемого светового потока. 

Способность прибора разделять две близко расположенные спек-

тральные линии определяется его разрешающей силой или разрешающей 

способностью. Количественное выражение для этих понятий будет дано 

далее. 

 

1.3. Уширение спектральных линий прибором 

 

Инструментальный контур 

Рассмотрим идеализированный случай, когда спектр излучения 

состоит из конечного числа отдельных монохроматических линий. 

Если бы прибор не вносил искажений в спектральное распределение энер-

гии этого идеализированного источника, то на выходе прибора мы получи-

ли бы ряд бесконечно узких спектральных линий. В реальном эксперимен-

те образованные спектральным прибором линии, даже если они соответ-

ствуют монохроматическому излучению, всегда имеют конечную ширину. 

Это связано со следующими обстоятельствами: 

1) спектральная линия является изображением входной щели, 

которая в реальном приборе всегда имеет конечную ширину; 

2) дифракционные явления в приборе уширяют геометрическое 

изображение; 

3) аберрации и дефекты оптической системы приводят к дальнейше-

му уширению изображения; 

4) регистрирующее устройство расширяет изображение, даваемое 

прибором. 

В зависимости от конструктивных особенностей прибора любая 

из этих причин может быть основной. Иногда основной вклад в уширение 

вносится некоторой комбинацией из них, иногда все причины действуют 

равноправно. 

Таким образом, спектральный прибор, регистрируя даже монохрома-

тическое излучение, записывает некоторый контур конечной ширины. 

Каждому элементу этого контура соответствует сигнал: 

 

 
Ф
Ф
d
f
d


 ,
(1.10)

 

где Ф – интегральный сигнал, соответствующий полному регистрируемо-

му потоку; f (λ) – аппаратная функция или инструментальный контур, 

определяется свойствами спектрального прибора. 

Аппаратная функция удовлетворяет условию нормировки: 

 

 

0

1
f
d




 

.
(1.11)

 
В спектрографе каждой длине волны λ соответствует угол отклоне-

ния φ и определённая точка фокальной поверхности с координатой х. 

Поэтому аппаратная функция может быть также записана в виде f (φ) 

или f (x).