Математические методы управления проектами

Г.Н. Чусавитина 
В.Н. Макашова 
И.К. Скокова  

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
УПРАВЛЕНИЯ ПРОЕКТАМИ

Учебное пособие 

3-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2023

УДК 51:330
ББК  65.050

Ч94

Р е ц е н з е н т ы :  
канд. техн. наук, заместитель директора ЗАО «КонсОМ СКС» Ю.Н. Волщуков;  
д-р экон. наук, член-корреспондент РАЕН, профессор кафедры экономики и финансов 
ФГБОУ ВО «Магнитогорский государственный технический университет 
им. Г.И. Носова» В.Н. Немцев 

Ч94 

 Чусавитина Г.Н. 

  Математические методы управления проектами : учебное пособие / 
Г.Н. Чусавитина, В.Н. Макашова, И.К. Скокова. — 3-е изд., стер. — Москва : 
ФЛИНТА, 2023. — 130 с. — ISBN 978-5-9765-3794-1. — Текст : электронный.

В 
пособии 
рассматриваются 
основные 
математические 
методы, 
используемые при управлении проектами: оценка длительности задач с 
помощью анализа PERT, метод критической цепи, управление проектами по 
стоимостным параметрам с использованием метода освоенного объема. 
Материал сопровождается примерами из практики проектного менеджмента. 
Для закрепления изученного материала, по каждому рассмотренному методу, 
предлагаются тестовые задания и задачи для самостоятельного решения. 
Учебное пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплину 
«Управление проектами» и обучающихся по специальностям в области 
менеджмента, экономики и информационных технологий по очной и заочной 
формам обучения. 

УДК 51:330 
ББК  65.050 

ISBN 978-5-9765-3794-1 
© Коллектив авторов., 2017 
© Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................. 4
ГЛАВА 1. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТОВ ПО ВРЕМЕНИ ..................................13
1.1. Оценки длительности задач для метода PERT................................................13
1.2. Расчет длительности операций проекта...........................................................15
1.3. Практическое применение метода PERT в управлении проектом................20
1.4. Тесты и задания по теме «Применение метода PERT при управлении
проектами» ................................................................................................................ 27
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ.............40
2.1. Метод критической цепи в управлении проектами........................................40
2.2. Способы реализации метода критической цепи .............................................56
2.3. Практическое применение метода критической цепи для ИТ-проекта........58
2.4. Тесты и задания по теме «Применение методам критической цепи при
управлении проектами»............................................................................................66
ГЛАВА 3. МЕТОД ОСВОЕННОГО ОБЪЕМА ПРИ УПРАВЛЕНИИ
ПРОЕКТАМИ ............................................................................................................82
3.1. Теоретические основы управления контролем исполнения ИТ-проектов..82
3.2. Метод освоенного объема как средство контроля ИТ-проектов ..................89
3.3. Информационные системы для автоматизации использования метода
освоенного объема.....................................................................................................96
1.3 Использование MS Excel для расчетов по методу освоенного объема.......102
3.4. Тесты и задания по теме «Применение метода освоенного объема при
управлении проектами»..........................................................................................107
ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................................114
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК....................................................................116
ПРИЛОЖЕНИЕ А. СРАВНЕНИЕ ПРОЕКТОВ ПО ФАЗАМ ПЛАНИРОВАНИЯ
И ВЫПОЛНЕНИЯ...................................................................................................123
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ «АНАЛИЗ РАСХОДА БУФЕРОВ»..126
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ТАБЛИЦА ФУНКЦИИ НОРМАЛЬНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.................................................................................................127
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. ХАРАКТЕРИСТИКА ПРОЦЕССОВ КОНТРОЛЛИНГА..128

ВВЕДЕНИЕ

Методология и средства управления проектами широко используются во 

всех сферах целенаправленной и проектно-ориентированной деятельности. 
Сейчас уже трудно назвать хотя бы один крупный проект, который осуществлялся 
бы без использования методологии управления проектами. Невозможно 
сегодня найти хотя бы одну известную в мире компанию, которая не использует 
в своей практике разнообразные методы и инструменты управления проектами [
18; 41; 51; 55, 56; 63 и др.].

Научно-методологическую основу методологии управления проектами со-

ставляют фундаментальные исследования как отечественных (А.И. Анчишкина, 
Л.С. Бляхмана, Ю.И. Берлинера, С.Ю. Глазьева, Ю.В. Куренкова, В.П. Логинова, 
А.С. Кулагина, А.Г. Кругликова, А.А. Дагаева, А.И. Пригожина, А.Б. Ланина, 
Г.Х. Попова, В.М. Рудзицкого, Р.А. Фатхутдинова Ю.В. Яковца), так и зарубежных 
учёных (К.Опенлендера, Э. Мэнсфилда, П. Друкера, Б. Санто, 
А. Клайнкнехта, П. Пилдича, Р. Уотермена и др.). 

Вопросы организации, управления, финансирования, оценки экономиче-

ской эффективности проектов затрагиваются в работах Б. Твисса, П. Уайта, 
Л. Водачка, О. Водачковой, И. Пиннингса, Ш. Тацуно, Н. Мончева, Д.М. Бобрышева, 
И.С. Голосовского, М.П. Голика, В.Л. Назаревского, М.М. Иванова, 
С.Р. Колупаевой, Г.Б. Кочеткова, В.Г. Долгова, А.А. Коренного и др. Современные 
модели оценки уровня зрелости организаций в области управления 
проектами, разработанные специалистами институтов SEI (Software Engineering 
Institute) и PMI (Project Management Institute), а также отдельными учеными, такими 
как Г. Керцнер, С.А. Мишин, А. Новичков, Д. Филипс и др., исследуют 
О.Н. Ильина, Н.Л. Коровкина, М.С. Русякова, Е.П. Трушкина и др.

В России сформировано профессиональное сообщество менеджеров про-

ектов. Активную роль в нем играют профессиональные ассоциации — Российская 
ассоциация управления проектами СОВНЕТ, Московское и Санкт-
Петербургское отделения Института управления проектами США. Набирает 
темпы процесс сертификации в области управления проектами. 

Применение методологии управления проектами способствует:
1. Увеличению эффективности в предоставлении услуг.
2. Улучшению/увеличению удовлетворенности клиентов.
3. Увеличению эффективности в предоставлении сервисов.
4. Росту и развитию команды.
5. Возрастанию уровня личной ответственности участников.
6. Повышению 
репутации 
компании 
и 
получению 
конкурентных

преимуществ.

7. Расширению возможностей для расширения сервисов.
8. Увеличению гибкости.
9. Увеличению возможностей оценки риска.
10. Повышению качества
11. Увеличению количества производимых товаров и услуг за конкретный

промежуток времени [5; 17; 18; 23; 29; 51 и др.].

Как свидетельствует мировой опыт, экономический рост ИТ-компаний 

существенно связан с развитием и использованием в управлении проектами современных 
средств и технологий автоматизации. Успешное ведение бизнеса сегодня 
практически невозможно без использования современных информационных 
систем. В проектном менеджменте активно используются автоматизированные 
информационные системы управления проектами, портфелями и программами. 
Можно выделить основные классы систем управления проектами,
характеристика которых приведена в таблице 1 [4; 6; 15; 34; 35; 60 и др.].

Таблица 1.

Характеристика основных классов систем управления проектами

Класс систем

управления проек-

тами

Основные характеристики систем 
управления проектами

Наименования систем
управления проектами

Свободное
про-

граммное обеспечение 
для управления
проектами

Поддержка
методов
сетевого

планирования и управления
Поддержка простых форм анализа 
ресурсов
Обработка информации об одном 
проекте

Хранение информации о проектах 
в файлах

OpenProject

GanttProject
и другие

Простые
системы

управления
проек-

тами

Поддержка
методов
сетевого

планирования и управления
Поддержка основных форм анализа 
ресурсов
Наличие встроенного генератора
отчетов
Обработка информации об одном
проекте или о нескольких одновременно 
открытых проектах

Хранение информации о проектах 
в файлах

MS Project Standard
Spider Project 
Lite/Desktop
Rillsoft Project

TimeLine
и другие

Продвинутые
си-

стемы
управления

проектами

Поддержка
методов
сетевого

планирования и управления
Поддержка продвинутых форм
анализа ресурсов
Поддержка пулов и команд ресурсов, 
ролей
Наличие встроенного генератора
отчетов
Обработка информации об одном
проекте или о нескольких одно-

MS Project Professional

Spider
Project
Profes-

sional
и другие

временно открытых проектах
Хранение информации о проектах 
в файлах с поддержкой импорта-
экспорта данных
Простые формы поддержки документирования 
проектов
Поддержка коммуникаций между 
участниками проектов

Возможность хранения информации 
о проектах в базах данных 
и публикации их на сайтах

Корпоративные системы

управления

проектами

Поддержка
методов
сетевого

планирования и управления
Поддержка продвинутых форм
анализа ресурсов
Поддержка пулов и команд ресурсов, 
ролей
Наличие встроенного генератора
отчетов
Хранение информации о проектах 
в корпоративной базе данных

Поддержка продвинутых форм
документирования проектов
Обработка информации о любом
подмножестве проектов компании

Поддержка управления портфелями 
проектов компании
Поддержка интеграции с другими 
информационными системами


Развитые формы управления доступом 
к информации и коллективного 
доступа к информации

MS Project Server
Oracle Primavera

Spider
Project
Profes-

sional
и другие

При выборе программного продукта важным становится фактор использо-

вания инструментария, то как он удовлетворяет требования проектной команды. 
Выделяют следующие требования, которыми ограничиваются при выборе
системы для успешной работы в ней:

1. Пользовательский интерфейс: характеристики, которые помогают вво-

дить и использовать информацию — гибкость организации экранных форм,
удобство средства редактирования, наличие мастеров и шаблонов.

Окончание таблицы 1. 

2. Управление данными: предоставление возможностей по доступу и пере-

дачи информации, группировке, администрированию, объединению и интеграции 
данных в проекте.

3. Метод планирования: условия, при их несоблюдении могут привести к

неэффективной работе системы управления — рабочая область проекта, календари 
выполнения работ, ввод и хранение данных по ресурсам, хранение проектных 
вех, расчет бюджета проекта, временные графики, статус работ и пересмотр 
календарного плана, ввод фактических затрат, расчет стоимости выполнения 
работ, определение риска, изменение действия контроля и др.

4. Совместная работа с участниками проекта: использование многоуровне-

вой клиент серверной архитектуры позволит повысить эффективность работы,
в необходимые отчетные сроки контролировать проект [34; 35; 44; 60; 78 и др.].

По данным исследовательской группе Gartner мировой рынок систем

управления проектами в среднем вырос на 20%. По прогнозам аналитиков, интеграция 
функций управления проектами, управления ИТ-сервисами и ЖЦ
приложений в единое решение для планирования и управления ИТ-ресурсами
сейчас на стадии внедрения и адаптации инструментальных механизмов. На
рисунке 1 представлен «магический квадрат» распределения систем управления 
проектами по данным исследований Gartner.

Рис. 1. Распределение систем по управлению проектами

Наибольшей популярностью в практики управления пользуются про-

граммные средства — Microsoft Project, Primavera, ProjectLibre, а так же российская 
разработка Spider Project.

Microsoft Project — программа управления проектами, разработанная и

продаваемая корпорацией Microsoft. Система создана, чтобы помочь менеджеру
проекта в разработке планов, распределении ресурсов по задачам, отслеживании 
прогресса, анализе объёмов работ и создании расписания критического пути. 
Расписания могут быть составлены с учётом используемых ресурсов. Последовательность 
задач визуализируется с помощью диаграммы Ганта. Интерфейс 
программного средства представлен на рисунке 2.

Primavera: программное обеспечение для управления и контроля проекта,

отслеживания ресурсов, материалов и оборудования. Программное средство
разработано компанией Primavera System, куплено фирмой Oracle в 2008 году.
Система преимущественно 
используется для обработки очень больших и

сложных проектов, особенно в машиностроении и строительстве.

Рис. 2. Интерфейс программы MS Project

На сегодня решение Oracle предлагает инструментарий по управлению

портфелем проектов [35]. Интерфейс программного средства представлен на
рисунке 3.

Кроме зарубежных разработок, на рынке систем управления проектами ак-

тивно используют и наши отечественные программные продукты. Одно из таких 
решений является Spider Project (рис. 4).

Пакет Spider Project был разработан компанией Spider Management Tech-

nologies . Основными особенностями программного средства являются:

Рис. 3. Интерфейс программы Primavera

– составления расписания проекта, основываясь на физических объемах

работ и производительности ресурсов;

– оптимизация использования ресурсов проекта и широкие возможности

моделирования их работы;

– включение в модель проекта поставок и финансирования и расчет рас-

писания с их учетом;

– расчет и использование ресурсного критического пути и ресурсных ре-

зервов;

– интенсивное использование в проектах всевозможных баз данных;
– использование множественных иерархических структур работ и ресур-

сов проекта;

– оригинальные подходы к моделированию рисков;
– дополнительные формы графических отчетов [78].
Дополнительную информацию можно найти на сайтах www.spiderproject.ru

www.spiderproject.com.

ProjectLibre — кроссплатформенное программное обеспечение для управ-

ления проектом с открытым исходным кодом, позиционированное как бесплатная 
альтернатива MS Project. Программа разработана основателями проекта 
OpenProj.

Рис. 4. Интерфейс программы Spider Project

Программное средство ProjectLibre разработано с использованием Java и

доступна для операционных систем Microsoft Windows, Linux, Unix, Mac OS x
(см. рис. 5).

Рис. 5. Фрагмент официального сайта ProjectLibre.com

Популярность 
ProjectLibre 
объясняется, 
помимо 
функциональности 
и 

достаточно высокого потенциала использования, такими факторами, как:

 распространение на принципах Open Source;
 приближенность интерфейса и инструментов к концепции Microsoft 

Project;

 использование распространенных стандартов управления проектами.

Также, необходимо отметить, что на сегодняшний день существуют

онлайн — сервисы для управления проектами. Мы перечислим кратко
основные из них.

Jira — мощный онлайн сервис, позволяющий командам-разработчикам

планировать проекты, назначать исполнителей задач, планировать спринты и
собирать задачи в бэклог, выставлять приоритеты и дедлайны.

GanttPro — диаграмма Ганта, позволяющая планировать и управлять

проектами онлайн, визуализировать процессы, создавать задачи и назначать их
участникам, выставлять дедлайны и процент завершения отдельных задач и
проекта в целом, добавлять вехи, а также делиться созданным графиком Ганта с
командой и с клиентами с правом просмотра или редактирования.

Redbooth — web-сервис, доступный также на iOS и Android, позволяющий

отслеживать ошибки, планировать проекты и активности, управлять ресурсами
и ставить задачи участникам проекта, устанавливать дедлайны и вехи проекта,
следить за расходами проекта. Также сервис предлагает делиться файлами и
синхронизацию с Google Drive, Gmail и Outlook.

Basecamp — один из самых популярный онлайн-сервисов для совместной

работы над проектами, позволяющий делиться документами, вести обсуждения
с командой, создавать to-do листы и добавлять комментарии к задачам,
высылать и принимать электронную почту.

Gemini — приложение, написанное на .NET для управления проектами,

включающее систему отслеживания ошибок. Gemini может быть использована
как для классического управления проектами, так и в рамках методологий Agile
и Scrum.

Управление проектами в современной экономической деятельности явля-

ется эффективным инструментом достижения стратегических целей организации, 
но эффект от применения проектного менеджмента в российских реалиях
не всегда достигается: всего 15-20% проектов заканчиваются в срок; 25-35%
проектов завершаются неудачей. Несмотря на это, за последние 4 года наблюдается 
рост числа ИТ-проектов, и согласно прогнозу к 2018 году прибыль от реализации 
ИТ-проектов увеличится до 13 млрд. долларов, как следствие возрастет
число ИТ-проектов [29; 33 и др.].

Для управления проектами российские организации активно применяют 

зарубежную практику, где развиваются новые направления такие как:

–
применения УП в нетрадиционных сферах: в социальных, экономиче-

ских, международных проектах;

–
использование проектного управление в государственном секторе;

–
разработка новых стандартов в области УП, в том числе стандарта

«Уровни зрелости системы управления проектами»;

–
использование технологических систем для проектного управления;

–
развитие методов управления рисками;

–
совершенствование методик управления персоналом [1; 3; 21; 23; 29; 66

и др.].