Математика. Геометрия : 11 класс (базовый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я72
 
М52

ISBN 978-5-09-101580-5 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087871-5 (печ. изд.)

Мерзляк, Аркадий Григорьевич.
Математика. Геометрия : 11 класс : базовый уровень : учебник : издание 
в pdf-формате / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, 
М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 6-е изд., стер. — Москва : 
Просвещение, 2022. — 207, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-09-101580-5 (электр. изд.) — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087871-5 (печ. изд.).
Учебник предназначен для изучения геометрии в 11 классе общеобразовательных 
организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая формировать 
у школьников познавательный интерес к геометрии.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту 
среднего общего образования.
 
УДК 373.167.1:514 
 
ББК 22.151я72

М52

Учебное издание
Мерзляк Аркадий Григорьевич, Номировский Дмитрий Анатольевич
Полонский Владимир Борисович, Якир Михаил Семёнович
Математика. Геометрия

11 класс. Базовый уровень
Учебник
Редактор И. В. Савельева. Внешнее оформление К. С. Стеблева. Художник Ю. А. Белобородова
Фотографии: «Фотобанк Лори», Shutterstock/FOTODOM, www.gazprom.ru
Художественный редактор Н. А. Морозова. Компьютерная вёрстка О. В. Поповой 
Технический редактор Е. А. Урвачёва. Корректор Е. Е. Никулина

Подписано в печать 30.07.2021. Фор мат 70×90/16. Гарнитура NewBaskerville
Печ. л. 17,5. Тираж         экз. Заказ №        .

Акционерное общество «Издательство «Просвещение». Российская Федерация,  
127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3, этаж 4, помещение I.

Адрес электронной почты «Горячей линии» — vopros@prosv.ru.

Под редакцией проректора МГУ им. М. В. Ломоносова,  
доктора физико-математических наук В. Е. Подольского

©  Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б.,  
Якир М. С., 2019
© АО «Издательство «Просвещение», 2021

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

От авторов

В этом учебном году вы завершаете изучение школьного курса стереометрии. 
Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую науку, 
а значит, с интересом будете овладевать новыми знаниями, и этому будет 
способствовать учебник, который вы держите в руках.
Ознакомьтесь с его структурой.
Учебник разделён на три главы, каждая из которых состоит из параграфов. 
В них изложен теоретический материал; самые важные сведения 
выделены жирным шрифтом и курсивом.
Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами 
решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных 
образцов оформления решения.
К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, 
к которым мы советуем приступать после изучения теоретического материала. 
Среди заданий есть как простые и средние по сложности упражнения, 
так и трудные задачи.
Если после выполнения домашних заданий остаётся свободное время 
и вы хотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда 
сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, не простой. Но тем интереснее 
испытать свои силы!
Дерзайте! Желаем успеха!

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Условные обозначения

Простые задачи

Задачи средней сложности

Сложные задачи

Задачи высокой сложности

Ключевые задачи, результат которых можно использовать 
при решении других задач

 
Окончание доказательства теоремы или решения задачи

9.15 Задания, рекомендуемые для домашней работы

3.11 Задания, рекомендуемые для устной работы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1. Координаты и векторы в пространстве

В этой главе вы ознакомитесь с прямоугольной системой 
координат в пространстве, научитесь находить координаты точек 
в пространстве, длину отрезка и координаты его середины.
Вы обобщите и расширите свои знания о векторах.

§ 1. Декартовы координаты точки
в пространстве

В предыдущих классах вы ознакомились с прямоугольной (декартовой) 
системой координат на плоскости — это две перпендикулярные координатные 
прямые с общим началом отсчёта (рис. 1.1).
Систему координат можно ввести и в пространстве.
Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве 
называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим 
началом отсчёта (рис. 1.2). Точку, в которой пересекаются три координатные 
прямые, обозначают буквой O. Её называют началом координат. Координатные 
прямые обозначим буквами x, y и z, их соответственно называют 
осью абсцисс, осью ординат, осью аппликат.

Рис. 1.1
Рис. 1.2

0
2
1
–1
–2
–3
3

–1

–2

–3

1

2

3

x

y

Ось абсцисс

Ось ординат

O

x

y

z

Ось ординат

Ось аппликат

Ось абсцисс

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Плоскости, 
проходящие 
через пары координатных прямых 
x и y, x и z, y и z, называют 
координатными плоскостями, 
их соответственно обозначают 
xy, xz и yz (рис. 1.3).
Пространство, в котором 
задана система координат, называют 
координатным пространством. 
Если оси координат 
обозначены буквами x, y и 
z, то координатное пространство 
обозначают xyz.
Из курса планиметрии вы 
знаете, что каждой точке M координатной 
плоскости xy ставится 
в соответствие упорядоченная 
пара чисел (x; y), которые 
называют координатами 
точки M. Записывают: M (x; y).
Аналогично каждой точке M координатного пространства ставится 
в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z), определяемая следующим 
образом. Проведём через точку M три плоскости α, β и γ перпендикулярно 
осям x, y и z соответственно. Точки пересечения этих плоскостей 
с координатными осями обозначим Mx, My и Mz (рис. 1.4). Координату точки 
Mx на оси x называют абсциссой точки M и обозначают буквой x. Координату 
точки My на оси y называют ординатой точки M и обозначают буквой 
y. Координату точки Mz на оси z называют аппликатой точки M и обозначают 
буквой z.
Полученную таким образом упорядоченную тройку чисел (x; y; z) называют 
координатами точки M в пространстве. Записывают: M (x; y; z).
Если точка принадлежит координатной плоскости или координатной 
оси, то некоторые её координаты равны нулю. Например, точка A (x; y; 0) 
принадлежит координатной плоскости xy, а точка B (0; 0; z) принадлежит 
оси аппликат.

Теорема 1.1

Расстояние между двумя точками A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) 
можно найти по формуле

AB
x
x
y
y
z
z
=
−
+
−
+
−
(
)
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2 .

Рис. 1.3

z

Ось ординат

Ось аппликат

Ось абсцисс

y

x

ху

xz

yz

O

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Доказательство
Прямая AB не может быть параллельна сразу трём координатным 
прямым.
Пусть прямая AB не параллельна оси z (случаи, когда прямая AB не 
параллельна осям x и y, рассматривают аналогично).
Спроектируем точки A и B на координатную плоскость xy. Получим 
точки A1 и B1 (рис. 1.5). Очевидно, что абсцисса и ордината точки A соответственно 
равны абсциссе и ординате точки A1. Таким же свойством 
обладают точки B и B1. Из курса планиметрии вы знаете, что 

A B
x
x
y
y
1
1
2
1
2
2
1
2
=
−
+
−
(
)
(
) .

Если отрезок AB параллелен координатной плоскости xy или ей принадлежит, 
то аппликаты точек A и B равны, т. е. z1 = z2, и AB = A1B1. Имеем: 

AB
A B
x
x
y
y
x
x
y
y
z
z
=
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) .  

Следовательно, для рассматриваемого случая теорема доказана.
Пусть отрезок AB не параллелен координатной плоскости xy и ей не 
принадлежит. В трапеции ABB1A1 проведём высоту AC (см. рис. 1.5). Очевидно, 
что BC
z
z
=
−
2
1 . Из прямоугольного треугольника ABC получаем: 

AB
AC
BC
A B
BC
x
x
y
y
z
z
=
+
=
+
=
−
+
−
+
−
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
) .  

Рис. 1.4
Рис. 1.5

O

x

y

z

M

α

β

γ

My

Mx

Mz

O

x

y

z

B

A

C

A1

B1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Теорема 1.2

Каждая координата середины отрезка равна полусумме 
соответствующих координат его концов.

Доказательство

Достаточно доказать, что точка M
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
2
2
2

+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
 является 

серединой отрезка с концами A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2).

Имеем: AM
x
y
z
x
x
y
y
z
z
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
+
+
1
2
1

2
1
2
1

2
1
2
1

2

2
2
2
 

=
−
+
−
+
−
=
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
)
;
x
x
y
y
z
z
AB

MB
x
y
z
x
x
y
y
z
z
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
+
+

2
1
2
2

2
1
2
2

2
1
2
2

2
2
2
 

=
−
+
−
+
−
=
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
)
.
x
x
y
y
z
z
AB

Итак, мы получили, что AB = AM + MB и AM = MB. Следовательно, 
точка M — середина отрезка AB. 

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые 
с общим началом отсчёта?
2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные 
прямые?
3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой x; буквой 
y; буквой z?
4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных 
прямых?
5. Как называют пространство, в котором задана система координат?
6. Опишите, каким образом каждой точке M координатного пространства 
ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z).
7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

8. Как найти координаты середины отрезка, если известны координаты 
его концов?

?

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Упражнения

1.1. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае 
утвердительного ответа укажите эту ось:
1) A (4; −3; 0); 
3) C (−6; 0; 0); 
5) E (0; 0; −2);
2) B (1; 0; −5); 
4) D (0; 7; 0); 
6) F (3; 0; 0).

1.2. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, 
и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:
1) A (4; −3; 5); 
3) C (3; 3; 0); 
5) E (0; 4; 0);
2) B (0; −2; 6); 
4) D (2; 0; 8); 
6) F (−1; 1; 2).

1.3. Какие из точек A (5; −8; 1), B (5; 8; 1), C (−5; 7; 1), D (5; −7; −1) лежат 
на одной прямой, параллельной оси ординат?

1.4. Какие из точек D (2; 3; 4), E (−2; 3; 4), N (2; 3; −4), M (−2; −3; 4) лежат 
на одной прямой, параллельной оси аппликат?

1.5. Какие из точек A (−1; 6; 2), B (−1; −6; 2), C (1; 6; −2), D (1; −6; 2) лежат 
в одной плоскости, параллельной плоскости xz?

1.6. Какие из точек M (5; 10; −3), N (5; 9; 3), K (4; −9; 3), P (4; −9; 2) лежат 
в одной плоскости, параллельной плоскости xy?

1.7. Укажите расстояние от точки M (4; −5; 2) до координатной плоскости:
1) xy; 
2) xz; 
3) yz.

1.8. Укажите координаты проекции точки M (−3; 2; 4) на координатную 
плоскость:
1) xz; 
2) yz; 
3) xy.
1.9. Куб ABCDA1B1C1D1 расположен в прямоугольной системе координат 
так, как показано на рисунке 1.6. Точка А имеет координаты (1; −1; 0). 
Найдите координаты остальных вершин куба.

1.10. Боковые рёбра прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 параллельны 
оси аппликат (рис. 1.7), AD = 3, AB = 5, AA1 = 8. Начало 
координат, точка O, является серединой ребра DD1. Найдите координаты 
вершин параллелепипеда.

Рис. 1.6
Рис. 1.7

x

y

z

B

A

C

D

A1

C1

D1

O

B1 

O

x

y

z

A

C

D

B1 

A1
C1
D1

B

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1.11. Найдите расстояние между точками A и B, если:
1) A (3; −4; 2), B (5; −6; 1); 
2) A (−2; 3; 1), B (−3; 2; 0).

1.12. Найдите расстояние между точками C (6; −5; −1) и D (8; −7; 1).
1.13. Точки A (3; −2; 6) и C (−1; 2; −4) являются вершинами квадрата 
ABCD. Найдите площадь этого квадрата.

1.14. Точки A (5; −5; 4) и B (8; −3; 3) являются вершинами равностороннего 
треугольника ABC. Найдите периметр этого треугольника.
1.15. Найдите координаты середины отрезка CD, если C (−2; 6; −7), 
D (4; −10; −3).

1.16. Найдите координаты середины отрезка EF, если E (3; −3; 10), 
F (1; −4; −8).
1.17. Точки P (7; 11; −9) и K (8; −6; −1) симметричны относительно точки 
C. Найдите координаты точки C.
1.18. Точка S — середина отрезка AD, A (−1; −2; −3), S (5; −1; 0). Найдите 
координаты точки D.

1.19. Точки A и B симметричны относительно точки M, причём B (1; 3; −5), 
M (9; 0; −4). Найдите координаты точки A.
1.20. Каковы координаты точки, симметричной точке K (9; −8; 3) относительно:

1) начала координат; 
2) плоскости xy; 
3) плоскости yz?

1.21. Каковы координаты точки, симметричной точке C (−3; 4; −12) относительно 
плоскости xz?

1.22. Найдите расстояние от точки M (−3; 4; 9) до оси аппликат.
1.23. Найдите расстояние от точки K (12; 10; −5) до оси ординат.

1.24. Расстояние между точками A (1; y; 3) и B (3; −6; 5) равно 2 6. Найдите 
значение y.

1.25. Точка A принадлежит оси абсцисс. Расстояние от точки A до точки 
C (1; −1; −2) равно 3. Найдите координаты точки A.
1.26. Найдите точку, принадлежащую оси ординат и равноудалённую от точек 
A (2; 3; 1) и B (4; 1; −5).
1.27. Найдите точку, принадлежащую оси абсцисс и равноудалённую от 
точки A (−1; 2; 4) и плоскости yz.

1.28. Найдите точку, принадлежащую оси аппликат и равноудалённую от 
начала координат и точки M (3; −6; 9).
1.29. Точка C (−4; 3; 2) — середина отрезка AB, точка A принадлежит плоскости 
xz, точка B — оси y. Найдите координаты точек A и B.
1.30. На отрезке AB отметили точки C и D, делящие его на три равные части, 
точка C лежит между точками A и D. Найдите координаты точки 
B, если A (−14; 5; −8), D (7; −7; 2).

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.