Математика. Алгебра и начала математического анализа : 11 класс ( базовый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
 
М52

© АО «Издательство «Просвещение», 2021
ISBN 978-5-09-101578-2 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087876-0 (печ. изд.)

Мерзляк, Аркадий Григорьевич.
Математика. Алгебра и начала математического анализа : 11 класс : 
учебник : базовый уровень : издание в pdf-формате / А. Г. Мерзляк,  
Д. А. Номировский, В. Б. Полонский, М. С. Якир ; под ред. В. Е. Подольского. — 
6-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 288 с. : ил.
ISBN 978-5-09-101578-2 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087876-0 (печ. изд.).
Учебник предназначен для изучения алгебры и начал математического анализа  
в 11 классе общеобразовательных организаций. В нём пре дусмотрена уровневая дифференциация, 
позволяющая формировать у школьников познавательный интерес 
к алгебре и началам математического анализа.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту 
среднего общего образования.
УДК 373.167.1:512 
ББК 22.14я72

М52

Под редакцией профессора кафедры математического анализа  
механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова,  
доктора физико-математических наук В. Е. Подольского

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

От авторов

Дорогие одиннадцатиклассники!
В этом учебном году вы оканчиваете школу, и мы уверены, что полученные 
знания станут для вас надёжной основой в освоении будущей профессии. 
Также надеемся, что этому будет способствовать учебник, который 
вы держите в руках. Ознакомьтесь с его структурой.
Текст учебника разделён на четыре главы, каждая из которых состоит 
из параграфов. В параграфах изложен теоретический материал. Особое 
внимание обращайте на текст, выделенный жирным шрифтом, и на слова, 
набранные курсивом.
Как правило, изложение теоретического материала завершается примерами 
решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из возможных 
образцов оформления решения.
К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, 
к которым мы советуем приступать только после усвоения теоретического 
материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности 
упражнения, так и трудные задачи (особенно из рубрики «Задачи высокой 
сложности»).
Если после выполнения домашних заданий остаётся свободное время 
и вы хотите знать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда 
сделаны уроки» или к рубрике «Для тех, кто хочет знать больше». Материал, 
изложенный в них, непрост. Но тем интереснее испытать свои силы!
Дерзайте! Желаем успехов!

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Условные обозначения

Простые задачи

Задачи средней сложности

Сложные задачи

Задачи высокой сложности

Ключевые задачи, результат которых можно использовать 
при решении других задач

 
Окончание доказательства теоремы, решения задачи

8.6 
Задания, рекомендованные для домашней работы

5.2 
Задания, рекомендованные для устной работы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1. Показательная и логарифмическая
функции

В этой главе вы ознакомитесь с понятием степени с произвольным 
действительным показателем. Вы узнаете, какие функции 
называют показательной и логарифмической, изучите свойства 
этих функций, научитесь решать показательные и логарифмические 
уравнения и неравенства.

§ 1. Степень с произвольным действительным показателем.
Показательная функция

В 10 классе вы ознакомились с понятием степени ax положительного 
числа a с рациональным показателем x. Теперь мы выясним, что представляет 
собой степень положительного числа с действительным показателем 
x.
Строгое определение степени с действительным показателем и доказательство 
её свойств выходит за пределы рассматриваемого курса. Текст 
этого параграфа содержит лишь общие пояснения того, как можно провести 
необходимые обоснования.
Начнём с частного случая. Выясним, что понимают под степенью числа 
2 с показателем x, где x — некоторое действительное число.
Рассмотрим функцию f (x) = 2x, где x — рациональное число, то есть 
областью определения функции f является множество Q.
На рисунке 1.1 отмечены точки графика функции f, соответствующие 
некоторым целым значениям x. Вычислим значения функции f (x) = 2x 

при некоторых дробных значениях x. Например, при x = 1
2  имеем: 

Рис. 1.1
Рис. 1.2

x

y

0

1

1
2
−1
−2
x

y

0

1

1
2
−1
−2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

2
2
2
1 41
1
2
x =
=
= ,
...  . Если к точкам, изображённым на рисунке 1.1, добавить 
точки графика функции f, соответствующие, например, значениям 

x = 1
2,  x = 3
2,  x = − 1
2,  x = − 3
2, то получим множество точек, изображён-

ное на рисунке 1.2.
Более точное представление о графике функции f можно получить, 
если отметить точки, соответствующие другим рациональным значениям 
аргумента (рис. 1.3).

Оказывается, существует только одна непрерывная на R функция g, 
график которой проходит через все точки графика функции f. График 
функции g изображён на рисунке 1.4. Множество точек графика функции f 
является подмножеством множества точек графика функции g. Значение 
функции g в точке x называют степенью числа 2 с действительным показателем 
x и обозначают 2x. Таким образом, g (x) = 2x, где x — произвольное 
действительное число.
Аналогично определяют степень положительного числа а с действительным 
показателем х. Если для числа a G 0 рассмотреть функцию 
f (x) = ax, определённую для всех рациональных значений x, то существует 
единственная непрерывная на R функция g, график которой проходит через 
все точки графика функции f. Значение функции g в точке x называют 
степенью положительного числа a с действительным показателем x 
и обозначают ax.
Если a G 0 и a ≠ 1, то функцию g (x) = ax называют показательной 
функцией.
Если основание a равно нулю, то степень ax определяют только для 
x G 0 и считают, что 0x = 0. Например, 0 2  = 0, 0π = 0, а выражение 0
3
−
 не 
имеет смысла.

Рис. 1.3
Рис. 1.4

x

y

0

1

1
2
−1
−2
x

y

0

1

1
2
−1
−2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

При a H 0 выражение ax, где x — иррациональное число, не имеет 
смысла.
Свойства степени с рациональным показателем сохраняются и для 
степени с действительным показателем.
В частности, для a G 0, b G 0 и любых действительных x и y справедливы 
такие равенства:
1) ax ay = ax + y;
2) ax : ay = ax − y;
3) (ax)y = axy;
4) (ab)x = axbx;

5) 
a
b
a
b

x
x

x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
.

Если a = b, то из свойства 5 следует, что 1x = 1.

Пример 1. Упростите выражение (
)(
).
a
a
a
a

a
a

7
3 7
2 7
7

4 7
7
1
+
−
+

+
Решение. Имеем:

(
)(
)
(
)(
)
a
a
a
a

a
a

a
a
a
a

a
a

7
3 7
2 7
7

4 7
7

7
2 7
7
7

3 7
7
1
1
1

1

+
−
+

+

+
−
+

+
=
(
)
= a

a

3 7

3 7
1

1
1
+

+
= .  

Изучим некоторые свойства показательной функции.
Рассмотрим показательную функцию f (x) = ax, где a G 0, a ≠ 1.
Областью определения показательной функции является множество 
действительных чисел, т. е. D ( f ) = R.
При a G 0 и любом x выполняется неравенство ax G 0. Поэтому область 
значений показательной функции состоит только из положительных 
чисел.
Можно показать, что для данного числа a, где a G 0 и a ≠ 1, и для любого 
положительного числа b существует такое число x, что выполняется 
равенство ax = b.

Сказанное означает, что областью значений показательной 
функции является множество (0; +∞), т. е. E ( f ) = (0; +∞).

Показательная функция не имеет нулей, и промежуток 
(−∞; +∞) является её промежутком знакопостоянства.

Показательная функция непрерывна.
При a G 1 показательная функция является возрастающей; 
при 0 H a H 1 показательная функция является убывающей.

Поскольку показательная функция является либо возрастающей 
(при a G 1), либо убывающей (при 0 H a H 1), то она не имеет точек экстремума.


З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Показательная функция является дифференцируемой. Подробнее 
о производной показательной функции вы узнаете в § 8.
На рисунках 1.5 и 1.6 схематически изображён график показательной 
функции для случаев a G 1 и 0 H a H 1 соответственно.

В частности, на рисунках 1.7 и 1.8 изображены графики функций 

y = 2x и y = 
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

x
.

Рис. 1.5
Рис. 1.6

x

y

0

1
a

1

y = a x, 
a > 1 

x

y

0

1
a

1

y = a x, 
0 < a < 1 

Рис. 1.7
Рис. 1.8

0
1

1

y = 2 x 

x

y

0
1

1

x

y

⎛   ⎞
⎜   ⎟
⎝   ⎠
y =

x

1
2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Заметим, что при a G 1 график показательной функции имеет горизонтальную 
асимптоту y = 0 при x → −∞. Аналогично при 0 H a H 1 график 
показательной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при 
x → +∞.
Показательная функция является математической моделью целого ряда 
процессов, происходящих в природе или связанных с деятельностью человека.

Например, биологам известно, что колония бактерий в определённых 
условиях за равные промежутки времени увеличивает свою массу в одно 
и то же количество раз.
Это означает, что если, например, в момент времени t = 0 масса была 
равной 1, а в момент времени t = 1 масса была равной a, то в моменты времени 
t = 2, t = 3, …, t = n, … масса будет равной соответственно a2, a3, …, 
an, ... . Поэтому естественно считать, что в любой момент времени t масса 
будет равной at. Можно проверить (сделайте это самостоятельно), что значения 
функции f (t) = at увеличиваются в одно и то же количество раз за 
равные промежутки времени.
Таким образом, рассмотренный процесс можно описывать с помощью 
показательной функции f (t) = at.
Из курса физики известно, что при радиоактивном распаде масса радиоактивного 
вещества за равные промежутки времени уменьшается в одно 
и то же количество раз.
Если поместить деньги в банк под определённый процент, то каждый 
год количество денег на счёте будет увеличиваться в одно и то же количество 
раз.
Поэтому показательная функция описывает и эти процессы.
В таблице приведены свойства функции y = ax, где a G 0, a ≠ 1, изученные 
в этом параграфе.

Область определения
R

Область значений
(0; +∞)

Нули функции
—

Промежутки 
знакопостоянства
y G 0 на R

Возрастание/убывание
Если a G 1, то функция возрастающая; 
если 0 H a H 1, то функция убывающая

Непрерывность
Непрерывная

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Дифференцируемость
Дифференцируемая

Асимптоты
Если a G 1, то график функции имеет 
горизонтальную асимптоту y = 0 при x → −∞;
если 0 H a H 1, то график функции имеет 
горизонтальную асимптоту y = 0 при x → +∞

Пример 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
f (x) = 3x на промежутке [−4; 3].
Решение. Поскольку функция f возрастает на промежутке [−4; 3], то 
наименьшее значение она принимает при x = −4, а наибольшее — при x = 3. 
Следовательно,

min ( )
(
)
,
[
; ]
−
−
=
−
=
=
4 3
4
4
3
1
81
f x
f

max
( )
( )
.
[
; ]
−
=
=
=
4 3

3
3
3
27
f x
f

Ответ: 1
81, 27.  

1. Какими свойствами обладает степень с действительным показателем?

2. Сформулируйте свойства показательной функции.

Упражнения

1.1. Вычислите значение выражения:

1) 3
3
2
1
2 2
2
(
) :
;
+
 
3) 
6
36
5
1
5
3
2
(
)
;
+
−
⋅

2) (
)
;
3 7
3
3
3
(
)
 
4) 
1
2

2
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛

⎝
⎜
⎞

⎠
⎟

−

.

1.2. Найдите значение выражения:

1) 5
3
1
2 3
2
1
5

(
) :
;
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
2) (
)
;
2
6
6
(
)
 
3) (
)
.
10
5
5
2 5
(
)
−

1.3. Докажите, что:

1) 5

5

8

2
2
5
=
; 
2) 4
16
3
2
27
3
2
1
8
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= (
)
− ;  
3) 12
2

4
6

48
4 12

108
27
3
6
⋅

⋅
=
.

?

Окончание

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.