Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. 11 класс (базовый и углублённый уровни)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721
 
М34

Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

А в т о р ы: 
С.   М.   Никольский, М.   К.   Потапов,

 
Н.   Н.   Решетников, А.   В.   Шевкин

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 475 от 14.11.2016 г.),  
педагогической (заключение РАО № 164 от 05.10.2016 г.) 

и общественной (заключение РКС № 158-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз

Издание выходит в pdf-формате.

Условные обозначения:

 
1.1 — пункт для базового уровня

 
 — начало материала, необязательного

 
для базового уровня

 
! — окончание материала, необязательного

 
для базового уровня

 1.7* — пункт для углублённого уровня

 — факты, свойства, определения, формулы,

 
которые нужно помнить

 
4.9 — задания для устной работы

 
1.2 — задания для базового уровня

 
5.4* — задания повышенной трудности

 
2.5 — задания для углублённого уровня

 5.90* — задания для углублённого уровня повышенной трудности
 
111 — задания для повторения

Математика: алгебра и начала математического анализа, 
геометрия. 
Алгебра 
и 
начала 
математического 
анализа. 

11 класс : базовый и углублённый уровни : учебник : издание 
в pdf-формате / C. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, 
А.   В.   Шевкин. — 9-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 
2022. — 464 с.   : ил. — (МГУ — школе).

ISBN 978-5-09-101574-4 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087641-4 (печ. изд.).
Учебник позволяет изучать материал курса алгебры и начал математиче-

ского анализа на базовом уровне, рассчитанном на 3 часа в неделю, а также 
на углублённом уровне в двух вариантах, рассчитанных на 4 и на 5 часов 
в неделю.

Учебник нацелен на подготовку учащихся к обучению в вузах.

УДК 373.167.1:512+512(075.3) 
ББК 22.14я721

ISBN 978-5-09-101574-4 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087641-4 (печ. изд.)
 
 

М34

© АО «Издательство «Просвещение», 
 
2014, 2019
© Художественное оформление. 
 
АО «Издательство «Просвещение», 

 
2014, 2019
 
Все права защищены

АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

§ 1. Функции и их графики

1.1. Элементарные функции

Напомним определение функции. Пусть каждому числу х из
множества чисел X в силу некоторого (вполне определённого) закона
поставлено в соответствие единственное число у. Тогда говорят, что
у есть функция от х, определённая на множестве X; при этом х называют 
независимой переменной или аргументом, а у — зависимой
переменной или функцией от х, множество X — областью определения 
функции.
Таким образом, чтобы задать функцию, нужно указать способ
(закон, правило), с помощью которого для каждого значения аргумента 
х ∈ Х можно найти соответствующее значение у. Обычно этот
закон обозначают одной буквой, например f, и тогда пишут

y = f (x), х ∈ Х.
(1)

Иногда для того чтобы подчеркнуть, что у зависит от х, вместо у
пишут у (х), а для сокращения записи (1) пишут y = f (x) или f (x).
Закон f также называют функцией f и говорят: задана функция 
f на множестве чисел X или, коротко, задана функция f.
Отметим, что вместо пары букв х и у в определении функции
могут участвовать любые другие пары букв. Например, функцию f,
определённую на множестве чисел X, можно записать как в виде (1),
так и в виде u = f (v), v ∈ X, или даже в виде x = f (y), у ∈ Х. Все эти
записи характеризуют одну и ту же функцию f.

Функции и их графики

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя
приложить ни одной из математических наук, и в том,
что не имеет связи с математикой.
Леонардо да Винчи

Великий математик Карл Фридрих Гаусс в своё время
назвал математику «царицей всех наук». Математика,
скорее, добрая фея, только получить у неё можно не
волшебную палочку, а надёжный и точный инструмент — 
математические методы.
И. Г. Петровский

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Число, соответствующее x0 ∈ X для данной функции у (х), называют 
значением функции в точке х0 и обозначают у (х0). Если функция 
записана в виде (1), то это число обозначают f (x0).
Пусть функция y = F (u) определена на множестве G, а функция
u = ϕ (x) определена на множестве X и множество всех её значений
содержится в множестве G. Тогда любому х ∈ Х функция ϕ ставит
в соответствие число u ∈ G, а этому числу и функция F ставит в соответствие 
число у, т. е. у является функцией от х на множестве X.
Другими словами, получена функция y = F (ϕ (x)), определённая
на множестве X. Эту функцию называют функцией от функции или
сложной функцией. Сложную функцию называют также суперпозицией 
двух функций ϕ и F. Например, если у = 2u и и = х3, то для любого 
действительного х определена сложная функция у = 2
3
x .
Можно указать сложную функцию, в образовании которой участвует 
более двух функций. Сложными будут, например, функции
у = е4x + х2,
y = cos (2x + 3x),
y = (x − 1)3 + tg x,
y = log2 (3x + 4),
y = log3 (sin x + 2), y = sin (3 + log2 x).
Вы уже изучали функции y = xn (n ∈ N), y = x−n (n ∈ N), y
x
n
=
(n ∈ N, n ≥ 2), y = xα (α ∈ R+), y = x−α (α ∈ R+), y = sin x, y = cos x,
y = tg x, y = ctg x, y = ax (a > 0, a ≠ 1), y = loga x (a > 0, a ≠ 1). Все
эти функции называют основными элементарными функциями.
Функции, полученные из основных элементарных функций с
помощью конечного числа арифметических операций и применения 
конечного числа суперпозиций, принято называть элементарными 
функциями. Элементарными функциями, например, являются 
функции y = sin x + cos x, у = −sin2 (х − 5).

1.1
а) Сформулируйте определение функции.
б) Какую функцию называют сложной?
в) Перечислите основные элементарные функции.
г) Какие функции называют элементарными?

1.2
Выпишите основные элементарные функции f (x) и g (х), с помощью 
которых задана сложная функция:
а) f g x
x
( ( ))
lg
=
;
б) f (g (x)) = ln x4.

1.3
Выпишите основные элементарные функции f (x), g (х) и ϕ (x),
с помощью которых задана сложная функция:
a) f (g (ϕ (х))) = sin
x3 ;
б) f (g (ϕ (x))) = ( sin
) .
x 3

1.4
Даны элементарные функции: f (x) = 7x, ϕ (x) = х2, g (х) = log5 х.
Запишите сложную функцию:
а) f (ϕ (х));
б) ϕ (g (х));
в) f (g (x));
г) g (g (x));
д) g (ϕ (f (x)));
е) ϕ (g (f (x)));
ж) f (g (ϕ (x)));
з) f (g (f (x))).

4 4

АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

1.2. Область определения и область изменения функции.
Ограниченность функции

Из определения функции следует, что функция у = f (х) должна
задаваться вместе с её областью определения, которая дальше будет
обозначаться X или D (f). При этом подчеркнём, что область определения 
функции может задаваться либо условиями решаемой задачи,
либо физическим смыслом изучаемого явления, либо математическими 
соглашениями.
Однако часто, задавая функцию аналитически, т. е. формулой,
не указывают явно её область определения. В таких случаях принято 
рассматривать функцию на её полной области определения.
Полной областью определения функции у = f (x), заданной аналитически, 
называют множество всех действительных значений независимой 
переменной x, для каждого из которых функция принимает 
действительные значения. Иногда полную область определения
называют областью существования функции.
В тех случаях, когда функция задана формулой и не указана её
область определения, областью определения функции считают область 
её существования.
Областью изменения (областью значений) функции f (x) называют 
множество всех чисел f (x), соответствующих каждому x из
области определения функции; область изменения функции f (x)
обозначают Е (f) или Y.

ПРИМЕР
1.
Пусть
дана
функция
y
x
=
log
sin
2
.
Так
как
log2 sin х ≥ 0 лишь при условии sin х = 1 (в этом случае log2 sin x = 0),
то область определения (существования) данной функции — мно-

жество всех чисел x
k
k =
+
π
π
2
2
, k ∈ Z, т. е. X
k
k
=
+
∈
⎧
⎨
⎩

⎫
⎬
⎭

π
π
2
2
,
Z .

Область изменения функции состоит из одного числа нуль, т. е.
Y = {0}.

ПРИМЕР 2. Пусть дана функция y
x
=
−
1
2 . Область определения (
существования) этой функции — отрезок X = [−1; 1] —
находится из условия 1 − x2 ≥ 0. Область изменения — отрезок
Y = [0; 1] — находится следующим образом: так как −1 ≤ x ≤ 1, то
0 ≤ х2 ≤ 1, −1 ≤ −х2 ≤ 0, 0 ≤ 1 − х2 ≤ 1, значит, 0
1
1
2
≤
−
≤
x
. При
этом y принимает все значения из промежутка [0; 1].

ПРИМЕР 3. Пусть дана функция y
x
=
−

1

1
2 . Область определе-

ния (существования) этой функции — интервал X = (−1; 1) — находится 
из условия 1 − x2 > 0. Область изменения функции — проме-

4 5
Функции и их графики

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

жуток Y = [1; +∞) — находится так: если −
<
<
1
1
x
, то 0
1
1
2
<
−
≤
x
,

поэтому
1

1
2
1
−
≥
x
. При этом y принимает все значения из проме-

жутка [1; +∞).

ПРИМЕР 4. Пусть дана функция y
x
=
−

1

1
2 с областью опреде-

ления X = ⎡

⎣
⎢
⎤

⎦
⎥
0
3
2
;
. Её область изменения есть отрезок Y = [1; 2].

Функцию у = f (х), определённую на множестве X, называют
ограниченной снизу на множестве X, если существует число А, такое, 
что А ≤ f (x) для любого х ∈ Х.
Например, функция у = x2 ограничена снизу на всей области существования 
R, так как х2 ≥ 0 для любого действительного x.
Функцию у = f (x), определённую на множестве X, называют
ограниченной сверху на множестве X, если существует число B, такое, 
что f (x) ≤ B для любого x ∈ Х.
Например, функция y
x
=
−
1
2 ограничена сверху на всей области 
существования [−1; 1], так как
1
1
2
−
≤
x
для любого x ∈ [−1; 1].
Функцию у = f (х), определённую на множестве X, называют
ограниченной на множестве X, если существует число М > 0, такое,
что | f (x) | ≤ M для любого х ∈ Х.
Например, функция y = sin x ограничена на всей области существования 
R, так как | sin x | ≤ 1 для любого действительного x.
Про функцию у = f (x) говорят, что она принимает на множестве
X наименьшее значение в точке х0, если x0 ∈ X и f (x0) ≤ f (x) для
всех x ∈ Х.
Говорят также, что функция у = f (x) принимает на множестве X
наибольшее значение в точке х0, если x0 ∈ X и f (x0) ≥ f (x) для всех
x ∈ Х.

ПРИМЕР 5. Функция y
x
=
−
1
2 на промежутке [−1; 1] принимает 
наибольшее значение у = 1 при x = 0 и наименьшее значение
у = 0 при х = −1 и при х = 1.

ПРИМЕР 6. Функция у = x2 на промежутке (−∞; +∞) принимает
наименьшее значение у = 0 при х = 0, не принимает наибольшего
значения и не ограничена сверху.

ПРИМЕР 7. Функция у = 2х на множестве (−∞; 0] принимает
наибольшее значение у = 1 при х = 0, не принимает наименьшего
значения, но ограничена снизу числом 0.

ПРИМЕР 8. Функция у = log2 x на множестве (0; +∞) не принимает 
ни наибольшего, ни наименьшего значения.

4 6

АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

ПРИМЕР 9. Функция у = [х] — целая часть числа x (наибольшее 
целое число, не превосходящее х) не принимает ни наибольшего, 
ни наименьшего значения.

ПРИМЕР 10. Функция у = {х} — дробная часть числа x ({х} =
= х − [х]) принимает наименьшее значение у = 0 при любом
x ∈ Z, не принимает наибольшего значения, но ограничена сверху 
числом 1. !

1.5
Что такое: а) область существования функции; б) область определения 
функции; в) область изменения функции?

1.6
Пусть функция у = f (х) определена на множестве X. В каком
случае говорят, что на этом множестве она ограничена сверху;
ограничена снизу; ограничена? Приведите примеры.

1.7
Докажите, что функция y
x
=
−
1
ограничена на множестве
Х = [−1; 1].

Найдите область определения функции:
1.8
а) y
x
=
− 1;
б) y
x
=
+ 1
3
;
в) y
x
=
−
2
1;

г) y
x
x
=
−
−

2

2
9
4;
д) y
x
x
=
−

1

2
;
е) y
x
x
x
=
+
+

2

4 .

1.9
a) y = log2 | x |;
б) y = | log2 x |;
в) y = log2 tg x;

г) y
x
= 2
;
д) y
x
=
2 ;
е) y
x
x
=
−
+
−
2
2
1
1
.

1.10
Найдите область изменения функции:

a) y
x
=
−
1
2 ;
б) y
x
X
=
−
= ⎡

⎣
⎢
⎤

⎦
⎥
1
0
2
3
2
,
;
;

в) y
x
X
=
−
= ⎡

⎣
⎢
⎞

⎠⎟
−
1
1
2
3
2
,
;
;
г) y
X
x
=
= −
−

30

100
2
8 1
,
[
; ];

д) y
x
=
−

1

1
2 , X = ⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
− 2
2
0
;
;
е) y
x
=
−
log2
2
1;

ж) y
x
=
−

1

1
2 , X = ⎡

⎣
⎢
⎤

⎦
⎥
− 3
2
3
2
;
;
з) y
x
=
−
log2
2
1
.

1.11* Какая из функций в предыдущем задании на области её определения 
является: а) ограниченной снизу; б) ограниченной
сверху; в) ограниченной?

4 7
Функции и их графики

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1.12
Покажите, что на полной области определения функция:
а) у = x2 не является ограниченной сверху;

б) y
x
= − 1

2 не является ограниченной снизу;

в) у = log2 x не является ограниченной.
1.13
Докажите, что если функция у = f (x), определённая на множестве 
X, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то
она ограничена на этом множестве.
1.14
Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:
а) y
x
=
− 1;
б) y
x
=
−
2
1;
в) у = х3;

г) y
x
= 2 sin ;
д) y
x
=
−

1

1
2 ;
е) y
x
=
sin
3
?

Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.


1.3. Чётность, нечётность, периодичность функций

Функцию y = f (x) с областью определения X называют чётной,
если для любого х ∈ Х число (−x) ∈ X и справедливо равенство
f (−x) = f (x).
Приведём примеры чётных функций:

y = cos x, y = x2, y
x
=
−
1
2 , y
x
=
+
1
1
2 .

График любой чётной функции y = f (x) с областью определения
X симметричен относительно оси ординат, так как для любого х ∈ Х
точки плоскости (х; f (x)) и (−x; f (x)) симметричны относительно
оси Оу.
Функцию у = f (x) с областью определения X называют нечётной, 
если для любого х ∈ Х число (−х) ∈ Х и справедливо равенство
f (−x) = −f (x).
Приведём примеры нечётных функций:

у = х, y = sin x, y = x3, y
x
= 1 , y = tg x.

График любой нечётной функции y = f (x) с областью определения 
X симметричен относительно начала координат, так как для
любого х ∈ Х точки плоскости (х; f (x)) и (−х; −f (x)) симметричны
относительно начала координат.
Наряду с чётными и нечётными функциями есть функции, не
являющиеся ни чётными, ни нечётными.
Например, функции у = 2х + 3, у = х2 + 2х + 3, y
x
=
, y = lg x,
y = 2x не являются ни чётными, ни нечётными.

4 8

АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

Кроме того, есть функции, которые являются одновременно
и чётными, и нечётными. Например, функция f (x) = 0 является
и чётной, и нечётной, так как для любого действительного числа х
справедливы равенства:
f (−x) = 0 = f (x) и f (−x) = 0 = −0 = −f (x).

Функцию y = f (x) с областью определения X называют периодической, 
если существует число Т ≠ 0, такое, что для любого х ∈ Х
число (х + Т) ∈ Х, число (х − Т) ∈ Х и справедливо равенство
f (x + T) = f (x).

Число Т называют периодом функции f (x).
Заметим, что для периодической функции имеет место равенство
f (x − T) = f (x).

Действительно, функция y = f (x) определена в точке х − Т и
справедливо равенство f (x) = f ((x − T) + T) = f (x − T).
Если функция f, рассматриваемая на множестве X, принимает
действительные значения и имеет период T ≠ 0, то очевидно, что она
имеет также период −T, поэтому достаточно рассматривать положительные 
периоды.

ПРИМЕР 1. а) Функция у = sin x определена на множестве
Х = (−∞; +∞) и имеет периодом число Т = 2π, так как для любого 
x ∈ X числа х + 2π и х − 2π принадлежат множеству X и
sin (x + 2π) = sin x.
б) Функция y = tg x определена на множестве X всех х, кроме
чисел xk = π
2 + kπ, k ∈ Z, и имеет периодом число Т = π, так как для

любого x ∈ X числа х + π и x − π принадлежат множеству X и
tg (x + π) = tg x.
в) Функция у = {х} (дробная часть числа х) имеет период Т = 1,
так как она определена для любых x ∈ R и {x + 1} = {x}.
г) Функция y
x
= sin
не является периодической, так как её
область определения Х = [0; +∞) и, например, для числа х = 0 число
х − Т (если Т > 0) не принадлежит X — области определения этой
функции.
д) Функция y = C (константа) имеет периодом любое число
T ≠ 0.

Число Т называют главным периодом функции, если оно является 
наименьшим среди всех её положительных периодов.

ПРИМЕР 2.
а) Функция у = sin x имеет главный период Т = 2π.
б) Функция y = tg x имеет главный период Т = π.
в) Функция у = {х} имеет главный период T = 1.

4 9
Функции и их графики

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.