Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (базовый и углубленный уровни)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721
 
М34
Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

А в т о р ы: 
С.   М.   Никольский, М.   К.   Потапов,
 
Н.   Н.   Решетников, А.   В.   Шевкин

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 474 от 14.11.2016 г.),  
педагогической (заключение РАО № 163 от 05.10.2016 г.) 
и общественной (заключение РКС № 157-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз

Издание выходит в pdf-формате.

Условные обозначения:

 
1.1 — пункт для базового уровня
 
 — начало материала, необязательного
 
для базового уровня

 
 — окончание материала, необязательного
 
для базового уровня

 
1.3* — пункт для углублённого уровня

 
 — факты, свойства, определения, формулы,
 
которые нужно помнить

 
5.1Ë — задания для устной работы
 
1.2 — задания для базового уровня
 
3.7* — задания для базового уровня повышенной трудности

 
6.8 — задания для углублённого уровня

 
1.28* — задания для углублённого уровня повышенной трудности

 
123 — задания для повторения

Математика: алгебра и начала математического анализа, 
геометрия. 
Алгебра 
и 
начала 
математического 
анализа.  
10 класс : базовый и углублённый уровни : учебник : издание 
в pdf-формате / C.   М.   Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, 
А.   В.   Шевкин. — 10-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 
2022. — 431, [1] с.   : ил. — (МГУ — школе).
ISBN 978-5-09-101573-7 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087768-8 (печ. изд.).
Учебник позволяет изучать материал курса алгебры и начал математического 
анализа на базовом уровне, рассчитанном на 3 часа в неделю, а так- 
же на углублённом уровне в двух вариантах, рассчитанных на 4 и на 5 ча- 
сов в неделю.
Учебник нацелен на подготовку учащихся к обучению в вузах.
УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721

ISBN 978-5-09-101573-7 (электр. изд.) 
© Издательство «Просвещение», 2014, 2019
ISBN 978-5-09-087768-8 (печ. изд.) 
© Художественное оформление.
 
 Издательство «Просвещение», 2014, 2019
 
 Все права защищены

М34

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики
хотя бы только отрицательные и дробные степени, —
и он увидит, что без них далеко не уедешь.
Ф. Энгельс

С точки зрения вычислительной практики
изобретение логарифмов по важности можно смело
поставить рядом с другим, более древним великим
изобретением индусов — нашей десятичной системой
нумерации.
Я. В. Успенский

§ 1. Действительные числа

1.1. Понятие действительного числа

Первые числа, с которыми вы познакомились в школе, — это
натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... . Множество натуральных чисел 
обладает тем свойством, что сумма и произведение любых двух
натуральных чисел являются натуральными числами, а разность
и частное необязательно являются натуральными числами.
Затем вы изучали целые числа. Множество целых чисел состоит 
из натуральных чисел, целых отрицательных чисел и числа
«нуль»: ... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... . Сумма, разность и произведение
любых двух целых чисел являются целыми числами, а частное не
всегда целое число. Вопросы, связанные с делимостью целых чисел,
рассмотрены в пп. 1.8—1.10.
Наконец, вы узнали, что есть рациональные числа. Число
называют рациональным, если его можно записать в виде дроби p
q ,

где р — целое число, a q — натуральное. Сумма, разность, произведение 
и частное любых двух рациональных чисел являются рациональными 
числами (на нуль делить нельзя!).
Каждое рациональное число может быть разложено в бесконечную 
десятичную периодическую дробь (для нахождения этого разложения 
можно разделить уголком числитель дроби р на её знаменатель 
q). Верно и обратное: каждая периодическая дробь есть
десятичное разложение некоторого рационального числа.
Таким образом, рациональные числа имеют два представления
(две формы записи) — одно в виде дроби p
q, а другое в виде бесконечной 
десятичной периодической дроби.

Действительные числа

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями 
существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, 
которые называют иррациональными числами. Рациональные
и иррациональные числа составляют множество всех действительных 
чисел.
Таким образом, действительное число — это число, которое
можно записать в виде бесконечной десятичной дроби. Если число
рациональное, то дробь периодическая; если число иррациональное,
то дробь непериодическая.
Итак, каждое положительное действительное число можно записать 
в виде α0,α1α2...αn..., а каждое отрицательное число — в виде
−α0,α1α2...αn... . При этом неотрицательное число α0 или хотя бы
одна из цифр α1, α2, ..., αn, ... отличны от нуля. Число «нуль» можно
записать в виде
0 = 0,000... = +0,000... = −0,000... .

Вообще, каждое действительное число а имеет только одно десятичное 
разложение, если бесконечные десятичные дроби с периодом 
9 не рассматривать.
Формально конечную десятичную дробь можно записать в виде
бесконечной десятичной периодической дроби двумя способами, например:

2,4 = 2,4000... = 2,4(0),
2,4 = 2,3999... = 2,3(9).

Однако принято бесконечные десятичные дроби с периодом 9 не
рассматривать, что позволяет, в частности, правильно сравнивать
периодические десятичные дроби.
Бесконечные десятичные дроби сравнивают по тем же правилам, 
что и конечные десятичные дроби. Правила сложения, вычитания, 
умножения и деления бесконечных десятичных дробей сложнее 
соответствующих правил для конечных десятичных дробей. Эти
правила требуют применения бесконечных процессов и представляют 
лишь теоретический интерес. Поэтому здесь они не приводятся. 
Достаточно знать, что сумма, разность, произведение и частное 
любых двух действительных чисел есть действительное число,
и притом единственное (на нуль делить нельзя!). На практике арифметические 
действия с бесконечными десятичными дробями (т. е.
с действительными числами) выполняют приближённо, точно так
же как выполняют приближённо арифметические действия с конечными 
десятичными дробями.
С бесконечными десятичными дробями тесно связано измерение 
отрезков. Если задан отрезок, длина которого принята за единицу, 
то длина а любого отрезка АВ выражается бесконечной десятичной 
дробью:
a = α0,α1α2...αn... .

4 4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Это означает, что:
α0 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 1 с недостатком;

α0,α1 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 0,1
с недостатком;
α0,α1α2 — приближённая длина отрезка АВ с точностью до 0,01
с недостатком и т. д.
Произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному 
числу — положительной десятичной дроби; обратно,
если дано любое положительное число, то можно указать отрезок
АВ, длина которого равна этому числу.
Действительные числа отождествляют с точками координатной
оси. Напомним, как это делается.
Зададим прямую, на которой выбрано 
направление, называемое положительным, 
и взята точка О, называемая 
начальной точкой координатной 
оси. Зададим ещё отрезок,
длину которого примем за единицу, — единичный отрезок (рис. 1).
Прямую, на которой выбраны начальная точка, положительное
направление и единичный отрезок, называют координатной осью.
На рисунке 1 координатная ось нарисована горизонтально, с положительным 
направлением, идущим вправо от точки О. Но вообще
говоря, координатная ось может быть расположена вертикально
или произвольно и положительное направление на ней можно выбрать 
так, как это удобно в каждом случае.
Начальная точка О делит координатную ось на два луча. Один
из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют 
положительным, другой — отрицательным.
Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное 
число х по следующему правилу. Начальной точке О
поставим в соответствие число «нуль»
(х = 0); точке А, находящейся на положительном 
луче, поставим в соответствие 
число х, равное длине отрезка 
ОА (х = ОА), точке В, находящейся
на отрицательном луче, поставим в соответствие число х, равное 
длине отрезка ОВ, взятой со знаком «−» (х = −ОВ). Например,
на рисунке 2 точки А, О и В имеют координаты 3, 0 и −2 соответственно. 
Пишут: A (3), O (0), B (−2).
Определённую таким образом координатную ось называют координатной 
осью х или, коротко, осью х. Пишут также: ось Ох.
Число х, соответствующее произвольной точке оси х согласно указанному 
правилу, называют координатой этой точки. Для краткости 
точку, имеющую координату х, называют точкой х. Буква х
может быть заменена другой буквой, например буквами у, z, t, ...,
и тогда говорят об оси у, оси z, оси t и т. д.

4 5
Действительные числа

5 Рис. 1

5 Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Согласно указанному правилу верны утверждения:
1. Каждой точке оси х соответствует действительное число —
координата этой точки.
2. Две различные точки А и В оси х имеют различные координаты 
x1 и х2.
3. Каждое действительное число есть координата некоторой
точки оси x.
Иначе говоря, установлено взаимно-однозначное соответствие
между точками оси Ох и действительными числами.

Замечание. Отметим, что точки, имеющие рациональные координаты, 
не заполняют полностью координатную ось — без иррациональных 
точек ось «дырявая». Если же рассматривать все точки,
имеющие и рациональные, и иррациональные координаты, то координатная 
ось перестанет быть «дырявой» — каждой её точке соответствует 
действительное число.
Модуль, или абсолютную величину действительного числа a,
обозначают | а |; по определению

|
|
,
,
.
a
a
a
a
a
=
≥
−
<
⎧⎨⎩
если
если
0
0

На координатной оси | а | есть расстояние от точки a до начала
координат (рис. 3).
Зададим на плоскости две взаимно 
перпендикулярные оси координат — 
ось х и ось у с равными единичными 
отрезками и пересекающиеся
в точке О, являющейся начальной
точкой каждой из этих осей.
Говорят, что этим на плоскости
определена прямоугольная система координат 
хОу. Её называют ещё декартовой системой координат по имени 
французского математика и философа Р. Декарта (1596—1650),
введшего в математику это важное понятие.
Ось х называют осью абсцисс, а ось у — осью ординат. Точку О
пересечения осей координат называют началом координат. Плоскость, 
на которой задана декартова система координат, называют
координатной плоскостью.
Обычно ось абсцисс изображают в виде горизонтальной прямой,
направленной вправо, а ось ординат — в виде вертикальной прямой, 
направленной вверх.
Пусть А есть произвольная точка координатной плоскости.
Проведём через точку А прямые, перпендикулярные осям координат (
рис. 4). Получим на оси х точку А1, а на оси у точку А2. Эти
точки называют проекциями точки А на оси координат. Абсциссой
точки А называют координату х точки A1 — проекции точки А на
ось х. Ординатой точки А называют координату у точки А2 — про-

4 6

5 Рис. 3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

екции точки А на ось у. Абсциссу х
и ординату у точки А называют координатами 
точки А.
Координаты точки записывают в
скобках рядом с буквой, обозначающей 
эту точку: А (х; у), причём на первом 
месте пишут абсциссу, а на втором — 
ординату. Например, точка А,
изображённая на рисунке 5, имеет абсциссу 
х = 4 и ординату у = 3, поэтому
пишут А (4; 3).
Отметим, что если на плоскости
задана прямоугольная система координат, 
то каждой точке А плоскости
приводится в соответствие пара чисел
(х; у) — пара координат точки А, и в
то же время произвольную пару чисел (
х; у) можно рассматривать как
пару координат некоторой точки А
плоскости.
Нужно иметь в виду, что если
пара состоит из разных чисел, то, поменяв 
эти числа местами, получим
другую пару, определяющую другую
точку плоскости. Поэтому часто пару
координат (x; у) точки А называют
упорядоченной парой чисел.
Итак, если на плоскости задана прямоугольная 
система координат хОу, то:
1) каждой точке плоскости поставлена в соответствие упорядоченная 
пара чисел (пара координат точки);
2) разным точкам плоскости поставлены в соответствие разные
упорядоченные пары чисел;
3) каждая упорядоченная пара чисел соответствует некоторой
точке плоскости.

1.1° Какие числа называют:
а) натуральными;
б) целыми;
в) рациональными;
г) иррациональными;
д) действительными?

1.2
Может ли:
а) разность отрицательных чисел быть положительным числом;
б) сумма иррациональных чисел быть рациональным числом;
в) произведение иррациональных чисел быть рациональным
числом?

4 7
Действительные числа

5 Рис. 5

5 Рис. 4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1.3° В каком случае несократимую обыкновенную дробь можно
представить в виде конечной десятичной дроби, а в каком случае 
нельзя?

1.4
Представьте каждую обыкновенную дробь в виде периодической 
дроби:

а) 1
2; 3
4; 1
8; 1
5; 3
25;
1
125;
б) 1
3; 2
3; 1
9; 2
9; 5
9; 7
9; 1
7.

1.5* Представьте каждую периодическую дробь в виде обыкновенной 
дроби:
а) 0,(3); 0,(1); 0,(5); 0,(7);
б) 0,(13); 0,(27); 0,(45); 0,(54);
в) 0,(128); 0,(123); 0,(945); 0,(138);
г) 0,0(3); 0,0(72); 0,00(13); 0,0(549);
д) 2,(8); 3,(14); 7,(12); 3,0(27);
е) 0,12(0); 3,37(0); 0,005(0).

1.6° Как сравнивают действительные числа:
а) с помощью координатной прямой;
б) по их десятичной записи?

1.7
Сравните числа:

a) 1
3 и 0,3;
б) 1
3 и 0,(3);
в) 0,3 и 0,(3);

г) 0,5 и 1
2;
д) 1
3 и 0,5;
е) 0,5 и 0,(5);

ж) − 1
5 и −0,2;
з) − 1
5 и −0,(2);
и) −0,2 и −0,(2);

к) −0,45 и −0,(45);
л) −0,45 и − 5
11;
м) − 5
11 и −0,(46).

1.8
Расположите в порядке возрастания числа:
а) π; 3,(14); 3 1
7; 3,141;

б) −5,6789101112...; −5 2
3; −5 8
9; −5,(7); −5,9.

1.9° Верно ли, что каждой точке координатной оси соответствует
действительное число и каждому действительному числу соответствует 
точка координатной оси?

1.10° Верно ли, что любой упорядоченной паре действительных
чисел (х; y) соответствует единственная точка координатной 
плоскости и каждой точке координатной плоскости соответствует 
единственная упорядоченная пара действительных
чисел (x; y)?

4 8

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1.11
Укажите на координатной оси числа a и −a, если: a) a = 3;
б) а = −4.

1.12
Вычислите расстояние между точками А (a) и В (b) координатной 
оси, если:
a) a = 5, b = −1;
б) a = −7, b = 8;
в) a = −13,5, b = −11;
г) a = −55, b = −10.

1.13° а) В каком случае говорят, что задана прямоугольная система
координат?
б) Как называют оси Ох и Оу?
в) Что такое абсцисса точки; ордината точки?

1.14
Вычислите расстояние между точками А (х1; у1) и B (х2; у2)
координатной плоскости, если:
а) х1 = 2, у1 = 7; х2 = −1, у2 = 3;
б) х1 = −3, y1 = −7, х2 = 2, у2 = 5.

1.15
Найдите все числа х, для каждого из которых верно равенство:
а) |
|
x = 3;
б) |
|
x = 5;
в) |
|
x −
=
3
2;
г) |
|
x +
=
3
5;
д) |
|
2
3
4
x −
=
;
е) |
|
3
4
2
x +
=
.
Укажите их на координатной оси.

1.16
Решите уравнение:
а) |
|
x = 10;
б) |
|
x = 9;
в) |
|
2
3
x =
;
г) |
|
3
7
x =
;
д) |
|
x −
=
5
12;
е) |
|
x +
=
2
7;
ж) |
|
2
5
7
x −
=
;
з) |
|
3
5
8
x +
=
;
и) |
|
5
8
0
x −
=
.

1.17* Решите уравнение:
а) ||
|
|
x −
=
2
10;
б) ||
|
|
x −
=
9
7.

1.18* а) Докажите, что расстояние между точками А (х1) и В (х2)
вычисляется по формуле AB
x
x
=
−
|
|
1
2 .
б) Докажите, что расстояние между точками А (x1; у1) и

В (x2; у2) вычисляется по формуле

AB
x
x
y
y
=
−
+
−
(
)
(
)
1
2
1
2
2
2 .

в) Докажите, что координата точки С (x) — середины отрезка

АВ, где А (x1) и В (x2), вычисляется по формуле x
x
x
=
+
1
2
2
.

г) Докажите, что координаты точки С (x; у) — середины отрезка 
АВ, где А (x1; у1) и В (x2; y2), вычисляются по формулам


x
x
x
=
+
1
2
2
; y
y
y
=
+
1
2
2
.

4 9
Действительные числа

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.