Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа : 11-й класс (базовый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Муравин, Георгий Константинович.
Математика : алгебра и начала математического анализа, геометрия. 
Алгебра и начала математического анализа : 11-й класс  : 
базовый уровень : учебник : издание в pdf-формате / Г. К. Мура-
вин, О. В. Муравина. — 10-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 
2022. — 188, [4] с. : ил.
 ISBN 978-5-09-101572-0 (электр. изд.). — Текст : электронный.

ISBN 978-5-09-093684-2 (печ. изд.).
Учебник входит в УМК по математике для 10—11 классов, изучающих предмет 
на базовом уровне. Теоретический материал разделён на обязательный 
и дополнительный, система заданий дифференцирована по уровню сложности, 
каждый пункт главы завершается контрольными вопросами и заданиями, 
а каждая глава — домашней контрольной работой. В учебник включены темы 
проектов и сделаны ссылки на интернет-ресурсы.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному 
стандарту среднего общего образования и включён в Федеральный перечень.

УДК 373.167.1:512+512(075.3) 
ББК 22.14я721

М91

УДК 373.167.1:512+512(075.3)
ББК 22.14я721
 
М91

©  АО «Издательство «Просвещение», 
2021
©  Художественное оформление. 
АО «Издательство «Просвещение», 
2021 
Все права защищены

ISBN 978-5-09-101572-0 (электр. изд.) 
ISBN 978-5-09-093684-2 (печ. изд.)

Учебник допущен к использованию при реализации имеющих государственную 
аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, 
среднего общего образования организациями, осуществляющими образовательную 
деятельность, в соответствии с Приказом Министерства просвещения Российской 
Федерации № 254 от 20.05.2020 (в редакции приказа № 766 от 23.12.2020).

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Оглавление

От авторов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
5

Г л а в а  1.  Непрерывность 

и пределы функции

1. Непрерывность функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
7

2. Предел функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
15

3. Свойства пределов и асимптоты графика функции . . 
20

Г л а в а  2. Производная функции

4. Касательная к графику функции  . . . . . . . . . . . . . . . . 
28

5. Производная и дифференциал функции. . . . . . . . . . . 
34

6. Точки возрастания, убывания и экстремума 

функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
46

Г л а в а  3. Техника дифференцирования 

7. Производная суммы, произведения

и частного функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
59

8. Производная сложной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . 
67

9. Формулы производных основных функций . . . . . . . . 
70

10. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . . 
78

11. Вторая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
85

Г л а в а  4. Интеграл и первообразная 

12. Площадь криволинейной трапеции  . . . . . . . . . . . . . . 
93

13. Первообразная  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Г л а в а  5. Элементы теории вероятностей 

и статистики

14. Сумма и произведение событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
15. Понятие о статистике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Г л а в а  6. Комплексные числа

16. Формула корней кубического уравнения  . . . . . . . . . . 135
17. Действия с комплексными числами  . . . . . . . . . . . . . . 138

Темы проектов  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Домашние контрольные работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Ответы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Советы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Решения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Основные формулы  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Предметный указатель  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Список литературы и интернет-ресурсов . . . . . . . . . . . . . 186

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Уважаемые старшеклассники!

В этом году вы завершаете изучение школьного курса ма-

тематики. Авторы постарались помочь вам изучить новый
материал и повторить изученное ранее. Знать математику —
значит уметь решать задачи. Именно задачи вам предстоит
решать на ЕГЭ. В учебнике задачи разной степени трудности.

В задачах, номера которых не имеют обозначений, вы не

должны испытать затруднений.

Значком «
» отмечены задания, в которых путь к ответу,

как правило, связан с небольшими техническими сложностями.


Задачи, над которыми следует подумать, имеют обозначе-

ние «
». План решения таких задач полезно обсудить в клас-

се с учителем.

Символом  «*» обозначены самые трудные задачи.

Значком « » отмечены задания, которые следует выпол-

нять с помощью калькулятора. В учебнике рассматривается
калькулятор операционной системы Windows.

При изучении математики вам предстоит строить много

графиков. В некоторых случаях работу в тетради полезно
совмещать, а иногда и заменять работой на компьютере в одной 
из компьютерных программ построения и исследования
графиков функций и уравнений. Такие программы свободно
и бесплатно распространяются в Интернете. Мы рекомендуем 
две русифицированные программы GeoGebra и WinPlot.

В тексте учебника рекомендация использовать какую-ни-

будь компьютерную программу обозначается символом 
.

Выполненные в этих программах решения задач красивы

и наглядны. Многие из них размещены школьниками и учи-

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

телями математики в Интернете, где их можно поискать. Надеемся, 
что и ваши решения можно будет там найти.

Вместе с основным материалом, изучение которого обяза-

тельно, в учебнике есть и дополнительный материал, знакомство 
с которым желательно. Начало дополнительного материала 
обозначается «
», а конец «
».

В разделе «Основные формулы» в конце учебника вы мо-

жете найти нужную формулу.

Решив задачу, сравните свой ответ с ответом в учебнике.

Если выполнить задание вы не можете,  то прочитайте совет к
задаче или посмотрите её решение. В этом вам помогут разделы «
Ответы», «Советы» и «Решения».

Каждый пункт учебника завершается контрольными воп-

росами и заданиями, а к главам учебника предлагаются домашние 
контрольные работы с указанием примерного времени, 
на которое рассчитано их выполнение.

Задания домашних контрольных работ разбиты на три

уровня, которые соответствуют удовлетворительной, хорошей 
и отличной оценке, так что вы сами сможете оценить
свои математические достижения. 

Если вы можете ответить на контрольные вопросы, справ-

ляетесь с контрольными заданиями и выполнили домашнюю
контрольную работу, значит, материал вами усвоен.

В конце учебника имеется предметный указатель, особен-

но полезный при повторении.

В учебник не вошли многие важные и интересные матема-

тические вопросы, поэтому для тех, кто интересуется математикой, 
в справочном разделе учебника имеется список дополнительной 
литературы и интернет-ресурсов.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1

7

НЕПРЕРЫВНОСТЬ  
И  ПРЕДЕЛЫ  ФУНКЦИИ

В первом пункте этой главы речь пойдёт о различии между
описательно-интуитивными и строгими математическими
определениями, во втором пункте вы познакомитесь с важнейшим 
математическим понятием предела функции, а в
третьем пункте вычисление пределов позволит более точно
строить графики функций.

В 10 классе вы познакомились с терминами «непрерывность
функции», «промежуток непрерывности функции» и «точка
разрыва функции». На рисунке 1 изображён график непрерывной 
функции y = x2.

Кусочно-заданная функция y = 
 (рис. 2), 

известная в математике как функция y = sign x1, имеет
разрыв в точке x = 0.

1 Функция сигнум (sign — сокращение латинского слова sig-

num — знак) была введена немецким математиком, иностранным
членом-корреспондентом Петербургской академии наук Л. Кроне-
кером в 1878 г.

1. Непрерывность функции

Рис. 1
Рис. 2

1 при x > 0,
0 при x = 0,
–1 при x < 0 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

8

Первый из графиков можно изобразить, не отрывая каран-

даш от бумаги, а при изображении второго карандаш придётся 
оторвать. Именно на этом основывалось начальное представление 
о непрерывности функций, которым вы пользовались 
в 10 классе. Так, в частности, свойство сохранять знак,
которым обладает непрерывная функция, не обращающаяся
в нуль на промежутке, позволяло решать неравенства методом 
интервалов.

Пример 1.  Решить неравенство  
 0.

Р е ш е н и е.

Найдём 
границы 
промежутков 
знакопостоянства

функции, заданной левой частью неравенства. К этим границам 
относятся нули числителя, нуль знаменателя, и, конечно, 
сами промежутки должны входить в ОДЗ неравенства (область 
допустимых значений переменной x).  

ОДЗ: log2 (2x + 3) – 3 ≠ 0,
 
 

Нули числителя: x2 – 3x – 4 = 0, x1 = –1, x2 = 4. 
Нуль знаменателя: x = 2,5.

Отметим найденные границы с учётом нестрогости дан-

ного неравенства (рис. 3, а).

Определим знаки функции на отмеченных промежутках

и проведём кривую знаков.

На самом правом промежутке положителен и числитель,

и знаменатель дроби, а при переходе через точки 4, 2,5 и –1

x2 – 3x – 4

log2 2x + 3
(
) – 3
----------------------------------------------

1

2x + 3 > 0, 
2x + 3 ≠ 8,

x > –1,5, 
x ≠ 2,5.

2

x
–1,5
–1
2,5
4

x
–1,5
–1 2,5
4
–
–

+
+

ОДЗ

ОДЗ

а)

б)

Рис. 3

3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1. Непрерывность функции

9

или числитель, или знаменатель свой знак изменяют, что
влечёт изменение знака функции (рис. 3, б).

О т в е т:  –1,5 < x –1; 2,5 < x 4.

Образного представления о непрерывности было вполне

достаточно для решения задач, в которых речь идёт об элементарных 
функциях1. Однако переход к более сложным
числовым функциям заставил математиков задуматься над
проблемой строгости своей науки, и в частности уточнить определение 
непрерывности. Ведь, говоря о непрерывности, мы
оперируем неким описательным понятием возможности изображения 
карандашом. Однако здравый смысл подсказывает, 
что уже первый из упомянутых в этом пункте графиков,
график функции y = x2, изобразить карандашом нельзя, поскольку 
он бесконечен, а изображаем мы лишь его часть. Но
если график нельзя изобразить, то вопрос о том, как именно
его нельзя изобразить, теряет смысл.

Проблема бесконечности не возникает, если рассматри-

вать непрерывность функции в точках, т. е. на небольших
участках в ближайших окрестностях точек графика. Понятно, 
что в точках, где функция не существует, не возникает и
вопроса о её непрерывности.

В точке x0 функция y = f(x) может оказаться непрерывной

(рис. 4) или иметь в ней разрыв (рис. 5).

1 Напомним, что к элементарным относятся функции, задавае-

мые формулами, содержащими степени, радикалы, логарифмы,
тригонометрические и обратные тригонометрические функции,
а также дроби и арифметические знаки действий.

у

x

M0

M

x
x0
0

y0

y

у

x

M

x
x0
0

y0

y

M0

1

2

y = f(x)
y = f(x)

Рис. 4
Рис. 5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

10

На рисунке 4 точка M(x; y), изображающая остриё грифе-

ля карандаша, двигаясь по графику функции, может оказаться 
как угодно близко к точке M0(x0; y0). При этом всё
меньше и меньше будут отличаться друг от друга как абсциссы 
точек M и M0, так и их ординаты. 

Легко видеть, что в случае разрыва функции (рис. 5), в точ-

ке x0, как бы близко слева от этой точки мы ни брали x, разность 
f(x) – f(x0) останется больше некоторого положительного
числа (в частности, на рисунке 5 — больше 1).

Используя понятие непрерывности в точке, можно го-

ворить и о непрерывности функции на промежутке.

Такой подход к понятию непрерывности функции незави-

симо друг от друга предложили в начале XIX в. французский
математик Огюстен Луи Коши (1789—1857) и чешский математик 
Бернард Больцано (1783—1848).

Элементарные функции непрерывны в любой точке своей

области определения, поэтому они могут иметь разрывы
только в точках, ограничивающих их область определения,
но не входящих в неё.

На рисунках 6 и 7 показаны графики двух элементарных

функций, которые разрываются точками, не входящими в

Функция, непрерывная во всех точках промежутка, 

является на этом промежутке непрерывной.

y  = 1

x

0
1

1

x

y

y = x2 – 1

0
1

2

x

x – 1

Рис. 6
Рис. 7

y

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

1. Непрерывность функции

11

области их определения. На рисунке 6 хорошо вам известная

гипербола y = 
, а на рисунке 7 вы видите график функции

y = 
, который при всех x, кроме x = 1, совпадает с гра-

фиком линейной функции y = x + 1. Подумайте, почему в от-

личие от бесконечного разрыва функции y = 
 в точке x0 = 0

разрыв функции y = 
 в точке x0 = 1 называют устра-

нимым.

Пример 2.  Устранить разрыв функции 

y = 
.

Р е ш е н и е. Данная функция имеет разрыв в точке

x = 1. Устранить разрыв — это значит найти функцию,
непрерывную в точке x = 1 и совпадающую с функцией

y = 
 во всех других точках.

Преобразуем выражение, задающее функцию:

 = 
 = 
.

Функция y = 
 совпадает с функцией y = 

при всех значениях аргумента, кроме x = 1, и является элементарной, 
а значит, непрерывной во всех точках своей области 
определения, в частности в точке x = 1.

О т в е т:  y = 
.

1
x---

x2 – 1
x – 1
-----------------

1
x---

x2 – 1
x – 1
-----------------

x – 3 x + 2

x – 1
----------------------------------

x – 3 x + 2

x – 1
----------------------------------

x – 3 x + 2

x – 1
----------------------------------
x – 1
(
)
x – 2
(
)

x – 1
(
)
x + 1
(
)

-----------------------------------------------
x – 2
x + 1

-------------------

x – 2
x + 1

-------------------
x – 3 x + 2

x – 1
----------------------------------

x – 2
x + 1

-------------------

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1.  НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ

12

Упражнения

1.
Среди указанных функций найдите функции, имеющие  
разрывы. Укажите точки разрыва:

2.
1) Сформулируйте условие, достаточное для того, чтобы
непрерывная функция имела нуль на отрезке [a; b].
2)
Используйте это условие для составления плана по-

иска на отрезке [4; 5] приближённого значения корня
уравнения

x3 – 2x2 – 8x – 12 = 0.

3)
Действуя по составленному плану, найдите с по-

мощью калькулятора корень с точностью до 0,01.

3.
Решите методом интервалов неравенство:

1) (x2 – 4)(x2 – 9) > 0;
3)
 > 0;

2)
 < 0;
4)
 < 0.

4.
Приведите примеры функций, непрерывных:
1) на множестве действительных чисел;
2) при всех значениях x, кроме x = 4;
3) при всех значениях x, кроме x, равных 1, 2 и 3.

5.
В результате каких преобразований из графика функции 
y = f(x) получится график функции:
1) y = f(x + a);
3) y = f(kx + b);
5) y = –f(x);

2) y = f(x) + b;
4) y = kf(x) + b;
6) y = |f(x + a)|?

1) y = x5 + x3 + 7;
5) y = 
 – 
;

2) y = 5x + 
;

3) y = tg x;

4) y = 

6) y = 3x + lg x;

7) y = 
;

8) y = sin x – cos2 x;

9) y = 

1

x – 1
--------------
1

x + 2
---------------

1
x---

 
при x < 0,

0 
при x = 0,

2x при x > 0;

1
x---

x + 5

2x
-----------------

x + 2 при x < –1,
x2
при –1 x < 2,

5 – x при x 2.

3x2 – 2x – 1
4 + 3x – x2
------------------------------------

x – 1
(
) x + 2
(
)

2x – 1
---------------------------------------
2x – 5
x + 3
----------------------

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.