Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа 11 класс (базовый и углубленный уровнь)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373:512+512(075.3)
ББК 22.14я721 + 22.161я721

М34

Авторы:

Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, 

М. И. Шабунин

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 477 от 14.11.2016 г.), 
педагогической (заключение РАО № 166 от 05.10.2016 г.) и 
общественной (заключение РКС № 160-ОЭ от 19.12.2016 г.) 
экспертиз.

Издание выходит в pdf-формате.

Математика : алгебра и начала математического 
анализа, геометрия. Алгебра и начала математического 
анализа. 11 класс : учеб. для общеобразоват. 
организаций : базовый 
и 
углубл. 
уровни 
: 
изда-

ние в pdf-формате / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, 
Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. — 10-e изд., стер. — 
Москва : Просвещение, 2022. — 384 с. : ил.

ISBN 978-5-09-101570-6 (электр. изд.). — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-09-087603-2 (печ. изд.).
Данный учебник является второй частью комплекта учебников 

«Алгебра и начала математического анализа» для 10 и 11 классов. 
В этих учебниках изложены по принципу структурного вложения 
фактически два курса, соответствующие стандартам образования: 
один на базовом, другой на углублённом уровне.
Комплект обладает свойством преемственности со всеми действующими 
учебниками алгебры основной школы. Наилучшие 
преемственные связи установлены с комплектом учебников алгебры 
для 7—9 классов авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой, 
Н. Е. Фёдоровой, М. И. Шабунина.

В учебнике содержится избыточная разноуровневая система 
задач и упражнений (многие задачи приведены с решениями 
и указаниями), позволяющая успешно подготовиться к ЕГЭ. Практическая, 
прикладная и мировоззренческая направленность курса 
обеспечивает понимание роли математики во всех сферах деятельности 
человека.

М34

УДК 373:512+512(075.3)
ББК 22.14я721 + 22.161я721

©  Издательство «Просвещение», 
2014, 2017

© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 
2014, 2019
Все права защищены

ISBN 978-5-09-101570-6 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087603-2 (печ. изд)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Уважаемые одиннадцатиклассники!
В этом году вам предстоит с помощью учебника завершить 
изучение тригонометрии и приступить к освоению элементов 
математического анализа. Математический анализ занимается 
исследованием самых разнообразных функций методами дифференциального 
и интегрального исчислений, в основе которых 
лежит идея разбиения целого на бесконечно малые элементы. 
Освоив эти методы, вы сможете, например, быстро находить промежутки 
возрастания и убывания функции, наибольшее и наименьшее 
её значения, строить графики различных функций, 
находить площади сложных фигур, решать оптимизационные 
задачи и многое другое.
Методы математического анализа позволяют решать разнообразные 
практические и прикладные задачи техники, астрономии, 
экономики, физики и других естественных наук.
Две главы этого учебника посвящены изучению вопросов 
стохастики (науки о случайном). С их помощью вы научитесь 
видеть закономерности в массовых случайных явлениях (которые 
окружают нас и в повседневной жизни), сможете находить  
вероятности различных событий, поймёте, как рассчитать шансы 
выигрыша в лотерее или игре, как найти вероятность одновременного 
наступления двух событий и др.
Последняя глава этого учебника посвящена повторению всего 
курса алгебры и начал математического анализа 10—11 классов. 
В этой главе систематизируются все ранее изученные вами 
методы решения уравнений, неравенств и их систем, а также 
даются подходы к решению задач с параметрами. Думаем, что 
материал этой главы будет полезен всем учащимся при подготовке 
к итоговой аттестации, особенно тем, кто планирует на ЕГЭ 
приступать к решению задач группы С.
Как устроен учебник и как им пользоваться, вы уже поняли 
в прошлом году (учебник для 11 класса организован так же, как 
и учебник для 10 класса). Напомним лишь обозначения, которые 
используются на его страницах:

 
материал для изучения на углублённом уровне

 
материал для интересующихся математикой

: ) 
решение задачи

/ " 
обоснование утверждения или вывод формулы

  25 
упражнения для базового уровня

  26 
упражнения для углублённого уровня

27  
упражнения для интересующихся математикой

Введение

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Тригонометрические функции

Я не мог понять содержание вашей статьи,
так как она не оживлена иксами и игреками. 
У. Томсон

Курс алгебры и начал математического анализа 
10 класса завершился двумя главами, посвящёнными 
преобразованиям тригонометрических 
выражений, решению тригонометрических уравнений 
и неравенств. Вы узнали, что история появления 
и развития основных тригонометрических 
понятий охватывает более чем двухтысячелетний 
период, что начиная с XIII в. тригонометрия стала 
выделяться из астрономии как самостоятельный 
раздел математики. А в начале XVII в. потребности 
прикладных наук в выполнении сложных тригонометрических 
расчётов обусловили открытие логарифмов (
первые логарифмические таблицы содержали 
только логарифмы тригонометрических выражений).
Вы знаете, что каждому действительному числу 
x соответствует единственная точка окружности 
с координатами (cos x; sin x), т. е. каждому действительному 
числу x поставлены в соответствие 
числа cos x и sin x. Поэтому можно говорить, что 
на множестве R определены функции y = cos x 
и y = sin x.
До XVII в. учение о тригонометрических функциях 
строилось на геометрической основе, его 
главной целью было решение треугольников, вычисление 
элементов геометрических фигур на земле, 
в космосе и в создаваемых технических сооружениях. 
С началом развития математического анализа 
в XVII в. тригонометрия постепенно становится его 
частью. Основоположником аналитической теории 
тригонометрических функций считается Л. Эйлер 
(1707—1783), именно он придал этой теории современный 
вид.
С XIX в. тригонометрия находит всё более широкое 
применение в механике, физике и технике, 
особенно при изучении периодических процессов 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§ 1

Область определения и множество значений
тригонометрических функций

(с понятием периода функции и свойством периодичности тригонометрических 
функций вы познакомитесь при изучении данной главы).
В курсе физики вы знакомились и ещё познакомитесь с рядом 
периодических явлений, в частности с колебательным движением. 
Например, уравнение гармонических колебаний имеет вид 
y(t) = A sin(wt + a), а графиками гармонических колебаний являются 
синусоиды.
Свойства тригонометрических функций используются во многих 
сферах человеческой деятельности: при настройке многих механизмов (
например, кривошипных механизмов, токарных станков), в землеустройстве (
в частности, при расчёте сечений каналов, определении 
дорожных профилей), в расчётах петли разворота железнодорожной 
колеи, в определении размеров зоны видимости на автомобильных 
дорогах, при градуировании шкалы мерного циркуля и др.
При изучении этой главы вы познакомитесь не только со свойствами 
и графиками тригонометрических функций, но и со свойствами 
обратных тригонометрических функций и их графиками. Познакомитесь 
с формулами, позволяющими находить приближённые значения 
sin x и cos x с помощью многочленов.

§ 1. Область определения и множество 
значений тригонометрических функций

Известно, что каждому действительному числу x соответствует 
единственная точка единичной окружности, получаемая 
поворотом точки (1; 0) на угол x радиан; sin x — ордината этой 
точки, cos x — её абсцисса. Тем самым каждому действительному 
числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т. е. на 
множестве R всех действительных чисел определены функции 
y = sin x и y = cos x.

Областью определения каждой из функций y = sin x и 
y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Напомним, что множество всех значений, которые функция 
принимает на области определения, называют множеством значений 
функции.
Таким образом, чтобы найти множество значений функции 
y = sin x, нужно выяснить, какие значения может принимать y 
при различных значениях x из области определения, т. е. установить, 
для каких значений y существуют такие значения x, 
при которых sin x = y. Известно, что уравнение sin x = a, так же 
как и уравнение cos x = a, имеет корни, если | a | 1, и не имеет 
корней, если | a | > 1.
Множеством значений каждой из функций y = sin x и 
y = cos x является отрезок –1 y 1. Функции y = sin x и 
y = cos x ограничены сверху и снизу (по определению ограниченной 
функции).

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Тригонометрические функции

Задача 1. Найти область определения функции

y
x
x
=
+
1
sin
cos .

 
: Найдём значения x, при которых выражение 
1
sin
cos
x
x
+
 не 

имеет смысла, т. е. такие значения x, при которых знаменатель 
равен нулю. Решая уравнение sin x + cos x = 0, находим tg x = –1, 

x
n
=
+
–
,
p
p
4
 n Z. Следовательно, областью определения данной 

функции являются все значения x
n
–
,
p
p
4 +
 n Z. )

Задача 2. Найти множество значений функции

y = 3 + sin x cos x.

 
: Нужно выясни ть, какие значения может принимать y при 
различных значениях x, т. е. установить, для каких значений a 
уравнение 3 + sin x cos x = a имеет корни. Применяя формулу си-

нуса двойного угла, запишем уравнение так: 3
2
1
2
+
=
sin
,
x
a  от-

куда sin 2x = 2a – 6. Для всех значений а, таких, что | 2a – 6 | 1, 
т. е. 2,5 a 3,5, это уравнение имеет корни. Таким образом, 
множеством значений данной функции является отрезок 
2,5 y 3,5.
Ответ. [2,5; 3,5]. )

З а м е ч а н и е. Задачу 2 можно решить иначе. Так как 

y
x
=
+
3
2
1
2sin
, где –1 sin 2x 1, то 
1
2
1
2
1
2
2
sin x
, откуда

2 5
3
2
3 5
1
2
,
sin
,
+
x
. Следовательно, множество значений функ-

ции — отрезок [2,5; 3,5].

Функция y = tg x определяется формулой tg
=
x
x
x
sin
cos . Зна-

чит, она определена при тех значениях x, для которых cos x 0, 

т. е. при x
n
p
p
2 +
, n Z.

Областью определения функции y = tg x является множе-

ство чисел x
n
p
p
2 +
,n Z.

Множеством значений функции y = tg x является множество 
R всех действительных чисел, так как уравнение tg x = a 
имеет корни при любом действительном значении a.

Функция y = ctg x, где ctg x = cos
sin
x
x , определена при тех зна-

чениях x, для которых sin x 0, т. е. при x pn, n Z. Следовательно, 
областью определения функции y = ctg x является множество 
R с выброшенными из него точками x = pn, n Z.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§ 1

Область определения и множество значений
тригонометрических функций

Так как уравнение ctg x = a имеет корни при любом действительном 
значении a, то множеством значений функции y = ctg x 
является множество R всех действительных чисел.
Функции y = tg x и y = ctg x не являются ограниченными.
Функции y = sin x, y = cos x, y = tg x и y = ctg x называются 
тригонометрическими функциями.

Задача 3. Найти область определения функции
y = sin 3x + tg 2x.

 
: Нужно 
выяснить, 
при 
каких 
значениях 
x 
выражение 
sin 3x + tg 2x имеет смысл. Выражение sin 3x имеет смысл при 

любом значении x, а выражение tg 2x — при 2
2
x
n
p
p
+
,  n Z, 

т. е. при x
n
p
p
4
2
+
,  n Z. Следовательно, областью определения 

данной функции является множество действительных чисел, та-

ких, что x
n
p
p
4
2
+
, n Z.

Ответ. x
n
p
p
4
2
+
, n Z. )

 Задач а 4. Найти множество значений функции
y = 3sin x + 4cos x.

 
: Преобразуем функцию, используя метод вспомогательного угла 
(«Алгебра и начала математического анализа, 10», гл. IX, § 4). Ум-

ножим и разделим y на 
3
4
5
2
2
+
= . Получим y
x
x
=
+
5 3
5
4
5
sin
cos
.
ж
из
ц
шч  

Так как 
3
5
4
5

2
2
1
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
+
= , то существует угол a, такой, что 

cos
,
a = 3
5  sin
.
a = 4
5  В качестве a можно взять arccos 3
5. Тогда y =

= 5(sin x cos a + cos x sin a) = 5sin (x + a), где –1 sin (x + a) 1. Поэтому –
5 y 5, т. е. множество значений данной функции — 
отрезок [–5; 5]. )

Задача 5. Найти множество значений функции
y = 3sin2 x + 4sin x cos x + cos2 x.

 
: Используя формулы двойного аргумента, получаем

y
x
x
x
x
x
=
+
+
= 2 +
.
+
3
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
Ч
cos
cos
sin
( sin
– cos
)

Преобразовав выражение в скобках и применив метод вспомогательного 
угла, получим

2
2
2
5
2
2
5
2
2

5

1

5
sin
cos
sin
cos
sin(
),
x
x
x
x
x
ж

из
ц

шч
=
–
=
a

где a = arccos 2

5
.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Тригонометрические функции

Тогда y = 2 + 5sin (2x – a). Так как – 5 5 sin (2x – a) 5,

то 2 – 5 y 2 + 5. Следовательно, множество значений дан-

ной функции — отрезок [2 – 5;  2 + 5]. ) 

 Задача 6. Доказать, что функция y = 3cos 2x + 5sin 2x ограничена.

 
: 
Для того чтобы доказать, что функция y = 3 cos 2x + 5 sin 2x 
ограничена, нужно найти такое положительное число C, чтобы 
для любого значения x из области определения функции, т. е. 
для x R, выполнялось неравенство | 3cos 2x + 5sin 2x | C.
Так как –1 cos 2x 1, –1 sin 2x 1, то для любого значения 
x из области определения выполняются неравенства 
–3 3cos 2x 3, –5 5sin 2x 5, следовательно, –8 y 8 и функция 
ограничена на множестве R. )

Задача 7. Доказать, что функция y
x
x

x
=
+
2
1
2
sin
 ограничена.

 
: 
Данная функция определена на множестве R. Воспользуемся 
неравенством x2 + 1 2| x |, которое равносильно неравенству 

(| x | – 1)2 0. Тогда 
y
x
x

x
=
+
2
1

1

2
2
sin
,
так как 
x

x2
1

1

2
+
,  а 

| sin2x | 1. Следовательно, функция ограничена на множестве 
R. )

Задача 8. Доказать, что функция y = x sin x не является 
ограниченной на множестве R.

 
: Пусть C — произвольное положительное число. Тогда найдётся 
натуральное число n, такое, что x
n
C
n =
+
>
p
p
2
2
.

Так как | y(xn) | = xn sin xn = xn > C, то функция не является 
ограниченной на множестве R. ) 

Упражнения

1. Найти область определения функции:

1) y = sin 2x; 
2) y
x
= cos
;
2  
3) y
x
= cos
;
1

4) y
x
= sin
;
2  
5) y
x
= sin
; 
6) y
x
x
=
+
cos
.
– 1
1  

2. Найти множество значений функции:
1) y =1 + sin x; 
2) y = 1 – cos x;
3) y = 2sin x + 3; 
4) y = 1 – 4cos 2x;

5) y = sin 2x cos 2x + 2; 
6) y
x
x
= 1
2
1
sin
cos
– .

3. Найти область определения функции:

1) y
x
=
1
cos ; 
2) y
x
=
2
sin ;  
3) y
x
= tg 3; 
4) y = tg 5x.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§ 2

Чётность, нечётность, периодичность
тригонометрических функций

4. Найти область определения функции f(x) и вычислить её 
значение в заданных точках:

1) f x
x
x
x
x
( )
;
,
;
cos
sin
=
=
=
2
4
7
2
1
2
p
p

2) f x
x
x
x
x
x
( )
;
,
– ,
.
cos
=
=
=
=
p
1
2
3
0
1
100

Найти область определения функции (5—6).

5. 1) y
x
=
+
sin
;
1  
2) y
x
=
–
cos
;
1  
3) y = lg sin x;

4) y
x
=
–
2
1
cos
; 
5) y
x
=
–
1
2sin
;  
6) y = ln cos x.

6. 1) y
x
x
=
1

2
2
sin
sin
;
 
2) y
x
x
=
2
2
2
cos
sin
;
3) y
x
x
=
1
3
sin
sin
;

4) y
x
x
=
+

1
3
cos
cos
.

Найти множество значений функции (7—9).
7. 1) y = 2sin2 x – cos 2x; 
2) y = 1 – 8cos2 x sin2 x;

3) y
x
=
+
1
8
4

2
cos
; 
4) y = 10 – 9sin2 3x;

5) y = 1 – 2|cos x|; 
6) y
x
x
=
+
+
sin
sin
.
p
3
ж
из
ц
шч

8. 1) y = sin x – 5cos x; 
2) y = sin2 x – 2sin x;
3) y = 10cos2 x – 6sin x cos x + 2sin2 x;
4) y = cos2 x + 3cos x.

9. 1) y = sin4 x + cos4 x; 
2) y = sin6 x + cos6 x.

10.  Доказать ограниченность функции:

1) y
x
x
=
cos
,
sin ;
1 5 
2) y
x
x
=
+

1

3 (sin
cos )
.

11.  Доказать, что функция f(x) не является ограниченной в области 
её определения, если:

1) f x
x
x
( )
;
cos
=
 
2) f x
x
x
( )
sin
.
= 1
1

§ 2. Чётность, нечётность, периодичность
тригонометрических функций

Каждая из функций y = sin x и y = cos x определена на множестве 
R, и для любого x R верны равенства
sin (–x) = –sin x, cos (–x) = cos x.
Следовательно, y = sin x — нечётная функция, а y = cos x — 
чётная функция.
Для любого значения x из области определения функции 
y = tg x верно равенство tg (–x) = –tg (x) и область определения 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Тригонометрические функции

функции y = tg x симметрична относительно начала координат. 
Поэтому y = tg x и y = ctg x — нечётные функции.

 Можно доказать следующие свойства чётных и нечётных 
функций:

1) сумма, разность, произведение и частное двух чётных 
функций являются функциями чётными;
2) сумма и разность двух нечётных функций являются 
функциями нечётными;
3) произведение и частное двух нечётных функций являются 
чётными функциями;
4) произведение и частное чётной и нечётной функций являются 
нечётными функциями. 

Задача 1. Выяснить, является ли функция 

y
x
x
=
+
+
2
3
2
sin
cos
p
ж
из
ц
шч

чётной или нечётной.

 
: Функция определена на множестве R. Используя формулу 
приведения, запишем данную функцию в виде y = 2 + sin2 x. Так 
как sin (–x) = –sin x, то (sin (–x))2 = sin2 x, и поэтому y (–x) = y (x), 
т. е. данная функция является чётной. )

Известно, что для любого значения x верны равенства 
sin (x + 2p) = sin x, cos (x + 2p) = cos x. Из этих равенств следует, 
что значения синуса и косинуса периодически повторяются при 
изменении аргумента на 2p. Такие функции называются периодическими 
с периодом 2p.

О п р е д е л е н и е

Функция f(x) называется периодической, если существует 
такое число T 0, что для любого x из области определения 
этой функции значения x + T и x – T также принадлежат 
области определения и выполняются равенства 
f(x – T) = f(x) = f(x + T). Число T называется периодом функции 
f(x).

Из этого определения следует, что если число x принадлежит 
области определения функции f(x), то числа x + nT, 
n Z также принадлежат области определения этой функции и 
f(x + nT) = f(x), n Z.

Задача 2. Доказать, что число 2p является наименьшим положительным 
периодом функции y = cos x.

 
: Пусть T > 0 — период косинуса, т. е. для любого x выполняется 
равенство cos (x + T) = cos x. Положив x = 0, получим
cos T = 1. Отсюда T = 2pk, k Z. Так как T > 0, то T может принимать 
значения 2p, 4p, 6p, ..., и поэтому период не может быть 
меньше 2p. )

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.