Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа 10 класс (базовый и углубленный уровнь)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373:512+373(517)
ББК 22.14я721+22.161я721
 
М34

Авторы:
Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова,  
М. И. Шабунин

На учебник получены положительные заключения
научной (заключение РАО №  476 от 14.11.2016  г.),
педагогической (заключение РАО №  165 от 05.10.2016  г.)
и общественной (заключение РКС №  159-ОЭ от 22.12.2016  г.) экспертиз.

Издание выходит в pdf-формате.

Математика : алгебра и начала математического анализа, 
геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 
10 класс : учеб. для общеобразоват. организаций : 
базовый и углубл. уровни : издание в pdf-формате / 
[Ю. М. Колягин, М. В. Ткачёва, Н. Е. Фёдорова, М. И. Шабунин]. — 
10-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 
2022. — 384 с. : ил.

 ISBN 978-5-09-101569-0 (электр. изд.). — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-09-087550-9 (печ. изд.).
Данный учебник является первой частью комплекта учебников 

«Алгебра и начала математического анализа» для 10 и 11 классов. В этих 
учебниках изложены, по принципу структурного вложения, фактически 
два курса, соответствующие стандартам образования: один на базовом, 
другой на углублённом уровне.
Комплект обладает свойством преемственности со всеми действующими 
учебниками алгебры основной школы. Наилучшие преемственные 
связи установлены с комплектом учебников алгебры для 7—9 классов 
авторов Ю. М. Колягина, М. В. Ткачёвой, Н. Е. Фёдоровой, М. И. Шабунина.

В учебнике содержится избыточная разноуровневая система задач 

и упражнений (многие задачи приведены с решениями и указаниями), 
позволяющая успешно подготовиться к ЕГЭ. Практическая, прикладная 
и мировоззренческая направленность курса обеспечивает понимание 
роли математики во всех сферах деятельности человека.

 
УДК 373:512+373(517)

 
ББК 22.14я721+22.161я721

М34

©  Издательство «Просвещение», 

2014, 2017
©  Художественное оформление.
 
 Издательство «Просвещение», 
2014, 2019
 
Все права защищены

ISBN 978-5-09-101569-0 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087550-9 (печ. изд.)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Введение

Уважаемые десятиклассники!
В 10 и 11 классах вам предстоит изучать новый предмет  — 
Алгебра и начала математического анализа. Однако содержание 
курса, рассмотренного в наших учебниках, выходит за 
рамки обозначенных в заголовке разделов математики: на страницах 
учебников вы встретитесь также с тригонометрией и 
стохастикой (наукой о случайном). При этом первая глава 
учебника 10 класса посвящена повторению курса алгебры, который 
вы изучали в основной школе. Большая часть нового курса 
(входящая в основном в учебник 10 класса) посвящена продолжению 
изучения алгебры  —  преобразованию буквенных выражений, 
решению уравнений и неравенств, исследованию функций. 
Но список изучаемых функций (а также соответствующих им 
уравнений и неравенств) будет расширен: вы познакомитесь с 
показательными, логарифмическими и тригонометрическими 
функциями.
В 11 классе принципиально новой для вас частью курса станет 
математический анализ  —  раздел математики, дающий 
мощный аппарат исследования самых разнообразных функций. 
Знание основных понятий математического анализа (предел, 
производная, первообразная) и его методов (дифференцирование, 
интегрирование) позволит вам решать интересные математические 
и различные прикладные задачи. Кроме того, в 11 классе 
будет продолжено изучение элементов комбинаторики и теории 
вероятностей, с которыми вы впервые встречались в основной 
школе.

Как устроен учебник и как с ним работать?

Структура учебника такова, что курс математики по нему 
могут изучать школьники как общеобразовательных классов, 
так и классов с углублённым изучением математики. С помощью 
условных обозначений каждый учащийся найдёт учебный материал, 
соответствующий его интересам и уровню подготовленности:
—  
если вы учитесь в общеобразовательном классе, то следует 
читать только тот текст учебника, который не выделен никакими 
значками; этому уровню соответствуют упражнения, номера 
которых не имеют особых выделений; 
—  если вы хотите глубже изучить тему или если вы учитесь 
в классе с углублённым изучением математики, то читайте

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

тексты параграфов и в той их части, которая выделена значками 
«У»; номера соответствующих упражнений подчёркнуты синим 
цветом;
—  дополнительный, сложный материал в учебниках выделен 
значками «М»; он ориентирован на учащихся, интересующихся 
математикой, которые планируют на экзаменах приступать 
к решению всех заданий группы «С»; номера самых 
сложных упражнений записаны в синих прямоугольниках.
В конце каждой главы вы найдёте разделы Вопросы к главе 
и Проверь себя!, с помощью которых сможете оценить, насколько 
хорошо вы усвоили тему. К большинству упражнений, 
а также ко всем заданиям рубрики Проверь себя! в конце учебника 
приведены ответы или указания к решению.
Внутри текста используются следующие обозначения:
 
материал для изучения на углублённом уровне

 
материал для интересующихся математикой

: ) 
решение задачи

/ " 
начало и окончание доказательства или вывода формулы
 25 
упражнения для базового уровня
 26 
упражнения для углублённого уровня

27  
упражнения для интересующихся математикой

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Математическая наука, в моём понимании, есть
неделимое целое, организм, жизненность которого
обусловлена связью его частей.

Д. Гильберт

Материал этой главы посвящён повторению 
курса алгебры основной школы. Повторяя различные 
разделы ранее изученного курса (решение 
уравнений и неравенств, исследование функций, 
преобразование алгебраических выражений), вы 
поймёте, о чём говорил признанный в начале 
XX в. мировым лидером всех математиков немецкий 
учёный Давид Гильберт (см. эпиграф к главе).
Предложенный материал изложен таким образом, 
что будет понятен и полезен всем учащимся 
независимо от того, по каким учебникам алгебры 
они обучались в 7—9 классах. Каждый параграф 
главы посвящён повторению большой темы; в нём 
кратко излагаются ранее изученные теоретические 
положения, разбираются решения задач на применение 
этих положений, приводятся упражнения для 
восстановления практических умений по теме. Наряду 
со стандартными упражнениями в этой главе 
рассматриваются задачи с параметрами. Такого 
типа задачи предлагаются на итоговой аттестации 
в группе задач уровня «С», хотя для их решения достаточно 
знаний основной школы.
Вопросы комбинаторики и теории вероятностей 
в данной главе не повторяются, так как 
в учебнике 11 класса они излагаются подробно, 
с напоминанием материала, входившего в программу 
7—9 классов.
К материалу этой главы вы можете возращать-
ся неоднократно в течение всего учебного года, 
особенно если нужно вспомнить определения понятий, 
на которые опирается новый материал. Для 
удобства 
поиска 
нужного 
термина 
пользуйтесь 
«Предметным указателем», помещённым в конце 
учебника.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Алгебра 7—9 классов (повторение)

§  1. Алгебраические выражения

 1. Алгебраическая сумма
Алгебраическая сумма  —  это запись, состоящая из нескольких 

алгебраических 
выражений, 
соединённых 
знаком 
«+» 
или «–».
Задача 1. В выражении a + (b – (c + d – 5)) раскрыть 
скобки.
: 
a + (b – (c + d – 5))  =  a + (b – c – d + 5)  =  a + b – c –
– d + 5. )

 2. Степень с натуральным и целым показателями
Степень числа a с натуральным показателем n, большим 
единицы, — это произведение n множителей, равных a:

a
a a a
a
a
a
n

n
=
=
...
,
,

множителей
1

где a  —  основание степени, n  —  показатель степени, an  —  степень.

Например:

–
= –
–
–
=
1
1
1
1
1
3
1
3
1
3
1
3

3
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч ж
из
ц
шч ж
из
ц
шч
= –
–
–
= –
= –
= –
4
3
4
3
4
3
4 4 4
3 3 3
64
27
210
27
ж
из
ц
шч ж
из
ц
шч ж
из
ц
шч
.

Если a 0 и n  —  натуральное число, то a n
n
a

– = 1 .

Если a 0, то a0  =  1.
Например:

(
)
;
; (
)
(– )
.
–
=
=
=
–
=
–
–
3
3
1
2
2

1
0
1
3
1
9
2
3
3
2
ж
из
ц
шч

Свойства степени с целым показателем (a 0, b 0)

am · an = am + n;   (am)n = am · n; 
am : an = am – n;   (ab)n = anbn;      

a
b
a
b

n
n

n
ж
из
ц
шч =
.

Например, 
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3

5
2
5
2
5
2
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
ш

–
–
– –
– +
:
=
=
=

(– )
ч

–
=

3

=
=
;
=
=
=
=
.
–
–
1
3
3
3
2
3

27
8
1

3

1
729
3
2
3
2
3
6
6
ж
из
ц
шч

(
)
(– )
Задача 2. Найти значение выражения (
)
a
a

a
a

5 2
3

4
6
при a = –0,4.

: 
(
)
a
a

a
a

a
a

a

a
a

a

a

a
a
a
5 2
3

4
6

5 2
3

4
6

10
3

10

13

10
13
10
3
=
=
=
=
=
;
+
–

если a = –0,4, то a3 = (–0,4)3 = –0,064. )

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§  1

Алгебраические выражения

Запись числа в виде a · 10n, где 1 |a|  <  10 и n  —  целое 
число, называется стандартным видом числа.
Задача 3. Записать в стандартном виде каждое из чисел: 
320; 0,006.
: 
320
3 2 100
3 2 10
0 006
10
2
3
3
6
1000
6
10
6
= ,
=
; ,
=
=
=
– .
,
 )

 3. Одночлены и многочлены
Одночлен  —  произведение числовых и буквенных множителей, 
являющихся степенями с натуральными показателями. 
Буквы, их степени и числа также являются одночленами. 

Примеры одночленов: 2bc, –3a2 · 2ab, a, 2
5.

Одночлен стандартного вида  —  это одночлен, который содержит 
только один числовой множитель, стоящий на первом 
месте, и натуральные степени буквенных множителей с различными 
основаниями (порядок расположения этих множителей не 
имеет значения).
Коэффициент одночлена  —  числовой множитель одночлена, 
приведённого к стандартному виду.
Задача 4. Найти коэффициент одночлена 7x · 8x2y.

: 
Запишем данный одночлен в стандартном виде: 7x · 8x2y = 
= 56x3y. Его коэффициент равен 56. )

Многочлен  —  алгебраическая сумма нескольких одночленов. 
Одночлен является частным случаем многочлена.
Примеры многочленов: 2a  —  одночлен, 3a – b2  —  двучлен,

1
2
2
3
4
4
x
xy
y
–
+
  —  трёхчлен.

Члены многочлена  —  одночлены, из которых он состоит.
Подобные члены многочлена  —  это одночлены, записанные 
в стандартном виде и отличающиеся только коэффициентами, 
либо одинаковые одночлены.
Приведение подобных членов  —  упрощение многочлена, при 
котором алгебраическая сумма подобных одночленов заменяется 
одним одночленом.
Стандартный вид многочлена  —  запись многочлена, в которой 
все члены записаны в стандартном виде и среди них нет 
подобных.
Задача 5. Записать в виде многочлена стандартного вида

произведение 
a
a
a
–
–
+
.
1
2
2
4
3
2
ж
из
ц
шч (
)

: 
a
a
a
–
–
+
=
1
2
2
4
3
2
ж
из
ц
шч (
)
+
–
+
+
+
a
a
a
a
a
a
2
4
3
2
2
2
1
2
(
)
–
ж

и
зз
ц

ш
чч

+
–
+
a
4
1
2
1
2
(
)
–
–
ж

и
зз
ц

ш
чч
ж

и
зз
ц

ш
чч 3 =
–
+
–
+
–
=
–
+
2
4
3
2
2
5
3
2
2
3
2
3
2
a
a
a
a
a
a
a

+
–
.
5
11
2
a
 )

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Алгебра 7—9 классов (повторение)

 4. Формулы сокращённого умножения
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суммы);
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (квадрат разности);
a2 – b2 = (a – b)(a + b) (разность квадратов);
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (куб суммы);
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 (куб разности);
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) (разность кубов);
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) (сумма кубов).
Например, с помощью формул сокращённого умножения 
степень двучлена можно кратчайшим способом записать в виде 
многочлена стандартного вида:

1
3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
27

5
3
3
2
5
5 2
5 3
)
=
–
+
–
=
–
–
(
)
(
)
a
a
a
a
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
ж
из
ц
шч
1
3

5
a +

+ a10 – a15;
2) (–2x – y)2 = (–(2x + y))2 = (2x + y)2 = 4x2 + 4xy + y2.
Задача 6. Используя формулы сокращённого умножения, 
представить 4a6 – b2c6 в виде произведения многочленов.
: 
4a6 – b2c6 = (2a3)2 – (bc3)2 = (2a3 – bc3)(2a3 + bc3). )
При разложении многочлена на множители полезно соблюдать 
следующий порядок:
1) вынести за скобки общий множитель  —  одночлен (если он 
есть);
2) попробовать разложить многочлен на множители по формулам 
сокращённого умножения;
3) попытаться применить способ группировки (если предыдущие 
способы не привели к цели).

Примеры разложения многочлена на множители:
1) с помощью вынесения общего множителя за скобки: 
2x2y3 – 3xy2 + x3y2 = xy2(2xy – 3 + x2);
2) с использованием вынесения за скобки общего множителя 
и последующим применением формулы разности квадратов: 
4a3 – a = a(4a2 – 1) = a(2a – 1)(2a + 1);
3) c применением способа группировки: 
8ac – 3b + 2a – 12bc = (8ac + 2a) + (–3b – 12bc) = 
= 2a(4c + 1) – 3b(1 + 4c) = (1 + 4c)(2a – 3b).

 5. Алгебраические дроби
Алгебраическая дробь  —  это дробь, числитель и знаменатель 
которой являются многочленами.
Основное свойство дроби можно записать так:

a
b
am
bm
=
,
=
a
b
a m
b m
:
:
, где b 0, m 0.

Основное свойство дроби позволяет сокращать алгебраическую 
дробь на общий множитель числителя и знаменателя.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§  1

Алгебраические выражения

Например:

4
2
4
2
2
2
2

3
2
2
2
2
x
xy
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
y
–
+
–
+
–
+
+
=
=
=
–
.
(
)
(
)(
)
(
)

Действия с алгебраическими дробями

a
m
b
m
a
b
m
=
;

     

a
b
c
d
a c
b d
=
;
     

a
b
c
d

a d

b c
:
=
;

     

a
b
a
b

n
n

n
ж
из
ц
шч =
.

Рассмотрим примеры действий с алгебраическими дробями:

1
2

2
4

2

2
2
2

2

2
2 2
2

2
1
)
–
=
–
=
+
=
–
–
–
–
+
–
–
+

+

b

b

b
b

b

b
b
b

b

b
b

b

(
)(
)
(
)(
)

\
\

=
=
=
;
+
+

–
+

+
+

–
+

+

–

2 2

2 2

4
2

2
2

4
3

4
2
(
)

(
)(
)
(
)(
)

b
b

b
b

b
b

b
b

b

b

                                     

2
2
2

2

2
2

2

1
1

12

3
3

12

3

4
)
–

–

(
–
)

(
–
)

( –
)(
)

–

x
y

x

x

y
x

x
y
x

x
y
x

x
y x
y
x

x
=
=
+

3
4
1
1
x
x
y

x
y

x
(
– )
–
.
=
+

Упражнения

1. 
Найти числовое значение выражения, предварительно упростив 
его:
1) 5a – (2b – 3a) – b при a = 0,8, b = –1,2;

2) (3x – 5y) – (–x + 2y – 3) при x
y
=
=
– ,
.
3
8
1
14

2. 
Найти значение выражения:

1
21
13

31
) a
a

a

при a = 1,6; a = –0,11;

2
48

19
26
)
n
n
n
при n = 0,3; n = –0,4.

3. 
Выполнить действия:

1
9
2
3

2 6
3
5
2
)
;
– a b c
a bc
ж
из
ц
шч           
2) 12x2yz7 (0,5x3y8)2;

3) (36m8n2k) : (12m2n);     4
5
5
9

9 8 7
3 3
) –
: (
).
a b c
a b c
ж
из
ц
шч

4. 
Записать в стандартном виде многочлен:
1) 5a3b – 3ab2 + 4ab2 – 7a3b;
2) 2xy2x3 – 3xyxy + 8x2y2x2 – 14;

3 1
6
0 7
20
7
1
3

2
3
2
3
)
(–
) –
,
–
.
ab
a b
a
b
b
a
5. 
Найти произведение многочлена и одночлена:

1 5
0 2
2
2
1
3
)
,
–
–
;
n
n
n
p
ж
из
ц
шч

     

2
4
1
2
1
1
3
1
2

2
)
–
–
–
.
x
xy
y
x
ж
из
ц
шчж
из
ц
шч

6. 
Разделить многочлен на одночлен:
1) (8x3  –  4x2  +  6x)  :  (–2x);     2) (5ab2  –  14a2b2  –  3a3b)  :  (2ab).

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Гл а в а I
Алгебра 7—9 классов (повторение)

7. 
Умножить многочлен на многочлен:
1) (2a  –  0,3b)(3a  +  5b  –  1);     2) (x  –  3)(–x2  –  2x  +  3).
8. 
Возвести в степень, пользуясь формулами сокращённого 
умножения:

1) 1
3
1
3

2
+ n
ж
из
ц
шч ;        2) (0,4a2 – 5b)2;    3) (–3p + 10q)2;

4) (–6k – 0,5n)2;    5) (a2 + 4)3;        6) (0,2 – b)3;

7) (–3 – x)3;        8
1
3

3
) –
;
+ a
ж
из
ц
шч          9) ((2 – x)(2 + x))2.

9. 
Представить данный многочлен в виде произведения, применив 
формулы сокращённого умножения:
1) x8 – 4;           2) 25n2 – 49p4;

3 1
0 09
9
16

2
2
)
–
,
;
a
b

    

4 0 0081
1
6
10
7
9
)
,
–
.
x
y

10. Разложить многочлен на множители:
1) 3a2 + 12ab + 12b2;        2) 6a3b2 – 36a2b3 + 54ab4;
3) a2 – 2ab + 5a – 10b;     4) a3 – 3b + a2b – 3a;
5) a5 + 3a3 – 8a2 – 24;      6) a2 – 3a + b2 + 3b – 2ab.
11. Сократить дробь:

1 12

27

2 3 5

4 3 2
)
;
a b c

a b c
     

2
7
2

4
3
)
;
(
– )

(
– )

a a
b

a a
b
     

3 2
6

9
2
)
;
a

a

+

–

4
2
10
5

2
)
;
(
)
m
n
n
m
–
–
     

5
2

3
4

8
)
;
a

a

–

+
       

6 8
27

9
4

3

2
)
.
a

a

–

–

12. Выполнить действия:

1 3
5
2
11
2
)
;
–
–
–
x
x
x
x
+
–

       

2
2
2
)
;
–
–
–
a
a
b
a
b
b
a
+

      

3
5
3
2
)
;
–
a
a
b
+
–

4
3
6
8
1
2
2
4
3
)
;
a
a
a
+
–
–
–

    

5 5

3

6

5

2
2

3
2
)
;
b
b

a

a

b
b

–

–
    

6
6

9

6
9

4

3

2

3

2
)
;
c

a

a
a

a c
–

–
+
7
3
2 2
2

3
6
2
)
:
;
–
–
a b
a
b
a b
a b
ac
bc
–
            

8 10
15
9
4

3
3
2

2
)
:
;
(
)

–

–

–

–

b

a
b

b

b
a

9
7
4
1
3
12
21
2
2
)
;
(
)
a
a
a
a
a
–
+
–
–
–
ж

и
з
ц

ш
ч     

10
2
2

4

4

2

2

2

2

2

2
)
–
–
:
.
–
( –
)
x

x

x

x

x

x

x
x

x
–
+

+
+
ж

и
зз

ц

ш
чч

13. Вычислить:
1) 23 – 20 – 2–3 + (–2)3 + (–2)–3; 2
3
3
3

3
3

3

3
5

3
1 2
2

3

2
)
–
.
–
–
+ (
)
ж

и
з
ц

ш
ч

14. Представить в виде степени:

1
2
5

3
)
;
–
a
a

a

    2
4
8

6
)
;
–
b
b

b

    3) a–6b3;     4) c–5d–10.

15. Записать в стандартном виде число:

1) 0,000321;     2) 0,000074;     3 312
5
)
;     4
1401 3
25
)
.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.