Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия : 11-й класс (базовый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:51+51(075.3) 
ББК 22.1я721
 
В35

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 951 от 19.11.2016 г.), 

педагогической (заключение РАО № 722 от 21.11.2016 г.) 

и общественной (заключение РКС № 437-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.

Издание выходит в pdf-формате.

Вернер, Алексей Леонидович.

B35  
Математика: алгебра и начала математического анализа, гео-

метрия : 11-й класс : базовый уровень : учебник : издание в pdf-
формате / А. Л. Вернер, А. П. Карп. — 4-е изд., стер. — Москва : 
Просвещение, 2022. — 239, [1] с. : ил.

 
 
ISBN 978-5-09-101568-3 (электр. изд.). — Текст : электронный.

 
 

ISBN 978-5-09-091757-5 (печ. изд.).
Особенностью учебника является отсутствие традиционного деления на алге-

бру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен так, чтобы 
подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного 
из предметов на длительный срок. Материал учебника разделён на три уровня: 
обязательный для всех учащихся, более сложный и наиболее трудный.

 
УДК 373.167.1:51+51(075.3)

 
ББК 22.1я721

ISBN 978-5-09-101568-3 (электр. изд.) 
© АО «Издательство «Просвещение», 2019 

ISBN 978-5-09-091757-5 (печ. изд.) 
© Художественное оформление.

  
 
АО «Издательство «Просвещение», 2019

  
 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Дорогие одиннадцатиклассники!

Перед вами учебник математики, в котором есть и разделы, посвящённые 
алгебре и началам математического анализа, и главы, в 
которых речь идёт преимущественно о геометрии. Немалое внимание 
при этом уделяется связям между разными разделами курса. 
Вы, вероятно, уже думали о том, чем будете заниматься по окончании 
школы. Можно предположить, что учёными-математиками вы 
становиться не собираетесь, иначе вы, скорее всего, изучали бы математику 
в 10—11 классах по расширенным программам. Но продолжить 
изучение математики необходимо всем. Вкусы и предпочтения 
нередко меняются, кто-то из вас через несколько лет может захотеть 
больше узнать о математике, и не стоит слишком рано закрывать для 
себя такую возможность. Ещё важнее то, что математика в какой-то 
мере давно стала нужной всем — без неё ни в политических или экономических 
новостях не разберёшься, ни оптимальное решение по 
собственному семейному бюджету не примешь. Этот учебник и написан 
для того, чтобы дать возможность лучше познакомиться с математикой, 
обходясь, однако, без слишком трудоёмких деталей. 
Учебник соответствует базовому уровню требований, но использоваться 
он может в различных условиях: он построен так, чтобы 
дать материал и тем, кто хочет ограничиться изучением основ курса, 
и тем, кто хочет узнать о математике побольше. 
Основной текст учебника разделён на три уровня: обязательный 

для всех учащихся, более сложный (выделен знаками 
)

и наиболее трудный (отмечен знаком   *). Звёздочкой отмечены так-

же пункты и параграфы, которые учащиеся могут изучать самостоятельно. 

В разделе «Вопросы, упражнения, задачи», которым заканчивается 
каждый пункт, номера обязательных для всех учащихся задач выделены 
цветом.
В конце каждой главы учебника приводятся вопросы по изученному 
материалу и раздел «Проверьте себя!», с их помощью вы сами 
сможете оценить степень достижения уровня, обязательного для всех 
учащихся. Раздел «Готовимся к ЕГЭ», содержащий задания, близкие 
к пред лагавшимся на Едином государственном экзамене, поможет 
вам увидеть, после изучения каких глав учебника становится возможным 
выпол нение предлагаемых на экзаменах заданий, и тем самым 
понять, как по данному учебнику можно подготовиться к Единому 
государственному экзамену. При этом авторами не ставится 
цель дать большое количество заданий — их можно легко найти в 
существующих пособиях. 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Кроме основного текста, предназначенного для изучения на уроках 
и домашней работы, учебник содержит разделы под названием «Прочтите 
сами». Он адресован тем из вас, кто интересуется историей математики.

В конце учебника приведены дополнительные задачи, в которых 
предлагается выбрать правильный ответ из предложенных (полезно 
при этом подумать, и почему остальные ответы неверные). Вы сможете 
использовать эти задачи  для того, чтобы приобрести больший навык 
в математических рассуждениях и развить логику. Возможно, вы 
будете использовать эти задачи в конце года, повторяя весь курс. 
Авторы учебника благодарны А. Д. Александрову и Генри Полла-
ку, общение с которыми способствовало формированию их взглядов 
на преподавание математики, а также Л. П. Евстафьевой, В. Б. Некрасову 
и О. А. Шептовицкой, прочитавшим учебник и сделавшим 
полезные замечания.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Что такое производная    5

§ 1. Что такое производная 

1. Повторим линейную функцию
В предыдущие годы обучения вам приходилось встречаться с линейной 
функцией во многих задачах. Очень полезна она нам будет и 
в этом году. Повторим её определение и некоторые свойства.
Линейной называется функция, задаваемая формулой y =  ax + b, 
где a и b — числа. График линейной функции — прямая. Наоборот, 
любая невертикальная прямая является графиком какой-то линейной 
функции. На рисунке 7.1 построены графики нескольких линейных 
функций: у = 2х, у = 3х + 1, y = 1 – x, y = –2x – 1, y = 3, y = –2. 
Чтобы построить график линейной функции, достаточно найти значения 
этой функции при двух значениях аргумента, отметить две соответствующие 
точки координатной плоскости и провести через них прямую.
По формуле легко судить, проходит ли график задаваемой ею 
функции через ту или иную точку. Например, график функции 
у = 2х, очевидно, проходит через точку (0; 0), ибо эта функция при 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Элементы математического анализа

х = 0 принимает значение 0. График же функции у = 1 – х через 
начало координат не проходит, так как значение этой функции при 
х = 0 равно 1, а не 0.
Число а называют угловым коэффициентом прямой у = ах + b. 
Если угловой коэффициент положителен, то прямая слева направо 
идёт вверх, т. е. соответствующая функция является возрастающей на 
всей числовой оси (рис. 7.1, a). Если угловой коэффициент отрицателен, 
то прямая слева направо идёт вниз, т. е. соответствующая функция 
является убывающей на всей числовой оси (рис. 7.1, б). Если 
угловой коэффициент равен нулю, то прямая параллельна оси абсцисс 
или совпадает с ней, соответствующая функция является на всей числовой 
оси постоянной (рис. 7.1, в).
Число b является значением линейной функции у = ах + b при 
x = 0. Поэтому прямая, являющаяся графиком этой функции, пересекает 
ось ординат в точке (0; b).
Чтобы задать линейную  функцию, достаточно указать угловой коэффициент 
соответствующей прямой и какую-либо точку, через которую 
она проходит.

ПРИМЕР 1. Напишем уравнение прямой с угловым коэффициентом 
а, проходящей через точку (x0; у0):
а) при х0 = 1, у0 = 1; б) в общем виде.

РЕШЕНИЕ. а) Искомое уравнение имеет вид
у = ах + b.
Данная прямая проходит через точку с координатами (1; 1), это 
означает, что выполнено равенство 1 = а · 1 + b, т. е. b = 1 – а. Подставим 
значение b в исходную формулу: у = ах + 1 – а, получаем 
искомое уравнение. Перегруппировав и вынеся общий множитель а 
за скобки, уравнение можно записать и несколько по-другому: 
у = 1 + а (х – 1).

Рис. 7.1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Что такое производная    7

б) Рассуждаем точно так же. Ищем уравнение вида у = ах + b, 
зная, что выполняется равенство у0 = ах0 + b. Имеем равенство 
b = y0 – ax0. Подставив значение b в исходную формулу, получим
у = ах + у0 – ах0 — это и есть искомое уравнение. Перегруппировав 
и вынеся общий множитель а за скобки, уравнение можно записать 
и несколько по-другому: y = y0 + а (х – х0). Этой формой уравнения 
прямой, заданной угловым коэффициентом a и точкой с координатами (
x0; y0), через которую она проходит, мы будем в дальнейшем часто 
пользоваться. Заметим ещё, что любая невертикальная прямая, 
проходящая через точку с координатами (x0; y0), может быть задана 
уравнением вида y = y0 + a(x – x0) при каком-то значении a (или, 
что то же самое, уравнением вида y = ax + y0 – ax0).
Прямая может быть задана и двумя точками. 

ПРИМЕР 2. Напишем уравнение прямой, проходящей через точки 
с координатами:
а) (1; 1), (2; 3); б) (х0; у0), (х1; у1) при условии, что х0 х1.

РЕШЕНИЕ. а) Ясно, что искомая прямая не является вертикальной 
(1 2), поэтому уравнение прямой имеет вид у = ах + b. Запишем 
равенства, означающие, что прямая проходит через данные точки:

1
3
2
=
+
=
+
a
b
a
b
,
.
мно

Отсюда получаем а = 2. Подставив найденное значение а в любое из 
двух записанных для а и b равенств, находим b = –1. Искомое уравнение 
имеет вид у = 2х – 1.
б) Рассуждая точно так же, как выше, ищем уравнение вида

y = ах + b, причём должны выполняться равенства
 

y
ax
b
y
ax
b

0
0

1
1
=
+
=
+
,
.
мно

Решая эту систему уравнений, находим, что

 

a
b
y
y

x
x

y x
y x

x
x
=
=
–
1
0

1
0

0
1
1
0

1
0
–

–

–
,
.

Искомое уравнение имеет вид

y
x
y
y

x
x

y x
y x

x
x
=
+
1
0

1
0

0
1
1
0

1
0

–

–

–

–
.

Для любой прямой у = ах + b можно взять на ней две точки с 
координатами (х0; у0) и (х1; у1) и переписать уравнение прямой так, 
как показано выше, в частности выразить угловой коэффициент в ви-

де a
y
y

x
x
=
1
0

1
0

–

–
.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Элементы математического анализа

Это даёт возможность прояснить его геометрический 
смысл.
На рисунке 7.2 изображены прямые и на 
каждой отмечены точки А и В с координатами (
х0; у0) и (х1; у1) и углы, образованные 
этими прямыми с положительным направлением 
оси абсцисс (их называют углами наклона 
прямых к оси абсцисс). Видно, что 
разности у1 – у0 и х1 – х0 выражают длины 
катетов прямоугольных треугольников ABC 
или противоположные им величины, а отношение 


y
y

x
x

1
0

1
0

–

–
 равно тангенсу угла наклона 

прямой к оси абсцисс.
Угловой коэффициент прямой равен 
тангенсу угла её наклона к оси абсцисс 
(для самой оси абсцисс или прямых, параллельных 
ей, угол наклона считают равным 
нулю).

ПРИМЕР 3. Напишем уравнение прямой, 
проходящей 
через 
точку 
с 
координатами (
1; 2) и наклонённой к оси абсцисс под 
углом, равным 45°.

РЕШЕНИЕ. Угловой коэффициент данной 
прямой равен tg 45°, т. е. 1. Используя выведенную 
в примере 1 формулу уравнения прямой, 
получаем
у = 2 + (х – 1), т. е. у = x + 1.

Отметим, что две различные невертикальные прямые параллельны 
тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. В этом 
случае, очевидно, равны углы наклона этих прямых к оси абсцисс.

ПРИМЕР 4. Напишем уравнение прямой, проходящей через точку 
с координатами (2; 4) и параллельной прямой у = 1 – 3х.

РЕШЕНИЕ. Угловой коэффициент искомой прямой равен –3. Используя 
выведенное ранее, записываем уравнение
y = 4 – 3(x – 2), т. е. y = –3x + 10.

Вопросы. Упражнения. Задачи

1. Постройте график функции:
а) y = 3x; 
б) y = 2 – 4x; 
в) y = 3;

г) y = –
 

1
2
1
x +
;
 
д) y = 0,5x – 2; 
е) y
x
= –
–
.
1
3
2
3

Рис. 7.2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Что такое производная    9

2. Укажите, графики каких из следующих функций проходят через 
точку (0; 3); через точку (2; –1): 
а) у = 5х – 2; 
б) у = –3х + 3; 
в) у = 4х – 9;
г) у = –2х + 3; 
д) у = 3х + 2; 
е) у = –х + 1.

3. Укажите, какие из следующих функций являются возрастающими, 
какие — убывающими: 
а) у = 6х + 7; 
б) у = –2,96х + 3; 
в) y
x
=
+
2
7;

г) у = –px + 4; 
д) у = 0,4х + 0,8; 
е) y
x
= 1
7
.

4. Напишите уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей 
через точку А, если: 
а) А (0; 3), k = 1; 
б) А (1; 2), k = –1; 
в) А (2; –1), k = 3; 
г) А (2; 0,5), k = –2,5.

5. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если:
а) А (0; 0), В (1; 1); 
б) А (2; –1), В (1; 3);
в) А (–1; –1), В (2; 1).

6. На рисунке 7.3 изображены графики линейных функций. Для каждого 
из них определите соответствующий угловой коэффициент.

7. На рисунке 7.4 изображены графики 
линейных функций. Задайте каждую 
из функций формулой.

8. Прямая наклонена к оси абсцисс под 
углом 135° и проходит через точку
(1; –1). Запишите уравнение, задающее 
эту прямую.

9. Напишите уравнение прямой, проходящей 
через точку (1; 2) и параллельной:
а) оси абсцисс;
б) прямой у = 4х;
в) прямой у = –5х + 3.
Рис. 7.4

Рис. 7.3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Элементы математического анализа

2. Касательная к графику функции у = x2

График функции f(x) = x2 давно вам знаком и сравнительно прост. 
Тем не менее понятно, что есть и более простая линия — прямая: 
рисовать её гораздо проще. Уравнение прямой имеет вид у = аx + b, 
по такой формуле легче считать значения функции. Можно назвать 
и другие задачи, которые легче решаются для линейной функции, 
чем для квадратичной.
Хотелось бы научиться хоть на маленьком кусочке заменять кривую 
отрезком прямой, мало от неё отличающейся, — это, как мы увидим, 
будет полезно для приближённых вычислений и во многих других ситуациях. 
Мы уже не раз пытались моделировать различные процессы 
с помощью линейных функций, оговаривая, что на самом деле рассматриваемый 
процесс, наверное, идёт сложнее, но линейная функция помогает 
создать самое простое (хотя, разумеется, лишь приближённое) 
его описание. Подобные рассуждения вам, вероятно, приходилось применять 
и в другой ситуации — для приближённого определения площади 
криволинейной фигуры. Для этого такую фигуру заменяют «близким» 
к ней многоугольником, т. е. заменяют 
кусочки ограничивающей фигуру кривой отрезками 
прямой (рис. 7.5).
Попробуем применить эту идею при рассмотрении 
параболы y = x2. Но какой прямой 
заменять нашу кривую?
Попытаемся сначала заменить рассматриваемую 
кривую прямой вблизи, например, её 
точки (1; 1). Чтобы подчеркнуть, что число х 
близко к 1, запишем его следующим образом: 
х = 1 + t — и число t будем считать «маленьким». Представить 
число х таким образом можно всегда. Например, если х = 1,12, то 
t = 0,12, а если х = 0,97, то t = –0,03. Вообще t = х – 1.
Теперь запишем равенства: х2 = (1 + t)2 = 1 + 2t + t2. 
Заметим, что если число t «маленькое» по абсолютной величине, 
то число t2 — «очень маленькое». Например, если t = 0,1, то t2 = 0,01, 
а если t = –0,01, то t2 = 0,0001. В таких случаях говорят, что величина 
t2 — малая более высокого порядка, чем t. Отбросим эту величину 
и запишем приближённое равенство: (1 + t)2 1 + 2t. Или, 
выражая через х:

х2 1 + 2(х – 1) = 2х – 1.

Мы подобрали выражение первой степени, которое можно считать 
близким к выражению х2 вблизи точки х = 1. На рисунке 7.6 изображена 
соответствующая прямая у = 2х – 1 и несколько других прямых, 
проходящих через точку (1; 1). По рисунку видно, что прямая 
у = 2х – 1 ближе всех примыкает к графику функции у = х2 вблизи 

Рис. 7.5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.