Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия : 10-й класс (базовый уровень)
Покупка
ФПУ
Тематика:
Алгебра
Издательство:
Просвещение
Год издания: 2022
Кол-во страниц: 369
Дополнительно
Вид издания:
Учебник
Уровень образования:
Среднее общее образование
ISBN: 978-5-09-101567-6
Артикул: 815919.01.99
Особенностью учебника является отсутствие традиционного деления на алгебру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен так, чтобы подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного из предметов на длительный срок. Материал учебника разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный и наиболее трудный.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 В35 На учебник получены положительные заключения научной (заключение РАО № 950 от 19.11.2016 г.), педагогической (заключение РАО № 721 от 21.11.2016 г.) и общественной (заключение РКС № 436-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз. Издание выходит в pdf-формате. Вернер, Алексей Леонидович. В35 Математика: алгебра и начала математического анализа, гео метрия : 10-й класс : базовый уровень : учебник : издание в pdf-формате / А. Л. Вернер, А. П. Карп. — 4-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 367, [1] с. : ил. ISBN 978-5-09-101567-6 (электр. изд.). — Текст : электронный. ISBN 978-5-09-091758-2 (печ. изд.). Особенностью учебника является отсутствие традиционного деления на ал- гебру и начала математического анализа и геометрию. Курс построен так, чтобы подчёркивать единство подходов и методов и не допускать «ликвидации» одного из предметов на длительный срок. Материал учебника разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный и наиболее трудный. УДК 373.167.1:512+512(075.3) ББК 22.14я721 ISBN 978-5-09-101567-6 (электр. изд.) © АО «Издательство «Просвещение», 2019 ISBN 978-5-09-091758-2 (печ. изд.) © Художественное оформление. АО «Издательство «Просвещение», 2019 Все права защищены З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Дорогие десятиклассники! Перед вами учебник математики, в котором есть и разделы, посвящённые алгебре и началам математического анализа, и главы, в которых речь идёт преимущественно о геометрии. Немалое внимание при этом уделяется связям между разными разделами курса. Вы, вероятно, уже думали о том, чем будете заниматься по окончании школы. Можно предположить, что учёными-математиками вы становиться не собираетесь — иначе вы, скорее всего, учились бы математике в десятом классе по расширенным программам. Но продолжить изучение математики необходимо всем. Вкусы и предпочтения нередко меняются — кто-то из вас через несколько лет может захотеть больше узнать о математике, и не стоит слишком рано закрывать для себя такую возможность. Ещё важнее то, что математика в какой-то мере давно стала нужной всем — без неё ни в политических или экономических новостях не разберёшься, ни лучшее решение по собственному семейному бюджету не примешь. Этот учебник и написан для того, чтобы дать возможность лучше познакомиться с математикой, обходясь, однако, без слишком трудоёмких деталей. Учебник соответствует базовому уровню требований, но использоваться он может в различных условиях: он построен так, чтобы дать материал и тем, кто хочет ограничиться изучением основ курса, и тем, кто хочет узнать о математике побольше. Основной текст учебника разделён на три уровня: обязательный для всех учащихся, более сложный (выделен знаками ) и наиболее трудный (отмечен знаком *). Звёздочкой отмечены также пункты и параграфы, которые учащиеся могут изучать самостоятельно. В разделах «Вопросы, упражнения, задачи», которыми заканчивается каждый пункт, номера обязательных для всех учащихся задач выделены цветом. В конце каждой главы учебника приводятся вопросы по изученному материалу и раздел «Проверьте себя!», с их помощью вы сами сможете оценить степень достижения уровня, обязательного для всех учащихся. Разделы «Готовимся к ЕГЭ», содержащие задания, близкие к предлагавшимся на едином государственном экзамене, помогут вам увидеть, после изучения каких глав учебника становится возможным выполнение предлагаемых на экзаменах заданий, и тем самым понять, как по данному учебнику можно подготовиться к ЕГЭ. При этом авторами не ставится цель дать большое количество заданий — их можно легко найти в существующих пособиях. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Кроме основного текста, предназначенного для изучения на уроках и домашней работы, учебник содержит разделы под названием «Прочтите сами». Они адресованы тем из вас, кто интересуется историей науки. В конце учебника приведены дополнительные задачи, в которых предлагается выбрать правильный ответ из предложенных (полезно при этом подумать, почему остальные ответы неверные). Вы сможете использовать эти задачи для того, чтобы приобрести больший навык в математических рассуждениях и развить логику. Возможно, вы будете использовать эти задачи в конце года, повторяя весь курс. Авторы учебника благодарны А. Д. Александрову и Генри Пол- лаку, общение с которыми способствовало формированию их взглядов на преподавание математики, а также Л. П. Евстафьевой, В. Б. Некрасову и О. А. Шептовицкой, прочитавшим учебник и сделавшим полезные замечания. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Простейшие математические модели 5 § 1. Простейшие математические модели 1. Складно, правильно, красиво Ещё когда вы не ходили в школу, вы, конечно, умели отличать стихи от обычной речи и, если в шутку кто-то заменял одно слово в стихотворении другим, неподходящим, наверное, сразу замечали это и кричали: «Нескладно!» Но что такое «складно»? В своё время вас учили определять размер стихотворения, например: « Тучки небесные, вечные странники...» М. Ю. Лермонтова написаны четырёхстопным дактилем — стихотворную строчку в них можно разбить на четыре группы (стопы), по три слога в каждой, из которых первый ударный, а второй и третий безударные. Схематично четыре строчки, написанные четырёхстопным дактилем, изо- З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Математика вокруг нас бражают обычно так, как показано на рисунке 1.1. Дужки в этой так называе мой метрической схеме соответствуют слогам, тройки дужек — стопам. (Конечно, метрическая схема — это лишь «каркас» стихотворения.) Если вместо слова «тучки» в первой строчке стихотворения «Тучи» мы поставим, скажем, слово «облака», возрастёт число слогов в строке, да и порядок чередования ударений нарушится. Строчка-« нарушительница» сразу видна (рис. 1.2). Строчки в метрической схеме в идеале одинаковые, и ударения в них чередуются одинаково. На нашем рисунке это видно: если, скажем, третью строчку наложить на первую, то они полностью совпадут. Как сказали бы математики, первая и третья строчки могут быть совмещены параллельным переносом. И стопы в строчке тоже могут быть совмещены параллельными переносами — только уже не вверх или вниз, а вправо или влево. Нарушения этого единообразия мы и имеем в виду, когда говорим: «Нескладно!» Пример, разобранный нами, как будто совсем далёк от математики, но всё же и здесь для неё нашлось место: отвечая на поставленный вопрос «Что такое «складно»?», мы вместо самого стихотворения стали изучать упрощённую ситуацию — схему, при работе с которой можно воспользоваться математическими методами и математической терминологией. Мы, как говорят в таких случаях, создали математическую модель. Математические модели в жизни приходится создавать очень часто, иногда мы это делаем, даже не отдавая себе в этом отчёта. В первой главе мы расскажем о некоторых наиболее простых и часто встречающихся моделях, а в этом пункте продолжим разговор о понятиях «правильно» и «красиво». Нам уже пригодилось понятие параллельный перенос. Скажем о нём подробнее: пусть даны две различные точки A и B. Куда должна перейти произвольная точка C, не лежащая на прямой AB, при параллельном переносе на AB? (Говоря так, мы имеем в виду перенос на длину отрезка AB в направлении от A к B.) Это легко нарисовать: достаточно построить такую точку D, чтобы отрезки CD и AB были параллельны (поэтому и параллельный перенос!), равны по длине и чтобы направления от A к B и от C к D были одинаковы ( рис. 1.3, а). Рис. 1.1 Рис. 1.2 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Простейшие математические модели 7 Глядя на рисунок 1.3, б, объясните сами, как построить такую точку, в которую переходит точка C в случае, когда она лежит на прямой AB. Про оба эти случая говорят, что точка С переходит в такую точку D, что отрезки CD и AB равны по длине и направления от точки A к точке B и от точки C к точке D совпадают. Теперь нам легко построить, например, отрезок, в который переходит отрезок NM при этом же параллельном переносе (как сделано на рисунке 1.3, в). Для этого достаточно построить точки, в которые переходят точки N и M, и соединить их отрезком. Можно понять (хотя иногда это и не так просто), во что переходят и более сложные фигуры. Когда мы смотрим на улицу Зодчего Росси в Санкт-Петербурге, то видим, что дома состоят из одинаковых блоков — два соседних блока дома на одной стороне улицы можно совместить параллельным переносом. Но «правильность» улицы этим не исчерпывается: левая и правая её стороны симметричны. Слово «симметричность» мы очень часто употребляем в обычной жизни. Напомним его значение. Пусть точка A не лежит на прямой a. Говорят, что точка B симметрична точке A относительно прямой a, если прямая a перпендикулярна отрезку AB и проходит через его середину (рис. 1.4). Точка, лежащая на прямой, считается симметричной сама себе относительно этой прямой. Говорят, что фигура симметрична относительно прямой a, если вместе с каждой своей точкой она содержит и точку, симметричную ей относительно прямой a. Прямая a называется осью симметрии фигуры. На рисунке 1.5 изображено несколько фигур, имеющих оси симметрии, и эти оси. Разумеется, далеко не все фигуры имеют оси симметрии, — Рис. 1.3 Рис. 1.4 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Математика вокруг нас конечно, не про все фигуры можно сказать, что они симметричны (вы легко сами приведёте примеры несимметричных фигур). Фигура может иметь и несколько осей симметрии: чем их больше, тем «правильнее» кажется нам фигура. Например, равносторонний треугольник «правильнее» равнобедренного — у него не одна ось симметрии, а три, а окружность «правильнее» равностороннего треугольника — у неё бесконечно много осей симметрии. На рисунке 1.6 изображён план улицы Зодчего Росси: видно, что у него есть ось симметрии (а сами здания на противоположных сторонах этой улицы зеркально симметричны относительно вертикальной плоскости, идущей по оси симметрии её мостовой, — попробуйте представить себе эту плоскость, позднее мы ещё поговорим об интуитивно ясном понятии зеркальной симметрии). «Одинаковость», « правильность» этой знаменитой улицы хорошо объясняются и описываются с помощью математических понятий — параллельного переноса и симметрии. Полезны эти понятия и в других ситуациях. Рис. 1.6. Улица Зодчего Росси в Санкт-Петербурге Рис. 1.5 З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Простейшие математические модели 9 Вопросы. Упражнения. Задачи 1. Изобразите прямую a и: а) точку A на ней; б) точку B, не лежащую на ней; в) отрезок AC на ней; г) отрезок BD, не имеющий с ней общих точек; д) отрезок MN, пересекающийся с прямой a в точке A; е) окружность с центром в точке A; ж) окружность, не имеющую с прямой a общих точек; з) окружность с центром, не лежащим на прямой a, которая пересекает прямую a в двух точках; и) треугольник ABC; к) треугольник ABD; л) треугольник BDM; м) треуголь- ник BDN; н) четырёхугольник с вершинами A, B, D, M. Изобразите фигуры, симметричные каждой из этих фигур относительно прямой a (на отдельных чертежах). 2. Изобразите отрезок KL и: а) точку A, не лежащую на прямой KL; б) отрезок AB, параллельный KL; в) отрезок AC, не параллельный KL; г) произвольную окружность; д) треугольник ABC; е) четырёхугольник ABCD. Изобразите фигуры, в которые перейдёт каждая из этих фигур при параллельном переносе на KL (на отдельных чертежах). 3. Составьте метрическую схему четверостишия, написанного трёхстопным амфибрахием (например, из стихотворения «По синим волнам океана...» М. Ю. Лермонтова). Какие параллельные переносы вам могут пригодиться для её описания? 4. Укажите, сколько осей симметрии имеет: а) треугольник с углами 100°, 50° и 30°; б) треугольник с углами 100°, 40° и 40°; в) прямоугольник, отличный от квадрата; г) квадрат; д) неравнобедренная трапеция; е) точка; ж) плоскость. 5. Подберите примеры зданий в вашем городе, имеющих в плане ось симметрии. 6. Подберите примеры животных и растений, обладающих симметрией. 7. Приведите пример фигуры: а) не имеющей ни одной оси симметрии; б) имеющей ровно одну ось симметрии; в) имеющей ровно две оси симметрии; г) имеющей ровно три оси симметрии; д) имеющей ровно четыре оси симметрии; е) имеющей бесконечно много осей симметрии. 8. Укажите какой-либо параллельный перенос, при котором переходит сама в себя: а) плоскость; б) прямая; в) полоса, задаваемая на координатной плоскости неравенством 1 < x < 2; г) совокупность прямых, задаваемых уравнениями x = 0, x = ±1, x = ±2, x = ±3. 9. Пусть фигура на координатной плоскости содержит отрезок, соединяющий точки A (0; 1) и B (1; 0), и имеет две оси симметрии x = 0 и y = 0. Нарисуйте какую-нибудь такую фигуру. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .
Математика вокруг нас 10. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (угол C прямой). Выполните последовательно задания: а) постройте фигуру F, в которую он переходит при параллельном переносе на CA; б) постройте фигуру, в которую переходит фигура, состоящая из треугольника ABC и фигуры F, при параллельном переносе на CB; в) представьте себе (нарисуйте) такую фигуру, которая переходит сама в себя при параллельных переносах на CA и CB и содержит треугольник ABC. 11*. Пусть фигура на координатной плоскости содержит точку A (0; 1) и имеет три оси симметрии x = 0, y = 0, y = x. Нарисуйте несколько таких фигур. У каждой ли из них есть четвёртая ось симметрии? Как вы считаете, все ли такие фигуры имеют четвёртую ось симметрии? 12*. Даны две параллельные прямые m и n и отрезок AB с концами на этих прямых. Выполните последовательно задания: а) нарисуйте отрезок, симметричный отрезку AB относительно прямой m; б) нарисуйте фигуру, симметричную относительно прямой n фигуре, состоящей из отрезка AB и построенного отрезка; в) представьте себе (нарисуйте) какую-нибудь фигуру, симметричную относительно прямых m и n и содержащую отрезок AB. Имеет ли она ещё оси симметрии? Переходит ли она сама в себя при каком-либо параллельном переносе? 2*. Как мы рассуждаем Математические модели помогают нам разобраться и в том, как мы рассуждаем. Рассмотрим два примера рассуждений. ПРИМЕР 1. Известно, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Известно также, что всякий прямоугольник имеет по крайней мере две оси симметрии. Отсюда сделаем вывод: если в параллелограмме диагонали равны, то у него по крайней мере две оси симметрии. ПРИМЕР 2. Известно, что если Вася пойдёт играть в футбол, то он не подготовится к контрольной работе. Известно также, что если Вася не подготовится к контрольной работе, то он получит за неё двойку. Сделаем вывод: если Вася пойдёт играть в футбол, то он получит двойку за контрольную работу. Такие рассуждения, как в первом примере, регулярно проводятся на уроках математики; рассуждать так, как во втором примере, каждому из нас приходится гораздо чаще. Но если отвлечься от конкретного содержания этих рассуждений, то увидим, что они абсолютно одинаковы. Составим модели этих рассуждений. З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ » .