Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10 - 11 классы (базовый и углубленный уровнь)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721
 
Б93

Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

На учебник получены положительные заключения 
научной (заключение РАО № 479 от 14.11.2016 г.), 
педагогической (заключение РАО № 168 от 05.10.2016 г.) 
и общественной (заключение РКС № 162-ОЭ от 22.12.2016 г.) экспертиз

Издание выходит в pdf-формате.

 
Бутузов, Валентин Фёдорович.

Б93  
Математика: алгебра и начала математического анализа, геомет-

рия. Геометрия : 10—11-е классы : базовый и углублённый уровни : 
учебник : издание в pdf-формате / В. Ф. Бутузов, В. В. Прасолов ;  
под ред. В. А. Са довничего. — 8-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 
2022. — 271, [1] с. : ил. — (МГУ — школе).

ISBN 978-5-09-101566-9 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-091740-7 (печ. изд.).
Наглядность при изложении материала и строгая логика, подкреплённые красоч-

ными иллюстрациями, помогают учащимся лучше понять изучаемый материал. Учебник 
содержит большой задачный материал к каждой главе, систематизация которого 
тщательно продумана, а также задачи с практическим содержанием и исследовательские 
задачи. Сведения из истории развития геометрии, список литературы с ссылками 
на интернет-ресурсы помогут сформировать интерес учащихся к геометрии.

Наряду с вопросами и темами, обязательными для базового уровня, учебник со-

держит дополнительный материал, необходимый для углублённого уровня.

УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721

ISBN 978-5-09-101566-9 (электр. изд.) 
©  АО «Издательство «Просвещение»,

ISBN 978-5-09-091740-7 (печ. изд.) 
 
2014, 2019

 
© Художественное оформление.

 
 
 АО «Издательство «Просвещение», 
2014, 2019

 
 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Введение

Дорогие десятиклассники!

Вы приступаете к изучению той части гео- 
 
 метрии, которая называется стереомет- 
 
рией. В ней рассматриваются свойства 
фигур, расположенных в пространстве. Само слово «стереометрия» происходит 
от греческих слов «стереос» — твёрдый, пространственный и «ме-
трео» — измеряю. Представление о пространственных геометрических 
фигурах дают окружающие нас предметы. Рассматривая их и принимая 
во внимание только форму предметов, мы приходим к таким геометрическим 
понятиям, как па раллелепипед, пирамида, призма, цилиндр, конус, 
шар (рис. 1) и т. д. Эти и любые другие геометрические фигуры являются 
воображаемыми (абстракт ными) объектами в отличие от реальных 
предметов, имеющих форму той или иной геометрической фигуры. Так, 
например, говоря, что футбольный мяч имеет форму шара, мы понимаем, 
что мяч не является идеальным шаром в том смысле, как это понимается 
в геометрии. Любую геометрическую фигуру, в частности шар, мы будем 
рассматривать как некоторое множество точек.

Рис. 1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

ВВедение

В планиметрии, которую мы изучали в 7—9 классах, простейшими 
и, можно сказать, основными фигурами были точки и прямые. При 
этом все точки, все прямые и все остальные плоские фигуры находились 
в одной и той же плоскости. В стереометрии наряду с точками и прямыми 
к числу основных фигур добавляются плоскости. Представление о плоскости 
даёт гладкая поверхность стола, хотя это и не вся плоскость, 
а только её часть. Всю плоскость представляют простирающейся бесконечно 
во все стороны. В отличие от планиметрии, где была только одна 
плоскость, в стереометрии мы будем иметь дело со многими плоскостями, 
расположенными в пространстве.
Мы рассмотрим различные случаи взаимного расположения прямых 
и плоскостей, уделив особое внимание случаям перпендикулярности 
и параллельности (глава 1), затем будем изучать многогранники, к числу 
которых относятся параллелепипеды и пирамиды (глава 2), потом тела 
и поверхности вращения (цилиндр, конус, сфера, шар; см. рис. 1) и в последней (
четвёртой) главе познакомимся с координатно-векторным аппаратом 
геометрии и его применениями. Материал, отмеченный одной 
звёздочкой, предназначен для углублённого уровня. Он не обязателен для 
базового уровня.
В конце учебника содержатся три приложения: в первом описана система 
аксиом, принятая в нашем курсе стереометрии, во втором приводятся 
исторические cведения о развитии геометрии, а в третьем даны основные 
формулы из курса планиметрии. Ориентироваться в большом и разнообразном 
материале учебника вам поможет предметный указатель.
Каждая глава учебника разделена на параграфы, а параграфы — на 
пункты. К каждому параграфу даны задачи, объединённые в парные задания (
с нечётным и чётным номерами), относящиеся к определённому 
пункту параграфа. Эти задачи являются основными. В конце каждой главы 
приведены дополнительные задачи, которые немного труднее основных. 
Задачи повышенной трудности, исследовательские задачи, а также материал, 
отмеченный двумя звёздочками, темы рефератов и докладов, список 
дополнительной литературы и интер нет-ресурсов предназначены тем, 
кому нравится заниматься геометрией, решать сложные задачи и узнавать 
новое, выходящее за рамки школьной программы. В конце учебника к задачам 
даны ответы и указания.
Изучение стереометрии полезно во многих отношениях, и прежде 
всего потому, что она развивает и формирует пространственные представления, 
а это важно для многих видов человеческой деятельности. 
В курсе стереометрии вы познакомитесь со многими интересными геометрическими 
утверждениями и формулами, с красивыми стереометрическими 
фигурами. Стереометрия играет фундаментальную роль в таких 
областях науки и техники, как архитектура, строительное дело, машиностроение, 
конструкторская деятельность и многие другие.
Авторы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 1
Прямые и плоскости 
в пространстве

В начале первой главы мы сформулируем аксиомы, содержащие 
основные (наглядно очевидные) утверждения о взаимном расположении 
точек, прямых и плоскостей в пространстве, а затем, опираясь на эти 
аксиомы, рассмотрим различные случаи взаимного расположения прямых 
и плоскостей. Особое внимание будет уделено перпендикулярности 
прямой и плоскости, двух плоскостей и параллельности прямых, 
прямой и плоскости, двух плоскостей. Многочисленные примеры, 
иллюстрирующие эти случаи взаимного расположения прямых 
и плоскостей, мы видим в окружающей нас обстановке: колонны 
зданий перпендикулярны к плоскости земли, а троллейбусные провода 
параллельны этой плоскости, плоскость стены комнаты перпендикулярна 
к плоскости пола, а плоскости пола и потолка параллельны и т. д.

Понятия перпендикулярности и параллельности прямых и плоскостей 
играют важную роль не только в геометрии, но и в строительном деле, 
архитектуре, конструировании и многих других сферах человеческой 
деятельности.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Прямые и Плоскости в Пространстве

1

§ 1
Перпендикулярность прямой
и плоскости, двух плоскостей
1 Аксиомы и первые теоремы
 
стереометрии

Как уже отмечалось во введении, основными фигурами в пространстве 
являются точки, прямые и плоскости. Свойства этих фигур, связанные 
с их взаимным расположением, выражены в четырёх аксиомах стереометрии, 
которые мы сформулируем в данном пункте.
Для каждой плоскости мы будем считать, что расположенные в ней 
плоские фигуры (точки, прямые, углы, треугольники, многоугольники, 
окружности и т. д.) обладают всеми теми свойствами, которые нам известны 
из курса планиметрии. Иначе говоря, мы будем исходить из того, что 
в каждой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Поэтому в качестве 
одной из аксиом мы принимаем следующее утверждение:

 А К С И О М А  1|

В пространстве существуют плоскости, и в каждой плоскости 
справедливы аксиомы планиметрии.

Из аксиомы 1 следует, в частности, что в каждой плоскости лежат какие-
то точки и какие-то прямые. Кроме того, говоря, что в пространстве существуют 
плоскости, мы име ем в виду, что 
их число не менее двух, т. е. всё пространство 
не сводится к одной плоскости.
Плоскости часто обозначают греческими 
буквами a, b, g и т. д. На рисунке 2 изображены 
плоскость a (в виде параллелограмма) 
и точки A, B, C, D, E, F. Точки A, 
B и F лежат в плоскости a, а точки C, D 
и E не лежат в этой плоскости. Можно 
 сказать иначе: плоскость a проходит через 
 точки A, B и F, но не проходит через точки 
C, D и E. Вместо слов «точка A лежит 
в плоскости a» используют запись A ∈ a, 
а вместо слов «точ ка C не лежит в плоскости 
a» — запись C ∉ a.

В пространстве существуют плоскости, и в каждой плоскости 
справедливы аксиомы планиметрии.

1

Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§1
7
Перпендикулярность прямой и плоскости,
двух плоскостей

1

Согласно аксиоме 1 в плоскости a через две1 точки проходит прямая, 
и притом только одна. А можно ли утверждать, что и в пространстве через 
две точки проходит только одна прямая? Чтобы ответить утвердительно 
на этот вопрос, сформулируем ещё три аксиомы, связанные со взаимным 
расположением точек, прямых и плоскостей.

 А К С И О М А  2|
Через любые три точки проходит плоскость.

На рисунке 2 через точки A, B и F проходит плоскость a.

 А К С И О М А  3|
Каждая прямая лежит в некоторой плоскости.

На рисунке 2 прямая AB лежит в плоскости a.

 А К С И О М А  4|
Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют 
 общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.


В таком случае говорят, что плоскости пересекаются, а их общая прямая 
называется линией пересечения плоскостей. На рисунке 3 плоскости a 
и b, имеющие общую точку M, пересекаются по прямой a.
С точки зрения наглядности аксиомы 2—4 не вызывают сомнений. 
Например, акси ому 4 хорошо иллюстрируют пол и стена комнаты, плоскости 
которых пересекаются по прямой.

1 Здесь и далее, говоря «две точки», «три плоскости» и т. д., мы будем считать, 
что эти точки, плоскости и т. д. различны.

Через любые три точки проходит плоскость.

Каждая прямая лежит в некоторой плоскости.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют 
 общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.


1

Рис. 3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Прямые и Плоскости в Пространстве

1

Рассмотрим несколько теорем, которые можно доказать на основе 
аксиом 1—4. Первая теорема даёт утвердительный ответ на поставленный 
выше вопрос.

 Т Е О Р Е М А  1|
В пространстве через две точки проходит прямая, и притом 
только одна.

* Доказательство. Пусть A и B — данные точки. Из аксиомы 1 следует, 
что существуют и другие точки. Выберем одну из них (точка C на 
рисунке 4, a). По аксиоме 2 через точки A, B и C проходит некоторая 
плоскость a, а согласно аксиоме 1 в плоскости a через точки A и B проходит 
прямая, и притом только одна. Обозначим её буквой a. Итак, через 
точки A и B в пространстве проходит прямая a. 
 
Докажем теперь, что через точки A и B в пространстве проходит 
только одна прямая (прямая a). Для этого рас смотрим какую-нибудь 
прямую b, проходящую через точки A и B, и докажем, что она совпадает 
с прямой a. 
 
Прямая b, проходящая через точки A и B, лежит в некоторой плоскости 
b (это следует из аксиомы 3). Если плоскость b совпадает с плоскостью 
a, то и прямая b совпадает с прямой a, поскольку в каждой 
плоско сти согласно аксиоме 1 через две точки проходит только одна 
 прямая.
 
Если же плоскости a и b, имеющие общие точки A и B, не совпадают, 
то по аксиоме 4 они пересекаются по некоторой прямой c, на которой 
лежат все их общие точки, в частности точки A и B (рис. 4, б). Таким 
образом, прямая c, проходящая через точки A и B, лежит как в плоскости 
a, так и в плоскости b. Но в плоскости a через точки A и B проходит 
прямая a (и только она одна), поэтому прямая c совпадает с прямой a. 
А в плоскости b через точки A и B проходит прямая b, поэтому прямая c 
совпадает с прямой b. Следовательно, прямые a и b совпадают, что 
и требовалось доказать. *

В пространстве через две точки проходит прямая, и притом 
только одна.

Рис. 4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§1
9
Перпендикулярность прямой и плоскости,
двух плоскостей

1

 Т Е О Р Е М А  2|
Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая 
лежит в этой плоскости.

Доказательство.5 Пусть точки А и В прямой а лежат в плоскости a. 
Докажем, что и вся прямая а лежит в этой плоскости (см. рис. 4, а). 
 
Согласно аксиоме 1 в плоскости a через точки А и В проходит 
 прямая — обозначим её буквой b. По теореме 1 в пространстве че рез 
точки А и В проходит только одна прямая. 
Сле довательно, прямая а совпадает с прямой 
b, поэтому прямая а лежит в плоскости a.

Из 
доказанной 
теоремы 
следует, 
что 
если прямая не лежит в данной плоскости, 
то эти прямая и плоскость имеют не более 
одной общей точки. Если прямая и плоскость 
имеют ровно одну общую точку, то говорят, 
что они пересекаются в этой точке. На рисунке 
5 прямая a и плоскость a пересекаются 
в точке M.

 Т Е О Р Е М А  3|
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит 
единст венная плоскость.

Доказательство.5 Рассмотрим точки А, В 
и С, не лежащие на одной прямой. По аксиоме 
2 через них проходит некоторая плоскость a. 
До кажем, что такая плоскость только одна.
 
Допустим, что через эти точки проходит 
также плоскость b, отличная от плоскости a. 
Плос кости a и b имеют общую точку А, поэтому 
согласно аксиоме 4 они пересекаются по 
прямой, на которой лежат все их общие точки, 
в частности точки А, В и С. Но это противоречит 
усло вию (точки А, В и С не лежат на 
одной прямой). Следовательно, наше предположение 
ошибочно, и, значит , плоскость a является 
единственной плоско стью, проходящей 
через точки А, В и С.

Плоскость, проходящую через три точки A, B и C, не лежащие на 
одной прямой, будем называть плоскостью ABC.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая 
лежит в этой плоскости.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит 
единст венная плоскость.

Рис. 5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.