Математика. Алгебра и начала математического анализа : 11-й класс (углублённый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я721.6
 
М52

©  Мерзляк А. Г., Номировский Д. А.,
Поляков В. М., 2019
© АО «Издательство «Просвещение», 2021

ISBN 978-5-09-101587-4 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087874-6 (печ. изд.)

Мерзляк, Аркадий Григорьевич.
Математика. Алгебра и начала математического анализа : 11 класс : 
учебник : углуб лённый уровень : издание в pdf-формате / А. Г. Мерзляк, 
Д. А. Номировский, В. М. Поляков ; под ред. В. Е. Подольского. — 
5-е изд., стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 412, [4] с. : ил.
ISBN 978-5-09-101587-4 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087874-6 (печ. изд.).
Учебник предназначен для углублённого изучения геометрии в 11 классе общеобразовательных 
организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, позволяющая 
формировать у школьников познавательный интерес к математике.
Содержание учебника соответствует Федеральному государственному образовательному 
стандарту среднего общего образования.
 
УДК 373.167.1:512 
 
ББК 22.14я721.6

М52

Под редакцией профессора кафедры математического анализа 
механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, 
доктора физико-математических наук В. Е. Подольского

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

От авторов

Дорогие одиннадцатиклассники!
В этом учебном году вы оканчиваете школу. Надеемся, что знания, 
которые вы получили, изучая математику по углублённой программе, 
станут для вас надёжной основой в овладении будущей профессией. Будем 
искренне рады, если важную роль в этом сыграет учебник, который 
вы держите в руках. Ознакомьтесь, пожалуйста, с его структурой.
Текст учебника разделён на пять глав, каждая из которых состоит 
из параграфов. В параграфах изложен теоретический материал. Особое 
внимание обращайте на текст, выделенный жирным шрифтом. Также обращайте 
внимание на слова, выделенные курсивом.
Как правило, изложение теоретического материала завершается 
примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из 
возможных образцов оформления решения.
К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, 
к которым мы советуем приступать только после усвоения теоретического 
материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности 
упражнения, так и трудные задачи.
К данному учебнику создано приложение. Содержащийся в нём материал 
является продолжением главы 4 «Элементы теории вероятностей». 
Отметим, что в данной главе расширяются и уточняются понятия, 
рассмотренные в курсе алгебры. Для облегчения восприятия авторы посчитали 
целесообразным повторить ряд примеров из учебника «Алгебра. 
9 класс»1.
Школьный курс алгебры и начал анализа 11 класса содержит много 
важных и глубоких фактов. Некоторые из них в учебнике доказаны, 
часть приводится без доказательства. С их доказательством вы сможете 
ознакомиться, если изберёте профессию, связанную с математикой.
Если после выполнения домашних заданий остаётся свободное время 
и вы хотите знать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике «Когда 
сделаны уроки». Материал, изложенный там, непрост. Но тем интереснее 
испытать свои силы!
Дерзайте! Желаем успехов!

1 Мерзляк А. Г., Поляков В. М. «Алгебра. 9 класс».

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Условные обозначения

Простые задачи

Задачи средней сложности

Сложные задачи

Задачи высокой сложности

 
Ключевые задачи, результат которых можно использовать 
при решении других задач

 
Окончание доказательства теоремы

 
Окончание решения задачи

5.1. Задания, рекомендуемые для устной работы

5.6. Задания, рекомендуемые для домашней работы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Показательная 
и логарифмическая функции

В этой главе вы ознакомитесь с понятием степени с произвольным 
действительным показателем. Вы узнаете, какие функции называют 
показательной и логарифмической, изучите свойства этих функций, 
научитесь решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

 

1 
Степень с произвольным действительным 
показателем. Показательная функция

В 10 классе вы ознакомились с понятием степени положительного 
числа с рациональным показателем. Теперь мы выясним, что представляет 
собой степень положительного числа с действительным показателем.

Строгое определение степени с действительным показателем и доказательство 
её свойств выходит за пределы рассматриваемого курса. 
Текст этого параграфа содержит лишь общие пояснения того, как можно 
провести необходимые обоснования.
В курсе алгебры 9 класса вы ознакомились с понятием предела последовательности. 
Напомним основные моменты.
Рассмотрим последовательность (an), заданную формулой n-го чле-

на. Например, an
n
n
=
+ 1.

Выпишем несколько первых членов этой последовательности:

1
2, 2
3, 3
4, 4
5, 5
6, 6
7, 7
8, 8
9, ... .

Если члены этой последовательности изображать точками на координатной 
прямой, то эти точки будут располагаться всё ближе и ближе к 
точке с координатой 1 (рис. 1.1). Если рассмотреть произвольный промежуток (
1 − ε; 1 + ε), содержащий число 1, то с некоторого момента все члены 
последовательности an попадут в него.

1

1
2
0
1
2
3

3
4

4
5

5
6

6
7

7
8

8
9

a1 
a2 
a3 a4 

1.1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

В этом случае говорят, что число 1 является пределом последовательности 
an, и записывают lim
n
n
a
→
=
∞
1 (здесь lim — это начальные бук-

вы французского слова limite — предел). Также можно записать, что 

lim
.
n
n
n
→
+
=
∞
1
1  

Если число а является пределом последовательности (an), то говорят, 
что последовательность (an) сходится к числу а.
Разъяснение понятия степени положительного числа с действительным 
показателем начнём с частного случая. Выясним, что понимают под 
степенью числа 2 с показателем π.
Иррациональное число π можно представить в виде бесконечной непериодической 
десятичной дроби:
π = 3,1415... .
Рассмотрим последовательность рациональных чисел
3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... . 
(1)
Понятно, что эта последовательность сходится к числу π.
В соответствии с последовательностью (1) построим последовательность 
степеней с рациональными показателями:
23, 23,1, 23,14, 23,141, 23,1415, ... . 
(2)
Можно показать, что члены последовательности (2) с увеличением 
номера стремятся к некоторому положительному числу. Это число и называют 
степенью числа 2 с показателем π и обозначают 2π.
Если с достаточной точностью вычислить приближённые значения 
членов последовательности (2), например, воспользовавшись калькулятором, 
то можно получить последовательность чисел, являющихся при-
ближёнными значениями числа 2π. Имеем:
23 = 8,
23,1 = 8,5…,
23,14 = 8,81…,
23,141 = 8,821…,
23,1415 = 8,8244…,
…
На самом деле, 2π = 8,82497… .
Аналогично можно действовать в общем случае, определяя смысл 
выражения bα, где b G 0, α — любое действительное число. Для числа α 
строят сходящуюся к нему последовательность рациональных чисел α1, 
α2, α3, ... . Далее рассматривают последовательность bα1, bα2,  bα3,  ... 
степеней с рациональными показателями (напомним, что степень положительного 
числа с рациональным показателем мы определили в курсе 
алгебры и начал математического анализа 10 класса). Можно доказать, 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

что эта последовательность сходится к положительному числу c, которое 
не зависит от выбора сходящейся к α последовательности рациональных 
чисел α1, α2, α3, ... . Число c называют степенью положительного числа b 
с действительным показателем α и обозначают bα.
Если основание b равно единице, то 1α = 1 для всех действительных 
α.
Если основание b равно нулю, то степень 0α определяют только для 
α G 0 и считают, что 0α = 0. Например, 0 2  = 0, 0π = 0, а выражение 0
3
−
 
не имеет смысла. 
При b H 0 выражение bα, где α — иррациональное число, не имеет 
смысла.
Степень с действительным показателем обладает теми же свойствами, 
что и степень с рациональным показателем.
В частности, для x G 0, y G 0 и любых действительных α и β справедливы 
такие равенства:
1) xαxβ = xα + β;
2) xα : xβ = xα − β;
3) (xα)β = xαβ;
4) (xy)α = xαyα;

5) 
x
y
x
y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=

α
α

α .

Пример 1. Упростите выражение (
)(
).
a
a
a
a

a
a

7
3 7
2 7
7

4 7
7
1
+
−
+

+
Решение. Имеем: 

(
)(
)
(
)(
)
(
)

a
a
a
a

a
a

a
a
a
a

a
a

a
7
3 7
2 7
7

4 7
7

7
2 7
7
7

3 7
7

3 7
1
1
1

1

1
+
−
+

+

+
−
+

+

+
=
=

a3 7
1
1
+
=
.  

Выберем некоторое положительное число a, отличное от 1. Каждому 
действительному числу x можно поставить в соответствие положительное 
число ax. Тем самым задана функция f (x) = ax, где a G 0, a ≠ 1, с 
областью определения R. 
Эту функцию называют показательной функцией.
Изучим некоторые свойства показательной функции.
При a G 0 и любом x выполняется неравенство ax G 0. Поэтому область 
значений показательной функции состоит только из положительных 
чисел.
Можно показать, что для данного числа a, где a G 0 и a ≠ 1, и для 
любого положительного числа b существует такое число x, что выполняется 
равенство ax = b.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Сказанное означает, что областью значений показательной 
функции является множество (0; +∞).
Показательная функция не имеет нулей, и промежуток 
(−∞; +∞) является её промежутком знакопостоянства. 
Показательная функция непрерывна.
Покажем, что при a G 1 показательная функция является возрастающей. 
Для этого воспользуемся леммой.

Лемма
Если a G 1 и x G 0, то ax G 1; если 0 H a H 1 и x G 0, то 0 H ax H 1.

Например, 2
1
π  G 1, 0 H 
1
3

2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 H 1.

Рассмотрим произвольные числа x1 и x2 такие, что x2 G x1, и функцию 
f (x) = ax, где a G 1.
Поскольку x2 G x1, то x2 − x1 G 0. Тогда согласно лемме имеем: 

ax
x
2
1
−
 G 1, т. е. a

a

x

x

2

1
1
. Так как ax1  G 0, то a
a
x
x
2
1
. Отсюда 
f (x2) G f (x1).
Мы показали, что из неравенства x2 G x1 следует неравенство 
f (x2) G f (x1). Это означает, что функция f является возрастающей при 
a G 1.
Аналогично можно показать, что при 0 H a H 1 показательная 
функция является убывающей.
Поскольку показательная функция является либо возрастающей 
(при a G 1), либо убывающей (при 0 H a H 1), то она не имеет точек экстремума.
Показательная функция является дифференцируемой. Подробнее 
о производной показательной функции вы узнаете в § 8.
На рисунках 1.2 и 1.3 схематически изображён график показательной 
функции для случаев a G 1 и 0 H a H 1 соответственно.

x

y

0

1
a

1

a > 1
y = ax,

x

y

0

1

0 < a < 1

a

1

y = ax,

1.2
1.3

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

В частности, на рисунках 1.4 и 1.5 изображены графики функций 

y = 2x и y = 
1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟

x
.

Заметим, что при a G 1 график показательной функции имеет горизонтальную 
асимптоту y = 0 при x → −∞. Аналогично при 0 H a H 1 график 
показательной функции имеет горизонтальную асимптоту y = 0 при 
x → +∞.
Показательная функция является математической моделью целого 
ряда процессов, происходящих в природе и в деятельности человека. 
Например, биологам известно, что колония бактерий в определённых 
условиях за равные промежутки времени увеличивает свою массу 
в одно и то же количество раз.
Это означает, что если, например, в момент времени t = 0 масса была 
равной 1, а в момент времени t = 1 масса была равной a, то в моменты 
времени t = 2, t = 3, ..., t = n, ... масса будет равной соответственно a2, a3, 
..., an, ... . Поэтому естественно считать, что в любой момент времени t 
масса будет равной at. Можно проверить (сделайте это самостоятельно), 
что значения функции f (t) = at увеличиваются в одно и то же количество 
раз за равные промежутки времени. 
Таким образом, рассмотренный процесс описывают с помощью показательной 
функции f (t) = at.
Из курса физики известно, что при радиоактивном распаде масса 
радиоактивного вещества за равные промежутки времени уменьшается 
в одно и то же количество раз.

1.4
1.5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Если поместить деньги в банк под определённый процент, то каждый 
год количество денег на счёте будет увеличиваться в одно и то же количество 
раз. 
Поэтому показательная функция описывает и эти процессы.

В таблице приведены свойства функции y = ax, где a G 0, a ≠ 1, изученные 
в этом параграфе.

Область определения
R

Область значений
(0; +∞)

Нули функции
—

Промежутки 
знакопостоянства
y G 0 на R

Возрастание/
убывание
Если a G 1, то функция возрастающая; 
если 0 H a H 1, то функция убывающая

Непрерывность
Непрерывная

Дифференцируемость
Дифференцируемая

Асимптоты

Если a G 1, то график функции имеет 
горизонтальную асимптоту y = 0 при x → −∞;
если 0 H a H 1, то график функции имеет 
горизонтальную асимптоту y = 0 при x → +∞

Пример 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 
f (x) = 3x на отрезке [−4; 3].
Решение. Так как функция f возрастает на отрезке [−4; 3], то наименьшее 
значение она принимает при x = −4, а наибольшее — при x = 3. 
Следовательно, 

min
( )
(
)
,
[
; ]
−
−
=
−
=
=
4 3
4
4
3
1
81
f x
f

max
( )
( )
.
[
; ]
−
=
=
=
4 3

3
3
3
27
f x
f

Ответ: 1
81; 27. 

Пример 3. Решите уравнение (
)
sin
.
2
1
1
2
−
=
+
x
x

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.