Математика. Геометрия : 11-й класс ( углублённый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721.6
 
М52

©  Мерзляк А. Г., Номировский Д. А.,  
Поляков В. М., 2019
© АО «Издательство «Просвещение», 2021
© Художественное оформление. 
АО «Издательство «Просвещение», 2021
Все права защищены

ISBN 978-5-09-101589-8 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-088169-2 (печ. изд.)

Мерзляк, Аркадий Григорьевич.
Математика. Геометрия : 11-й класс : углублённый уровень : 
учебник : издание в pdf-формате / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номи-
ровский, В. М. Поляков ; под ред. В. Е. Подольского. — 6-е изд., 
стер. — Москва : Просвещение, 2022. — 254, [2] с. : ил.
ISBN 978-5-09-101589-8 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-088169-2 (печ. изд.).
Учебник предназначен для углублённого изучения геометрии в 11 классе общеобразовательных 
организаций. В нём предусмотрена уровневая дифференциация, 
позволяющая формировать у школьников познавательный интерес к геометрии.
Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному 
стандарту среднего общего образования.
УДК 373.167.1:514+514(075.3) 
ББК 22.151я721.6

М52

Под редакцией  
профессора кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова,  
доктора физико-математических наук В. Е. Подольского

Учебник допущен к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию 
образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования 
организациями, осуществляющими образовательную деятельность, в соответствии с Приказом 
Министерства просвещения Российской Федерации № 254 от 20.05.2020 (в редакции приказа 
№ 766 от 23.12.2020).

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

От авторов

В этом учебном году вы завершаете изучение школьного курса стереометрии. 
Надеемся, что вы успели полюбить эту важную и красивую 
науку, а значит, с интересом будете овладевать новыми знаниями, и этому 
пособствует учебник, который вы держите в руках.
Познакомьтесь с его структурой.
Учебник разделён на три главы, каждая состоит из параграфов. 
В них изложен теоретический материал; самые важные сведения выделены 
жирным шрифтом и курсивом.
Как правило, изложение теоретического материала завершается 
примерами решения задач. Эти записи можно рассматривать как один из 
возможных образцов оформления решения.
К каждому параграфу подобраны задачи для самостоятельного решения, 
к которым мы советуем приступать после изучения теоретического 
материала. Среди заданий есть как простые и средние по сложности 
упражнения, так и трудные задачи.
Если после выполнения домашних заданий остаётся свободное время 
и вы хотите узнать больше, то рекомендуем обратиться к рубрике 
«Когда сделаны уроки». Материал, изложенный в ней, не простой. Но 
тем интереснее испытать свои силы!
Дерзайте! Желаем успеха!

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Условные обозначения

Простые задачи

Задачи средней сложности

Сложные задачи

Задачи высокой сложности

 
Ключевые задачи, результат которых можно использовать 
при решении других задач

 
Окончание доказательства теоремы

 
Окончание решения задачи

1.7. Задания, рекомендуемые для устной работы

1.12. Задания, рекомендуемые для домашней работы

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Координаты и векторы 
в пространстве

В этой главе вы ознакомитесь с прямоугольной системой координат в 
пространстве, научитесь находить координаты точек в пространстве, 
длину отрезка и координаты его середины.
Вы обобщите и расширите свои знания о векторах.

 
1 
Декартовы координаты точки 
в пространстве

В предыдущих классах вы ознакомились с прямоугольной (декартовой) 
системой координат на плоскости — это две перпендикулярные координатные 
прямые с общим началом отсчёта (рис. 1.1).
Систему координат можно ввести и в пространстве.
Прямоугольной (декартовой) системой координат в пространстве 
называют три попарно перпендикулярные координатные прямые с общим 
началом отсчёта (рис. 1.2). Точку, в которой пересекаются три координатные 
прямые, обозначают буквой O. Её называют началом координат. 
Координатные прямые обозначим буквами x, y и z, их соответственно 
называют осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

1

0
2
1
–1
–2
–3
3

–1

–2

–3

1

2

3

x

y

Ось абсцисс

Ось ординат

O

x

y

z

Ось ординат

Ось аппликат

Ось абсцисс

1.1
1.2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Плоскости, проходящие через пары координатных прямых x и y, x 
и z, y и z, называют координатными плоскостями, их соответственно обозначают 
xy, xz и yz (рис. 1.3).
Пространство, в котором задана система координат, называют координатным 
пространством. Если оси координат обозначены буквами x, y 
и z, то координатное пространство обозначают xyz.
Из курса планиметрии вы знаете, что каждой точке M координатной 
плоскости xy ставится в соответствие упорядоченная пара чисел 
(x; y), которые называют координатами точки M. Записывают: M (x; y).
Аналогично каждой точке M координатного пространства ставится 
в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z), определяемая следующим 
образом. Проведём через точку M три плоскости α, β и γ перпендикулярно 
осям x, y и z соответственно. Точки пересечения этих плоскостей 
с координатными осями обозначим Mx, My и Mz (рис. 1.4). Координату 
точки Mx на оси x называют абсциссой точки M и обозначают буквой x. 
Координату точки My на оси y называют ординатой точки M и обозначают 
буквой y. Координату точки Mz на оси z называют аппликатой точки 
M и обозначают буквой z.

Полученную таким образом упорядоченную тройку чисел (x; y; z) 
называют координатами точки M в пространстве. Записывают: 
M (x; y; z).

z

Ось ординат

Ось аппликат

Ось абсцисс

y

x

ху

xz

yz

O
O

x

y

z

M

α

β

γ

My

Mx

Mz

1.3
1.4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Если точка принадлежит координатной плоскости или координатной 
оси, то некоторые её координаты равны нулю. Например, точка 
A (x; y; 0) принадлежит координатной плоскости xy, а точка B (0; 0; z) 
принадлежит оси аппликат.

Теорема 1.1
Расстояние между двумя точками A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2) можно 
найти по формуле

AB
x
x
y
y
z
z
=
−
+
−
+
−
(
)
(
)
(
) .
2
1
2
2
1
2
2
1
2

Доказательство
Прямая AB не может быть параллельна 
сразу трём координатным 
прямым.
Пусть прямая AB не параллельна 
оси z (случаи, когда прямая 
AB не параллельна осям x и y, рассматривают 
аналогично).
Спроектируем точки A и B на 
координатную плоскость xy. Получим 
точки A1 и B1 (рис. 1.5). Очевидно, 
что абсцисса и ордината точки 
A соответственно равны абсциссе 
и ординате точки A1. Таким же свойством 
обладают точки B и B1. Из 
курса планиметрии вы знаете, что 

A B
x
x
y
y
1
1
2
1
2
2
1
2
=
−
+
−
(
)
(
) .

Если отрезок AB параллелен координатной плоскости xy или ей 
принадлежит, то аппликаты точек A и B равны, т. е. z1 = z2 и AB = A1B1. 
Имеем: 

AB
A B
x
x
y
y
x
x
y
y
z
z
=
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
−
1
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) . 

Следовательно, для рассматриваемого случая теорема доказана.
Пусть отрезок AB не параллелен координатной плоскости xy и ей 
не принадлежит. В трапеции ABB1A1 проведём высоту AC (см. рис. 1.5). 
Очевидно, что BC
z
z
=
−
2
1 . Из прямоугольного треугольника ABC получаем: 


AB
AC
BC
A B
BC
x
x
y
y
z
z
=
+
=
+
=
−
+
−
+
−
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
) . 

O

x

y

z

B

A

C

A1

B1

1.5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Теорема 1.2
Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих 
координат его концов. 

Доказательство 
Достаточно доказать, что точка M
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
2
2
2

+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
 являет-

ся серединой отрезка с концами A (x1; y1; z1) и B (x2; y2; z2).

Имеем: AM
x
y
z
x
x
y
y
z
z
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
+
+
1
2
1

2
1
2
1

2
1
2
1

2

2
2
2

=
−
+
−
+
−
=
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
)
;
x
x
y
y
z
z
AB

MB
x
y
z
x
x
y
y
z
z
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
+
+
+

2
1
2
2

2
1
2
2

2
1
2
2

2
2
2

=
−
+
−
+
−
=
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
(
)
(
)
(
)
.
x
x
y
y
z
z
AB

Итак, мы получили, что AB = AM + MB и AM = MB. Следовательно, 
точка M — середина отрезка AB. 

Теорему 1.2 можно обобщить. Если точка М, принадлежащая 

отрезку АВ, такова, что AM
MB
m
n
=
, то координаты точки М 

имеют вид: M
nx
mx

m
n

ny
my

m
n

nz
mz

m
n

1
2
1
2
1
2 .
+

+

+

+

+

+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
 Для доказательства 

этого факта достаточно показать, что выполняются два равенства: 

AB = AM + MB и AM
MB
m
n
=
.

Задача. По заданным координатам вершин тетраэдра найдите координаты 
его центроида.
Решение. Пусть точки A (x1; y1; z1), B (x2; y2; z2), С (x3; y3; z3) и 
D (x4; y4; z4) являются вершинами тетраэдра DABC. Тогда точка Е — се-

редина ребра АВ — имеет такие координаты: E
x
x
y
y
z
z
1
2
1
2
1
2
2
2

2
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
 

(рис. 1.6). Пусть F — точка пересечения медиан треугольника АВС. Тог-

да CF
FE = 2
1. Пользуясь обобщением теоремы 1.2, найдём координаты точ-

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

ки F. Имеем: F

x
y
y
z
z
x
x
y
z

3
1
2
3
1
2
3
1
2
2
2
3

2
2
3

2
2
3

+
+
+
+
+
+
⎛

⎝
⎜
⎜

⎞

⎠
⎟
⎟
;
;
. Тогда коорди-

наты точки F имеют вид: F
y
y
z
z
x
x
x
y
z
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
3
3

+
+
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
.

Пусть точка М — центроид тетраэдра АВСD. Тогда точка М при-

надлежит отрезку DF, причём DM
MF = 3
1.  Вновь воспользовавшись обобще-

нием теоремы 1.2, устанавливаем, что координаты точки М имеют вид: 

M
y
y
y
z
z
z
x
x
x
x
y
z
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
4
4

+
+
+
+
+
+
+
+
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
;
. 

Ещё один способ решения этой задачи можно получить, если воспользоваться 
тем, что центроид тетраэдра совпадает с точкой пересечения 
его средних линий (см. § 23 учебника «Геометрия. 10 класс». Авторы 
А. Г. Мерзляк, В. М. Поляков).
Для вас наверняка уже стало привычным, что при изучении физики 
регулярно применяются математические методы. Однако и физические 
законы тоже могут лечь в основу эффективных методов решения математических 
задач. Например, положение центроида тетраэдра можно 
связать с его центром масс.
Представим себе, что вершины A, B, C и D тетраэдра — это материальные 
точки массой m (рис. 1.7). Тогда центр масс этой системы из че-
тырёх материальных точек совпадает с центроидом тетраэдра.

Действительно, из курса физики вы знаете, что точка F (центроид 
треугольника ABC) является центром масс системы материальных точек 
A, B и C. Если точки A, B и C заменить одной материальной точкой F с 
массой 3m, то положение центра масс всей системы не изменится. Поскольку 
центр масс материальных точек D и F расположен в точке M, то 
М — центр масс материальных точек A, B, C и D.

A
C

B

D

E
F

M
A
C

B

D

F

M

1.6
1.7

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Описанный выше приём относят к так называемому методу геометрии 
масс. Более подробно вы сможете ознакомиться с этим методом, если 
примете участие в проекте «Геометрия масс» (с. 229).

1. Как называют три попарно перпендикулярные координатные прямые 
с общим началом отсчёта?
2. Как называют точку, в которой пересекаются три координатные 
прямые?
3. Как называют координатную прямую, обозначенную буквой x? буквой 
y? буквой z?
4. Как называют плоскость, проходящую через пару координатных 
прямых?
5. Как называют пространство, в котором задана система координат?
6. Опишите, каким образом каждой точке M координатного пространства 
ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел (x; y; z).
7. Как найти расстояние между двумя точками, если известны их координаты?

8. Как найти координаты точки, делящей отрезок в данном отношении, 
если известны координаты его концов?

1.1. Определите, лежит ли данная точка на координатной оси, и в случае 
утвердительного ответа укажите эту ось:
1) A (4; −3; 0); 
3) C (−6; 0; 0); 
5) E (0; 0; −2);
2) B (1; 0; −5); 
4) D (0; 7; 0); 
6) F (3; 0; 0).
1.2. Определите, принадлежит ли данная точка координатной плоскости, 
и в случае утвердительного ответа укажите эту плоскость:
1) A (4; −3; 5); 
3) C (3; 3; 0); 
5) E (0; 4; 0);
2) B (0; −2; 6); 
4) D (2; 0; 8); 
6) F (−1; 1; 2).
1.3. Какие из точек A (5; −8; 1), B (5; 8; 1), C (−5; 7; 1), D (5; −7; −1) лежат 
на одной прямой, параллельной оси ординат?
1.4. Какие из точек D (2; 3; 4), E (−2; 3; 4), K (2; 3; −4), M (−2; −3; 4) лежат 
на одной прямой, параллельной оси аппликат?
1.5. Какие из точек A (−1; 6; 2), B (−1; −6; 2), C (1; 6; −2), D (1; −6; 2) лежат 
в одной плоскости, параллельной плоскости xz?
1.6. Какие из точек M (5; 10; −3), N (5; 9; 3), K (4; −9; 3), P (4; −9; 2) лежат 
в одной плоскости, параллельной плоскости xy?
1.7. Укажите расстояние от точки M (4; −5; 2) до координатной плоскости:

1) xy; 
2) xz; 
3) yz.

Упражнения

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.