Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 класс. Базовый и углубленный уровни

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

УДК 373:514+514(075.3) 
ББК 22.151я721 
 
М34

 

Серия «МГУ — школе» основана в 1999 году

А в т о р ы: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, 

Э. Г. Позняк, Л. С. Киселёва

На учебник получены положительные заключения
научной (заключение РАО № 481 от 14.11.2016 г.),

педагогической (заключение РАО № 170 от 05.10.2016 г.)

и общественной (заключение РКС № 164-ОЭ от 19.12.2016 г.) экспертиз.

Издание выходит в pdf-формате.

Условные обозначения:
25* — пункт, необязательный для изучения на базовом уровне
20 — задача, не являющаяся обязательной на базовом уровне
( 
— начало материала, необязательного для изучения 
 на базовом уровне

7 
— окончание материала, необязательного для изучения 
 на базовом уровне

М34
  
Математика: алгебра и начала математического анализа, 

геометрия. Геометрия. 10—11 классы : учеб. для общеобразо-
ват. организаций : базовый и углубл. уровни : издание в pdf-
формате / [Л. С. Атанасян и др.]. — 10-е изд., стер. — Москва : 
Просвещение, 2022.—287 с. : ил. — (МГУ — школе).

ISBN 978-5-09-101565-2 (электр. изд.). — Текст : электронный.


ISBN 978-5-09-087645-2 (печ. изд.).
Учебник позволяет обеспечить вариативность обучения не только согласно 

системе условных обозначений, но и благодаря хорошо подобранной системе 
задач, включающей типовые задачи к каждому параграфу, дополнительные задачи 
к главе и задачи повышенной трудности.

УДК 373:514+514(075.3)
ББК 22.151я721

ISBN 978-5-09-101565-2 (электр. изд.) 
© Издательство «Просвещение», 2014, 2019 

ISBN 978-5-09-087645-2 (печ. изд.) 
© Художественное оформление. 

 
 
Издательство «Просвещение», 2014, 2019 

 
 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Введение

 
1 Предмет стереометрии

Школьный курс геометрии состоит из 
двух частей: планиметрии и стереометрии. В планиметрии 
изучаются свойства геометрических фигур 
на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, 
в котором изучаются свойства фигур в 
пространстве. Слово «стереометрия» происходит  от 
греческих слов «стереос» — объёмный, пространственный 
и «метрео» — измерять.
Простейшими и, можно сказать, основными 
фигурами в пространстве являются точки, 
прямые  и плоскости. Наряду с этими фигурами 
мы будем рассматривать геометрические тела и 
их поверхности. Представление о геометрических 
телах да ют окружающие нас предметы. Так, например, 
кристаллы имеют форму геометрических 
тел, поверхности которых составлены из многоугольников. 
Такие поверхности называются многогранниками. 
Одним из простейших многогранников 
является куб (рис. 1, а). Капли жидкости 
в невесомости принимают форму геометрического 
тела, называемого шаром (рис. 1, б). Такую же 
форму имеет футбольный мяч. Консервная банка 
имеет форму геометрического тела, называемого 
цилинд ром (рис. 1, в).
В отличие от реальных предметов геометрические 
тела, как и всякие геометрические 
фигуры , являются воображаемыми объектами. 
Мы представляем геометрическое тело как часть 
пространства, отделённую от остальной части пространства 
поверхностью — границей этого тела. 
Так, например, граница шара есть сфера, а граница 
цилинд ра состоит из двух кругов — оснований 
цилиндра и боковой поверхности.
Изучая свойства геометрических фигур — 
воображаемых объектов, мы получаем представление 
о геометрических свойствах реальных 

а)

Куб

б)

Шар

в)

Цилиндр

Рис. 1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

предме тов (их форме, взаимном расположении 
и т. д.) и можем использовать эти свойства в практической 
деятельности. В этом состоит практическое (
прикладное) значение геометрии. Геометрия, 
в частности стереометрия, широко используется 
в строи тельном деле, архитектуре, машиностроении, 
геодезии, во многих других областях науки 
и техники.
При изучении пространственных фигур, 
в част ности геометрических тел, пользуются их 
изображениями на чертеже. Как правило, изображением 
пространственной фигуры служит её проекция 
на ту или иную плоскость. Одна и та же 
фи гура допускает различные изображения. Обычно 
выбирается то из них, которое создаёт правильное 
представление о форме фигуры и наиболее 
удобно для исследования её свойств. На ри-
сун ках 2, а, б изображены два многогранника — 
параллелепипед и пирамида, а на рисунке 2, в — 
конус. При этом невидимые части этих фигур 
изображены штриховыми линиями. Правила изображения 
пространственных фигур приведены 
в приложении 1.
В течение двух лет мы будем изучать 
взаимное расположение прямых и плоскостей, 
многогранники, «круглые» геометрические тела — 
ци линдр, конус, шар, рассмотрим вопрос об объ-
ё мах тел и познакомимся с векторами и методом 
координат в пространстве.

 
2 Аксиомы стереометрии

В планиметрии основными фигурами 
бы  ли точки и прямые. В стереометрии наряду с 
ними рассматривается ещё одна основная фи гура — 
плоскость. Представление о плоскости да ёт гладкая 
поверхность стола или стены. Плоскость как 
геометрическую фигуру следует представлять себе 
простирающейся неограниченно во все сто роны.
Как и ранее, точки будем обозначать 
прописными латинскими буквами А, В, С и т. д., 
а прямые — строчными латинскими буквами а, 
b, с и т. д. или двумя прописными латинскими 
буквами АВ, CD и т. д. Плоскости будем обозначать 
греческими буквами α, β, γ и т. д. На рисунках 
плоскости изображаются в виде параллелограмма (
рис. 3, а) или в виде произвольной области (
рис. 3, б).

а)

Параллелепипед

б)

Пирамида

в)

Конус

Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Ясно, что в каждой плоскости лежат 
какие-то точки пространства, но не все точки пространства 
лежат в одной и той же плоскости. На 
рисунке 3, б точки A и В лежат в плоскости β 
(плоскость β проходит через эти точки), а точки 
М, N, Р не лежат в этой плоскости. Коротко это 
записывают так: А ∈ β, В ∈ β, M ∉ β, N ∉ β, P ∉ β.
Основные свойства точек, прямых и 
плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, 
выражены в аксиомах. Вся система аксиом 
стереометрии состоит из ряда аксиом, большая 
часть которых нам знакома по курсу планиметрии. 
Полный список аксиом и некоторые следствия 
из них приведены в приложении 2. Здесь 
мы сформулируем лишь три аксиомы о взаимном 
расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве. 
Ниже они обозначены А1, А2, А3.

А1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, 
проходит плоскость, и притом только одна.

Иллюстрацией к этой аксиоме может 
служить модель, изображённая на рисунке 4. 
Плоскость, проходящую через точки А, В и С, не 
лежащие на одной прямой, иногда называют плоскостью 
ABC.
Отметим, что если взять не три, а четыре 
произ вольные точки, то через них может не 
проходить ни одна плоскость. Иначе говоря, четыре 
точки могут не лежать в одной плоскости. 
Каждый знаком с таким наглядным подтверждением 
этого факта: если ножки стула не одина ко-
вые по длине, то стул стоит на трёх ножках, т. е. 
опирается на три «точки», а конец четвёртой ножки (
четвёртая «точка») не лежит в плоскости пола, 
а висит в воздухе.

А2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все 
точки прямой лежат в этой плоскости1.

1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки» («две прямые», 
«три плоскости» и т. д.), будем считать, что эти точки (прямые, 
плоскости) различны.

б)

Точки А и В лежат 
в плоскости β, а точки 
M, N и Р не лежат в 
этой плоскости

Рис. 3

Иллюстрация к аксиоме 
А1: пластинка поддерживается 
тремя точками 
А, B и C, не лежащими 
на одной прямой

Рис. 4

а)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

В таком случае говорят, что прямая лежит 
в плоскости или плоскость проходит через 
прямую (рис. 5, а).
Свойство, выраженное в аксиоме А2, 
использу ется для проверки «ровности» чертёжной 
линейки. С этой целью линейку прикладывают 
краем к плоской поверхности стола. Если край 
линейки ровный (прямолинейный), то он всеми 
своими точками прилегает к поверхности стола. 
Если край неровный, то в каких-то местах между 
ним и поверхностью стола образуется просвет.
Из аксиомы А2 следует, что если прямая 
не лежит в данной плоскости, то она имеет 
с ней не более одной общей точки. Если прямая 
и плоскость имеют только одну общую точку, то 
говорят, что они пересекаются (рис. 5, б).

А3

Если две плоскости имеют общую точку, то они 
имеют общую прямую, на которой лежат все 
общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, что плоскости 
пересе каются по прямой (рис. 5, в). Наглядной 
иллюстрацией аксиомы А3 является пересечение 
двух смежных стен, стены и потолка классной 
комнаты .
Прежде чем перейти к первым следствиям 
из данных аксиом, отметим одно важное 
обстоятельство, которым будем пользоваться в 
дальнейшем. В пространстве существует бесконечно 
много плоскостей, и в каждой плоскости справедливы 
все аксиомы и теоремы планиметрии. 
Более  того, признаки равенства и подобия треугольников, 
известные из курса планиметрии, справедливы 
и для треугольников, расположенных в разных 
плоскостях (см. приложение 2).

 
3 Некоторые следствия из аксиом

Теорема

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит 
плоскость, и притом только одна.

а)

Прямая AB лежит 
в пло скости α

в)

Пло скости α и β пересекаются 
по прямой a

Рис. 5

б)

Прямая a и пло скость α
пересекаются 
в точке M

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

Доказательство
Рассмотрим прямую а и не лежащую 
на ней точку М (рис. 6). Докажем, что через прямую 
а и точку М проходит плоскость. Отметим 
на прямой а две точки Р и Q. Точки М, Р и Q не 
лежат на одной прямой, поэтому согласно аксиоме 
А1 через эти точки проходит некоторая плоскость 
α. Так как две точки прямой а (Р и Q) лежат 
в плоскости α, то по аксиоме А2 плоскость α 
проходит через прямую а.
Единственность плоскости, проходящей 
через прямую а и точку М, следует из того, что 
любая плоскость, проходящая через прямую а и 
точку М, проходит через точки М, Р и Q. Следовательно, 
эта плоскость совпадает с плоскостью α, 
так как по аксиоме A1 через точки М, Р и Q проходит 
только одна плоскость. Теорема доказана.

Теорема

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, 
и при том только одна.

Доказательство
Рассмотрим прямые а и b, пересекающиеся 
в точке М (рис. 7), и докажем, что через эти 
прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Отметим на прямой b какую-нибудь 
точку N, отличную от точки М, и рассмотрим плоскость 
α, проходящую через точку N и прямую а. 
Так как две точки прямой b лежат в плоскости α, 
то по аксиоме А2 плоскость α проходит через прямую 
b. Итак, плоскость α проходит через прямые 
а и b. Единственность такой плоскости следует из 
того, что любая плоскость, проходящая через прямые 
а и b, проходит через точку N. Следовательно, 
она совпадает с плоскостью α, поскольку через 
точку N и прямую а проходит только одна плоскость. 
Теорема доказана.

Вопросы и задачи

 
1 По рисунку 8 назовите: а) плоскости, в которых 
лежат прямые РЕ, МK, DB, АВ, ЕС; 
б) точки пересечения прямой DK с плоскостью 
ABC, прямой СЕ с плоскостью ADB; 
в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DВС; 
г) прямые, по которым пересекаются плоскости 
ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Введение

 
2 По рисунку 9 назовите: а) точки, лежащие 
в плоскостях DCC1 и BQC; б) плоскости, 
в которых лежит прямая AA1; в) точки пересечения 
прямой МK с плоскостью ABD, 
прямых DK и ВР с плоскостью A1B1C1; 
г) прямые, по которым пересекаются плоскости 
АА1В1 и ACD, РВ1С1 и ABC; д) точки 
пересечения прямых МK и DC, B1C1 
и BP, C1M и DC.
 
3 Верно ли, что: а) любые три точки лежат 
в одной плоскости; б) любые четыре точки 
лежат в одной плоскости; в) любые четыре точки не лежат в одной  
плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость, и притом 
только одна?
 
4 Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. а) Могут ли какие-
то три из них лежать на одной прямой? б) Могут ли прямые 
АВ и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
 
5 Докажите, что через три данные точки, лежащие на прямой, проходит 
плоскость. Сколько сущест вует таких плоскостей?
 
6 Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что 
все отрезки лежат в одной плоскости .
 
7 Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, 
не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, 
лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, 
проходящие через точку М?
 
8 Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, 
то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три 
точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит 
в этой плоскости?
 
9 Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма 
лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма 
в плоскости α? Ответ обоснуйте.
 
10 Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, 
если она: а) пересекает две стороны треугольника; б) проходит через 
одну из вершин треугольника?
 
11 Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что 
все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную 
прямую, лежат в одной плоскости.
 
12 Точки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли 
плоскости, проходящие через точки А, В, С и А, В, D?
 
13 Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; 
б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
 
14 Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них 
проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?
 
15 Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат 
в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Рис. 9

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Параллельность 
прямых и плоскостей

Глава I
Параллельность прямых 
и плоскостей

 
§1

 Параллельность прямых, 
 
 
прямой и плоскости

 
4 Параллельные прямые в пространстве

Введём понятие параллельных прямых 
в пространстве.

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, 
если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначается 
так: а || b. На рисунке 10 прямые а и b 
 параллельны, а прямые а и с, а и d, b и c, b и d 
не параллельны.
Докажем 
теорему 
о 
параллельных 
прямых .

Теорема

Через любую точку пространства, не лежащую на 
данной прямой, проходит прямая, параллельная 
данной, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим прямую а и точку М, не 
лежащую  на этой прямой (рис. 11). Через прямую 
а и точку М проходит плоскость, и притом 
только одна (п. 3). Обозначим эту плоскость буквой 
α. Прямая , проходящая через точку М параллельно 
прямой а, должна лежать в одной плоскости 
с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать 
в плоскости α. Но в плоскости α, как известно из 
курса планиметрии, через точку М проходит прямая, 
параллельная прямой а, и притом только 
одна. На рисунке 11 эта прямая обозначена буквой 
b. Итак, b — единственная прямая, проходящая 
через точку М параллельно прямой а. Теорема 
доказана.
Рис. 11

Рис. 10

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.