Информатика. 11 класс. Углубленный уровень : в 2 частях. Часть 2

В двух частях
Часть 2

И. Г. Семакин, Е. К. Хеннер,
Л. В. Шестакова
ИНФОРМАТИКА

Москва
«Просвещение»
2022

4-е издание, стереотипное

11 класс

Допущено
Министерством просвещения
Российской Федерации

Учебник

УглУблёный УРоВЕнЬ

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

ISBN 978-5-09-087815-9 (печ. изд.).
 

УДК 004.9
ББК 32.97
 
С30

Семакин, Игорь Геннадьевич.
 Информатика. 11 класс : углублённый уровень : учебник : 
в 2 частях : издание в pdf-формате / И. Г. Семакин, 
Е. К. Хеннер, Л. В. Шестакова. — 4-е изд., стер. — М. : 
Просвещение, 2022.
ISBN 978-5-09-102100-4 (электр. изд.). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-09-087815-9 (печ. изд.).
Ч. 2. — 216 с. : ил.
ISBN 978-5-09-101615-4 (электр. изд.).
ISBN 978-5-09-087809-8 (печ. изд.).
Учебник предназначен для изучения информатики на углублённом 
уровне в 11 классах общеобразовательных организаций. Содержание 
опирается на изученный в 7–9 классах курс информатики для основной 
школы и разработано в соответствии с федеральным государственным 
образовательным стандартом среднего общего образования и примерной 
основной образовательной программой среднего общего образования. 
Рассматриваются информационные системы, методы программирования, 
компьютерное моделирование, информационная деятельность человека.

Учебник входит в учебно-методический комплект для 10–11 классов, 
включающий также практикум, примерную рабочую программу и методическое 
пособие.

С30

УДК 004.9
ББК 32.97

 
© АО «Издательство «Просвещение», 2020
 
© Художественное оформление 
АО «Издательство «Просвещение», 2020 
Все права защищены

Учебное издание

Семакин Игорь Геннадьевич
 Хеннер  Евгений Карлович
 Шестакова Лидия Валентиновна

ИНФОРМАТИКА
(в 2 частях)
11 класс
Часть 2 
Учебник углублённого уровня

Редактор Е. В. Баклашова
Ведущие методисты И. Л. Сретенская, И. Ю. Хлобыстова
Художники Н. А. Новак, Я. В. Соловцова. Технический редактор Е. В. Денюкова
Корректор Е. Н. Клитина. Компьютерная верстка: Е. А. Голубова

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93—953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01.

Подписано в печать 03.08.2021. Формат 70x100/16. Усл. печ. л. 17,55.
Тираж      экз. Заказ                     .

Акционерное общество «Издательство «Просвещение»
Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3,  
этаж 4, помещение I.

Адрес электронная почты «Горячей линии» — vopros@prosv.ru.

ISBN 978-5-09-101615-4 (ч. 2, электр. изд.)
ISBN 978-5-09-102100-4 (электр. изд.)
ISBN 978-5-09-087809-8 (ч. 2, печ. изд.)
ISBN 978-5-09-087815-9 (печ. изд.)

Издание выходит в pdf-формате.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава 3
КОМПЬЮТЕРНОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ

3.1. Методика математического 
моделирования на компьютере

3.1.1. Моделирование и его разновидности

Моделирование с помощью компьютеров открывает огромные возможности 
для исследования явлений и процессов в природе и 
обществе. Моделирование, будучи мощным средством познания 
мира, стало в наше время ведущей информационной технологией 
для многих наук и областей практической деятельности.
Из курса информатики 8 класса вы уже знакомы с понятиями 
«модель», «моделирование», познакомились с некоторыми примерами 
реализации моделей на компьютере. В данной главе вам 
предстоит глубже изучить методы и технологии моделирования. 
Но сначала повторим основные понятия. 
Модель — это упрощенное подобие объекта моделирования. 
В качестве объекта моделирования может выступать любой объект 
или процесс реального мира (реальная система). Модель отражает 
лишь некоторые свой ства объекта моделирования, существенные 
с точки зрения поставленной цели. Модель используется 
как заменитель реальной системы для воспроизведения ее отдельных 
функций. Все разнообразие моделей можно разделить на два 
больших класса: натурные модели и информационные модели. 
Приведем простой пример. Вспомним классическую задачу из 
школьной математики: через трубу А в бассейн вода втекает, а 
из трубы Б вытекает. Расходы жидкости в трубах разные, требуется 
найти количество воды, которое останется в бассейне через 
определенный промежуток времени. Решить эту задачу можно 
несколькими способами, рассмотрим три из них.
1. Арендуем настоящий бассейн, наймем рабочих, перекроем все 
трубы, кроме двух, научимся управлять расходом воды и произведем 
замеры. Если у вас много лишних средств и недостаточно 
фантазии, то можно пойти по этому пути.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Компьютерное  моделирование
3

4

2. Построим маленький «бассейн» из простейших подручных 
мате риа лов (например, используем небольшой домашний аквариум), 
подведем к нему две трубки, присоединим одну к 
крану, а другую выведем в раковину. Уменьшим в одинаковое 
чис ло раз расход втекающей в «бассейн» и вытекающей из 
него воды (по отношению к реальному бассейну) и измерим, 
сколько ее осталось через указанное в условии задачи время.
3. Не будем ничего арендовать и строить. Составим несложное 
математическое выражение, определяющее разность между 
объемом втекающей в бассейн воды и вытекающей из него, 
подставим заданные значения параметров (расходы воды и 
время) и вычислим ответ.

Второй и третий подходы являются модельными. Модель из 
аквариума называется натурной, она выполнена из физических 
материалов, ее можно «потрогать руками». Вторая модель — 
инфор мационная, она представляет собой описание объекта моделирования. 
В данном примере информационная модель является 
математической моделью, поскольку описывает исследуемый 
процесс в виде математических формул.
Оба приема, и натурное, и информационное моделирование, 
реально используются в научных исследованиях и в практических 
приложениях. Натурное моделирование является весьма эффективным 
способом исследования, поскольку на уменьшенной и 
упрощенной копии сложного объекта экспериментировать гораздо 
проще, дешевле и безопаснее, чем на реальном объекте. Так, при 
проектировании плотины ГЭС ее обязательно моделируют в специальном 
бассейне, строя многократно уменьшенную, но подобную 
копию с целью изучения прочностных и других характеристик 
плотины. При создании нового самолета его модель испытывают 
в аэродинамической трубе; подобных примеров в науке и технике 
существует множество. Однако больше возвращаться к натурному 
моделированию мы не будем, поскольку предметом изучения в 
нашем курсе является компьютерное информационное моделирование. 

В 9 классе вы узнали, что существуют разные виды информационных 
моделей: графические (карты, чертежи, схемы, графики), 
табличные, математические, имитационные и др. Предметом 
изучения информатики являются методы и технологии информационного 
моделирования с помощью компьютера — компьютерного 
моделирования.
Основное внимание в данной главе будет уделено математическим 
и имитационным моделям. Эти виды моделей широко 
используются в научных и прикладных исследованиях.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Методика математического моделирования на компьютере
3.1

5

Математическая модель — это описание объекта моделирования 
на языке математики, а компьютерная математическая 
модель — это программа, реализующая расчеты состояния моделируемой 
системы по ее математической модели. 

Виды математических моделей

Для системного описания большого разнообразия математических 
моделей требуется их классификация. Удачная классификация 
способст вует лучшему пониманию объекта изучения. Возможны 
различные подходы к классификации математических моделей:
1) по отраслям наук — математические модели в физике, биологии, 
социологии и т. д.; это естественная классификация с 
точки зрения специалистов-«прикладников»;
2) по применяемому математическому аппарату — модели, 
основанные на применении уравнений различных классов, 
статистических методов, алгебраических структур и преобразований 
и т. д. — это естественная классификация для математика, 
занимающегося аппаратом математического моделирования;

3) по основной функции, реализуемой в моделировании, общим 
закономерностям моделирования в разных видах человеческой 
деятельности безотносительно к математическому аппарату; 
это естественная классификация при изучении общих 
закономерностей и приемов математического моделирования.

Первые два подхода достаточно очевидны и не нуждаются в 
комментариях. Поскольку в данной главе изучается в основном 
компьютерное моделирование, для нас представляет наибольший 
интерес третий (функциональный) подход. Обсудим его более детально.

При функциональном подходе к классификации математических 
моделей чаще всего выделяются:
• дескриптивные модели;
• оптимизационные модели;
• многокритериальные модели.

Дескриптивная модель описывает состояние объекта или процесса. 
Поясним на примерах. Модель движения кометы, вторгшейся 
в Солнечную систему, описывает (предсказывает) траекторию 
ее полета, расстояние, на котором она пройдет от Земли, 
и т. д. Исследователь не может повлиять на движение кометы, 
что-то в нем изменить. Основным достоинством данной модели 
являются ее прогностические возможности, характерные для 
большинства дескриптивных моделей.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Компьютерное  моделирование
3

6

Приведем еще несколько примеров моделируемых систем, для 
описания которых применяются дескриптивные математические 
модели:
• описание развития некоторой популяции животных или растений 
в зависимости от значений параметров внешней среды;
• описание протекания химической реакции в зависимости от 
концентрации реагирующих компонентов;
• описание движения воздушных масс в атмосфере, связанное 
с прогнозированием погоды;
• предсказание солнечных и лунных затмений;
• описание эффективности проведения определенного класса вычислений 
в зависимости от конфигурации компьютера.

Такой список практически неограничен и может пополняться 
из любой области знаний и практической деятельности.
Оптимизационные модели. Если исследуемая система допускает 
внешние воздействия, которые могут изменить ее состояние 
или поведение, то ею можно управлять для достижения определенных 
целей. В таких случаях используются оптимизационные 
модели. В оптимизационную математическую модель входит один 
или несколько параметров, доступных внешнему влиянию. Например, 
нужно установить такой тепловой режим в зернохранилище, 
управляя системой отопления и вентиляции, при котором будет 
обеспечена максимальная сохранность зерна, т. е. нужно оптимизировать 
процесс хранения. Этот процесс можно математически 
описать, получив оптимизационную математическую модель, 
использование которой позволит решить поставленную задачу. 
В противоположность этому, например, модель описания движения 
кометы нельзя превратить в оптимизационную, поскольку мы 
не располагаем возможностями вмешательства в этот процесс.

Многокритериальные модели. Часто приходится оптимизировать 
процесс по нескольким критериям одновременно, причем эти 
критерии могут быть противоречивыми. В этом случае строятся 
многокритериальные модели. Например, стоит задача: зная цены 
на продукты и потребность человека в пище, организовать питание 
больших групп людей (в армии, летнем детском лагере и 
др.) с удовлетворением всех потребностей организма, но, по возможности, 
дешево. Ясно, что эти цели противоречат друг другу, 
т. е. при моделировании будет учитываться несколько критериев, 
между которыми нужно искать баланс.

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Методика математического моделирования на компьютере
3.1

7

Система основных понятий

Моделирование и его разновидности

Модель — упрощенное подобие объекта моделирования, отражающее 
его свойства, существенные  с точки зрения цели моделирования 

Основные классы моделей: натурные и информационные

Математические модели — разновидность информационных моделей. 
Математическая модель — описание объекта моделирования на языке 
математики

Способы классификации математических моделей

по отраслям наук
по математическому 
аппарату
по основной 
функции

Классификация математических моделей по функциональному 
подходу

дескриптивные 
модели
оптимизационные 
модели
многокритериальные 
модели

Вопросы и задания

1. Что такое модель? В чем отличие натурной модели от информационной?

2. Охарактеризуйте основные виды информационных моделей.
3. Что такое математическая модель?
4. Какие существуют подходы к классификации математических моделей?

5. В чем состоит основная функция:
 
а) дескриптивной модели; 
 
б) оптимизационной модели;
 
в) многокритериальной модели?
6. Приведите примеры задач, решаемых с помощью математического 
моделирования.

3.1.2. Процесс разработки математической модели

В процессе разработки математической модели можно выделить 
четыре этапа.
Первый этап — определение целей моделирования. В зависимости 
от выбора целей для одного и того же объекта моделирования 
могут быть получены совершенно разные модели. Например, 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Компьютерное  моделирование
3

8

расчет режима запуска космического корабля к международной 
космической станции может исходить из таких разных целей, 
как доставка данным кораблем максимально возможного груза 
безотносительно стоимости запуска или согласие на разумное ограничение 
массы груза для достижения значительного снижения 
стоимости запуска. Во втором случае кроме физических факторов 
появляются экономические, и модели будут разными. 
При моделировании могут определяться три вида целей:
1) модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный 
объект, какова его структура, основные свойства, законы 
развития и взаимодействия с окружающим миром; основная 
цель — понимание;
2) модель нужна для того, чтобы научиться управлять объектом 
(или процессом) и определить наилучшие способы управления 
при заданных целях и критериях; основная цель — управление;
3) модель нужна для того, чтобы прогнозировать дальнейшее поведение 
объекта или последствия реализации  воздействия на 
объект; основная цель — прогнозирование.

Примеры

1. Пусть объект исследования — сосуществующие популяции 
животных разных видов с общей кормовой базой. Простая 
математическая модель процесса межвидовой конкуренции 
помогает понять основные закономерности сосуществования 
животных. Однако человек часто берет на себя функции 
управления численностью популяций (в сельскохозяйственном 
производстве, в охотничьих хозяй ствах и т. д.), и для 
моделирования процесса управления надо ввести в модель 
управляющие параметры, варьирование которыми позволит 
добиваться нужных целей. Кроме того, в этой же ситуации 
возможно поставить задачу долгосрочного прогнозирования 
судьбы популяций.
2. Объект исследования — состояние атмосферы (распределение 
температуры, влажности, давления, скорости ветра). Понимание 
того, как влияет изменение факторов на погоду, может 
быть задачей исследования. Управление погодой на больших 
территориях пока не во власти человека, но предсказание ее 
мы ждем каждый день; в наше время такие предсказания часто 
основаны на математическом моделировании процессов, 
происходящих в атмосфере.
3. Объект исследования — процесс завоза материалов и оборудования 
на крупную стройку. Нередко нарушение графиков завоза 
останавливает строительство, ведет к экономическим потерям. 
Учитывая, что возможности транспортников, пропуск-

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Методика математического моделирования на компьютере
3.1

9

ные способности дорог и иные ресурсы ограничены, составление 
оптимального графика завоза — дело вовсе не простое, и 
оно может быть объектом математического моделирования. 
В таком моделировании есть и цели управления, и цели предсказания (
например, предсказание экономических потерь при 
том или ином срыве графика). 

Второй этап — составление списка параметров модели, подразделение 
их на входные и выходные параметры, и расстановка 
параметров по уровню значимости с точки зрения достижения 
поставленных на первом этапе целей.
Обозначим множество входных параметров через X {xi} 
(i 1, 2, ..., n). Среди них могут быть как постоянные величины 
по отношению к исследуемому процессу, так и переменные. 
Примеры постоянных величин: мировые константы (например, 
гравитационная постоянная); не изменяющиеся в данном процессе 
свойства материала (теплопроводность, плотность) и т. п. 
Для каждой из переменных величин xi надо указать возможный 
диапазон изменения значений: ai xi bi (очевидно, что для 
констант ai bi).
Исходя из цели моделирования определяется список выходных 
параметров — результатов моделирования. Обозначим множество 
выходных параметров через Y {yj} (j 1, 2, ..., k).
Важнейшим условием, часто залогом успеха моделирования, 
является правильное разделение входных параметров по степени 
важности влияния их изменений на выходные параметры, а 
также выбор первоочередных (с точки зрения достижения поставленной 
цели) выходных параметров. Такой процесс называется 
ранжированием (от слова «ранг», т. е. степень отличия). Чаще 
всего невозможно, да и не нужно, учитывать все факторы, которые 
могут повлиять на значения интересующих нас величин yj. 
Выделить более важные (или, как говорят, значимые) факторы 
и отсеять менее важные может лишь человек, хорошо разбирающийся 
в той предметной области, к которой относится модель. 
Не следует стремиться учесть все факторы сразу, помня, что модель — 
упрощенное отражение реальности, а не сама реальность. 
Отбрасывание менее значимых факторов упрощает описание объекта 
моделирования и тем самым способствует лучшему пониманию 
его главных свойств и закономерностей.

Третий этап — математическая формализация. Определив наборы 
входных и выходных параметров, надо установить взаимосвязь 
между ними с помощью математических соотношений. 
Запишем указанную взаи мосвязь в виде 
 
 
 
R(y1, y2,..., yk; x1, x2,..., xn). 
        (1)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Компьютерное  моделирование
3

10

Данное выражение обозначает любую форму отношений между 
входными и выходными параметрами, выраженную в математическом 
виде. R может быть формулой, уравнением или системой 
уравнений, неравенством или системой неравенств и др. Отношение (
1) является математическим выражением принципов и 
законов, действующих в исследуемой области: законов физики, 
экономики и пр.

Четвертый этап — реализация математической модели. Этот 
этап заключается в нахождении способа вычисления неизвестных 
(выходных) параметров, исходя из соотношения (1). Для этого 
используют как аналитические, так и численные методы. Аналитические 
методы позволяют выразить неизвестные величины 
через входные параметры в явном функциональном виде:

yj = Fj(x1, x2, ..., xn), (j = 1, 2, ..., k).

После этого по данным формулам можно выполнить любые вычисления 
для интересующих нас значений входных параметров, 
т. е. решить задачу моделирования. Если функция F достаточно 
сложная и требуется произвести большой перебор значений входных 
параметров, используется вычислительная техника.
 В тех случаях, когда не удается получить аналитическое решение, 
применяются численные методы решения. Для их реализации 
с требуемой (обычно высокой) точностью необходимо 
применение компьютера. В компьютерном математическом моделировании 
численные методы преобладают. Причина заключается 
в более широких возможностях численных методов в решении 
математических задач по сравнению с аналитическими методами. 
Приведем примеры:
• алгебраические уравнения поддаются (в общем случае) аналитическому 
решению при степени не больше четвертой, а численному — 
в любом случае;
• трансцендентные уравнения, кроме простейших случаев, решаются 
лишь численно;
• задачи оптимизации, связанные с совместным решением большого 
числа уравнений и неравенств, в реальных ситуациях 
решаются только численно.

И все же, если существует возможность получить аналитическое 
решение задачи, исследователи обязательно ею воспользуются. 
Аналитическое решение обладает той общностью, которая, как 
правило, отсутствует у численного решения. Численное решение 
является частным решением задачи для заданного варианта 
значений входных параметров. Если требуется выявить общий 

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.