Оптическая спектроскопия твердого тела

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 

Сибирский федеральный университет 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

А.С. Ципотан 

Н.В. Слюсаренко 

 
 

ОПТИЧЕСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ 

ТВЕРДОГО ТЕЛА 

 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 

СФУ 
2022 

УДК 
538.958(07) 

ББК 
22.379.24.7я73 
Ц674 

 
 

Р е ц е н з е н т ы:  
Е.А. Слюсарева, доктор физико-математических наук, доцент, профессор 
базовой кафедры фотоники и лазерных технологий Института инженерной 
физики и радиоэлектроники СФУ; 
Р.Г. Бикбаев, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник 
лаборатории фотоники молекулярных систем Института физики имени 
Л.В. Киренского СО РАН.  

 
 
 

Ципотан, А.С. 

Ц674 Оптическая спектроскопия твердого тела : учеб. пособие / А.С. Ци-

потан, Н.В. Слюсаренко. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2022. –  
56 с. 

 

ISBN 978-5-7638-4489-4 

 

Рассмотрены актуальные научно-практические проблемы в области 

спектроскопии твердого тела. Даны теоретические и практические материалы, 
необходимые для понимания физики процессов и методов исследования. Приведены 
задачи для решения на семинарах и самостоятельной работы.  

Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направле-

нию подготовки 03.03.02 «Физика» и смежным специальностям, может быть 
полезно преподавателям вузов и специалистам в области спектроскопии и материаловедения. 

 
 
 

 

Электронный вариант издания см.: 
УДК 538.958(07) 

http:/catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.379.24.7я73 

 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4489-4 
© Сибирский  

федеральный  
университет, 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................... 4 
 
1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ .................................................................... 5 

1.1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ...................................................................... 5 

Задачи для решения на семинарах ................................................................................................. 6 
Задачи для самостоятельного решения ......................................................................................... 7 

1.2. СИЛЫ СВЯЗИ, КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ ...................... 7 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 10 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 11 

1.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ........................................................................................... 11 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 13 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 14 

1.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ .......................................................................................................... 15 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 16 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 11 

 
2. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СВЕТА .................................................................................................... 18 

2.1. ИСТОЧНИКИ  ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ............................................................... 18 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 21 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 23 

2.2. ПРИЕМНИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ................................................................ 23 
2.3. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СВЕТА ............................................................................................... 24 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 27 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 28 

 
3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ СПЕКТР В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ .......................................................................... 30 

3.1. ОПТИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ И СООТНОШЕНИЯ КРАМЕРСА – КРОНИГА ........................... 30 
3.2. МОДЕЛИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ,  ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ  
ИХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ................................................................................................................................ 31 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 38 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 40 

3.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ ................................... 40 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 43 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 44 

 
4. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДЫ СПЕКТРОСКОПИИ ..................................................................................... 45 

4.1. СПЕКТРОСКОПИЯ ВИДИМОГО ДИАПАЗОНА СПЕКТРА ......................................................... 45 
4.2. РАМАНОВСКАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ ............................................................................................ 47 
4.3. ИНФРАКРАСНАЯ СПЕКТРОСКОПИЯ .......................................................................................... 48 

Задачи для решения на семинарах ............................................................................................... 49 
Задачи для самостоятельного решения ....................................................................................... 51 

 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ............................................................................................................................................ 52 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ......................................................................................................... 53 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
 
На сегодняшний день достигнуты определенные успехи в развитии 

методов изучения веществ. Одними из самых информативных считаются 
методы спектроскопии. Спектроскопия – это раздел науки о взаимодействии 
электромагнитного или корпускулярного излучения с веществами, 
который дает представление об их энергетической и пространственной 
структуре. В связи с этим методы спектроскопии активно применяют  
в различных областях науки и техники.  

Одним из способов классификации спектроскопии является уровень 

организации материи исследуемого вещества. Таким образом, спектроскопию 
делят на ядерную, атомную, молекулярную и твердого тела. В данном 
пособии внимание сосредоточено на особенностях спектроскопии твердого 
тела, а целью является изучение теоретических основ спектроскопии твердого 
тела на примере решения задач.  

Учебное пособие состоит из четырех глав, включающих в себя не-

сколько пунктов. Все теоретические выражения и константы представлены 
в Международной системе единиц СИ. После изложения необходимого 
теоретического материала подробно рассмотрена типовая задача, которая 
позволяет студентам понять логику решения поставленных далее задач. 
Все предложенные задачи разделены на два типа: одни разбираются на семинарских 
занятиях; другие – самостоятельно студентами, что дает им 
возможность более детально погрузиться в изучение основных проблем 
спектроскопии твердого тела. На сегодняшний день существует недостаточное 
количество литературы, посвященной решению задач по данной 
проблеме, поэтому авторы постарались собрать в рамках одного учебного 
пособия не только классические задачи, но и ряд оригинальных и современных 
задач, многие из которых разработаны самостоятельно авторами. 
Библиографический список содержит работы российских и зарубежных 
коллег может быть использован для получения необходимой дополнительной 
информации.  

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата, обуча-

ющихся по специальности 03.03.02 «Физика», и студентов смежных специальностей, 
а также может быть полезно преподавателям вузов и специалистам 
в области спектроскопии и материаловедения. 
 
 

1. ТВЕРДОЕ ТЕЛО, ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 

 
 

1.1. КРИСТАЛЛИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ТВЕРДЫХ ТЕЛ 

 
Кристалл представляет собой периодический массив атомов, что 

позволяет рассматривать его простейшую составляющую (элементарную 
ячейку) и значительно упростить исследование свойств твердых тел. Положение 
идентичных атомов в кристаллической решетке определяется 
вектором трансляции 
 

Элементарная ячейка представляет собой объем, которым можно за-

полнить полностью все пространство без перекрытия, смещая ее на вектор 
трансляции 
  

Постоянная решетки – размеры элементарной кристаллической 

ячейки кристалла. 

Если представить кристалл в виде набора сфер, центры которых 

находятся в узлах элементарной ячейки, а радиус равен расстоянию между 
ближайшими соседями, то фактор заполнения – это отношение объема 
этих сфер к полному объему элементарной ячейки. Координационное число – 
число ближайших соседей любой сферы.  

При рассеянии волн от периодического массива максимум их интер-

ференции описывается условием Брэгга – Вульфа:  

 

 
(1.1) 

 

где nd – порядок дифракционного максимума; λ – длина волны; d – межплоскостное 
расстояние; θ0 – угол скольжения (угол между падающим лучом 
и кристаллографической плоскостью).  

Для движущейся частицы вещества можно записать формулу де Бройля  

 

,
p
h


 
(1.2) 

 

где h – постоянная Планка; p – импульс частицы. 

Число элементарных ячеек в одном моле кристалла равно 

 

,
или
,

я

A
а

я
V
N
r
Z
V
V
Z
m

m

m


 
                             (1.3) 

 

где Vm – объем одного моля кристалла; Vя – объем элементарной ячейки; 
ra – число одинаковых атомов в химической формуле соединения;  
NA – число Авогадро; rя – число одинаковых атомов, приходящихся на 
элементарную ячейку.  

.
R


.
R


0
λ
2 sinθ ,
dn
d


Пример. Пучок электронов с кинетической энергией 1 кэВ испытывает дифракцию, проходя через 
поликристаллическую металлическую пленку. Металл обладает кубической кристаллической 
структурой с постоянной решетки, равной 1 Ǻ. Рассчитать: а) длину волны электронов; б) брэгговский 
угол для первого максимума дифракции.  

 

Дано:
 
Ek = 1 кэВ 
d = 1 Ǻ 
nd = 1 
λ – ? 
θ0 – ? 
 

 

Решение:
 
Длина волны электрона может быть оценена с помощью формулы  
де Бройля 

 

 
Кинетическая энергия для релятивисткой частицы имеет вид 

 

, 

откуда  

34

10

31
19
3

6,63 10
2
λ
0,39 10
нм.

2
2 9,1 10
1,6 10
10

k

k

h
p
mE

mE






















 

 
Из условия Брэгга – Вульфа 

 

θ0 = arcsin (ndλ / 2d) = arcsin ( 1·0,39 Ǻ / (2·1 Ǻ)) = 11,18°. 

 
Ответ: λ = 0,39 Ǻ; θ0 = 11,18°.  

 
 
Задачи для решения на семинарах 
1. Электронно-лучевая 
трубка 
цветного 
телевизора 
обладает 

потенциалом 25 кВ. При работе телевизора может возникать рентгеновское 
излучение. Рассчитать: а) значение самой короткой длины волны 
(соотвествует 
максимальной 
энергии) 
рентгеновского 
излучения;  

б) брэгговский угол для первого порядка диффракции на длине волны 0,5 Ǻ 
для кристалла соли NaCl, расположенного перед трубкой (плотность 
ρNaCl = 2,165 г/см3).  

2. Определить плотность кристалла NaCl, постоянная решетки кото-

рого равна a = 0,563 нм. 

3. Плотность KCl при нормальных условиях равна 1,9893 г/см3, реб-

ро элементарной ячейки составляет величину 0,62908 нм. Вычислить постоянную 
Авогадро, используя значения атомных масс элементов.  

4. Рентгеновские лучи испытывают брэгговскую дифракцию при от-

ражении от кристалла. Если плотность кристалла измерена со среднеквадратичной 
ошибкой 3104, а угол падения на кристаллическую плоскость 
равен углу отражения и составляет величину 6°, измеренную со среднеквадратичной 
ошибкой 3,4´, то какова среднеквадратичная ошибка при измерении 
длины волны рентгеновского излучения? 

5. Натрий переходит из объемно-центрированной кубической в гек-

сагональную плотноупакованную решетку при температуре T = 23 К. 
Предполагая, что плотность остается фиксированной и отношение c / a является 
идеальным, рассчитать постоянную решетки a для гексагональной 

λ
/
.
h
p


2 / 2
k
E
p
m


плотноупакованной решетки, считая, что для объемно-центрированной кубической 
постоянная решетки a = 4,23 Å. 

 
Задачи для самостоятельного решения 
1. Оценить величину энергии, при которой на кристаллической 

решетке будет наблюдаться наилучшая дифракция для фотонов и нейтронов 
(mnc2 = 939 МэВ, mn – масса нейтронов). 

2. α-Co представляет собой плотную гексагональную упаковку  

с постоянными решетки a = 2,51 Å и c = 4,07 Å; β-Co – кубическую 
решетку с постоянной, равной 3,55 Å. Какова разница между плотностями 
этих двух форм кобальта?  

3. Найти постоянуую решетки a молибдена, который обладает 

пространственно-центрированной кубической решеткой, зная его плотность 
(ρMo = 19,3 г/см3).  

 
 

1.2. СИЛЫ СВЯЗИ, КОЛЕБАНИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ  

ТВЕРДЫХ ТЕЛ 

 
Твердые тела могут быть классифицированы по типу энергии связи  

в них: вандерваальсова, ионная, водородная, ковалентная и металлическая.  
В общем виде энергия связи твердого тела зависит от координат и скоростей 
атомных ядер и координат и скоростей (с точки зрения квантовой механики – 
волновых функций) электронов. Учитывая огромное количество атомов  
и электронов в твердом теле, задача расчета суммарной энергии представляется 
не разрешимой даже с помощью современной вычислительной техники. 
Для упрощения этой задачи можно использовать адиабатическое приближение, 
смысл которого заключается в следующем. Поскольку масса ядер значительно 
больше массы электронов, скорость движения электронов значительно 
выше скорости движения ядер. Таким образом, при нахождении уровней 
энергии электронов в твердых телах можно считать ядра неподвижными  
и полагать, что они находятся в узлах кристаллической решетки.  

Для твердых тел с вандерваальсовой энергией связи потенциальная 

энергия связи может быть получена суммированием потенциалов пар взаимодействующих 
атомов. Для двух атомов взаимодействие описывается 
потенциалом Леннарда – Джонса:  

 

 
(1.4) 

 

где 
 и 
: σr – расстояние, на котором энергия взаи-

модействия становится равной нулю; H – глубина потенциальной  

6
12 ,
L
L

ij

ij
ij

A
B

r
r
 


6
4 σ
L
r
A
H

12
4 σ
L
r
B
H


ямы. Параметры σr и H – характеристики атомов соответствующего  
вещества. 

Для ионных твердых тел связь основана на кулоновском взаимодействии:  

 

 
 (1.5) 

 

где Bq и nq – параметры, которые описывают отталкивание атомных ядер; 
e – заряд электрона; ε0 – электрическая постоянная. 

Постоянная Маделунга – величина, связывающая электростатиче-

ский потенциал в ионных кристаллических решетках с параметрами кристаллической 
решетки:  

 

 
(1.6) 

 

где ρij – безразмерная величина, ρij = rij / r; rij – расстояние между i-м  
и j-м ионами; r – расстояние между двумя ближайшими ионами. 

В случае ковалентной и водородных связей расчет энергии связи пред-

ставляет собой более сложную задачу. В общем смысле потенциальная энергия 
не может быть рассчитана как сумма потенциалов взаимодействия между 
атомами. Для металлической связи оценка энергии связи может быть получена 
при приравнивании кинетической энергии движения электронов и кулоновского 
притяжения между атомными ядрами и электронами проводимости.  

Колебания кристаллической решетки – это упругие волны, распро-

страняющиеся в кристалле. Фонон – квазичастица, представляющая собой 
квант колебательного движения атомов. 

Число нормальных колебаний одной поляризации в расчете на еди-

ницу объема кристалла равно 

 

 
(1.7) 

 

где υ и ωk – скорость распространения и частота колебаний кристаллической 
решетки. Молярная колебательная энергия кристалла, полученная  
в теории Дебая, равна  

 

 
 (1.8) 

 

где 
 – температура Дебая, 
 (kB – постоянная Больцмана);  

R – универсальная газовая постоянная; T – температура; x – переменная 
интегрирования, 
.  

2

0

,
4πε
q

q

ij
n

ij
ij

B
e

r
r


 


1,
ρ

M

ij

M



2

ω
2
3

ω
ω ,
2π υ

k

k
k
d
dN


4
/
3

0

1
9
,
8
1

T

x

T
x dx
U
R
e
























,max
ω
/
k
B
k
  

ω /
k
x
T
 

Молярная колебательная теплоемкость кристалла при T


 рас-

считывается по формуле  

 

 
(1.9) 

 

 

Пример. Объемный модуль упругости NaCl (
, где P – давление, V – объем)  

B = 2,41010 Н/м2. Равновесное (при нулевом давлении) расстояние между ионами Na и Cl равно 
r0 = 2,82 Å. Взаимодействие между ионами описывается следующим кулоновским потенциалом (
1.5): 

 

 
Учитывая заданные величины, рассчитать Bq и nq.  
 
Дано:
 
B = 2,41010 Н/м2 
r0 = 2,82 Ǻ 

 

 

 
Bq – ? 
nq – ?  

Решение:
 
В случае ионных кристаллов суммарный потенциал взаимодействия 
равен сумме парных потенциалов: 

 

, где 
. 

 
Первая сумма для разных зарядов (Na+ и Cl) представляет собой 
постоянную Маделунга. Для кристалла NaCl MM = 1,748. 

Сделаем замену второго слагаемого 
. 

Из определения давления 
. 

Объем 
, тогда 
, а давление равно, 

 

               (1) 

 
Равновесное расстояние между атомами определяется при P = 0 
(что эквивалентно минимуму энергии): 

 

                              (2) 

 
Запишем выражение для объемного модуля сжатия, подставив 
полученное выражение для давления (1): 

 

           (3) 

4
3
12 π
(
/
) .
5
C
R T



/
B
V P
V
  


2

0

.
4πε
q

q

ij
n

ij
ij

B
e

r
r


 


/
B
V P
V
  


2

0

.
4πε
q

q

ij
n

ij
ij

B
e

r
r


 


2

0

1
1

4πε
ρ
ρ

q
q

q
n
n

ij
ij

B
e
U
N
r
r















ρ
/
ij
ijr
r


1
ρ

q
q
n
ij

B
C



/
P
U
V
 


3
2
V
Nr

2
6
dV
Nr dr


2

2

0

2

1
2
2

0

1
1

6
4πε

1
1
.
6
4πε

q

q

M
n

q

M
n

C
P
N
M e
Nr
r
r
r

n C
M e
r
r
r






 











 







2

1
2

0 0
0

1
0
.
4πε
q

q

M
n
n C
M e
r
r





2

3
4

0 0
0

(
3)
1
4
.
18
4πε

q

q
q

M
n

n n
P
B
V
C
M e
V
r
r







 








Из выражения (2) выражаем C и подставляем в (3): 
 

 

 
Подставляя известное значение nq в выражение (2), получим  
 

 

 

Чтобы получить постоянную Bq, необходимо посчитать
. 

Для первых 6 соседних атомов 
, 12 вторых соседних 

атомов – 
, 8 третьих – 
 и т. д. 

 

 

 
Тогда 
 

 

Ответ: nq = 7,8; 
.  

 
 
Задачи для решения на семинарах 
1. Рассмотреть цепочку, состоящую из 2N ионов с чередующимся за-

рядом ± q и потенциалом отталкивания A / rn

 между ближайшими соседями 

в дополнении к обычному кулоновскому потенциалу.  

А. Рассчитать равновесное расстояние r0 для такой системы  

и оценить энергию равновесия U(r0).  

Б. Пусть кристалл сжимается таким образом, что r0→r0 (1 − δ). Оце-

нить совершенную работу при сжатии кристалла на величину δ2.  

2. Рассчитать давление, необходимое для сжатия твердого тела  

в α = 10 раз.  

3. Рассчитать соотношение γ = d ln ω / d ln l для линейной цепочки  

с длиной l, постоянной решетки a с учетом взаимодействия только между 
ближайшими соседними атомами. Предположить, что потенциал взаимодействия  
имеет  следующий  вид:  U (x) = U0 + 1 / 2kx2 + λx3,  где  
x = d − a; d – расстояние между ближайшими атомами.  

4. У железа скорость распространения продольных колебаний равна 

5,85 км/с, поперечных – 3,23 км/с. Чему равна его дебаевская температура?  

 

4

2
0
0

4
2

0 0

1
1
18
4πε
(
1)
1
7,8.
18
4πε

M
q
q

M

Br
B
M e
n
n
r
M e



 


1
2
19
2
10 6,8

0

12

0

94
8,8

1,748 (1,6 10
)
(2,82 10
)

4πε
4 3,14 8,85 10
7,8

5,9 10
Н м .

q
n

M

q

M e r
C
n

























1
ρ

q
n
ij


ρ
1
ij 

ρ
2
ij 
ρ
3
ij 

3,9
3,9

1
1
1
6
12
8
...
6,91.
2
3
ρ

q
n
ij








94
8,8
/ 6,91
0,85 10
Н м .
q
B
C






94
8,8
0,85 10
Н м
q
B





Задачи для самостоятельного решения  
1. Какова энергия связи между отдельными ионами в кристалле 

NaCl? Получить приближенное значение, считая, что для ионных твердых 
тел связь основана на кулоновском взаимодействии (1.5). Постоянная решетки 
a = 5,6 Å. 

2. Определить температуру Дебая для цепочки из одинаковых ато-

мов, содержащей n0 атомов на единицу длины, если скорости распространения 
продольных и поперечных колебаний одинаковы и равны υ. 

 
 

1.3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 

 
Основным источником для изучения оптических свойств твердых 

тел является электромагнитное излучение. Независимо от спектрального 
диапазона оно может быть описано уравнениями Максвелла (представлены 
в интегральной форме): 

 

                           (1.10) 

 

где 
 – плотность электрического тока; ρ – объемная плотность сторон-

него электрического заряда; 
– замкнутый контур, который является гра-

ницей поверхности 
 
 и 
 – векторы электрической индукции  

и напряженности электрического поля; 
 и 
 – векторы напряженности 

магнитного поля и магнитной индукции. Эти векторы и поляризация связаны 
следующими отношениями:  

 

               (1.11) 

 

где  и 
– диэлектрическая и магнитная проницаемости среды; 
– прово-

димость среды; 
– магнитная постоянная. 

0

,

ρ

l

s
n

n

S

l
n

S
S
n

n

S
V

B
E dl
dS
t

B dS

D
H dl
j dS
dS
t

D dS
dV





























 















 






















nj

l


;
S


D


E


H


B


0
0
0
εε
;
μμ
;
σ ;
(ε
1)ε
,
D
E
B
H
j
E P
E










 



ε
μ
σ

0
μ