Сборник задач по математическому анализу
Покупка
Основная коллекция
Издательство:
Сибирский федеральный университет
Составитель:
Мысливец Симона Глебовна
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 62
Дополнительно
Представлено большое количество примеров и задач, способствующие усвоению курса математического анализа.
Предназначено для студентов первого и второго курсов экономических специальностей ИЭГУиФ и других институтов СФУ.
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Учебное пособие Электронное издание Красноярск СФУ 2021
УДК 51(07)
ББК 22.161я73
С232
Рецензенты:
А. М. Кытманов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИМиФИ СФУ;
Е. К. Лейнартас, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций ИМиФИ СФУ.
Составитель: Мысливец Симона Глебовна
С232 Сборник задач по математическому анализу : учеб. пособие / сост.: С. Г. Мысливец. (800 Кб). - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. - Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I ; 128 Mb RAM ; Windows 98/XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. - Загл. с экрана.
Представлено большое количество примеров и задач, способствующие усвоению курса математического анализа.
Предназначено для студентов первого и второго курсов экономических специальностей ИЭГУиФ и других институтов СФУ.
УДК 51(07)
ББК 22.161я73
© Сибирский федеральный университет, 2021
Электронное учебное издание
Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса
Подписано в свет 13.08.2021. Заказ № 14142 Тиражируется на машиночитаемых носителях
Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391)206-26-16; http://rio.sfu-kras.ru
E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru
Содержание
1. Элементарные функции и их графики 5
2. Предел числовой последовательности 5
3. Предел функции 6
4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация 8
5. Производная 8
5.1. Производная сложной функции 9
5.2. Логарифмическая производная 9
5.3. Производная функции, заданной неявно 9
5.4. Производная параметрической функции 10
6. Дифференциал функции 11
7. Производные и дифференциалы высших порядков 12
8. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора. Геометрические
приложения производной 13
9. Правило Лопиталя вычисления пределов 14
10. Исследование функций 14
11. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной 16
12. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле 17
13. Интегрирование рациональных функций 18
14. Интегрирование тригонометрических функций 18
15. Интегрирование иррациональных функций 19
16. Функции нескольких переменных. Частные производные и полный
дифференциал ф.н.п. 21
17. Частные производные сложных функций и функций, заданных неявно 21
18. Частные производные и дифференциалы высших порядков 23
19. Градиент и производная по направлению. Касательная плоскость и нормаль
к поверхности 24
20. Локальный экстремум функций нескольких переменных 25
21. Условный экстремум функций нескольких переменных 25
22. Наибольшее и наименьшее значения функции 26
23. Определенный интеграл 26
24. Геометрические приложения определенного интеграла 28
24.1. Площадь плоской фигуры 28
24.2. Длина дуги кривой 29
24.3. Объем тел вращения 29
25. Несобственные интегралы 29
25.1. Интегралы с бесконечными пределами 29
25.2. Интегралы от неограниченных функций 30
26. Двойной интеграл, его вычисление в декартовой системе координат 31
27. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярной
системе координат 32
28. Вычисление площадей плоских фигур 33
29. Вычисление объемов тел 34
30. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными 34
31. Однородные дифференциальные уравнения 35
3
32. Линейные дифференциальные уравнения и уравнения Бернулли 35
33. Уравнения в полных дифференциалах.
Приложения дифференциальных уравнений 1-ого порядка 36
34. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 36
35. Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами 37
36. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами 37
36.1. Метод вариации решения неоднородных уравнений 37
36.2. Неоднородные дифференциальные уравнения
со специальной правой частью 38
37. Системы дифференциальных уравнений 38
38. Числовые ряды с положительными членами 40
39. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 41
40. Функциональные ряды 41
41. Степенные ряды 42
42. Разложение функций в ряд Тейлора и Маклорена 43
43. Применение степенных рядов 44
Ответы 45
4
1. Элементарные функции и их графики
1.1. Построить графики основных элементарных функций, указать их области определения:
y = x, y = x², у = д/x, y = ax, y = iogₐx, (0<a< 1,a> 1), y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Найти область определения D каждой из следующих функций:
1.2. y = V'4 — x². 1.3. y = arccos(1 — 2x).
x - i x ² i
¹-⁴- y=lⁿ x+1. y=logx+i⁽⁷—x⁾.
1.6. y = 2Varcsⁱn(¹⁻x). 1.7. y = pin (x² — 3).
Следующие элементарные функции записать в виде композиции основных элементарных функций:
1.8. y = Vsin x². 1.9. y = sin² in x.
1.10. y = in cos Vsin x. 1.11. y = 2arctglⁿsⁱⁿx.
Используя график функции y = x², построить графики функций: 1.12. y = 2x² + 1. 1.13. y = (x — 1)² — 1.
С помощью графического сложения и вычитания построить графики функций: 1.14. y = x³ + 2x. 1.15. y = x — sinx.
1.16. Построить график произведения функций y = x • sin x.
Построить графики следующих элементарных функций:
1.17. y = |2 --- x| + |2 + x| . 1.18. y = |x2 + 2x|--- 3.
( 1, x> 0,
1.19. y = sgn x =< 0, x = 0,
I --- 1 x< 0.
1.20. y =[x], где [x] --- целая часть x, которая определяется как наибольшее целое
число, не превосходящее данное число x.
1.21. y = {x}, где {x} = x — [x] — дробиая часть x.
1.22. y = 2|x⁺¹| +2.
2. Предел числовой последовательности
Написать первые пять членов последовательности:
2.1. u„ = 1 + (—1)ⁿ ¹. 2.2. «„ = ³n⁺|.
n 2n — 3
Написать формулу общего члена последовательности:
2.3. 2, ⁴, ⁶, ⁸,.... 2.4. 1,0, —3,0,I,0, —7,0,....
3 I 7
_ n
2.5. Доказать, что последовательность uₙ =-----монотонно убывает и ограничена.
4n — 3
_ n
2.6. Доказать, что последовательность uₙ =-монотонно возрастает и ограниче-
n+1
на.
Найти наибольший (наименьший) член ограниченной сверху (снизу) последовательности (un )neN:
2.7. uₙ = 3n² — 10n — 14. 2.8. uₙ = pn.
Найти a = iim uₙ и определить номер N(Д такой, что |uₙ — a| <£ при всех n>N(Д,
П^Ж если: _____
2.9. un = Пг⁺ ⁺ ¹, £ = 0,00I.
In? + 1
2.10. un = —2—, £ = 0,00I.
7n² — 3
Вычислить пределы:
5
. 5n + 1 , 4n2 --- 5n + 2
2.11. lim -------. 2.12. lim -------------.
п^ж 3 --- 2n n --\. 2n2 + 3
, 3n2 + 1 , 2 2n + 1 2n2 + n\
2.13. lim -----2.14. lim-------- .
п^ж 3 + n3 " ---ж y5n --- 1 5n2 --- 2 J
2.15. lim (V2n + 1 --- V2n). 2.16. lim n(Vn2 + 6 --- Vn2 + 2).
п---ж п---ж
(n + 1)! --- n! (n + 2)! --- n!
2.17. lim , ^ . 2.18. lim , . .„.
п---ж n!(2n +1) п---ж (3n2 + 1)n! --- (n --- 1)!
.. (n --- 1)! --- 3(n + 1)! _ .. 4(n + 1)! --- 1
2.19. lim 7----t---,---t(-. 2.20. lim J---
п---ж (n + 2)n! --- (n --- 1)! п---ж (2n + 5)n!
2п 3п 3п-1 l 5п+1
2.21. lim -------. 2.22. lim ------------.
п---ж 2п + 3п п---ж 3п + 5п-1
7п+2 + 1 2п-1 --- 3 • 5п
2.23. lim ------------. 2.24. lim -----------.
п---ж 5 • 7п + 3п+1 п---ж 1 + 5п 1
, 1 1 2 n ---1\
2.25. lim 1 2 ! 2 ! ... ! 2 1.
п---ж yn2 n2 n2 J
2.26. / 4 7 3n + 1 \
п---ж y2n2 + 1 ' 2n2 + 1 ' ' 2n2 + 1)
A. 12 + 22 +... + n2
2.27. lim .
п---ж n3
11 1
2.28. lim 1 + +... + , . I.
п---ж Ц • 2 2 • 3 n(n + 1)7
11 1
2.29. lim + +... +
п---ж Ц• 3 3• 5 (2n --- 1)(2n + 1)7
11 1
2.30. lim (- --- --- +... + (---1)п 1^).
п---ж 5 25 5п
11 1
2.31. lim 1 ---+-------+... +--I.
п---ж 2 4 2п
2.32. Доказать, что если последовательность (ип)пе^ бесконечно малая и Vn G N
(ип = 0), то последовательность (—] бесконечно большая.
\ип/ ntN
3. Предел функции
Используя логическую символику, записать следующие утверждения:
3.1. lim f (x) = oo. 3.2. lim f(x) = ---o.
3.3. х---о 3.4. x---1-0
3.5. lim f(x) = b. 3.6. lim f(x) = +o.
3.7. x---a+0 3.8. x---+ ж
lim f(x) = 1. lim f(x) = +o.
х----ж x^--- --- ^c
lim f(x) = 2. lim f (x) = ---o.
х---3+0 x---ж
Вычислить пределы:
x2 + x + 3 lim 3x + 1
3.9. lim ------------. x---1 2x .
x---о 2x2 + 2 v 2x2 + 5
„ 3x3 + 2x --- 3 lim --------.
3.11. lim -----------. x---ж 4x2 + 3x
x---ж 4 --- x3 x2 + 3x
5 5 5x4 + x2 --- 6 lim --------.
3.13. lim -----------. 3.10. x---ж x + 6
х---ж x2 + 3x --- 1 3.12. 3x + 5
3.15. lim x-^. 3.14. lim 2 Л-
х---ж 1 --- x3 3.16. x---ж x2 --- 4
_ 4 4x2 --- 1 _ V 4x2 --- 1
lim ----------. lim ----------.
3.17. x---+ж x + 3 3.18. x----ж x + 3____
3.19. .. 7x4+6 3.20. .. \/4x2 + x + 2
lim ---. . lim ---------------.
х---ж 2x2 + x x----ж 3x + 5
6
3.21.
3.23.
lim
х^ж
3 X
2x² -1
2
X2 2x + 1
3.22.
lim
х^ж
2x² x-1
—
2X ‘2x + p2x + /2x
lim х^ + ж
Вычислить пределы:
x2 --- 3x + 2
3.24. lim
х^1 x2 --- 1 .
x2 --- 4x + 4
3.26. lim
х^2 x3 --- 3x2 + 2x
3.28. lim A/X-T ⁻ ³ x^10 x —10
3.25.
3.27.
3.29.
V x2—⁴
lim —-------.
x^-2 x² + x — 2
.. x² — 3x — 4
lim —-----------
x^-1 x² + 2x +1
—
2x³
x² + 1
3.30.
3.32.
3.34.
3.35.
r д/x2 + 4 --- 2
lim . -----. 3.31.
-■ ■ д/x2 + 9 --- 3
. д/x + д/x --- 1 --- 1
lim--------. ------. 3.33.
х ■' д/x2 --- 1
lim I д/x + д/x + / /7 --- . Ar I
х^+ж \ ’ ' *aj л/ 1 *
lim (\/4x² — 7x + 4 — 2x). х^+жv ⁷
,. д/x + 2 — д/ 2x
lim ---- .
х -² y2x — 1 — д/5 — x . /2x — 2 — /7 — x lim . ----. .
х -³ \/3x — 8 — x— — 2
.. /2 + x — /2 — x lim . ----. .
х ■" x2 + x — X2 — x
Используя первый замечательный предел, вычислить:
sin3x , x arcsin 6x
3.36. lim------. 3.37. lim-------------.
х -0 5x х ■'■■' sin x arctg 2x
sin2x sin5x arcsin2 3x
3.38. lim------------. 3.39. lim----------.
х -0 sin 3x tg x х -0 x tg2x
sin7x 1 --- cos 4x
3.40. lim------. 3.41. lim----------.
х -x tg3x х -0 x2
, cos 3x --- cos x 1
3.42. lim--------------. 3.43. lim--ctg x
х -0 x2 х -0 у sin x
д/2 --- 2 cos x
„
3.44. lim ------------. 3.45. lim--x tgx.
х ■ 4 n --- 4x х ■ 2 \2 J
Используя второй замечательный предел, вычислить
/x + 3Д2х+1 , /2x2 + 1Д 6 2+1
Q ЛИ тп 1 1 Q Л<7 1 1
х -ж. у x --- 2 J х^ж у 2x2 --- 2/
3.48. lim(2x --- 1)x2-i. 3.49. '
х^1 lim(3 --- x) 2x-4.
3.50. lim(cos x) x2. 3.51. lim (1+tg2 /x)x.
3.52. х^0 х^0v 7
lim x(ln(2 + x) --- lnx).
х^+ж
lim (3x + 1)(ln(3 --- 2x)-
3.53. х^-ж ln(1 --- -2x)).
v ln(2x + 1) --- ln(x + 2) ln(4 + x) --- ln(6 + 2x)
3.54. lim . 3. 55. lim -------
х^1 x2 --- 1 х^-2 x + 2
Доказать следующие соотношения:
3.56. lim lOga⁽¹ ⁺ x⁾ =logₐ е. 3.57. lim a ¹ = ln a.
х ■" x х ■" x
Вычислить пределы:
v ax --- a е«х е^х
3.58. lim-------. 3.59. lim
х^1 x --- 1 х^0 x
Найти односторонние пределы:
x—3 2+x
3.60. lim ------г. 3.61. lim -------.
х^3±0 | x — 31 х^2±0 4 — x²
7
3.62. lim 72-x.
x^2±0
.. Vx² + 1
3.64. lim --------
x --.-x. x - 1
3.63.
lim arctg x. х^±ж
3.65. lim (2 + x)¹. x -±0 ⁷
4. Непрерывность функции. Точки разрыва и их классификация
Доказать, что следующие функции непрерывны в каждой точке их естественной области определения:
4.1. f(x) = x³. 4.2. f(x) = sinx.
4.3. f(x) = ex. 4.4. f(x) = ln x.
Задана функция f (x). При каком выборе параметров, входящих в ее определение, f (x) будет непрерывной?
x - f x — 1, x 61,
4.5. f(x) = < ₂ Д J
Jy — [ ax² — 2, x> 1.
{ax + 1, x 6 П,
n
sin x + b, x>—.
Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, в случае устранимого разрыва доопределить функцию "по непрерывности":
. - ,z x |3x — 6|
4.7. f (x) =J------L.
M 3 3x — 6
4.9. f(x) = 2x-2.
4.11. f (x) = (x + 1) arctg-.
3 x-2 — 1
4.13. f(x) = —--------.
3 x-2 +1
4.8. f(x) = — sin x.
4.10. f(x) = 34-x2.
4.12. f(x) = iln —
x 1—x
4.14. f⁽x⁾ =
2 i-x
—1
4.15. f(x) =
2х, x — 1,
1,
— 1 6 x< 1,
1 <x 6 4, x = 1.
[ 2 y/x,
4.16. f(x) = < 4 — 2x, 1 2x — 7,
0 6 x 61,
1 <x62, 5, 2, 5 <x64.
4.17. Исследовать на непрерывность и точки разрыва функцию f (x)= lim ------
п -ж. 1+ xⁿ
Построить график этой функции.
5. Производная
Пользуясь только определением производной, найти f⁰(x):
5.1. f(x) = ctg x. 5.2. f(x) = .
5.3. f(x) = 2x. 5.4. f(x) = log₂ x.
Для заданной f (x) найти f-(x₀) и f+ (x₀):
{x, x 6 1,
x₀ = 1.
—x² + 2x, x> 1,
( 0, x 6 0,
5.6. f(x)=< x₀ = 0.
I x² ln x, x> 0,
8
5.1. Производная сложной функции
Найти производные следующих функций:
4 'x ’ , , 1 1 3/x2
у = x ------+ 2x + 5--. 5.8. у .
5.7. x2 + x \x3 5
5.9. sin x --- cos x
Kin
у 3x --- 4 у • _L w * у --- .
sin x + cos x
5.11. у = cos2 (sin д/x). 5.12. у =arctg (x --- V1 + x2
e x
5.13. у = x2 ln3 x. 5.14. у = ---.
2x
5.15. у 2 ^/sin3 x 5.16. у = e^xWx.
5.17. у = In arctg д/l + x2. 5.18. у = ln (x + V1 + x2) .
5.19. у = \/x + px + sin2 x. 5.20. у =y1 + \/x2 + Vln x.
5.2. Логарифмическая производная
Используя предварительное логарифмирование, найти производные следующих функций:
21 _ (x --- 3)3(2x --- 1)(x + 2)4 5 22 п= 43/(x + 2)(x 1)2
у x5 (3x --- 1)2 (x + 5)4 5’ у у x4(x + 1)5 .
Vx + 2
5.23. у = --- . 5 24 =--- x3 J x 1
у xl/z
p (x --- 1)2(2x + 1) ( У (x + 2)Vx --- 2
5.25. у = xx. 5.26. у = xsinx.
5.27. у = (In x) 1. 5.28. у = (sin x)arcsinx.
5.29. у = xxx. 5.30. у = (lnx)x.
x x^n x
5.31. у = cos (xsin x ) . 5.32. у = xx2 + x2x + 2xx.
Найти производные функций:
5.33. у = ln |x|. 5.34. у = | arctgx|.
5.35. Найти f⁰(xₒ), если f (x) = (x — x₀)p(x), где функция ^(x) непрерывна в точке
Хо.
Пусть ^(x) и ^(x) — дифференцируемые функции. Найти производные следующих сложных функций:
5.36. y = ^(x)^(x), ^(x) >0.
5.37. у = 1од^(ж) ^⁽x⁾, ^⁽x⁾ >0 ^⁽x⁾ >0 ^⁽x⁾ = l.
Пусть f (x) — произвольная дифференцируемая функция. Найти у⁰:
5.38. у=f(ex)ef<*>. 5.39. у=f(f(x)).
5.3. Производная функции, заданной неявно
Найти yx для следующих функций, заданных неявно:
5.40. x4 + у4 = x2у. 5.41. x2 + у2 --- у = x.
x у
/---
5.42. (x + у)2 --- arctg ф-гу = 1. 5.43. у--- --- xy = 1.
x
5.45. arctg у = ln px2 + у2.
5.44. x --- у = arcsin x --- arcsin у. x
5.46. xy = arctg x. 5.47. xy = ух.
у
2
Xх ( x \
5.48. 2У = - .
у 5.49. (lnx)y = ух.
9
5.50. Доказать, что функция y, определенная уравнением xy—ln y = 1, удовлетворяет также уравнению y² + (xy — 1)y⁰ = 0.
5.4. Производная параметрической функции
Для функций, заданных параметрически, найти y'ₓ:
( x = 2t,
5.51.
y = 3t² — 5t, 1
x=t+1,
t G (—ос, +^c).
5.52.
t² y = \t+1) x = 2⁻t,
t = —1.
5.53.
У = 2²t,
t G (— ОС, +^c).
5.54.
x = a cos ^,
^ G ⁽⁰,ⁿ).
5.55.
y = b sin ^, x = tg t,
y = sin 2t + 2 cos 2t,
1
x = arccos , ,
t g (—2,+2)-
22
5.56.
t
y = arcsin —=
t G (0, +о).
5.57.
5.58.
x = ln(1+t²),
t G (0, +о).
y = t — arctg t,
x = arcsin(t² — 1),
t G (0, V2).
^ y = arccos2t, Найти yX в указанных точках:
(x = t ln t,
ln t y=
!x = t(t cos t — 2 sin t),
y = t(t sin t + 2 cos t),
t = 1.
n
t =4
io
Индивидуальное задание
Найти производные следующих функций:
5.61. 5.62. у =-3- + 7 + 5х3 --- 9.
у = 8х3 --- 'Ух2 + 4. х2 х
х + уА P (х3 + 2х --- 1)2
5.63. у =----- 5 64 у--- v v
/х4 + 1 5-b<1- у 2х2 .
5.65. у = / 2х ---1(1 + х5). 5.66. у =(х2 --- 3х)р(х + 2)3.
5.67. у = arccos3 ---. 5.68. у = 5sin3x + 3cos5x.
5 5.70. у = х3 arcsin х.
5.69. у = 2(tg у/х --- ^А). arctg х
5.71. у = х ап3х-СО’3х, к 79 7/_ о
х 5’7“’ у х2 + 1 .
5.73. у = arctg2 (х --- 2 уА). 5.74. у = /4х --- 1 +arctg /4х --- 1.
5.75. у = sin3 ---. 5.76. у = (х5 --- 3х2 + 1)3.
х
5.77. /1 --- х 5.78. у = tg3 х --- 3tgх + 3х.
5.79. у = arctg А .
1+х
7 + х2 5.80. у = у/(х2 --- 3)3 + /1 --- sin2x.
у ctg f, 2 . 1
5.81. 7 --- х2 к Я9 7/_
у = sin4 (х2 --- 2х + 5). ’ (1 + cos4x)5'
г- 5 5 1
5.83. у = Vх• tg 5.84. у = ctg3(х2 + 1).
х
5.85. у = ex-3 • cos 2х. 5.86. у = х33х.
e2x
5.87. , х7 К QQ 7/_
у = ln х7 + 7' х2 + х
5.89. у = lg(cosec х + sin х). 5.90. у = 1п(/х + 5s1"х).
5.91. у = -\/tg2 х + 1 + /х2 + х. 5.92. у = lnsin х --- sin2 х.
5.93. у_2- arccos у/х 5.94. у = ex2•arcs1"х.
5.95. arcsin x 5.96. у = Sх Д'4•
у = 2 A-x2. у (х --- 1)(х --- 2)(х + 1)
5.97. у = х (sin(ln х) + cos(ln х)). 5.98. у = 3s1"7х3+х.
5.99. у = lg2(tg х + /х --- 3). 5.100. у = ln(e-:E + хе-х).
5.101. у=(tg х)х. 5.102. у = (arcsinх)х2.
5.103. у ('(Щх1"х). 5.104. у = (ln х)1"х.
5.105. у + х2 у3 --- х = -. 5.106. ху = arctgу + х2.
ху
5.107. х у
у2--= sin у. 5.108. ln --- --- ху2 = 1+ у.
у
5.109. ( х = t2 х . .ХЛ х х = sin2t
[у = t3 + 1 . 5-110- 1 у=sin2t .
5.111. х х = t --- tg t / х = arctg t
[у = t --- sint . 5Л12- 1 у = t2 + 1 .
х х = et cos t х _ + х х = 1 + ln t
5.113. 1 у = et sin t . 5.114. -11..
1 у = 1 --- ln t
6. Дифференциал функции
6.1. Найти приращение 4у и дифференциал dy функции y = х³, соответствующие значению аргумента х₀ = 2 и приращению аргумента Ах = 0, 01.
6.2. Найти приращение Ау и дифференциал dy функции у = д/х, соответствующие значению аргумента х₀ = 1 и приращению аргумента Ах = —0,1.
11
6.3. Ребра куба увеличены на 1 см. Дифференциал dV объема V куба оказался равным 12 см³. Найти первоначальную длину ребер.
6.4. Радиус круга увеличен на 1 см. Дифференциал площади круга оказался при этом равным 6п см². Найти первоначальную величину радиуса.
Найти дифференциалы указанных функций при произвольных значениях аргумента
x и при произвольном его приращении
6.5. y = xVa² — x² + a² arcsin-5.
______a
6.7. y = x arctg x — In a/1 + x².
6.9. y = x arcsin x + Д1x² — 3.
6.11. arctg y = ln px² + y².
△x = dx:
6.6. y = sin x — x cos x + 4.
6.8. y = x In x — x + 1.
6.10. y⁵ + y — x² = 1.
6.12. ey = x + y.
Вычислить приближенно:
6.13. arcsin 0,05. 6.14. arctg 1,04.
6.15. lnl, 2. 6.16. p 0,8.
7. Производные и дифференциалы высших порядков
Найти производные второго порядка от следующих функций:
7.1. y = cos² x. 7.2. y = arctg x².
7.3. y = log₂ 3/1 — x².
7.5. y = ..
7.4. y =
7.6. y = xsⁱⁿx
arcsin x V1 — x²
7.7. Найти y'''(0), ecли y = e²x sin3x.
7.8. Найти y'''(2), ecли y = ln(x — 1).
7.9. Найти yIV(1), ecли y = x³ Inx.
Найти n-e производные заданных функций:
7.10.
7.12.
7.14.
y = sin x.
1 + x
y= ТД.
2x + 4
у x² — 4x + 3
7.11.
7.13.
7.15.
y = ln x.
_ 1
У x² — 3x + 2
x+2
У = / .
Vx + 1
Применяя формулу Лейбница, найти производные указанных порядков от заданных функций:
7.16. y = (x² + x + 1)sinx, найти y⁽¹⁵⁾.
7.17. y = sin x • e⁻x, найти y⁽⁵⁾.
7.18. y = xlog₂x, найти у⁽¹⁰⁾.
7.19. Показать, что функция y = arcsin x удовлетворяет дифференциальному уравнению (1 — x² )y'' = xy'.
7.20. Показать, что функция y = C1 xe²x + C₂e²x + ex удовлетворяет дифференциальному уравнению y'' — 4y' + 4y = ex.
Найти производные 2-го
7.21. y² = 2px.
7.23. y = tg(x + y).
Найти производные 2-го
{x = t + sin t,
y = t + cos t,
[ x =-----,
cos t
7.26. <
у=tg t,
порядка от функций, заданных неявно:
7.22. y = 1 + xey.
7.24. ex⁻y = xy.
порядка функций, заданных параметрически:
t(—rc>, +to).
te (⁰,2).
2
12