Математический анализ


Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет






























МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ




Учебное пособие




Электронное издание
















Красноярск СФУ 2021

УДК 51(07)
ББК 22.161я73
     М340













      Рецензенты:
      А. М. Кытманов, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений ИМиФИ СФУ;
      Е. К. Лейнартас, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций ИМиФИ СФУ.



      Составитель: Мысливец Симона Глебовна

М340 Математический анализ : учеб. пособие / сост.: С. Г. Мысливец. (1,7 Мб). - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. - Систем. требования: PC не ниже класса Pentium I ; 128 Mb RAM ; Windows 98/XP/7 ; Adobe Reader V8.0 и выше. - Загл. с экрана.

          Содержит изложение курса математического анализа, основные понятия и теоремы с доказательствами. Рассмотрено большое количество примеров и задач, способствующие усвоению материала.
          Предназначено для студентов первого и второго курсов экономических специальностей ИЭГУиФ и других институтов СФУ.




                                                                                     УДК 51(07)
                                                                                     ББК 22.161я73

                                                                                     © Сибирский федеральный университет, 2021





Электронное учебное издание
Подготовлено к публикации издательством Библиотечно-издательского комплекса
Подписано в свет 13.08.2021. Заказ № 14143 Тиражируется на машиночитаемых носителях
Библиотечно-издательский комплекс Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а Тел. (391)206-26-16; http://rio.sfu-kras.ru
E-mail: publishing_house@sfu-kras.ru

                ПРЕДИСЛОВИЕ





     Данное учебное пособие представляет собой достаточно сжатый курс лекций по математическому анализу. Хотя в него входят почти все темы стандартного курса, излагаются они в сокращенном виде. Основные понятия и теоремы, тем не менее, даются с доказательствами. В пособии рассматривается большое количество примеров и задач, способствующих усвоению материала. Изложение материала рассчитано на достаточно малое количество часов в курсе математического анализа. Поэтому это пособие может быть полезно при изучении этого курса и другими специальностями ВУЗов, например, биологами, химиками, психологами и т.д
     Это учебное пособие состоит из семи глав. В первую главу вошли понятия функции, предела функции, непрерывности, а также дифференциальное исчисление функции одного переменного и его приложения к исследованию функций. Во второй и третьей главах излагаются основы интегрального исчисления. Даются основные приемы интегрирования, а также определенный интеграл и его приложения и несобственный интеграл. Четвертая глава посвящена функциям нескольких переменных: частные производные, дифференциал, производная по направлению, локальный и условный экстремум, метод наименьших квадратов. В пятой главе рассматривается кратный интеграл и его приложения. В шестой главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого и второго порядков, дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы дифференциальных уравнений. Седьмая глава посвящена изучению числовых и степенных рядов.

3

Глава 1





                Дифференциальное исчисление функций одного переменного





            1.1. Понятие функции, предел функции


    Напомним понятия интервала и отрезка на числовой прямой R.
     Определение 1.1.1. Интервалом (a,b) называется множество всех действительных чисел, заключенных между данными аислама а и b (а < б), при этом сами эти числа не принадлежат рассматриваемому множеству чисел.
     Определение 1.1.2. Отрезком [а,Ь] называется множество всех действитель-аых аисел, заключенных между аанными аислами а и b (а 6 Ь), причем аба аисла а, b принадлежат рассматриваемому множеству чисел.
     Определение 1.1.3. Окрестностью U (а) то аки a G R называется произвольный интервал, содержащий эту точку.
    Сформулируем определение понятия числовой функции.
     Определение 1.1.4. Если каждой точке х, принадлежащей некоторому множеству Du з R соответствует одно значение y G R то говор ят, что у есть функция от х и обозначают у = f (х).
     Определение 1.1.5. Функция f (х) называется ограниченной на некотором множестве D с R если существует константа M такая, что |f (х)| < M для, любого х G D.


        1.1.1. Предел функции

     Пусть функция у = f (х) определена в некоторой окрестности U(а) точки а G R (за исключением может быть самой точки а).
     Определение 1.1.6. Число b называется пределом функции f (х) в тачке а, если для любого положительного числа е существует положительное число 6 такое, что для, всех х, удовлетворяющих неравехству 0 < |х — а| < 6 следует, что |f⁽х⁾ — b| <£.
     Символически это определение записывается следующим образом: Число b называется пределом функции f (х) в точке а, если
Ve > 0 35 > 0 : Ух : 0 < |х — а| <6 ^ \f (х) — Ь\ < е.
  Предел функции обозначается
b = lim f (х).
x^a
     Определение 1.1.7. Число b называется пределом функции f (х) в бесконечности (&э), если, Ve > 0 3N G N : |х| > N ^ |f (х) — Ь\ < е.
     Этот предел обозначается следующим образом lim f (х) = b.
Х^Ж
     Дадим определения односторонних пределов функции в точке.


     Определение 1.1.8. Число b1 называется предехом фухкции f (х) слева в точке а, если Ve > 0 36 > 0: 0 < а — х < 6 ^ \f (х) — Ь\ < е и обозначается

bi =

lim
x^a-0

f (х).

4

   Определение 1.1.9. Число b₂ называется преfexoM функции f (x) справа в точке а, если V е > 0 35 > 0: 0 < x — а < 5 ^ |f (x) — b| < e и обозначается

b2 = lim f⁽x⁾. x^a-+0


   Отметим следующее свойство предела функции.


   Теорема 1.1.1. Есхи существует foxeunuu fредел фухкции f (x) в тачке а, то функция, аграничена а аекоторои акрестности точки а.

   Дотклзате=ььтво. Пусть lim f (x) = b и |b| < то. Зафиксируем некоторое е > 0, тогда

x^a

по определению предела найдется 5 > 0, для которого |f (x) — b| < е для всех x из 5-окрестности точки а. То гда |f (x) | < + ев этой окрестности, т.е. f (x) — ограничена.


                         1.1.2. Теоремы о пределах

   Сформулируем теорему об основных свойствах пределов функции в точке и в бесконечности.

   ТЕОРЕМА 1.1.2 (Арифметические операции над пределами). Если существуют


                              lim f (x) = b и lim ^(x) = c, x^a            x^a

то существуют

1.
2.
3.


4-


lim(f (x) ± ^(x)) x^a

= lim f (x) ± lim ^(x) = x^a            x^a

lim mf (x) = m • lim f (x) = mb x^a               x^a

lim(f (x) • ^(x)) = lim f (x)

x^a

x^a

f (x)    lⁱm f ⁽x⁾   b
lim x x ____ x^a ________ u
x -a ^(x)    lim ^(x)     c
x^a

b ± c,

• lim ^(x) = bc.
  x^a

если c = 0.

4m G R

   Доказательство. Докажем только первое утверждение теоремы. Остальные доказываются аналогично. Зафиксируем некоторое е > 0. Из существования пределов функций f (x) и ^(x) в точке а следует выполнение следующих утверждений: е
   для ei = - 351 : 4x : |x — а| < 51 ^ |f (x) — b| < E1 и
            2
            E
   для e₂ = з 35₂ : 4x : |x — а| < 6₂ ^ |^(x) — c| < e₂.

   Для этого e возьмем 5 такое, что 5 < 51 и 5 < 5₂, тогда для всех x, удовлетворяющих условию |x — а| <5, будет выполняться

|⁽f⁽x⁾ ⁺ T⁽x⁾⁾ — ⁽b ⁺ c⁾| < |⁽f⁽x⁾ — b⁾ ⁺ ⁽T⁽x⁾ — c⁾| 6
                 6 |f⁽x⁾ — b| ⁺ |T⁽x⁾ — c| < E ■ E = E. 2                           2

Что и доказывает первое утверждение теоремы.
   Пример 1.1.1.


                                 x² — 1
lim------ = lim(x + 1) = 2.
                             x^1 x — 1 x^1


  Пример 1.1.2.

                                           ,.  sm x
lim-------- = 0.
                                           x^0 x +1


   Теорема 1.1.3. Emf существуют lim f (x) = b и lim ^(x) = b и в некоторой окрест-x^a                                 x^a
аости точки а выполняется

f ⁽x⁾ 6 ^⁽x⁾ 6 ^⁽x⁾,


то lim 'ф(x) = b. x^a


5

   Доказательство. Из неравенства f (x) 6 ^(x) 6 ^(x) следует, что
f (x) — b 6 ^(x) — b 6 ^(x) — b.
Возьмем произвольное г > 0. Тогда из определения предела функции следует, что для этого
                     г 351 : Vx : |x — а| <51 ^ |f (x) — b| < г, т.е. —г < f (x) — b. Аналогично для этого же
                     г 352 : Vx : |x — а| < 52 ^ |^(x) — b| < г,
т.е. p>(x) — b < г. Тогда
 Vг 35 : 5 < 51, 5 < 52 : Vx : |x — а| <5 ^ —г < f (x) — b 6 ^(x) — b 6 p>(x) — b < г, то —г < ^(x) — b < г ил и |^(x) — b| < г. Что и доказывает утверждение теоремы.

   Теорема 1.1.4. Emf существует lim f (x) = b f f (x) > 0 в некоторой окрестности

точки a, mo b > 0.

x^a

   Теорема 1.1.5. Emf существу=т lim f (x) = b и lim p>(x) = c f f (x) > p>(x) в x^a                                        x^a
некоторой окрестности точки a, mo b > c.


        1.1.3. Предел числовой последовательности

   Определение 1.1.10. Числовой последовательностью называется функция натурального аргумента, т.е. uₙ = u(n); г5е n G N или если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие некоторое действительное число uₙ, то говорят, что задана числовая последовательность {uₙ}.

   Пусть даны две числовые последовательности {uₙ} и {vₙ}, тогда определены сумма последовательностей — {uₙ + vₙ}, разность — {uₙ — vₙ}, произведение — {uₙ • vₙ} и частное uₙ — i — г-
   I vn _
   Дадим некоторые определения, касающиеся числовых последовательностей.

   Определение 1.1.11. ^[ььсловая последовательность {uₙ} называется ограниченна, зверху. еми 3M G R : Vn ^ uₙ 6 Mu числовая поел едовательность {uₙ} называется ограниченной елшзу. emu 3m G R : Vn ^ uₙ > m.
   Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

   Определение 1.1.12. Числовая попледовательность {uₙ} называется монотонно возрастающей, если Vn G N выполняется uₙ 6 uₙ₊₁.
   Числовая последовательность {uₙ} называется монотонно убывающей, если Vn G N выполняется uₙ > uₙ₊₁.


Пример 1.1.3. Последовательность

 — > является ограниченной и монотонно убыва-n

ющей, так как Vn 0 <uₙ 6 1 и > —।


   Пример 1.1.4. Последовательность {sin n} является ограниченной последовательно

стью, но не является монотонной.
   Пример 1.1.5. Последовательность {n} является монотонно возрастающей и ограниченной снизу последовательностью.

   Определение 1.1.13. Число а называется пределом, числовой последовательности {uₙ}  пpu n > х,. если Vг > 0 3N G N : Vn  > N ^    |uₙ — a| < г, т.е. начиная с
некоторого номера N все члены последовательности попадают в г-окрестность Uₛ(a) точки а.
   Числовая последовательность имеющая предел называется сходящейся.

6

   Теорема 1.1.6. Монотонно возрастающая, ограниченная сверху (или монотонно убывающая, ограниченная снизу) числовая последовательность {uₙ} имеет предел, т.е. она сходится.

   Теоремы 1.1.2-1.1.5 верны и для числовых последовательностей.

   Пример 1.1.6. Так как числовая последовательность < — > при р >


тонно убывающей и ограниченной, то она имеет предел. Очевидно, что Пример 1.1.7.

0 является моно-

г 1 о
lim — = 0.
п^ж np

3n³ + n + 1 lim -------—
п^ж 2n³ + n²

lim
п^ж

3n³ n³

 ' n³ 2n³

~ ⁺ n³

   n n²
n³

lim
п^ж

³⁺П2⁺
1
2 +— n

1

n³

n

1

3

3
2

  Пример 1.1.8.

1

1^     1 + 3ⁿ
lim — -----——
п^ж 2ⁿ ¹ + 3ⁿ⁺¹

3n-1

lim
п^ж
    3п⁻¹

Зп-i ⁺³

n-1
    + 9

1.1.4.


        Замечательные пределы


2
3

1
3

   1. Докажем первый замечательный предел:

lim
х^0
Рассмотрим окружность радиуса чение центрального угла MOA =

sin х

1.

x
1 с центром х, где 0   <

в точке
П
х <     2

O.

Пусть

зна-

могательный прямоугольный

треугольник 4OCA

Построим

вспо-

(см. рис. 1.1). Тогда

вы-

Рис. 1.1.

сота MB в треу гольнике 4OMA будет равна |MB | = sin х, дуга ^ MA = хи сто рона |CA| = tg х. Очевидно, что S^oma < See ооаа < S^oca-Найдем значения этих площадей:

S40MA = IOAIIMB | = ¹ • 1 • sin х = ¹ sin х, 22                             2

See кома = x|OA| • (^ MA⁾ 2
S40CA = ¹ |OA| • |CA| 2

- • 1 • х 2

1
- •¹ • tg х. 2

1
2 х,

   Из предыдущего неравенства почленно на sin х. Получим

получим: sin х < х < tg х. Разделим это неравенство

1 х -Г_ или cos х< ^х < 1. sin х cos х           х

7

Поскольку lim cos x = 1, то по теореме 1.1.3 получим, что x—Q

lim — = 1. x—Q x

   Аналогично доказывается более общий случай первого замечательного предела, где вместо x стоит произвольная функция, стремящаяся к нулю:

 _    sin a(x)
 lim -----—— = 1.
a(x)—Q a(x)

Пример 1.1.9.         tg x   sin x         1 sin x                       
               lim    =      = lim------=  lim-----•-----    = 1.        
               x---Q  x      x---Q x cos x x---Q cos x   x               
Пример 1.1.10.        sin kx .. k sin kx              sin kx             
               lim           = lim         = k • lim ------- = k.        
               x---Q  x      x---Q   kx    x---Q  kx                     
Пример 1.1.11. sin kx        k • mx sin kx k     sin kx      mx     k    
       lim            = lim              =                          = ---
       x---Q sin mx   x---Q kx • m sin mx  m x---Q kx        sin mx     m

Пример 1.1.12.

.. arcsin x                                        
lim------=     arcsin x = y x = sin y = lim     = 1
x---Q   x      x ^ 0    y ^ 0          y---Q sin y 
Пример 1.1.13.                                     
   arctg x                                         
  lim------=   arctg x = y x = tg y   = lim y- = 1.
x---Q   x      x ^ 0   y ^ 0          y---Q tg y   

2. Приведем без доказательства второй замечательный предел:

1   1\x
lim 1 +— x—те \   x /

= e,

и в более общей форме
                                                       1
                                      lim (1 + a(x))а⁽х⁾ = e.
a(x)—Q
    Пример 1.1.14.
lim (1 + ¹)       = lim (1 + ¹) (1 + ¹) = e • 1⁵ = e.
n—те V nJ n—те у n J у П J

Пример 1.1.15.

lim x—те

1 + 1Г = lim ((1 + 1Y)’ = e3. x J    x .те у у x J J

Пример 1.1.16.

x    1 x x x+3                                                
x+3               -lim (     '4 yx+3 = lim         Г          
lim ----- =       x---те у x --- 1 J      x---те у    x --- 1J
x---те yx --- 1 J x          л   \x-1\ 4  '                   
                  Д      4  \ 4 \          lim 4 x+3    4     
= lim             1 '-- = ex -x x-1 = e4.                     
x---те \          x---1                                       

Пример 1.1.17.

—

     ,     х х         / ,    ,     . . 1
lim(3 — x)х⁻² = lim ((1 + (2 — x))²⁻х
x—2               x—2 \

x     lim(-x)     _₂
= ex^2      = e ²

Приведем второй замечательный предел в логарифмической форме

ln(1 + x) lim —--------
x—Q    x

= 1, lim lⁿ⁽¹ + a⁽x⁾⁾ =1. a(x)—Q            a(x)

8

        1.1.5. Сложные проценты

   Показательная функция с основанием e возникает при выводе количественных законов, которым подчиняются многие естественные процессы: рост народонаселения, рост количества древесины, радиоактивный распад.
   Рассмотрим формулу сложных процентов
                              Q⁽t⁾ = Qo (1 + ipo) , где Q(t) — сумма, на ращенная за t лет, Qₒ — начальн ая сумма, р — процентная такса (прирост суммы в процентах за год). При этом предполагается, что проценты присоединяются в конце года.
   Если ввести условие присоединение процентов по отдельным частям года, например, 1
равным — доли года, а процентную таксу относить ко всему году, то по истечении каждой n
его части наращенные суммы соответственно составят:
                  Q1 = Qₒ (1 + -Р—) , Q₂ = Qₒ (1 + -Р— У ,..., ^⁰ V 100п/ , ^²                 100п/ ,   ’
                  Qⁿ = Qo (1 + фрт У.
                              100n
р р \п
По прошествии года начальная сумма Qₒ перейдет в Qₒ 1 +---, по прошествии двух
100n
лет в Qₒ (14 Р J , по прошествии t лет в Qₒ (14---Р— J .
100n                               100n
   Если предположить, что прирост процентов происходит непрерывно, т.е. когда n щ- ж, то величина наращенной суммы будет
                                        (Р \ tn
                                        ¹ ⁺ Ню⁻) = 100n
ptn
                              10      1 \ ¹⁰⁰ⁿ\ 100n    ₜ
= Qo lim ( (1 +    ) p )    = Qoe¹⁰⁰.
п^ж       100n
   Пример 1.1.18. Найти приблизительное количество населения Земли в 2000 году, предполагая, что в 1900 году население было около 1 миллиарда человек и ежегодный прирост составлял 2%.
   Имеем Qₒ = 10⁹, р = 2, t = 2000 — 1900 = 100. Тогда
Q(100) = 10⁹ • e2100⁰ = e² « 7.3441.
Это означает, что в 2000 году население Земли составит около 7 миллиардов человек.


            1.2. Бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых


   Определение 1.2.1. Функция a(x) называется бесконечно малой при x ^ а, если lim a(x) = 0. То есть x^a
                  Ve > 0 33 > 0 : Vx : |x — а| <3 ^ |a(x)| < е.
   Аналогично, функция, а(х) называется бееконечно малой при x ^ ж . если lim a(x) = 0. Х^Ж
   Пример 1.2.1. Функция a(x) = (x — 1)² бесконечно малая при x щ- 1, так как lim(x — 1)² = 0.
Х^1
   Пример 1.2.2. Функция a(x) = — бесконечно малая при x щ- ж. так как lim — = 0. x                                                                x -ж. x
   Докажем следующую теорему о существовании предела функции в точке.

   Теорема 1.2.1. Для, того, чтобы, функция y = f (x) имела предел при x ^ а равный b, т .е. lim f (x) = b, необходимо и достаточно, чтобы f (x) = b + a(x), г de a(x) функция x^a
бесконечно малая при x ^ а.

9

   Доказательство. 1. Достаточность. Пусть f (x) = b + a(x) покажем, что lim f (x) = b. x^a
   Так как |f (x) — b| = |a(x)| и по определению бесконечно малой функции
Ve > 0 35 > 0 : Vx : |x — а| <5 ^ |a(x)| < e,
тогда и |f (x) — b| = |a(x)| < e, а это и означает, что существует lim f (x) = b.
                                                           x^a
   2. Необходимость. Наоборот, пусть существует lim f (x) = b. Тогда x^a
Ve > 0 35 > 0 : Vx : |x — a| <5 ^ |f (x) — b| < e.
Обозначим f (x) — b = a(x), тог да и |a(x) | < e, а это значит, что a(x) — бесконечно малая функция при x ^ а и f (x) = b + a(x).
   Дадим определение бесконечно большой функции.
   Определение 1.2.2. Функция в(x) называется бесконечно &)м>шой при x ^ а, если lim в(x) = х. То есть x^a
VM> 0 35 > 0 : Vx : |x — a| <5 ^ |£(x)| > M.
   Аналогично, фуп,кция, в(x) называется бесконew Солюшой при x > х. если lim в(x) = х. x^^

   Сформулируем теорему о связи бесконечно малой и бесконечно большой функций.

   Теорема 1.2.2. Тели фуп^кция a(x) бесконечно малая при x щ- a (x щ- х) и a(x) = 0;
то фух,к=1я в(x) = ——— — бесконечxo ^1льшая при x ^ a (x щ- х) и обратно. da (^.Г )

   Доказательство. Так как a(x) ^ 0 пр и x щ- а, то

Ve = — 35 > 0 : Vx : |x — а| <5 ^ |a(x)| <e = —,


тогда

1 a(x)

> M, отсюда следует, что lim в (x) = lim = х. x -a                                  ,r -a a(x)


   Теорема 1.2.3. Сумма конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно лшлал при x ^ а.

   Доказательство. Докажем эту теорему для случая двух функций. Пусть функции a(x) ^ 0, в (x) ^ 0 пр и x ^ а, покаж ем, что lim(a(x) + в (x)) = 0. x^a
   Зафиксируем некоторое e > 0. Тогда для


ei = 2 ³⁵1
2

  Vx : |x — а| <51 ^ |a(x)| < Е1 = -,


Для

                       Е2 = | 352 : Vx : |x — а| <52 ^ |в(x)| < Е2 = |. 2                                                          2

Из этих двух утверждений мы получаем, что для произвольного

              е> 0 35 = min{51,5₂} : Vx : |x — а| <5 ^ |a(x) + в(x)| 6 6 |a(x)| + |в(x)| < ei + Е2 6 ¹ + ¹ = e. 2                                         2

Что и доказывает теорему.


   Теорема 1.2.4. Произведение любого конечного числа бесконечно малых функций есть функция, бесконечно малая при x ^ а.

   Доказательство. Доказательство этой теоремы очевидно.
   Теорема 1.2.5. Произведение бесконечно малой функции a(x) на фушщию u(x); огра-пиченную при x ^ а, есть фухкция бескохечхо малая при x ^ а.

10