Основы математического моделирования социально-экономических процессов

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОСНОВЫ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  
МОДЕЛИРОВАНИЯ  
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ  
ПРОЦЕССОВ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Красноярск 
СФУ 
2022 

УДК 330.4(07) 
ББК 65в631я73 
О-753 
 
 
К о л л е к т и в  а в т о р о в :  
Е. А. Сырцова, Р. В. Гордеев, Е. В. Зандер, А. И. Пыжев, А. В. Чугункова 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
В. И. Суслов, доктор экономических наук, профессор, член-корреспондент РАН, 
заведующий лабораторией моделирования и анализа экономических процессов Института 
экономики и организации промышленного производства СО РАН; 
Н. М. Ибрагимов, кандидат экономических наук, доцент кафедры применения 
математических методов в экономике и планировании экономического факультета Новосибирского 
государственного университета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
О-753 
 
Основы математического моделирования социально-
экономических процессов : учеб. пособие / Е. А. Сырцова, 
Р. В. Гордеев, Е. В. Зандер [и др.]. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2022. – 132 с. 
 
 
ISBN 978-5-7638-4552-5 
 
 
Изложены базовые вопросы математического моделирования социально-
экономических процессов с применением эконометрических методов.  
Предназначено для студентов бакалавриата, обучающихся по направлениям 
38.03.04 «Государственное и муниципальное управление» и 38.03.03 
«Управление персоналом». Может быть полезно студентам и магистрантам 
направлений 38.03.01 «Экономика» и 38.05.01 «Экономическая безопасность», 
которые изучают дисциплину «Эконометрика», и всем, кто интересуется 
применением эконометрических методов. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 330.4(07) 
ББК 65в631я73 
 
ISBN 978-5-7638-4552-5 
© Сибирский федеральный университет, 2022 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение .................................................................................................... 6 

1. Основы математического моделирования  
социально-экономических процессов .................................................. 8 
1.1. Введение в эконометрику. Этапы эконометрического 
моделирования ....................................................................................... 8 
1.2. Пример постановки эконометрической задачи .......................... 11 

2. Основные понятия теории вероятностей.  
Элементы математической статистики ............................................ 14 
2.1. Дискретные и непрерывные случайные величины .................... 14 
2.2. Основные характеристики распределения случайной  
величины .............................................................................................. 16 
2.3. Нормальное распределение ......................................................... 19 
2.4 Генеральная совокупность и выборка. Статистическое 
оценивание. Свойства оценок ............................................................. 21 
2.5. Статистическое выводы и проверка гипотез .............................. 24 

3. Сбор и предварительный анализ данных ..................................... 27 
3.1. Типы и источники данных ........................................................... 27 
3.2. Основные выборочные характеристики распределения ........... 32 
3.3. Пример сбора и предварительного анализа данных  
для решения поставленной эконометрической задачи ..................... 34 

4. Корреляционный анализ.................................................................. 40 
4.1. Ковариация и корреляция двух случайных величин ................. 40 
4.2. Множественный корреляционный анализ .................................. 43 
4.3. Пример корреляционного анализа .............................................. 44 

5. Парная линейная регрессия ............................................................ 49 
5.1. Основные положения регрессионного анализа.  
Метод наименьших квадратов ............................................................ 49 
5.2. Предпосылки регрессионного анализа ....................................... 54 
5.3. Оценка качества оценивания регрессионных моделей ............. 55 
5.4. Проверка значимости уравнения регрессии  
и коэффициентов уравнения регрессии ............................................. 57 
5.5. Пример оценивания парной линейной регрессии ...................... 59 

6. Множественная линейная регрессия ............................................. 64 
6.1. Оценивание модели множественной линейной регрессии ....... 64 
6.2. Оценка качества модели множественной регрессии ................. 67 

6.3. Построение точечных и интервальных прогнозов  
зависимого признака ........................................................................... 69 
6.4. Пример оценивания множественной регрессии ......................... 71 

7. Мультиколлинеарность ................................................................... 77 
7.1. Совершенная и несовершенная мультиколлинеарность ........... 77 
7.2. Выявление и устранение проблемы мультиколлинеарности .... 78 
7.3. Пример тестирования факторного поля  
на мультиколлинеарность ................................................................... 80 

8. Регрессия с бинарной объясняющей переменной ....................... 83 
8.1. Общий подход к использованию бинарных объясняющих 
переменных .......................................................................................... 83 
8.2. Тест Чоу на структурную неоднородность выборки ................. 85 
8.3. Взаимодействие между независимыми переменными .............. 86 
8.4. Пример оценивания регрессии с бинарными  
объясняющими переменными ............................................................ 88 

9. Диагностика модели ......................................................................... 91 
9.1. Гетероскедастичность и гомоскедастичность ............................ 91 
9.2. Выявление и коррекция гетероскедастичности ......................... 93 
9.3. Проверка предпосылки о нормальном распределении  
остатков ................................................................................................ 94 
9.4. Пример диагностики модели ....................................................... 95 

10. Нелинейные регрессионные модели .......................................... 101 
10.1. Общий подход к моделированию нелинейной регрессии ..... 101 
10.2. Основные функции нелинейных регрессий: полиномы  
и логарифмы ....................................................................................... 104 
10.3. Пример оценки нелинейной регрессии ................................... 108 

11. Спецификация моделей множественной регрессии ................ 112 
11.1. Смещение из-за пропущенных переменных .......................... 112 
11.2. Включение в модель незначимого фактора ............................ 115 
11.3. Пример тестирования модели на наличие  
пропущенных переменных ............................................................... 115 

12. Оценка исследований, основанных на множественной 
регрессии ............................................................................................... 117 
12.1. Угрозы для внутренней обоснованности исследований ....... 117 
12.2. Угрозы для внешней обоснованности .................................... 119 

12.3. Пример представления и обсуждения результатов 
исследования ...................................................................................... 120 

Заключение ........................................................................................... 124 

Библиографический список .............................................................. 125 

Греческий алфавит ............................................................................. 127 

Используемые обозначения ............................................................... 128 
 

Введение 

Дисциплину «Основы математического моделирования социально-
экономических процессов» изучают студенты очной и очно-
заочной форм обучения бакалавриата Института экономики, государственного 
управления и финансов Сибирского федерального университета 
по направлениям: 38.03.03 «Управление персоналом»; 38.03.04 
«Государственное и муниципальное управление». 
Целью изучения дисциплины является формирование у студентов 
теоретических знаний и практических навыков по применению 
статистических методов и эконометрического моделирования для исследования 
социально-экономических процессов, а также построения 
надежных прогнозов с целью обоснования принимаемых решений. 
В пособии поставлена цель – подготовить бакалавров к решению 
следующих профессиональных задач (согласно ФГОС ВО): 
– осуществлять поиск, критический анализ и синтез информации, 
применять системный подход для решения поставленной задачи; 
– проводить исследования социально-экономических процессов 
на национальном и региональном уровне с помощью современных 
технологий анализа данных; 
– моделировать 
и 
прогнозировать 
развитие 
социально-
экономических систем. 
Настоящее учебное пособие, в соответствии с идеей курса, позволит 
студенту постепенно освоить все этапы эконометрического моделирования: 
от повторения основ теории вероятностей и математической 
статистики перейти к простейшей модели парной линейной 
регрессии и далее – к более сложным случаям (многофакторные модели 
с разными видами объясняющих переменных, нелинейные модели). 
Внимательное изучение теоретического материала и самостоятельное 
выполнение контрольных упражнений, представленных в 
каждой главе, позволят студенту успешно пройти текущий и итоговый 
контроль по дисциплине. 

Мы ставили перед собой задачу представить как теоретические 
основы эконометрического моделирования, так и показать применимость 
этих подходов на практике для анализа различных социально-
экономических явлений и процессов. Поэтому каждая глава пособия 
сопровождается сквозным примером, на котором демонстрируются 
все этапы моделирования, описываются трудности при проведении 
различных процедур обработки данных, а также уделяется внимание 
необходимости критической оценки получаемых выводов и их содержательной 
интерпретации. 
В учебном пособии представлен достаточно большой перечень 
дополнительной литературы, состоящий из статей (опубликованных  
в ведущих рецензируемых журналах), в которых использованы методы 
эконометрического моделирования для анализа различных социально-
экономических проблем. 

1. Основы математического 
моделирования  
социально‐экономических  
процессов  

Моделирование социально-экономических процессов – одна  
из актуальных задач профессиональной деятельности в области экономики, 
государственного и муниципального управления. Построение 
и анализ математических моделей позволяет обосновывать управленческие 

решения 
и 
строить 
прогнозы 
развития 
социально-
экономических систем. Инструментарий для моделирования дают 
многие научные дисциплины, в том числе эконометрика. В первой 
главе показано, на какие вопросы можно ответить с помощью эконометрики, 
и приведен пример постановки задачи, которая будет последовательно 
решаться в следующих главах. 

1.1. Введение в эконометрику.  
Этапы эконометрического моделирования 

Эконометрика – это наука об измерении количественных и качественных 
экономических взаимосвязей с помощью математических 
и статистических методов. В современной эконометрике существуют 
два основных направления: теоретическое и прикладное. Цель теоретической 
эконометрики – развитие методов оценки количественных 
и качественных экономических взаимосвязей, в то время как прикладная 
эконометрика занимается применением статистического инструментария 
для анализа экономических проблем различного уровня. 
Сфера применения эконометрических моделей обширна: экономическая 
политика, производство, бизнес, финансы, инвестиционная 
сфера и др. Эконометрические методы также часто используются 

в других общественных науках, включая политологию и социологию. 
В последние десятилетия доля научной экономической литературы, 
так или иначе использующей эконометрические методы в прикладном 
аспекте, радикально возросла. Сегодня можно говорить о том, что ни 
одна серьезная экономическая научная работа не обходится без применения 
эконометрического инструментария. 
Приведем примеры вопросов, на которые можно ответить  
с применением эконометрического моделирования. 
1. Влияют ли на стоимость жилья характеристики близлежащих 
школ?1 
2. Какие факторы влияют на инновационную активность в регионах 
России?2 
3. Влияет ли срочная служба в армии на дальнейшую успешность 
призывников на рынке труда?3 
4. Как будет меняться курс рубля в зависимости от изменений 
цен на нефть?4 
5. Насколько сильно повышение налогов на сигареты влияет  
на потребление табака? 
6. Чему будет равен уровень инфляции в следующем году? 
Условно все вопросы можно разделить на две категории – выявление 
и оценка причинно-следственных связей и построение прогнозов. 
Инструмент, позволяющий ответить на эти вопросы, – модель 
множественной регрессии, которая дает математический способ количественно 
оценить то, как изменение в одной переменной влияет 
на другую переменную, считая другие переменные постоянными. 
Рассмотрим простой пример модели множественной регрессии. 
Исследовалась зависимость часового заработка от продолжительности 
обучения и числа лет работы после получения образования (опыта 
работы). Была получена оценка регрессионной модели5: 

                                                            

1 См.: Ожегов Е.М., Косолапов Н.А., Позолотина Ю.А. О взаимосвязи между 
стоимостью жилья и характеристиками близлежащих школ // Прикладная эконометрика. – 
2017. – Т. 47. – С. 28–48.  
2 См.: Теплых Г.В., Галимарданов А.Ш. Моделирование инвестиций в инновации 
в российских регионах // Прикладная эконометрика. – 2017. – Т. 46. – С. 104–125. 
3 См.: Ратникова Т.А., Копыток В.К. Влияние обязательной службы в армии на 
доходы и заработную плату: пример России // Прикладная эконометрика. – 2019. – 
Т. 55. – С. 51–72. 
4 См.: Аганин А.Д., Пересецкий А.А. Волатильность курса рубля: нефть и санкции // 
Прикладная эконометрика. – 2018. – Т. 52. – С. 5–21. 
5 Пример взят из Доугерти К. Введение в эконометрику: учебник. – 3-е изд. / пер. 
с англ. – М.: ИНФРА-М, 2009. – С. 121–123. 


26,5
2,7
0,56
Earnings
Educ
Exp
 


, 
(1.1) 

где Earnings – часовой заработок, долл.; Educ – продолжительности 
обучения, лет; Exp – число лет работы после получения образования 
(опыт работы). 
На основе регрессионного анализа можно сделать вывод о том, 
что продолжительность обучения и опыт работы положительно влияют 
на часовой заработок. Каждый дополнительный год обучения 
увеличивает заработок на 2,7 доллара в час, а опыта работы – 
на 56 центов. 
На практике, как правило, используются более сложные модели 
с бόльшим числом переменных. В списке литературы представлены 
примеры исследований, основанных на эконометрическом моделировании. 
Предлагаем сейчас ознакомиться с постановками задач и далее, 
по мере изучения курса эконометрики, наблюдать, как проводятся 
все этапы моделирования. 

 
Рис. 1.1. Основные этапы эконометрического моделирования 

Этап 1

• постановка задачи, 
• обзор исследований, проведенных по схожей тематике, 
• формулирование гипотез исследования, 
• выбор методов, которые будут применяться для решения 
поставленной задачи

Этап 2

• сбор данных,
• статистическое описание выборки,
• принятие решения о целесообразности кластеризации выборки 
(разбиения ее на классы по определенным содержательным 
признакам)

Этап 3

• оценка регрессионной модели,
• диагностика модели с точки зрения соблюдения предпосылок 
регрессионного анализа,
• корректировка модели (при необходимости)

Этап 4

• проверка значимости регрессионной модели и ее параметров,
• оценка качества полученной модели,
• верификация модели
• обсуждение полученных результатов

Этап 5

• Практическое применение модели

Основные этапы эконометрического моделирования можно 
представить в виде схемы на рис. 1.1. 
Важно отметить, что непосредственно моделирование с использованием 
эконометрических методов начинается только на третьем 
этапе, причем для выполнения сложных вычислительных процедур 
используют специализированные программы для анализа данных. 
Наиболее распространены такие, как SPSS, STATISTICA, R. В рамках 
данного курса мы предлагаем использовать Gretl – прикладной программный 
пакет для эконометрического моделирования, который 
имеет понятный интерфейс и позволяет проводить все необходимые 
процедуры обработки данных. Надо понимать, что расчеты могут 
быть проведены по абсолютно любому массиву данных: даже если 
сгенерировать несколько рядов случайных чисел, то и в этом случае 
можно будет обнаружить статистически значимые связи. Поэтому 
адекватность полученных результатов и возможность их применения 
на практике гораздо в большей степени зависит от корректности проведения 
первых двух этапов.  

1.2. Пример постановки  
эконометрической задачи 

В настоящее время большое внимание уделяется вопросам здорового 
питания. Согласно определению Всемирной организации 
здравоохранения, здоровое питание – это такое питание, которое 
обеспечивает рост, оптимальное развитие, полноценную жизнедеятельность, 
способствует укреплению здоровья и профилактике неинфекционных 
заболеваний, включая диабет, болезни сердца, инсульт  
и онкологические заболевания. Здоровое питание на протяжении всей 
жизни – важнейший элемент сохранения и укрепления здоровья нынешних 
и будущих поколений, а также непременное условие достижения 
активного долголетия. Быстрая урбанизация и изменяющийся 
образ жизни привели к опасным для здоровья изменениям в моделях 
питания людей во всем мире: растет потребление продуктов с высоким 
содержанием калорий, жиров, свободных сахаров и соли, и в то 
же время снижается потребление фруктов, овощей и других видов 
клетчатки1.  

                                                            

1 Здоровое питание / Всемирная организация здравоохранения. – URL: 
https://www.who.int/ru/news-room/fact-sheets/detail/healthy-diet. 

В России наблюдается тенденция к росту потребления овощей  
и фруктов (рис. 1.2), однако их объем значительно ниже установленных 
рациональных норм потребления, отвечающих современным требованиям 
здорового питания: 140 кг в год для овощей и бахчевых 
культур и 100 кг в год – для фруктов и ягод1. В 2019 году средний житель 
России потреблял 74 % от рекомендуемого количества овощей 
и бахчевых и 76 % – фруктов и ягод. 

 
Рис. 1.2. Потребление продуктов питания в домашних хозяйствах,  
кг на члена домохозяйства в год2 

От чего зависит объем потребления овощей и фруктов? Что 
можно сделать, чтобы его увеличить? Интуитивно понятно, что потребление 
продуктов питания зависит от индивидуальных особенностей 
человека (возраст, пол, образ жизни и степень физической активности), 
культурного контекста и обычаев в области питания. Для 
овощей и фруктов важны климатические особенности территории 
и уровень развития сельского хозяйства. Также важным фактором, 
оказывающим влияние на объем потребления различных продуктов 
питания, является уровень жизни населения. На рис. 1.3 видна связь 
потребления овощей и фруктов с уровнем располагаемых доходов. 

                                                            

1 Приказ Минздрава России от 19.08.2016 № 614 (ред. от 01.12.2020) «Об утверждении 
рекомендаций по рациональным нормам потребления пищевых продуктов, отвечающих 
современным требованиям здорового питания». 
2 Потребление, пищевая и энергетическая ценность продуктов питания в домашних 
хозяйствах / Росстат. – URL: https://rosstat.gov.ru/folder/13397. 

0

20

40

60

80

100

120

2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019

овощи и бахчевые 

фрукты, ягоды 

Рис. 1.3. Потребление продуктов питания в домашних хозяйствах  
по 10-процентным группам населения в 2019 году  
(где группа 1 – с наименьшими располагаемыми доходами,  
10 – наибольшими), кг на члена домохозяйства в год1 

Вследствие того, что недополученный объем овощей немного 
превышает недополученный объем фруктов, в качестве зависимой переменной 
выберем потребление овощей и бахчевых. Тогда предмет 
исследования можно сформулировать как зависимость потребления 
овощей и бахчевых в регионах России от социально-экономических 
факторов. 

Контрольные вопросы и упражнения 
1. Приведите собственный пример вопроса, на который можно 
ответить с применением эконометрического моделирования. 
2. Почему итоговый результат моделирования в большей степени 
зависит от корректности проведения первых этапов? 

                                                            

1 Потребление, пищевая и энергетическая ценность продуктов питания по 10-
процентным группам населения / Росстат. – URL: https://rosstat.gov.ru/folder/13397. 

0

20

40

60

80

100

120

140

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

овощи и бахчевые

фрукты и ягоды