Линейная алгебра

Посвящается 
памяти моего учителя 
Александра Геннадиевича Куроша

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Москва 
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Б.М. РУДЫК

Рекомендовано 
ФГБОУ ВПО «Государственный университет управления» 
в качестве учебного пособия для студентов высших 
учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 
38.03.01 «Экономика», квалификация (степень) — «бакалавр»
Регистрационный номер рецензии 2068 от 19.09.2012 (МГУП)

УДК 512.86(075.8)
ББК 22.143я73
 
Р83

Рудык Б.М.

Линейная алгебра : учебное пособие / Б.М. Рудык. — Москва : 

ИНФРА-М, 2023. — 318 с. – (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-004533-7 (print) 
ISBN 978-5-16-101538-4 (online)
В книге содержатся сведения по теории векторов, матриц и их 

определителей, систем линейных уравнений и неравенств. Рассматриваются 
также векторное пространство и его линейные преобразования, 
квадратичные формы. Включены элементы аналитической 
геометрии на плосткости и в пространстве.

УДК 512.86(075.8)

ББК 22.143я73

Р83

© Рудык Б.М., 2013
ISBN 978-5-16-004533-7 (print) 
ISBN 978-5-16-101538-4 (online)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Глава 1. 
NМЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ

§ 1.1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ С NМЕРНЫМИ ВЕКТОРАМИ

Для изучения экономических объектов недостаточно одних 
чисел. Например, объем продукции, произведенной предприятием 
за определенный промежуток времени, можно описать одним 
числом — стоимостью выпущенной продукции. Однако эта информация 
не позволяет понять, что же производит предприятие. Чтобы 
ответить на этот вопрос, достаточно упорядочить все товары, которые 
выпускает предприятие, т.е. каждому товару присвоить один 
из номеров 1, 2, ..., n, и указать объем i-го товара, произведенного 
предприятием. Тогда упорядоченный набор чисел описывает выпуск 
предприятия. 
Назовем последовательность n чисел a1, a2, ..., an n-мерным вектором 
α и запишем его в виде α = (a1, a2, ..., an). Число a1 называется 
первой координатой вектора α, a2 — второй координатой и т.д., 
а число n (количество координат) называется размерностью вектора 
α. В дальнейшем векторы будем обозначать малыми греческими 
буквами, а координаты вектора — малыми латинскими буквами.

Примеры
При изучении экономических процессов векторы используются довольно 
часто. Перечислим некоторые из них.
1. Вектор выпуска продуктов. Количество координат вектора равно 
количеству производимых продуктов, а координаты характеризуют 
объемы выпускаемых продуктов.
2. Вектор затрат ресурсов. Количество координат равно количеству 
различных ресурсов, расходуемых при производстве данного продукта, 
а координаты показывают объемы ресурсов, необходимых для производства 
единицы продукта.
3. Вектор цен продуктов (ресурсов). Количество координат вектора 
равно количеству продуктов (ресурсов), а координаты равны ценам единицы 
продукта (ресурса).  

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их 
первые, вторые и т.д., n-е координаты.
Суммой векторов α = (a1, a2, ..., an) и β = (b1, b2, ..., bn) называется 
вектор 

α
β
+
=
+
+
+
(
,
,...,
),
a
b a
b
a
b
n
n
1
1
2
2

а произведением вектора α на число k — вектор

k
k
ka ka
kan
α
α
=
= (
,
,...,
).
1
2

Сложение векторов и умножение вектора на число называются 
линейными операциями.
Вектор θ = (0, 0, ..., 0) называется нулевым. Для любого вектора α 
α + θ = α,   0α = θ,   kθ = θ.
Действительно, если α = (a1, a2, ..., an), то
α
θ
α
+
=
+
+
+
=
=
(
,
,...,
)
( ,
,...,
)
,
a
a
a
a a
a
n
n
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0 0
0
1
2
α
θ
=
=
=
(
,
,...,
)
( , ,..., )
,
a
a
an
k
k
k
k
θ
θ
=
=
=
(
,
,...,
)
( , ,..., )
.
0
0
0
0 0
0

Вектор (−1)α называется противоположным вектору α и обозначается 
через −α, т.е. −α = (−a1, −a2, ..., −an). Ясно, что α + (−1)α = θ. 
Вместо суммы α + (−1)β будем писать α − β.
Так как операции с n-мерными векторами определялись через 
операции с их координатами, то неудивительно, что многие свойства 
арифметических операций справедливы и для операций с векторами 
(α, β, γ — n-мерные векторы, k1, k2, k — числа):
1) α
β
β
α
+
=
+
;

2) (
)
(
);
α
β
γ
α
β
γ
+
+
=
+
+

3) k
k
k
(
)
;
α
β
α
β
+
=
+

4) (
)
;
k
k
k
k
1
2
1
2
+
=
+
α
α
α

5) (
)
(
).
k k
k k
1 2
1
2
α
α
=

Для доказательства какого-либо из приведенных соотношений 
достаточно найти координаты векторов, находящихся в правой и 
левой частях этого соотношения, и убедиться в том, что соответствующие 
координаты этих векторов равны. Например,

k
k a
b a
b
a
b

k a
b
k a
b
k

n
n
(
)
(
,
,...,
)

( (
), (
),..., (

α
β
+
=
+
+
+
=

=
+
+

1
1
2
2

1
1
2
2
a
b
n
n
+
)),

k
k
ka ka
ka
kb kb
kb

ka
kb ka
kb

n
n
α
β
+
=
+
=

=
+
+

(
,
,...,
)
(
,
,...,
)

(
,

1
2
1
2

1
1
2
2,...,
).
ka
kb
n
n
+

Так как соответствующие координаты векторов k(α + β) и kα + kβ 
равны, то k(α + β) = kα + kβ.
Благодаря свойствам операций сложения векторов и умножения 
вектора на число можно складывать векторы, не обращая внимания 
на порядок слагаемых, и раскрывать скобки так, как мы привыкли 
действовать с числами. 

Вектор k1α1 + k2α2 + ... + knαn называется линейной комбинацией 
векторов α1, α2, ..., αn с коэффициентами k1, k2, ..., kn. 

Примеры
4. Даны векторы:
α1 = (1, 2, 5, −9),   α2 = (−1, 3, 1, −5),   α3 = (0, 7, −2, 4),
α4 = (1, −2, −2, 3).
Найти координаты вектора 2α1 − 3α2 + α3 + 0α4.
Решение. Выполняя указанные операции с данными векторами, получим

2α1 − 3α2 + α3 + 0α4 = 2(1, 2, 5, −9) − 3(−1, 3, 1, −5) + (0, 7, −2, 4) +
+ 0(1, −2, −2, 3) = (2, 4, 10, −8) + (3, −9, −3, 13) + (0, 7, −2, 4) +
+ (0, 0, 0, 0) = (5, 2, 5, 1). 

Технологическое множество
Производственный процесс предприятия может быть задан вектором (
α, ρ), где α — вектор выпуска продукции, ρ — вектор затрат 
ресурсов, обеспечивающих выпуск α.
Предприятие может выпускать продукцию, используя различные 
производственные процессы. Множество всех производственных 
процессов, которые предприятие может использовать, называется 
его технологическим множеством.
Технологическое множество называется линейным при выполнении 
следующих условий:
1) если вектор (α, ρ) технологически допустим, то вектор k(α, ρ) =
= (kα, kρ), k > 0, который описывает увеличенный в k раз выпуск 
продукции при одновременном увеличении затрат в такое же число 
раз, также технологически допустим;
2) если (α1, ρ1) и (α2, ρ2) — технологически допустимые векторы, 
то технологически допустимым является вектор (α1, ρ1) + (α2, ρ2);
3) существует конечное число основных производственных процессов, 
описываемых векторами β1 = (α1, ρ1), β2 = (α2, ρ2), ..., βm =
= (αm, ρm), причем каждый происходящий производственный процесс 
γ = (α, ρ) является линейной комбинацией этих векторов с неотрицательными 
коэффициентами, т.е.

γ
β
β
β
=
+
+
+
z
z
zm
m
1 1
2
2
...
,  zi ≥ 0 ,  i
m
= 1 2
, ,...,
.

Коэффициенты zi называются интенсивностями основных производственных 
процессов.

Задачи
1.1. Даны векторы: α1 = (1, −1, 1, 5), α2 = (2, −1, 3, 2), α3 = (1, 0, 
4, 1). Найти координаты следующих векторов: а) α1 + α2; б) α1 − 2α2; 
в) −2α1 + α2 + 3α3.
1.2. Найти вектор χ из уравнения 2α1 + α2 + 4χ − α3 = θ, где α1 =
= (3, −1, 0, 0), α2 = (6, −12, 8, 5), α3 = (4, −2, 4, −3).
1.3. Найти вектор χ из уравнения 3(α1 − χ) + 2(α2 + χ) = 5(α3 + χ), 
где α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1).
1.4. Даны n-мерные векторы:
α1 = (1, 0, 0, …, 0, 0),
α2 = (1, 1, 0, …, 0, 0), 
.......……………………..
αn−1 = (1, 1, 1, …, 1, 0),
αn = (1, 1, 1, …, 1, 1).
Найти координаты векторов:
а) α1 + α2 + ... + αn;
б) α1 + 2α2 + ... + (n − 1)αn−1 + nαn; 
в) nα1 + (n − 1)α2 + ... + 2αn−1 + αn.
1.5. Доказать, что если выполняется равенство kα = θ, то:
а) число k равно нулю, если α ≠ θ;
б) вектор α равен нулевому вектору, если k ≠ 0. 
1.6. Дан n-мерный вектор β = b1, b2, bk, bk+1, ..., bn) и n-мерные 
векторы:
α1 = (1, 0, …, 0, 0,…, 0),
α2 = (0, 1, ..., 0, 0,…, 0),
.......………………………...
αk = (0, 0, …, 1, 0,…,0).
Доказать, что векторное равенство b1α1 + b2α2 + ... + bkαk − β = θ 
справедливо тогда и только тогда, когда bk+1 = bk+2 = ... = bn = 0. 
1.7. У каждого вектора системы α1, α2, ..., αm k-я координата 
равна нулю. Доказать, что k-я координата вектора p1α1 + p2α2 + ... +
+ pmαm также равна нулю.
1.8. Первая и последняя координаты вектора αi, i = 1, 2, ..., m, 
равны. Доказать, что первая и последняя координаты вектора p1α1 +
+ p2α2 + ... + pmαm равны.
1.9. Привести пример таких ненулевых n-мерных векторов α1, 
α2, ..., αm и такого набора ненулевых чисел k1, k2, ..., km, что вектор 
k1α1 + k2α2 + ... + kmαm равен нулевому вектору.

§ 1.2. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ДЛИНА  
nМЕРНЫХ ВЕКТОРОВ

Как известно из геометрии, если векторы α и β заданы своими 
координатами α = (a1, a2, a3) и β = (b1, b2, b3), то их скалярное произведение 
αβ определяется по формуле αβ = a1b1 + a2b2 + a3b3.
По аналогии скалярным произведением n-мерных векторов α =
= (a1, a2, ..., an) и β = (b1, b2, ..., bn) называется число αβ = a1b1 + a2b2 +
+ ... + anbn. Скалярное произведение αα называется скалярным квадратом 
вектора α и обозначается символом α2, т.е. αα = α2.

Примеры
1. Скалярное произведение вектора выпуска на вектор цен этого выпуска 
равно стоимости выпущенной продукции.
2. Скалярное произведение вектора затрат ресурсов на вектор цен ресурсов 
равно стоимости израсходованных ресурсов на производство единицы 
продукта. 

Некоторые свойства произведения чисел справедливы и для скалярного 
произведения векторов (α, β, γ — n-мерные векторы):
1) αβ
βα
=
;

2) k
k
k
(
)
(
)
(
),
αβ
α β
α
β
=
=
 где k — число;
3) (
)
;
α
β γ
αγ
βγ
+
=
+

4) α2
0
≥
 при любом векторе α, причем α
α
θ
2
0
=
⇔
=
.

Для доказательства какого-либо из свойств 1–4 достаточно найти 
числа, находящиеся в левой и правой частях этого соотношения, 
и убедиться в том, что они равны. Например, 

αβ =
+
+
+
a b
a b
a b
n n
1 1
2 2
...
,  βα =
+
+
+
b a
b a
b a
n n
1 1
2 2
...
,

а поэтому αβ = βα.
Для доказательства свойства 4 найдем величину α2:

α2
1 1
2 2
1
2
2
2
2
0
=
+
+
+
=
+
+
+
≥
a a
a a
a a
a
a
a
n n
n
...
...
.

Далее 

α

α

2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1

2

0
0
0

0

=
⇔
+
+
+
=
⇔
=
=
=
=
⇔
=

=
=
=
=
⇔

a
a
a
a
a
a
a

a
a

n
n

n

...
...

...
= θ.

Не все свойства произведения чисел выполняются для векторов:
1) (
)
(
)
αβ γ
α βγ
≠
 для произвольных ненулевых векторов α, β, γ; 
2) из условия αβ = 0 в общем случае не следует α = θ или β = θ, так 
как из условий αβ = 0, β ≠ θ в общем случае не следует α = θ; 
3) если αβ = αγ и вектор α ≠ θ, то векторы β и γ не обязательно 
равны.

Примеры
Доказать, что для любых n-мерных векторов α, β и любых чисел k, l 
справедливы равенства: 

3) (
)
;
k
k
α
α
2
2
2
=

4) (
)
.
k
l
k
kl
l
α
β
α
αβ
β
+
=
+
+
2
2
2
2 2
2

Решение. Используя свойства 2) и 3) скалярного произведения, имеем:

3) (
)
(
)(
)
(
)
;
k
k
k
kk
k
α
α
α
αα
α
2
2
2
=
=
=

4) 

(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)(
)

(
)
(

k
l
k
l
k
l
k
k
l
l
k
l

k
k

α
β
α
β
α
β
α
α
β
β
α
β

α
α

+
=
+
+
=
+
+
+
=

=
+

2

2
)(
)
(
)(
)
(
)

.

l
l
k
l

k
kl
l

β
β
α
β

α
αβ
β

+
+
=

=
+
+

2

2
2
2 2
2


Длиной n-мерного вектора α называется число α2. Длину вектора 
α будем обозначать символом |α|: 

α
α
=
2.  
(1.1)
Из четвертого свойства скалярного произведения векторов вытекает, 
что каждый n-мерный вектор α обладает длиной и что нулевой 
вектор θ является единственным вектором, длина которого равна 
нулю. Возводя обе части равенства (1.1) в квадрат, получим

α
α
2
2
=
,

т.е. квадрат длины вектора равен его скалярному квадрату.

Теорема 1.1. Если α и β — n-мерные векторы, то справедливы следующие 
числовые соотношения:

1. k
k
α
α
=
,  где k — число.

2. αβ
α β
≤
 (неравенство Коши—Буняковского).

3. α
β
α
β
+
≤
+
 (неравенство треугольника).

Доказательство. 1. k
k
k
k
k
α
α
α
α
α
=
=
=
=
(
)
.
2
2
2
2
2

2. Рассмотрим вектор γ
αα β
α αβ
=
−
(
)
(
). Введем обозначения: 
αα = k, αβ = l. Тогда γ
β
α
=
−
k
l . Теперь вычислим квадрат длины вектора 
γ:

γ
β
α
β
αβ
α

α
β
α
αβ αβ
αβ α

2
2
2
2
2
2

2 2
2
2
2
2
2

2

=
−
=
−
+
=

=
−
+

(
)
(
)

(
)
(
)(
)
(
)

k
l
k
kl
l

=
−
=

=
−

(
)
(
)

(
(
) ).

α
β
α
αβ

α
α β
αβ

2 2
2
2
2

2
2
2
2