Математический анализ для экономистов:практикум

Москва
ИНФРА-М
2022

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ: 
ПРАКТИКУМ

Т.И. ДЁМИНА
О.П. ШЕВЯКОВА 

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Допущено УМО по образованию в области прикладной информатики, 
статистики, антикризисного управления и математических методов 
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся 
по направлению подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»

Подписано в печать 25.08.2015
Формат 60 90/16. Бумага офсетная. Печать цифровая.
Усл. печ. л. 23,0.
ПТ10.

ТК 316800-486418-250815

Дёмина Т.И.
Математический анализ для экономистов: практикум : учебное 
пособие / Т.И. Дёмина, О.П. Шевякова. — Москва : ИНФРА-М, 
2022. — 365 с. — (Высшее образование: Бакалавриат).

ISBN 978-5-16-010388-4 (print)
ISBN 978-5-16-102355-6 (online)

Учебное пособие содержит теоретический и практический материал 
по следующим разделам математического анализа: множества, комплексные 
числа, числовые последовательности, функции одной переменной, предел 
и непрерывность функции, производная функции, дифференциал функции, 
исследование функций при помощи производных, приложения производной 
в экономической теории, неопределённый интеграл, опреде- 
лённый  интеграл, приложения определённого интеграла,  несобственные 
интегралы.
Пособие предназначено для бакалавров-экономистов, изучающих  ма- 
тематический анализ.

ББК 22.161я73

Д30

УДК  517.2:33 (075)
ББК  22.161я73
 
Д30

ISBN 978-5-16-010388-4 (print)
ISBN 978-5-16-102355-6 (online)
© Дёмина Т.И., 
Шевякова О.П., 2016

ФЗ 
№ 436-ФЗ
Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение 
высшего профессионального образования

«Майкопский государственный технологический университет» 

Кафедра высшей математики и системного анализа

Рассмотрено и утверждено на заседании кафедры 
высшей математики и системного анализа

Р е ц е н з е н т ы:
В.Д. Селютин – доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой 
алгебры и математических  методов в экономике Орловского государственного 
университета;
В.А. Козлов – кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, 
физики и методики их преподавания Армавирской государственной 
педагогической академии

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ...................................................................................... 8

ГЛАВА 1. Введение в анализ ..................................................... 9
§1. Множества .................................................................................. 9

1.1. Основные понятия ................................................................. 9
1.2. Операции над множествами ................................................ 10
1.3. Числовые множества ........................................................... 12
1.4. Числовые промежутки.  Окрестность точки ....................... 13
1.5. Задачи .................................................................................. 14
1.6. Контрольные вопросы ......................................................... 16

§2. Комплексные числа .............................................................. 18

2.1. Основные понятия ............................................................... 18
2.2. Геометрическое изображение комплексных чисел ............. 18
2.3. Тригонометрическая форма записи комплексного числа ..20
2.4. Показательная форма записи комплексного числа ............ 22
2.5. Действия над комплексными числами

в алгебраической форме ...................................................... 23

2.6. Действия над комплексными числами

в тригонометрической форме ............................................. 27

2.7. Действия над комплексными числами

в показательной форме ....................................................... 31

2.8. Задачи .................................................................................. 32
2.9. Контрольные вопросы ......................................................... 35

§3. Числовые последовательности .......................................... 36

3.1. Основные понятия ............................................................... 36
3.2. Бесконечно малые и бесконечно большие

последовательности ............................................................. 37

3.3. Предел числовой последовательности ................................ 38
3.4. Предельный переход в неравенствах .................................. 41
3.5. Монотонные последовательности ....................................... 41
3.6. Задачи .................................................................................. 43
3.7. Контрольные вопросы ......................................................... 44

§4. Функции одной переменной ............................................... 46

4.1. Понятие функции ................................................................ 46
4.2. Способы задания функций .................................................. 48

4.3. Основные характеристики функций ................................... 48
4.4. Понятия обратной функции и сложной функции .............. 50
4.5. Элементарные функции. Классификация функций ........... 51
4.6. Применение функций в экономике.
Паутинные модели рынка ................................................... 53
4.7. Задачи .................................................................................. 57
4.8. Контрольные вопросы ......................................................... 59
§5. Предел функции .................................................................... 60
5.1. Предел функции в точке ..................................................... 60
5.2. Односторонние пределы ...................................................... 61
5.3. Предел функции при x → ∞ ............................................. 62
5.4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции .......... 63
5.5. Основные теоремы о пределах ............................................ 65
5.6. Замечательные пределы ...................................................... 67
5.7. Раскрытие неопределенностей различных типов ............... 69
5.8. Применение пределов в экономических задачах ................ 83
5.9. Сравнение бесконечно малых функций .............................. 86
5.10. Применение эквивалентных бесконечно малых
функций при вычислении пределов ................................... 88
5.11. Применение эквивалентных бесконечно малых
функций в приближенных вычислениях ........................... 90
5.12. Задачи ................................................................................. 91
5.13. Контрольные вопросы ....................................................... 95
§6. Непрерывность функции ..................................................... 96
6.1. Непрерывность функции в точке ........................................ 96
6.2. Основные теоремы о непрерывных функциях ................... 97
6.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке .................... 97
6.4. Классификация точек разрыва функции ........................... 98
6.5. Задачи ................................................................................. 103
6.6. Контрольные вопросы ........................................................ 104
Типовые расчеты ......................................................................... 105

ГЛАВА 2. Дифференциальное исчисление ........................... 120
§7. Производная функции .......................................................... 120
7.1. Задачи, приводящие к понятию производной ................... 120
7.2. Определение производной .................................................. 122
7.3. Геометрический и физический смысл производной ......... 124

7.4. Производные некоторых элементарных функций ............ 128
7.5. Связь между непрерывностью и
дифференцируемостью функции ...................................... 130
7.6. Основные правила дифференцирования .......................... 131
7.7. Производная сложной функции ........................................ 133
7.8. Производная обратной функции ....................................... 135
7.9. Таблица производных ........................................................ 137
7.10. Производные высших порядков ...................................... 138
7.11. Дифференцирование неявно заданной функции ........... 139
7.12. Дифференцирование параметрически
заданной функции ............................................................. 140
7.13. Логарифмическое дифференцирование .......................... 142
7.14. Задачи ............................................................................... 144
7.15. Контрольные вопросы ...................................................... 147
§8. Дифференциал функции .................................................... 149
8.1. Понятие дифференциала функции ................................... 149
8.2. Геометрический смысл дифференциала ........................... 150
8.3. Основные теоремы о дифференциалах ............................. 151
8.4. Таблица дифференциалов .................................................. 152
8.5. Применение дифференциалов к приближенным
вычислениям ...................................................................... 153
8.6. Дифференциалы высших порядков .................................. 155
8.7. Задачи ................................................................................. 156
8.8. Контрольные вопросы ........................................................ 158
§9. Исследование функций при помощи производных ...... 159
9.1. Основные теоремы дифференциального исчисления ....... 159
9.2. Правило Лопиталя .............................................................. 161
9.3. Условия монотонности функции ........................................ 164
9.4. Экстремум функции ........................................................... 168
9.5. Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке ..................................................... 172
9.6. Наибольшее и наименьшее значения функции, непре -
рывной на промежутке, не являющемся отрезком ........... 174
9.7. Выпуклость графика функции. Точки перегиба .............. 177
9.8. Асимптоты графика функции ........................................... 182
9.9. Общая схема исследования функции и
построения е¨е графика ....................................................... 184

9.10. Задачи ............................................................................... 193
9.11. Контрольные вопросы ...................................................... 197

§10. Приложения производной в экономической теории ...199

10.1. Максимизация прибыли ................................................... 199
10.2. Эластичность .................................................................... 200
10.3. Оптимизация налогообложения ....................................... 202
10.4. Задачи ............................................................................... 203
10.5. Контрольные вопросы ...................................................... 204

Типовые расчеты ........................................................................ 205

ГЛАВА 3. Интегральное исчисление ...................................... 217
§11. Неопредел¨енный интеграл................................................ 217

11.1. Первообразная и неопредел¨енный интеграл .................. 217
11.2. Свойства неопредел¨енного интеграла ............................. 219
11.3. Таблица основных неопредел¨енных интегралов ............ 220
11.4. Основные методы интегрирования ................................. 222

11.4.1. Метод непосредственного интегрирования ........... 222
11.4.2. Метод подведения под знак дифференциала ....... 225
11.4.3. Метод подстановки (замены переменной) ............ 228
11.4.4. Метод интегрирования по частям ......................... 231

11.5. Интегралы от некоторых функций, содержащих

квадратный тр¨ехчлен ........................................................ 239

11.6. Интегрирование рациональных функций ....................... 245

11.6.1. Понятие рациональной функции .......................... 245
11.6.2. Интегрирование простейших дробей ..................... 246
11.6.3. Интегрирование рациональных дробей

с помощью разложения на простейшие дроби ........ 248

11.7. Интегрирование тригонометрических функций ............. 258
11.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
264

11.9. Интегралы, не выражающиеся через элементарные

функции ............................................................................. 277

11.10. Задачи ............................................................................. 277
11.11. Контрольные вопросы .................................................... 287

§12. Определ¨енный интеграл .................................................... 289

12.1. Понятие определ¨енного интеграла .................................. 289
12.2. Основные свойства определ¨енного интеграла ................ 291
12.3. Оценки интегралов. Формула среднего значения ........... 293

12.4. Определ¨енный интеграл с переменным
верхним пределом .............................................................. 295
12.5. Формула Ньютона–Лейбница .......................................... 296
12.6. Замена переменной в определ¨енном интеграле ............... 298
12.7. Интегрирование по частям .............................................. 300
12.8. Геометрические приложения определ¨енного интеграла
301
12.8.1. Площадь плоской фигуры ...................................... 301
12.8.2. Длина дуги кривой ................................................ 306
12.8.3. Объ¨ем тела ............................................................. 308
12.8.4. Площадь поверхности тела вращения .................. 312
12.9. Приложения определ¨енного интеграла в экономике ..... 314
12.10. Приближ¨енное вычисление определ¨енных интегралов 316
12.10.1. Формула прямоугольников ................................... 317
12.10.2. Формула трапеций ................................................. 318
12.10.3. Формула парабол (формула Симпсона) .............. 319
12.11. Задачи ............................................................................. 322
12.12. Контрольные вопросы .................................................... 326
§13. Несобственные интегралы ............................................... 328
13.1. Интегралы с бесконечными пределами .......................... 328
13.2. Интегралы от разрывных функций ................................. 332
13.3. Признаки сходимости несобственных интегралов .......... 334
13.4. Задачи ............................................................................... 337
13.5. Контрольные вопросы ...................................................... 338
Типовые расчеты ........................................................................ 339

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................ 363

ВВЕДЕНИЕ

В современной науке и технике математические методы исследования,
моделирования и прогнозирования приобретают важную роль. Благодаря
быстрому развитию вычислительной техники существенно расширяются
возможности успешного применения математики в решении как теоретических, 
так и практических задач.
Цель данного пособия ознакомить с основами математического аппарата, 
необходимого для решения прикладных экономических задач,
привить студентам навыки самостоятельного изучения литературы по
математике и ее приложениям, развить логическое мышление и повысить
общий уровень математической культуры, выработать навыки математического 
исследования прикладных вопросов.
Настоящее учебное пособие предназначено для бакалавров-экономистов, 
изучающих математический анализ.
В краткой форме изложен теоретический материал по всем темам,
который сопровождается рассмотрением большого количества примеров
и задач. Для каждого параграфа приводятся задачи для самостоятельной
работы и контрольные вопросы.
В конце глав даны типовые задания в 30-ти вариантах.

Список обозначений:
◁ – начало решения примера или задачи;
▷ – конец решения примера или задачи;
⋆ – «обратите особое внимание!»

ГЛАВА 1. Введение в анализ

§ 1. Множества

1.1. Основные понятия

Понятие множества является одним из основных неопределяемых
понятий математики. Под множеством понимают совокупность, собрание, 
коллекцию некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Например, множество планет солнечной системы, множество студентов 
университета, множество корней уравнения x2 − 5x + 4 = 0.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами.

Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита: 
A, B, C, . . ., а их элементы малыми буквами – a, b, c, . . .
Если элемент x принадлежит множеству X , то пишут x ∈ X ;
запись x /∈ X означает, что x не принадлежит множеству X .
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым
и обозначается символом ∅.
Множества, состоящие из конечного числа элементов, называют конечными. 
Например, множество букв латинского алфавита. Рассматривают 
также бесконечные множества. Например, множество точек на
прямой.
Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых 
они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство,
которым обладают все элементы данного множества.
Например, A = {1, 2, 3}, B = {x : −1 ≤ x ≤ 1}.
Для наглядности множества изображают так называемыми кругами
или диаграммами Эйлера–Венна, то есть частью плоскости, ограниченной 
некоторой замкнутой линией.
Множество A называется подмножеством
множества B , если
каждый элемент множества A является элементом множества B . Символически 
это записывают следующим образом: A ⊂ B , читают: «A включено 
в B» (рис. 1.1).
Очевидно, что любое множество является подмножеством самого себя.
Также считают, что пустое множество является подмножеством любого
множества.

Рис. 1.1
Рис. 1.2
Множество всех подмножеств множества A называется булианом.
Известно, что если множество A состоит из n элементов, то число всех
подмножеств множества A равно 2n .
Если в данной задаче или в данной теории все рассматриваемые
множества являются подмножествами некоторого множества I , то его
называют универсальным множеством. Например, множество книг –
универсальное множество, так как в него входят подмножества научных,
художественных книг, книг по искусству; среди научных книг есть подмножества 
книг по математике, химии, биологии и т.п.
Пусть множество A есть некоторое подмножество универсального
множества I . Тогда множество A, состоящее из всех элементов множества 
I , не принадлежащих множеству A, называется дополнением
множества A (рис. 1.2).
Например, если I – множество натуральных чисел, A – множество
четных чисел, то дополнением множества A является A – множество
нечетных чисел.
Два множества A и B равны (совпадают), если они состоят из
одних и тех же элементов: A = B .

1.2. Операции над множествами

Объединением множеств A и B называют множество, состоящее
из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств,
обозначают A ∪ B :

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Объединение часто называют суммой множеств. Если некоторые
элементы принадлежат и множеству A, и множеству B , то эти элементы
записывают в объединение только один раз (рис. 1.3).

Рис. 1.3
Рис. 1.4
Объединение трех и более множеств определяется аналогично.
Пересечением или произведением множеств A и B называют
множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих и множеству
A, и множеству B , обозначают A ∩ B :

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Другими словами, пересечение двух множеств – это общая часть этих
множеств (рис. 1.4).
Аналогично определяется пересечение трех и более множеств.
Разностью двух множеств A и B называют множество, состоящее
из всех элементов, принадлежащих множеству A, но не принадлежащих
множеству B , обозначают A ∖ B (рис. 1.5):

A ∖ B = {x : x ∈ A ∧ x /∈ B}.

Рис. 1.5
Рис. 1.6

Пример 1. Даны два множества: A – простые числа меньше 20, B –
нечетные числа меньше 20. Найти следующие множества: A ∪ B , A ∖ B ,
B ∖ A, A ∩ B .

Решение. ◁ Множества A и B – конечные, можно легко перечислить 
их элементы:

A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19},
B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}.

Объединению множеств A и B принадлежат элементы, входящие
или в A, или в B , при этом одинаковые элементы записываются только
один раз, поэтому A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}.
По определению в множество A ∖ B должны входить те элементы
множества A, которые не принадлежат множеству B ,
поэтому A∖B =
= {2}. Аналогично, B ∖ A = {1, 9, 15}.
Пересечению множеств принадлежат элементы, входящие одновременно 
в множество A и в множество B . Следовательно,

A ∩ B = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.▷

Пример 2. Из 20 человек двое изучали только английский язык,
трое – только немецкий, шестеро – только французский. Никто не изучал
трех языков. Один изучал немецкий и английский, трое – французский и
английский. Сколько человек изучало французский и немецкий языки?
Решение. ◁ Обозначим через A множество учеников, изучающих
английский язык, через B – немецкий язык, через C – французский
язык. По условию A ∩ B содержит один элемент, A ∩ C – содержит три
элемента. Так как никто не изучает сразу три языка, то A ∩ B ∩ C = ∅.
Требуется определить, сколько элементов содержит множество B ∩ C .
Изобразим эти множества на диаграмме Эйлера–Венна (рис. 1.6).
Объединение множеств A ∪ B ∪ C содержит 20 элементов. Из диаграммы 
видно, что множество B ∩ C содержит 20 − 1 − 2 − 3 − 6 − 3 = 5
элементов. Значит, французский и немецкий языки изучали 5 человек.▷

1.3. Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.

Примеры числовых множеств:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел;
I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.
Между этими множествами существуют соотношения

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R,
I ⊂ R,
R = Q ∪ I.

Числовой прямой (числовой осью) называется прямая, на которой 
выбрано начало отсчета, положительное направление и единица
масштаба (рис. 1.7).

Рис. 1.7

Между множеством всех действительных чисел и множеством всех
точек прямой существует взаимно однозначное соответствие. Это означает, 
что каждому числу x ∈ R соответствует определенная (единственная)
точка числовой оси, и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (
единственное) действительное число. Поэтому вместо слова
«число» часто говорят «точка».

1.4. Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть a и b – действительные числа, причем a < b.
Интервалом называется множество всех чисел x, которые удовлетворяют 
неравенствам a < x < b, и обозначается (a; b).
Отрезком называется множество всех чисел x, которые удовлетворяют 
неравенствам a ≤ x ≤ b, и обозначается [a; b].
Также рассматривают конечные полуинтервалы

[a; b) = {x : a ≤ x < b},
(a; b] = {x : a < x ≤ b};

и бесконечные интервалы и полуинтервалы

(−∞; b) = {x : x < b},
(a; +∞) = {x : x > a},
(−∞; +∞) = R,

(−∞; b] = {x : x ≤ b},
[a; +∞) = {x : x ≥ a}.

Все эти множества называются промежутками.
Абсолютной величиной или модулем действительного числа x
называется само число x, если x неотрицательное, и противоположное

число −x, если x отрицательное:

|x| =
x, если x ≥ 0,
−x, если x < 0.

Геометрически |x| означает расстояние на координатной прямой
от точки, изображающей число x, до начала отсчета.
Пусть x0 – любое действительное число.
Окрестностью точки x0 называется любой интервал (a; b), содержащий 
точку x0 .
Интервал (x0 − ε; x0 + ε), где ε > 0, называется ε-окрестностью
точки x0 . Число x0 называется центром, а число ε - радиусом.
Выполнение неравенства |x − x0| < ε означает попадание точки x в
ε-окрестность точки x0 .

1.5. Задачи

1. Даны два множества A = {2n : n ∈ N} и B = {2n : n ∈ N},
найти: а) A ∖ B ;
б) B ∖ A.
2. Даны множества A = {n : n ∈ N} и B = {p : p − простое число},
найти: а) A ∖ B ;
б) A ∩ B .
3. Даны два множества A = {2n+1 : n ∈ N} и B = {2n+2 : n ∈ N},
найти: а) B ∖ A;
б) A ∪ B .
4. Даны два множества A = {x : sin x = 0} и B = {x : sin 2x = 0},
найти: а) B ∖ A;
б) A ∩ B .
5. Даны два множества A = {x : cos x = 0} и B = {x : sin x = 0},
найти: а) B ∖ A;
б) A ∪ B .
6. Даны два множества A = {2n : n ∈ N} и B = {3n : n ∈ N},
найти: а) B ∖ A;
б) A ∪ B ;
в) A ∩ B ;
г) A ∖ B .
7. Даны два множества на координатной плоскости

B = {(x, y) : |x| ≤ 1},
A = {(x, y) : |y| ≤ 1}.

Изобразить на чертеже следующие множества: а) A∪B ;
б) A∩B ;
в) A ∖ B ;
г) B .
8. Из 220 студентов 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не
играют в эти игры. Сколько человек одновременно играют в баскетбол и
футбол?

9. В группе 30 студентов. Все, кроме двух, имеют оценки «5», «4» и
«3». Число студентов, имеющих оценки «5», – двенадцать, «4» – четырнадцать, «
3» – шестнадцать. Трое учатся лишь на «5» и на «3», трое –
лишь на «5» и «4», четверо лишь на «4» и «3». Сколько человек имеют
одновременно оценки «5», «4» и «3»?
10. Среди 35 туристов одним английским языком владеют 11 человек,
английским и французским – 5 человек, 9 человек не владеют ни английским, 
ни французским. Сколько человек владеют только французским
языком?
11. Каждый из членов команды играет либо в теннис, либо в футбол,
либо в теннис и футбол. Сколько человек в команде, если известно, что
18 человек играют в обе игры, 23 человека играют в футбол, 21 – в теннис?
12. Даны универсальное множество I – множество букв (без повторений), 
составляющих заданное слово «психология», и множества

X = {и, л, о, п, х},
Y = {г, л, п, с},
Z = {и, п, х, я}.

Найти указанные множества и изобразить их с помощью диаграмм
Эйлера–Венна:
a) X ∩ Y ;
б) (X ∩ Z) ∪ Y ;
в) X ∪ (Y ∩ Z);
г) X ∪ Y ;
д) (X ∪Y )∩(X ∪ Z);
е) X ∩Y ;
ж) X ∩ Y ;
з) (X ∪Y )∪Z ;
и) X∩(Y ∩Z);
к) X∖Z ;
л) (X∖Z)∪(Y ∖Z);
м) X∖(Y ∪Z).
13. Решить предыдущую задачу при условии, что заданы слово «ес-
теcтвознание» и множества

X = {в, е, с, т},
Y = {а, и, н, т},
Z = {в, з, н, с}.

14. В институте на первом курсе учатся 100 студентов. На занятиях
по физкультуре каждый из них специализируется по одному виду спорта.
Известно, что 62 студента выбрали зимние виды спорта, а остальные –
летние.
На первом курсе также предусмотрено обязательное изучение иностранного 
языка. На изучение английского языка записались 45 студентов,
а остальные выразили желание изучать немецкий язык. Оказалось, что
среди студентов, занимающихся зимними видами спорта, 30 человек изучают 
английский язык.
Сколько студентов, изучающих немецкий язык, занимаются летними
видами спорта?