Высшая математика. Интегральное исчисление функции одной переменной. Сборник упражнений

 
 

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ 

ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ 

СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ 

 

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ 

ГПС МЧС РОССИИ 

 
 
 
 

 

 

 

 

 

Двойцова И.Н. 

 

 

 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА 

Интегральное исчисление функции одной переменной 

Сборник упражнений 

Практикум 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Железногорск  

2023 

 
 

УДК 517.3 
ББК 22.161.1 

Д24 
 
Авторы: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук 

 

Рецензент: Трофимец Елена Николаевна, канд. пед. наук, доцент 
(ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России) 

 

 
 
 
 

Д24
Двойцова И.Н.
Высшая 
математика.
Интегральное 

исчисление 
функции 
одной 
переменной. 
Сборник 

упражнений. 
[Текст]: 
практикум
/ 
И.Н. Двойцова
–

Железногорск:
ФГБОУ 
ВО 
Сибирская 
пожарно-

спасательная академия ГПС МЧС России, 2023. – 88 с.

 

 

 

Практикум содержит индивидуальные задания для расчетных и 

контрольных работ, а также краткие теоретические сведения и образцы 
решения типовых задач. Рекомендуется для самостоятельной работы 
студентов специальности 40.05.03 Судебная экспертиза очной формы 
обучения, а так же курсантов и студентов, обучающихся по специальности 
20.05.01 «Пожарная безопасность» и направлению 20.03.01 «Техносферная 
безопасность». 

 

 
 

 

 

© ФГБОУ  ВО  Сибирская  пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2023 
© Двойцова И.Н., 2023 
 

 

Введение 

 

Настоящий сборник упражнений предназначен в помощь студентам 

специальности 40.05.03 Судебная экспертиза очной формы обучения, а так же 

курсантам и студентам, обучающимся по специальности 20.05.01 «Пожарная 

безопасность» и направлению 20.03.01 «Техносферная безопасность» в ФГБОУ 

ВО «Сибирская пожарно-спасательная академия» ГПС МЧС России при 

изучении раздела «Интегральное исчисление функции одной переменной» 

курса математики. Учебным планом предусмотрено выполнение расчетных 

работ и контрольной работы с заданиями по этому разделу. Основную часть 

сборника составляют тренировочные задания и индивидуальные задания для 

расчетных работ, а также краткие теоретические сведения и образцы решения 

типовых задач по темам «Неопределенный интеграл», «Определенный 

интеграл», «Приложения  определенного интеграла». Тренировочные задания и 

расчетные работы являются видами самостоятельной работы студентов и 

включают следующие задания: 

1. Непосредственное интегрирование неопределенных интегралов (30 

примеров по вариантам). 

2. Интегрирование методами замены переменной и по частям (15 

примеров по вариантам). 

3. Выполнение индивидуального задания (30 вариантов). 

4. Интегрирование 
определенных 
интегралов 
(15 
примеров 
по 

вариантам). 

5. Приложения определенных интегралов (7 задач по 30 вариантов в 

каждой). 

6. Вычисление несобственных интегралов (15 примеров по вариантам) 

7. Приложения несобственных интегралов (4 задачи по 30 вариантов в 

каждой). 

Каждое задание выполняется в отдельной тетради, на обложке которой 

должны быть указаны фамилия курсанта или студента, номер группы и номер 

выполняемого варианта. В работу должны быть включены все задачи, 

указанные в задании, в соответствии с заданным вариантом. Решение задач 

должно быть приведено с промежуточными расчетами и пояснениями.  

 

Требования к защите работ: обучающийся должен уметь 

объяснить решение любой задачи. 

 

1 Первообразная  и неопределенный интеграл  

 

Определение. Функция 
 
x
F
 называется первообразной для функции 

 
x
f
 
на 
промежутке 
X , 
если 
для 
любого 
X
x
 
функция 
 
x
F
 

дифференцируема и выполняется равенство  

                                            
 
 
x
f
x
F


. 

Определение. Совокупность всех первообразных для функции 
 
x
f
 на 

промежутке X  называется неопределенным интегралом от функции 
 
x
f
 на 

этом промежутке и обозначается символом  

 
 



,
C
x
F
dx
x
f
 

 где С – произвольная постоянная. 

 

 

1.1 Свойства неопределенного интеграла 

1. 

)
(
)
(
x
f
dx
x
f



. 

2. 
 


 
.
dx
x
f
dx
x
f
d


 

3. 
 
 



.
C
x
F
dx
x
dF
 

4. 
 
 



dx
x
f
k
dx
x
f
k
, где k – постоянная.
 

5. 
 
 


 
 






.
2
1
2
1
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
x
f
 

6. Если 
 
 



,
C
x
F
dx
x
f
 
 
x
u


, то 
 
 



.
C
u
F
du
u
f
 

7. 




1
,
f аx
b dx
F ax
b
C
a





 

 

 

1.2 Непосредственное интегрирование 

 

Метод непосредственного интегрирования заключается в вычислении 

неопределенного интеграла с использованием свойств интегралов, таблицы 

основных интегралов и тождественных преобразований подынтегрального 

выражения. 

Таблица основных интегралов 

1. 


.
0
C
dx
 
 
 
 
8.  


.
sin
cos
C
x
dx
x
 

2. 


.
C
x
dx
  
 
 
9.  
.
cos2
C
tgx
x

dx



 

3. 






C
n
x
dx
x

n

n

1

1

, 
.1


n
 
10. 
2
.
sin

dx
dx
сtgx
C
x
 


 

4. 


.
ln
C
x
x
dx
 
 
 
11. 
.
1

2
2
C
a
x
arctg
a
dx
x
a

dx




 

5. 
.
ln
C
a

a
dx
a

x

x



 
 
 
12. 
.
arcsin

2
2
C
x

x
a

dx





 

6. 
.
C
e
dx
e
x
x



 
 
 
13. 
.
ln
2
2

2
2
C
x
a
x

x
a

dx







 

7. 



.
cos
sin
C
x
dx
x
 
 
14. 





.
ln
2
1

2
2
C
a
x

a
x

a
a
x

dx
 

Пример 1. Найти интеграл 
 25
4
2
x

dx
 и выполнить проверку. 

Решение. Так как 
























2

2
2
2

2
5
4
4
25
4
25
4
x
x
x
, то, используя 

свойство 4, формулу 11 таблицы интегралов при а=5/2, получаем 











.
5
2

10
1

)
2
/
5
(
4
1

)
2
/
5
(
4
1

25
4
2
2
2
2
2
C
x
arctg
x

dx

x

dx

x

dx

 

Проверка.  

.
25
4

1

5
2

4
25

1

10
25

5
2

25
4
1

1

10
1

5
2

10
1

2
2
2





















x
x
x

x
arctg
 

Пример 2. Найти интеграл 
dx
x
x

2

2

cos

2

sin






 и выполнить проверку. 

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию и воспользуемся 

табличными интегралами 2 и 7. 
















dx
x
x
x
x
dx
x
x

2

cos

2

cos

2

sin
2

2

sin

2

cos

2

sin

2
2

2

 



.
cos
sin
sin
1
C
x
x
dx
x
dx
x
dx










 

Проверка. 

.
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
sin
1
cos

2
2
x
x
x
x
x
x
x







 

 

1.3 Метод замены переменной 

 

Метод замены переменной в неопределенном интеграле производится с 

помощью подстановок двух видов: 

1) 
 t
x


, где 
 t

- монотонная, непрерывно дифференцируемая 

функция новой переменной t. Формула замены переменной при такой 

подстановке: 

                            
 
 

  




dt
t
t
f
dx
x
f


.                                   (1.1) 

2) 
 
x
t


, где t – новая переменная. Формула замены переменной в 

этом случае: 

                            
 


 
 




dt
t
f
dx
x
x
f


.                                  (1.2) 

С помощью метода замены переменной можно получить следующие 

формулы: 

             
 
 



 






C
x
f

x
f

x
f
d
dx

x
f

x
f
n

)
(

)
(
l
,                     (1.3) 

            
 
 



 







C
x
f

x
f

x
f
d
dx

x
f

x
f
2

)
(

)
(

.                   (1.4) 

Пример 3. Найти интеграл 




dx
x
x

10
1
. 

Решение. Введем новую переменную 
1

 x
t
. Тогда 
dt
dx
t
x



,1
, 

и исходный интеграл преобразуется по формуле (1.1) следующим образом: 





dx
x
x

10
1
= 











C
t
t
dt
t
t
dt
t
t
11
12
1

11
12

10
11
10
. 

Вернемся к переменной x, подставляя 
1

x
 вместо 
t, получим 

окончательный ответ: 

     




dx
x
x

10
1
= 








C
x
x

11

1

12

1

11
12



C
x
x









132

1

12
1

11
. 

Пример 4. Найти интеграл   x

dx

2
1
. 

Решение. Положим 
.
2
1
x
t


 Тогда 
t
x

2
1

2
1 

, 







t
d
dx
2
1

2
1
 

dt
dt
t
2
1

2
1

2
1












,  
















.
2
1
ln
2
1
ln
2
1

2
1
)
2
/
1
(

2
1
C
x
C
t
t
dt

t

dt

x

dx
  

Пример 5. Найти интеграл 




dx

x
x

x

7
5

5
2

2
. 

Решение.  Подынтегральная функция имеет вид 
 
 x
f

x
f 
, где 

)
(x
f
 

7
5
2



x
x
, 
 
5
2
7
5
2






x
x
x
x
f
. Применяя формулу (1.3), получим 



















.
)
7
5
ln(

7
5

)'
7
5
(

7
5

5
2
2

2

2

2
C
x
x
dx

x
x

x
x
dx

x
x

x

 

Замечание. Под знаком логарифма трехчлен (
7
5
2

 x
x
) не взят по 

абсолютной величине, так как корни его комплексные, коэффициент при х2 

положителен, поэтому при любом значении х этот трехчлен положителен. 

Пример 6. Найти интеграл 

x

dx
x

cos
5

sin

. 

Решение. Перепишем подынтегральную функцию в виде: 
x

x

cos
5

sin


=

.

cos
5

sin

x

x





 Числитель дроби равен производной функции, стоящей под 

корнем в знаменателе: 

.
sin
cos
5
x
x




 Следовательно, на основании 

формулы (1.4) имеем: 



x

dx
x

cos
5

sin

=
.
cos
5
2

cos
5

sin
С
x

x

dx
x









 

 

1.4 Метод интегрирования по частям 

 

Если 
 
x
u
 и 
 
x
v
 - дифференцируемые функции, то справедлива 

формула интегрирования по частям: 

                                          




du
v
uv
v
d
u
.                                               (1.5) 

Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение 

 dx
x
f
 можно представить в виде произведения 
dv
u
так, что интеграл, 

стоящий в правой части формулы (1.7), будет табличным или легко сводящимся 

к табличному. 

Метод интегрирования по частям применяется при нахождении 

неопределенных интегралов вида: 

  
1)
 
 
 



dx
mx
x
P
dx
mx
x
P
dx
e
x
P
ax
cos
,
sin
,
; 

  
2)
 
 
 
 



,
arccos
,
arcsin
,
ln
dx
x
x
P
dx
x
x
P
dx
x
x
P
n
 

             
 
 


dx
arcctgx
x
P
dx
arctgx
x
P
,
, 

где  x
P
 - многочлен n -й степени 
 
n

nx
a
x
a
x
a
a
x
P





...
2

2
1
0
. Применяя 

формулу (1.7) к интегралам первой группы, за u  следует принять многочлен 

 
x
P
, а за dv- остальную часть подынтегрального выражения. В интегралах 

второй группы за u  принимается 
,
arccos
,
arcsin
,
ln
x
x
x
,
arctgx  arcctgx, а за 

dv- выражение  dx
x
P
. 

Пример 7. Найти интеграл 

dx
x
x
3
. 

Решение. Положим 
u
x 
, 
dv
dx
x

3
. Дифференцируя первое равенство 

и интегрируя второе, определяем 
du
dx 
, 
3
ln
3x

v 
. Применяя формулу (1.5), 

получим: 










.

)
3
(ln

3

3
ln

3

3
ln
3

3
ln
3
3
2
C
x
dx
x
dx
x

x
x
x
x

x
 

Пример 8. Найти интеграл 
.
sin
2
xdx
x
 

Решение. Положим 

2
x
u 
, 
.
sin
dv
xdx 
 Тогда 


xdx
x
d
du
2
2 

 и 







.
cos
sin
x
xdx
dv
v
 Применяя формулу интегрирования по частям, 

получаем 











.
cos
2
cos
2
)
cos
(
cos
sin
2
2
2
xdx
x
x
x
xdx
x
x
x
xdx
x
 

Получившийся интеграл не является табличным, но  повторное 

применение формулы интегрирования по частям приводит к табличному 

интегралу. Положим теперь 
x
u 
, 
.
cos
dv
xdx 
 Тогда 
dx
du 
, 
x
v
sin

 и  












.
cos
2
sin
2
cos
)
sin
sin
(
2
cos
sin
2
2
2
C
x
x
x
x
x
xdx
x
x
x
x
xdx
x
 

 

 

2 Интегрирование рациональных дробей 

 

Определение. Рациональной дробью называется дробь вида 
 
 
x
Q

x
P

, где 

 
x
P
 и  
x
Q
 - многочлены. 

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень 

многочлена 
 
x
P
 ниже степени многочлена 
 
x
Q
. В противном случае дробь 

называется неправильной.