Определение реакций подшипников вращающегося твердого тела

УДК 531.38 
ББК 22.213 
 Б26 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1216.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

Рецензент  
д-р техн. наук, профессор Г. А. Тимофеев   

 
Барышников, Ю. Н. 
Определение реакций подшипников вращающегося твердого 
тела : методические указания к выполнению индивидуальных заданий 
по разделу курса теоретической механики на контролируемых 
самостоятельных работах / Ю. Н. Барышников, Н. В. Борохова. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 54, [2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4186-0 
 

В методических указаниях даны основы применения метода кинетостатики 
в задачах динамики. Приведенный теоретический материал и рекомендуемый 
порядок решения задач позволяют студентам приобрести навыки 
решения задач и освоения теоретических разделов курса во время контролируемой 
самостоятельной работы (КСР). Предлагается 32 варианта заданий 
для индивидуальной работы со студентами на КСР.  
Для студентов, обучающихся по программе бакалавриата. Методические 
указания могут быть также использованы студентами, обучающимися 
по программе специалитета и выполняющими домашнее задание в соответствии 
с учебным планом. 
 
УДК 531.38 
ББК 22.213 
 
 
 
 

ISBN 978-5-7038-4186-0 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
© Оформление. Издательство   
     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

 Б26  

Предисловие 

Предлагаемые методические указания должны помочь студентам, 
изучающим применение метода кинетостатики в задачах динамики, 
приобрести твердые навыки решения задач и освоения 
теоретических вопросов контролируемой самостоятельной работы. 
Указания целесообразно использовать и при закреплении знаний 
путем выполнения индивидуального задания модуля по теме «Динамические 
реакции подшипников». Варианты этого задания для 
студентов приведены в конце методических указаний. 
Метод кинетостатики построен на использовании следствий из 
принципа Даламбера для системы материальных точек. Узловыми 
моментами решения задач являются: 
− определение силы инерции материальной точки; 
− приведение сил инерции точек тела с равномерным распределением 
массы по объему к заданному центру;  
− вычисление главного вектора и главного момента сил инерции 
относительно выбранного центра приведения; 
− нахождение главных осей инерции тела, а также вычисление 
центробежных и осевых моментов инерции относительно исходных 
осей координат; 
− статическое и динамическое уравновешивание тела. 
Теоретические основы метода изложены в учебном пособии [1] 
и конкретизируются на лекциях. Курсовая работа по одноимен- 
ному разделу курса сопровождается методическими указаниями 
[2, 3]. 
 

1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 

При решении задач рекомендуется применять метод кинетостатики, 
в основе которого лежит принцип Даламбера. 

1.1. Принцип Даламбера для точки  
и системы материальных точек 

Для несвободной материальной точки принцип Даламбера заключается 
в том, что в каждый момент времени сумма активных 
сил, реакций связей и силы инерции равна нулю [1]: 

 
 

1
1
Ф
0,

n

k
k
k
k
F
R

µ

=
=
+
+
=
∑
∑
  
(1.1) 

где Ф
;
ma
= −
 n — число активных сил, приложенных к материальной 
точке; µ  — число связей, наложенных на точку. 

Обозначим главный вектор всех активных сил 

1
,

n

k
k

F
F

=
= ∑
 глав-

ный вектор реакций связей — 

1
,
k
k

R
R

µ

=
= ∑
 тогда формулу (1.1) 

можно переписать в виде 

 
 
Ф
0.
F
R
+
+
=
 
 (1.2) 

В проекциях на оси декартовых координат получим 

 
 
Ф
0,  
Ф
0, 
Ф
0,
x
x
x
y
y
y
z
z
z
F
R
F
R
F
R
+
+
=
+
+
=
+
+
=
 

где Ф
;  Ф
;  Ф
.
x
y
z
mx
my
mz
= −
= −
= −


В проекциях на оси естественного трехгранника — касательную, 
главную нормаль и бинормаль — уравнение (1.2) принимает 
вид 

Ф
0;
Ф
0;
0,
n
n
n
b
b
b
F
R
F
R
F
R
τ
τ
τ
+
+
=
+
+
=
+
+ Φ =
 

где 
2
Ф
, Ф
, Ф
0;
n
n
b
b
ma
mdV
dt
ma
mV
ma
τ
τ
τ
= −
= −
= −
= −
ρ
= −
=
 
ρ — радиус кривизны траектории точки. 

С учетом приведенных формул сила инерции Даламбера Ф  
может быть представлена в виде двух составляющих Ф
ma
τ
τ
= −
 и 

Ф
.
n
n
ma
= −
 
Согласно принципу Даламбера, для каждой точки 
k
M  механической 
системы совокупность активных сил, реакций связей и сил 
инерции ( (
,
,Ф )
k
k
k
F R
, 
1, 2,...,
,
k
N
=
 N  — число точек системы) 
эквивалентна нулю.  
Следствиями этого утверждения являются: 
1) равенство нулю главного вектора всех перечисленных выше 
сил; 
2) равенство нулю главного момента этих сил относительно 
выбранного центра приведения — например, точки О: 

 
 
1
1
1
Ф
0;

Ф
0.

N
N
N

k
k
k
k
k
k

k
k
k
k
k
k

F
R

r
F
r
R
r

=
=
=
+
+
=

×
+
×
+
×
=
∑
∑
∑

∑
∑
∑

  
(1.3) 

Полученные векторные уравнения аналогичны по форме векторным 
условиям равновесия произвольной пространственной системы 
сил. Им соответствуют шесть аналитических уравнений в 
координатной форме: 

 

Ф
0;

Ф
0;

Ф
0;

(
)
(
)
(Ф )
0;

(
)
(
)
(Ф )
0;

(
)
(
)
(Ф )
0.

kx
kx
kx

ky
ky
ky

kz
kz
kz

Ox
k
Ox
k
Ox
k

Oy
k
Oy
k
Oy
k

Oz
k
Oz
k
Oz
k

F
R

F
R

F
R

M
F
M
R
M

M
F
M
R
M

M
F
M
R
M

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

+
+
=

∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑

 
(1.4) 

Уравнения (1.4) лежат в основе метода кинетостатики.  

1.2. Определение главного вектора  
и главного момента сил инерции 

Введем обозначения главного вектора 
и
R и главного момента 
сил инерции 
и
О
L , проекции которых в уравнениях (1.4) представлены 
формулами: 

 

и
и
и

и
и
и
Ф ;
Ф ;
Ф ;

(Ф );
(Ф );
(Ф ).

x
kx
y
ky
z
kz

Оx
Оx
k
Оy
Оy
k
Оz
Оz
k

R
R
R

L
M
L
M
L
M

=
=
=

=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
 (1.5) 

Уравнения (1.4) можно получать, проецируя векторные выражения (
1.3) на подвижные и неподвижные оси координат. В данном 
случае будем проецировать выражения (1.3) на оси подвижной 
системы координат, связанной с вращающимся телом. В этой 
системе положение точки определяется неизменными во времени 
координатами, а движение системы координат задано в условии 
задачи — равномерное вращение вокруг неподвижной оси Oz. 
Для твердого тела, состоящего из N материальных точек, главный 
вектор и главный момент сил инерции относительно некоторого 
центра O определяются соответственно по формулам [1]: 

 
 
и
;
С
dQ
R
M a
dt
= −
= −
  
и
,
О
О
dK
L
dt
= −
 
(1.6) 

где M — масса тела; 
С
a  — ускорение центра масс тела; 
О
K  — кине-

тический момент тела относительно центра O; Q  — количество 
движения тела. 
Замечание. При определении производных необходимо 
следовать формуле Бура.  
Проекции вектора количества движения Q  на оси подвижной 
системы координат Oxyz: 

  
;
x
z
C
Q
M
y
= −
ω
  
;
y
z
C
Q
M
x
=
ω
  
0.
z
Q =
 
(1.7) 

Проекции вектора кинетического момента на оси подвижной 
системы координат: 

 
;
Ox
xz
z
K
J
= −
ω
  
;
Oy
yz
z
K
J
= −
ω
  
,
Oz
z
z
K
J
=
ω
  
(1.8) 

где 
,
xz
k
k
k
J
m x z
=∑
 
yz
k
k
k
J
m y z
=∑
 — центробежные моменты 

инерции; 
2
2
(
)
z
k
k
k
J
m
x
y
=
+
∑
 — осевой момент инерции тела от-

носительно оси Oz, совпадающей с осью вращения. 
Итак, для тела, вращающегося вокруг оси Oz с постоянной угловой 
скоростью, проекции главного вектора и главного момента 
сил инерции относительно начала координат определяются по 
формулам 

 

и
2
и
2
и

и
2
и
2
и
;
;
0;

;
;
0.

x
C
y
С
z

Оx
yz
Оy
xz
Оz

R
M
x
R
M
y
R

L
J
L
J
L

=
ω
=
ω
=

= −
ω
= +
ω
=
 
(1.9) 

При условии, что оси системы Oxyz  жестко связаны с телом, координаты 
,

C
C
x
y  его центра масс и центробежные моменты 
yz
J
 и 

xz
J
 остаются постоянными. 
Для окончательного решения задачи приведения сил инерции к 
началу координат (точке О) необходимо определить центробежные 
моменты инерции. 

1.3. Определение центробежных  
и осевых моментов инерции одномерных и двумерных тел 

Центробежные моменты инерции 
xz
J
 и 
yz
J
 тела определяются 

по формулам 

 
;
xz
k
k
k
J
m x z
= ∑
  
.
yz
k
k
k
J
m y z
= ∑
 
(1.10) 

Основным способом вычисления моментов инерции тела является 
выражение их через осевые моменты инерции. В табл. 1.1 
приведены формулы для вычисления главных центральных моментов 
инерции однородных тел, необходимость расчета которых 
возникает в задачах предлагаемого задания, а также в вариантах 
домашних заданий, выполняемых студентами в рамках учебного 
курса (например, [2]). 
Главные центральные моменты инерции — это моменты инерции 
тела относительно главных осей инерции, проходящих через 
центр масс. На рисунках в табл. 1.1 показано расположение главных 

центральных осей инерции 
2
2 2
Сx y z  для всех приведенных в таблице 
изображений тел: сплошной диск, кольцо, квадрат, стержень. 
 

Таблица 1.1 
 

Плоское тело массой M 
Формулы для расчета главных 
центральных моментов инерции 

Сплошной 
диск 

 

2
2

2
;
4
x
y

Mr
J
J
=
=
 

2

2

2
z
C

Mr
J
J
=
=
 

Кольцо (тор) 

 

2
2

2
;
2
x
y

Mr
J
J
=
=
 

2

2
z
C
J
J
Mr
=
=
 

Квадрат 

 

2
2

2
;
12
x
y

Ma
J
J
=
=
 

2

2

6
z
C

Ma
J
J
=
=
 

Стержень 

 

2
2
2

2
0,
12
x
y
z
C

Ml
J
J
J
J
=
=
=
=

1
2

2
2

4
3
y
Cy
l
Ml
J
J
M
=
+
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
 

 
Координаты точек 
,
k
k
x
y  и 
kz  в выражении для центробежных 
моментов инерции заменяют согласно формулам перехода от системы 
координат Oxyz  (приведенной в условии задания) к системе 

2
2 2
Сx y z  координатами 
2
2
2
,
,
.
k
k
k
x
y
z
 Этот переход обусловлен важными 
свойствами главных осей инерции тела: 
а) если какая-либо ось тела является главной осью инерции тела 
в данной точке, то те центробежные моменты, в индексе которых 
присутствует индекс этой оси, равны нулю; 
б) ось материальной симметрии однородного тела является его 
главной центральной осью инерции; 
в) любая ось, перпендикулярная плоскости симметрии тела, 
является его (тела) главной осью инерции в точке пересечения ее с 
этой плоскостью; 
г) главная центральная ось инерции является главной во всех 
своих точках. 
При определении момента инерции относительно оси, параллельной 
главной центральной оси инерции тела, применяют теорему 
Штейнера [1]. 
В задачах индивидуального задания рассматриваются механические 
системы, для которых одна из осей Ox или Oy является 
главной осью инерции. Рассмотрим две ситуации, возникающие 
при вычислении центробежных моментов. 
Ситуация 1. Ось Оx — главная 
ось инерции тела в точке O как ось, 
перпендикулярная плоскости симметрии 
тела. Вид с главной оси 
инерции на плоскость симметрии 
тела поясняет рис. 1.1. 
Выделим произвольную точку 
тела 
k
M , координаты которой в исходной 
системе 
ky  и 
kz  запишем 
через ее же координаты в системе 
главных осей инерции:  

 
2
2

2
2

cos
sin ;

sin
cos .

k
C
k
k

k
C
k
k

y
y
y
z

z
z
y
z

=
+
α −
α

=
+
α +
α  
 (1.11) 

Тогда центробежный момент инерции равен: 

 

2
2
2
2
(
cos
sin )(
sin
cos )

yz
k
k
k

k
C
k
k
C
k
k

J
m y z

m
y
y
z
z
y
z

=
=

=
+
α −
α
+
α +
α +
∑
∑
 

 

Рис. 1.1

2
2

2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2

sin
cos

cos
cos
sin
cos

sin
sin
sin 2
/ 2.

k
C
C
k
C
k
k
C
k

k
k
C
k
k
k
k
k
k

k
C
k
k
k
k
k
k

m y z
m y y
m y z

m y
z
m y
z
m y
z

m z z
m z
y
m z

+
+
α +
α +

+
α +
α
α +
α −

−
α −
α −
α

∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑

 

В суммах выражения (1.12) введены следующие обозначения: 

,
k
C
C
C
C
m y z
My z
=
∑
 M  — масса тела; 

2
2
sin
sin
0,
k
C
k
C
C
m y y
My y
α =
α =
∑
 поскольку 
2
0
С
y
=
 как ко-

ордината центра масс в системе, связанной с центром масс; 

2
2
cos
cos
0,
k
C
k
C
C
m y z
My z
α =
α =
∑
 поскольку 
2
0,
C
z
=
 точка 

С — начало координат; 

2
2
cos
cos
0,
k
k
С
C
C
m y
z
Mz y
α =
α =
∑
 
2
0
C
y
=
 как координата 

центра масс в системе с началом в центре масс; 

2
2
sin
sin
0,
k
С
k
C
C
m z z
Mz z
α =
α =
∑
 
2
0
C
z
=
 — координата цент- 

ра масс в системе с началом в центре масс; 

2 2
2
2
2
2 cos
cos
0,
k
k
k
y z
m y
z
J
α =
α=
∑
 поскольку 
2
Oy  и 
2
Oz  — 

главные оси инерции; 

2 2
2
2
2
2 sin
sin
0,
k
k
k
z y
m z
y
J
α =
α =
∑
 поскольку 
2
2
 и  
Oz
Oy  — 

главные оси инерции. 
Объединив четвертую и восьмую суммы выражения (1.12), получим 

 

(
) (
)
(
)

2
2

2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2

sin 2
sin 2
 
2
2
sin 2
sin 2
     
,
2
2

k
k
k
k

k
k
k
k
k
z
y

m y
m z

m
y
x
x
z
J
J

α
α
−
=

α
α
⎡
⎤
=
+
−
+
=
−
⎣
⎦

∑
∑

∑

 

где 
(
)
2

2
2
2
2
;
k
k
k
zJ
m
y
x
=
+
∑
 
(
)
2
2
2
2
2
y
k
k
k
J
m
z
x
=
+
∑
 — осевые мо-

менты инерции тела относительно главных осей инерции. 

(1.12) 

Окончательно центробежный момент инерции 
yz
J
 получим в 

виде 

(
)
2
2
sin2
.
2
yz
C
C
z
y
J
My z
J
J
α
=
+
−
 

Ситуация 2. Ось Oy — главная 
ось инерции тела в точке O. Вид с 
главной оси инерции на плоскость 
симметрии тела поясняет рис. 1.2, 
где обозначена точка 
k
M  с координатами 
,

k
k
x
z  и 
2
2
,
k
k
x
z
 в системе 
главных осей инерции. 
Запишем выражения для координат 
точки 
k
M :  

2
2
cos
sin ;
k
C
k
k
x
x
x
z
=
+
α +
α  

2
2
cos
sin .
k
C
k
k
z
z
z
x
=
+
α −
α  

Выполняя те же операции, что и с преобразованиями в выражении 

yz
J
, получим 

 
(
)
2
2
sin 2
.
2
xz
C
C
x
z
J
Mx y
J
J
α
=
+
−
 

Замечание. При вычислении центробежных моментов 
инерции используем преобразования координат, учитывая параллельный 
перенос и поворот осей исходной системы координат. 
Если в задаче рассматривается стержень — одномерное тело, то 
точку Mk выбирают на оси, совпадающей с осью стержня. 

1.4. Динамическое уравновешивание механической системы 

Полные реакции опор вращающейся системы принято представлять 
в виде суммы статических и динамических составля- 
ющих. Динамические составляющие реакций обусловлены движением 
системы, статические определяются из уравнений статики.  
В соответствии с методом кинетостатики появление динамических 
составляющих связано с силами инерции. В динамически уравно-

 
 
Рис. 1.2