Анализ колебаний консервативных нелинейных систем с одной степенью свободы

УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213 
Г96 
Рецензенты: Г.Я. Пановко, А.А. Головин  

 
Гуськов А.М. 
 
Ч 24 
        Анализ колебаний консервативных нелинейных систем 
с одной степенью свободы: учеб. пособие / А.М. Гуськов, 
С.В. Яресько. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. — 
41, [3] с. : ил.  

ISBN 978-5-7038-3650-7 
Представлены системы с зазорами и системы с упругими элементами, 
имеющими начальные напряжения. Подробно рассмотрено 
построение кусочно-линейной силовой характеристики таких систем. 
Даны методы получения зависимости частоты колебаний от 
амплитуды на основе как точного решения по методу припасовывания, 
так и приближенного решения с помощью прямой линеаризации 
силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного  
и приближенного решений позволяет оценить возможности широко 
применяемых на практике методов линеаризации нелинейных  
систем. 
Для студентов 3-го курса механических специальностей МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, изучающих первую часть курсов «Аналитическая 
динамика и теория колебаний» и «Теория механических колебаний». 
 

УДК 531.37(075.8) 
ББК 22.213   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3650-7 
  
 
     © МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013 

 
Г96 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Представленное учебное пособие по теории нелинейных колебаний 
систем с одной степенью свободы предназначено для студентов 
механических специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана. По 
традиции этот раздел относится к первой части курсов «Аналитическая 
динамика и теория колебаний» и «Теория механических 
колебаний», изучаемых после освоения полного курса «Теоретическая 
механика». 
В результате изучения свободных колебаний консервативных 
систем с кусочно-линейной силовой характеристикой студенты 
должны достичь понимания ангармонизма колебаний нелинейных 
систем. 
Учебные задачи, включенные в пособие, предполагают обязательную 
выработку навыков вывода уравнений нелинейных силовых 
характеристик для комбинированных упругих систем. В 
пособии рассмотрены системы с зазорами и системы с упругими 
элементами, имеющими начальные напряжения. Зависимость частоты 
колебаний от амплитуды необходимо вычислить как на 
основе анализа точного решения, полученного методом припасовывания, 
так и приближенно, применяя метод прямой линеаризации 
силовой характеристики упругой системы. Сравнение точного 
и приближенного решений позволяет оценить возможности 
широко применяемых на практике методов линеаризации нелинейных 
систем. 
Для более полного изучения теории нелинейных колебаний 
можно рекомендовать учебники и монографии, приведенные в 
списке литературы [1 – 8]. 

ВВЕДЕНИЕ 

В пособии рассмотрены механические системы, имеющие ла-
гранжиан и уравнение движения соответственно 

 
2
1
( )
( , )
( )
,
2
U q
L q q
mq
U q
mq
q

∂
=
−
⇒
=−
∂

(1) 

где  q и m — обобщенные координата и масса системы; 
/
.
q
dq dt
=

Зависимость F(q) = ∂U(q) / ∂q называют силовой характеристикой 
упругого элемента, если потенциальная энергия U(q) есть 
энергия деформации конструкции, удерживающей обобщенную 
массу m. (В специальной литературе часто употребляют неудачный 
термин «упругая характеристика», чтобы подчеркнуть, что 
речь идет об упругом элементе.) 
Предполагается, что в состоянии {
0 ,
0}
q
q
=
=
система находится 
в устойчивом положении равновесия: 

 

2

2
0
0

( )
( )
0,
0.

q
q

U q
U q
q
q
=
=

∂
∂
=
>
∂
∂
 
(2) 

Следовательно, свободные движения системы вблизи положения 
равновесия имеют колебательный характер и фазовые траектории 
( )
q q
являются замкнутыми. 
Один оборот по траектории осуществляется за время, называемое 
периодом колебаний Т. Первый интеграл рассматриваемых 
систем имеет смысл полной энергии  

 
2
0
1
( , )
( )
,
2
E q q
mq
U q
E
=
+
=

(3) 

т. е. для движений, удовлетворяющих уравнению (1), 
( , )/
dE q q
dt ≡

0
≡
. Постоянная интегрирования Е0 определяется начальными 
условиями. Если упругая характеристика симметричная, т. е. 
U(q)  = U(–q) и F(q)  =  –F(–q), то фазовые траектории имеют 
симметричный вид относительно осей {
}
,
q q— рис. 1. 
 

 

Рис. 1. Фазовые траектории консервативной системы  
вблизи положения устойчивого равновесия {
0,
0}
q
q
=
=
 E02 > E01 

 
Проинтегрируем вдоль четверти полного оборота (от точки 1 
до точки 2, см. рис. 1), уравнение (3), которое на этом участке 
можно представить в виде 
[
]
0
2
( )
dt
dq
m E
U q
=−
−
. Поскольку в 

точке 1 при t = 0 имеем Е0 = U(A), то 

 

[
]
0

2
( )
4
;
( )
,
( )
2
( )
( )

A
dq
T A
A
T A
U A
U q
m

π
=
ω
=
−
∫
 
(4) 

при этом наибольшее отклонение называют амплитудой колебания 
A =  max(q): (
) (
)
{
}
,
(0)
,
(0)
0
(
2)
,
(
2)
0
.
q
A
q
q T
A
q T
=
=
=−
=
Если 
известна силовая характеристика F(q), то потенциальную энергию 
определяют как 

 

0
( )
(0)
( )
( )
( )
( )
.

q
A

q
U q
U
F x dx
U A
U q
F x dx
=
+
⇒
−
=
∫
∫
 
(5) 

Интеграл (4) в общем случае находят численно. Для линейных 
систем F(q)=cq,  U(q) = c q2/ 2 + C и возможно интегрирование в 

замкнутой форме. Период колебаний не зависит от амплитуды: 

2
.
T
m c
= π
 Такие колебания называют изохронными. Параметр с  
называют жесткостью характеристики. Жесткость нелинейных 
систем является локальной характеристикой и определяется как 
тангенс угла наклона силовой характеристики к оси q: 
c(q) = dF(q) / dq. Характеристику с возрастающей жесткостью 
(dc(q) / dq > 0, q > 0 )  называют жесткой, с убывающей жесткостью (
dc(q) / dq < 0, q > 0 )  — мягкой.  
В общем случае уравнение движения имеет вид m d 2q / dt 2 =  
=  –F(q). Если ввести новый масштаб времени 
0
0 ,
t
t
F mq
←
 
где {F0 , q0} — характерные значения силы и положения, то движение 
системы будет описываться безразмерным уравнением 
d 2x / dt 2= –f (x), x = q / q0, f = F / F0. Так как рассматриваемые системы 
консервативны, а нулевое положение устойчиво, все траектории 
движения являются замкнутыми, т. е. осуществляются периодические 
движения с частотой колебаний, зависящей от 
начальных условий: 
(
)
0
0
,
.
t
t
h x
dx dt
=
=
ω=
 Выбирая в дальнейшем 

начальные условия вида {
}
0
0
,
0 ,
t
t
x
A dx dt
=
=
=
=
 будем называть 

начальное отклонение А амплитудой колебаний. При этом предполагаем, 
что упругая характеристика является симметричной. Для 
получения размерных частоты и амплитуды нужно выполнить обратное 
преобразование: 
0
0
0
,
F
mq
A
Aq
ω←ω
←
. 

Данное учебное пособие посвящено определению зависимости 
частоты колебаний от амплитуды ω(A). По традиции эту зависимость 
называют скелетной кривой для соответствующей колебательной 
системы. Иногда удобнее рассматривать обратную функцию 
A(ω). Для жесткой характеристики частота свободных 
колебаний возрастает с увеличением амплитуды, для мягкой — 
убывает. Принципиальный вид этих функций показан на рис. 2. 
При исследовании реальных нелинейных систем одну из основных 
трудностей представляет получение силовой характеристики. 
В первом разделе пособия дан обзор различных типов силовых 
характеристик консервативных нелинейных систем. Второй 
раздел посвящен балочным системам с предварительно поджаты-

ми упругими опорами. Силовые характеристики таких систем являются 
мягкими кусочно-линейными. Балочные системы с упругими 
опорами при наличии зазоров подробно рассмотрены в третьем 
разделе. Такие системы обладают жесткими кусочно-
линейными силовыми характеристиками. 
 

 

Рис. 2. Общий вид зависимости частоты 
свободных колебаний от амплитуды для 
жесткой (кривая 1) и мягкой (кривая 2) 
систем 

В четвертом разделе настоящего пособия изложено точное решение 
задачи о свободных колебаниях систем с кусочно-
линейными силовыми характеристиками на основе метода припасовывания.  

В пятом разделе пособия рассмотрены вопросы практического 
применения различных методов линеаризации нелинейных систем. 
В приложении содержатся требования к выполнению домашнего 
задания по рассмотренной тематике. Представлены 24 принципиальные 
расчетные схемы и исходные данные для 72 вариантов 
домашнего задания. 

1. ПРОСТЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ  
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ  
С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ОСНОВНЫЕ  
РАЗНОВИДНОСТИ ХАРАКТЕРИСТИК 

Изучение колебаний любой механической системы невозможно 
без знания ее характеристики, т. е. зависимости между обобщенным 
перемещением и обобщенной силой, соответствующей 
этому перемещению. Такая зависимость может быть получена 
двумя путями: 
1) аналитически — в результате рассмотрения статического 
равновесия системы под действием обобщенной силы (для достаточно 
простых систем); 
2) экспериментально — непосредственным измерением статического 
обобщенного перемещения под действием обобщенной 
силы (для особо сложных систем). 
Полученная характеристика может быть представлена в виде 
графика или формулы. При экспериментальном определении характеристики 
формула является результатом той или иной аппроксимации 
экспериментальных данных. Представление характеристики 
в виде формулы необходимо при аналитическом изучении 
колебаний системы. 
На рис. 3 представлены простые нелинейные механические колебательные 
системы с одной степенью свободы и показаны графики 
их характеристик. 
На рис. 3, а изображена каретка, которая может смещаться в 
горизонтальном направлении без трения. В центре масс каретка 
шарнирно скреплена с имеющей жесткость с пружиной, длина которой 
по вертикали равна l при силе предварительного натяжения 
N0. Горизонтальная (обобщенная) сила F связана с горизонтальным (
обобщенным) перемещением х зависимостью 

Рис. 3. Разновидности нелинейных характеристик  
простых механических колебательных систем  
с одной степенью свободы 

0

2
2
(
) ,
N
cl x
F
cx

x
l

−
=
+
+
 
(6) 

которая при значении х, достаточно малом по сравнению со значением 
l, принимает вид 

 

3

0
0
3
1 (
)
.
2

x
x
F
N
cl
N
l
l
=
+
−
 
(6а) 

Вывод выражений (6) и (6а) подробно рассмотрен в [8, § 6]. 
Смена знака х влечет за собой и смену знака F при сохранении соотношения 
между их абсолютными величинами, т. е. характеристика 
симметричная. Симметрия характеристики является отражением 
симметрии системы относительно вертикали х = 0. Вторая 
производная силы F по перемещению х является величиной положительной: 

 


2
2
0
0
0
2
2
2
3
0;
3
0,
2
N
N
N
dF
x
d F
x
c
c
dx
l
l
l
l
dx
l
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
−
>
=
−
>
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
 
(6б) 

что легко заметить на рис. 3, а, где наклон кривой F(х) постепенно 
увеличивается с ростом абсолютной величины х. Характеристику, 
имеющую положительную вторую производную силы по перемещению, 
называют жесткой.  
На рис. 3, б показана подобная изображенной на рис. 3, а каретка, 
расположенная без зазора между двумя одинаковыми упругими 
элементами. Каждый элемент симметричен относительно 
горизонтали, проходящей через центр масс каретки, и состоит из 
двух шарнирно скрепленных в нейтральном положении пружин, 
имеющих жесткость с и длину l. Пружины помещены в шарнирно 
опертые одним краем жесткие трубки, не допускающие искривления 
осей пружин при смещении каретки. Наклон пружин к горизонтали 
в нейтральном положении равен α. Аналитическое выражение 
характеристики  

 

2
2
2 ( cos
)
1
2
cos

l
F
c l
x
x
xl
l

⎡
⎤
=
α −
−
⎢
⎥

⎢
⎥
−
α +
⎣
⎦
 
(7) 

выводят аналогично выражению (6). При х, достаточно малом по 
сравнению с l, зависимость принимает вид 

 

2
2
4
2
2
3
1
2
cos
sin
sin 2
(sin
sin 2 ) .
4
2
x
x
F
cx
l
l

⎡
⎤
=
α −
α
α +
α −
α
⎢
⎥
⎣
⎦
 (7а) 

Легко видеть, что выражения (6) и (6а) при N0 = 0 есть частный 
случай выражений (7) и (7а) при α = π/2 и половинной жесткости 
пружин. Отметим, что в выражениях (7) и (7а) значение x не может 
быть меньше нуля. Дело в том, что упругие элементы не соединены 
с кареткой, поэтому правый элемент работает только при смещении 
каретки вправо (см. рис. 3, б), и выражения, полученные 
при рассмотрении его статического равновесия, пригодны только в 
этом случае. При смещении каретки влево нужно использовать эти 
же выражения, заменив F и х их модулями. Характеристика системы 
симметричная, что является отражением симметрии самой системы 
относительно вертикали х  =  0. Вторая производная силы F 
по перемещению х отрицательна: 

 

2
2
4
2
2

2
4
2
2

2cos
3
sin
sin 2
3
(sin
sin 2 )
0;

6
(sin
sin 2 )
3sin
sin 2
0.

dF
x
x
c
dx
l
l

d F
c
x
l
l
dx

⎡
⎤
=
α −
α
α +
α −
α
>
⎢
⎥
⎣
⎦

⎡
⎤
=
α −
α −
α
α <
⎢
⎥
⎣
⎦

 (7б) 

Об этом свидетельствует также рис. 3, б, где наклон кривой F(х) 
постепенно уменьшается с ростом абсолютной величины х.  Характеристику, 
имеющую отрицательную вторую производную силы 
по перемещению, называют мягкой.  
На рис. 3, в показан плавающий жесткий стержень с криволинейным 
симметричным относительно вертикали сечением под действием 
вертикальной силы F, приложенной вдоль оси симметрии. 
При одинаковых приращениях вертикального перемещения y приращения 
силы F, уравновешивающие выталкивающую силу, равную 
произведению удельного веса жидкости и приращения погруженного 
объема стержня, должны быть тем больше, чем больше 
значение y. Характеристика системы жесткая несимметричная. 
На рис. 3, г изображен упругий элемент, подобный приведенным 
на рис. 3, б, но скрепленный с массой, имеющей только вер-