Численные методы в динамике и прочности машин

Московский государственный технический университет 
имени Н. Э. Баумана 
Калужский филиал 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
С. С. Гаврюшин, О. О. Барышникова, О. Ф. Борискин 
 
 
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 
В ДИНАМИКЕ И ПРОЧНОСТИ МАШИН 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 539.3:534.1 
ББК 34.41 
 
Г12 

Рецензент: 
д-р техн. наук, проф.  В. В. Кашелкин 
 
 
 
 
Гаврюшин С. С. 
Г12 
 
Численные методы в динамике и прочности машин / С. С. Гаврюшин, 
О. О. Барышникова, О. Ф. Борискин. — М. : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. — 492 с. 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3622-4 
 
Изложены основные этапы расчетов на ЭВМ напряженного и деформированного 
состояний сложных стержневых, оболочечных и трехмерных 
конструктивных элементов в геометрически и физически нелинейной постановке. 
Особое внимание уделено разработке новой методики расчета и проектирования, 
позволяющей за счет использования оптимальных смешанных 
аппроксимаций перемещений проводить численное исследование процессов 
нелинейного деформирования гибких трубчатых манометрических элементов, 
анализировать влияние различных параметров на процесс деформирования, 
учитывать особенности нелинейного процесса деформирования. 
Приведены и проанализированы результаты расчетов тестовых примеров 
и реальных механических систем. Значительное внимание уделено практическому 
применению разработанных алгоритмов, программ и методик. 
Для научных сотрудников, инженеров и аспирантов, связанных с исследованием, 
проектированием, изготовлением и эксплуатацией сложных 
механических систем. Книга может быть полезна студентам старших курсов 
технических вузов. 
 
УДК 539.3:534.1 
ББК 34.41 
 
 
 
 
© Гаврюшин С. С., 
 
 
Барышникова О. О., 
 
 
Борискин О. Ф. , 2012 
 
© Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3622-4 
 
им. Н. Э. Баумана, 2012 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В монографии изложены основные этапы расчетов на ЭВМ напряженного 
и деформированного состояния сложных конструктивных 
элементов в трехмерной нелинейной постановке на базе 
смешанных аппроксимаций перемещений полиномами высших порядков. 
При построении конечноэлементной модели сталкиваются 
две, противоречащие друг другу, тенденции: с одной стороны, необходимо 
получить надежные и достоверные результаты, а с другой — 
возникает вопрос о трудоемкости расчетов, которая может 
быть настолько велика, что результат оказывается практически недостижимым. 
Для разрешения этих противоречий необходим рациональный 
выбор конечных элементов, а следовательно, и их аппроксимирующих 
свойств. 
Авторами проведено сопоставление различных сочетаний порядков 
аппроксимаций перемещений в различных направлениях, выработаны 
рекомендации по оптимизации способов смешанной аппроксимации 
перемещений. Особое внимание уделено разработке 
новой методики расчета и проектирования, позволяющей проводить 
численное исследование процессов нелинейного деформирования 
гибких конструктивных элементов машин и механизмов, анализировать 
влияние различных параметров на процесс деформирования, 
учитывать особенности нелинейного процесса деформирования. 
Приведены и проанализированы результаты расчетов тестовых 
примеров и реальных механических систем. Значительное внимание 
уделено практическому применению разработанных алгоритмов, 
программ и методик. 
Монография посвящена разработке теории, методов расчета 
и оптимизации нового класса конечноэлементных математических 
моделей, используемых при решении нелинейных трехмерных задач 
динамики и прочности машин, приборов и аппаратуры. Их характерное 
отличие — использование полиномов различных степеней 
для аппроксимации перемещений в различных направлениях. 
В большинстве известных публикаций и конечноэлементных программных 
комплексах используются линейные симплекс-элементы 
или изопараметрические элементы второго порядка. Такой подход 

приводит к необходимости использовать достаточно большое количество 
конечных элементов и, как следствие, к возникновению 
и накоплению ошибок округления. Одна из первых попыток использовать 
смешанную аппроксимацию перемещений в трехмерных 
задачах была предпринята в монографии О. Ф. Борискина «Автоматизированные 
системы расчета колебаний методом конечных элементов». 
Результаты более подробных исследований опубликованы 
в журналах «Вестник МГТУ. Машиностроение» (1994, 2000), 
«Известия вузов. Машиностроение» (1999, 2000), «Проблемы прочности» (
1994, 1995), «Тяжелое машиностроение» (1997), «Проблемы 
машиностроения» (1991) и «VDI-Berichte» (1980, № 361). 
В этих публикациях были обнаружены большие преимущества 
семейства смешанных трехмерных конечных элементов с аппроксимацией 
перемещений полиномами высоких и высших порядков. 
На конкретных примерах показано, что использование такого подхода 
к решению задач динамики и прочности приводит к снижению 
числа необходимых конечных элементов на 30–50%. Особо 
следует отметить целесообразность применения смешанных аппроксимаций 
при решении нелинейных задач для многослойных 
аэрокосмических оболочечных конструкций. 
В монографии не просто собрано то, что сейчас рассредоточено 
во многих публикациях, выполненных при поддержке Российского 
фонда фундаментальных исследований (гранты 00-01-00771, 
01-01-96014, 01-01-06034, 01-01-06035), Европейского космического 
агентства (контракт 12804/98D/IM, 1999–2000), Немецкой службы 
академических обменов (гранты 1977–1978, 1984, 1997, 2001) 
и Международной Соросовской программы образования в области 
точных наук ISSEP (1997, 2000), но предпринята попытка изложить 
этот материал систематически, с максимальной ясностью, глубиной 
и полнотой. 
Тема монографии «Оптимальные смешанные аппроксимации перемещений 
в нелинейной трехмерной динамике и прочности машин» 
находится на пересечении различных областей знаний: механика 
твердого деформируемого тела, математическое моделирование, 
численные методы, теория аппроксимаций функций, теоретическая 
механика и др. Это новое научное направление в численных методах 
моделирования механических систем и в методе конечных 
элементов возникло около 16 лет назад. Все основные публикации 

по трехмерным смешанным аппроксимациям перемещений полиномами 
высших порядков принадлежат исполнителям проекта — 
О. Ф. Борискину, С. С. Гаврюшину, О. О. Барышниковой — сотрудникам 
Московского государственного технического университета 
им. Н. Э. Баумана. В трех публикациях соавтором является 
В. В. Кашелкин — рецензент монографии, заведующий отделом 
прочности ФГУП «Красная звезда» Министерства Российской Федерации 
по атомной энергии (Минатом России). 
В этих публикациях были обнаружены большие преимущества 
семейства смешанных трехмерных конечных элементов с аппроксимацией 
перемещений полиномами высоких и высших порядков. 
На конкретных примерах показано, что использование такого 
подхода к решению задач динамики и прочности приводит к снижению 
числа необходимых конечных элементов на 30–50%. Предложенные 
математические модели обладают высокой достоверностью 
в широком диапазоне изменения как параметров моделей, 
так и физико-механических и геометрических характеристик объектов 
исследования. Особо следует отметить целесообразность 
применения смешанных аппроксимаций при решении нелинейных 
задач для многослойных аэрокосмических оболочечных конструкций. 

В большинстве известных публикаций и в конечноэлементных 
программных комплексах используются линейные и квадратичные 
конечные элементы. Для получения необходимой точности моделирования 
требуется очень большое количество узлов и элементов. 
В целом ряде практических применений необходимо достаточно 
большое количество слоев элементов по толщине детали. Поэтому 
создание семейства высокоточных конечных элементов на базе смешанных 
аппроксимаций перемещений полиномами третьих и четвертых 
порядков для моделирования сложных механических систем 
с циклической поворотной симметрией следует отметить как 
получение новых научных результатов. 
Монография состоит из предисловия и 14 глав. 
В предисловии дается формулировка проблемы развития методов 
расчета на ЭВМ колебаний и напряженно-деформированного 
состояния сложных оболочечных и трехмерных элементов машин 
с использованием автоматизированной конечноэлементной программной 
системы. В настоящее время машиностроительные пред-

приятия оснащены достаточно мощной вычислительной техникой, 
однако имеет место некоторое отставание прикладного программного 
обеспечения расчетов динамики и прочности машин. Такие программные 
продукты базируются, как правило, на упрощенных математических 
моделях (стержни, кольцевые пластины, тонкостенные 
безмоментные оболочки вращения). Все это приводит к увеличению 
объема экспериментальных работ, к необходимости разработки 
и изготовления нескольких вариантов конструкции. Для ликвидации 
этого отставания и для существенного уточнения базовых конечно-
элементных моделей и написана настоящая монография. Она посвящена 
вопросам повышения эффективности использования ЭВМ 
и метода конечных элементов (МКЭ) в нелинейных трехмерных 
расчетах динамики и прочности сложных механических систем. 
Глава 1. Анализ развития автоматизированных конечноэле-
ментных систем для расчета машиностроительных конструкций. 
Одной из наиболее трудоемких задач при разработке систем автоматизированного 
проектирования машиностроительных конструкций 
является создание специализированного программного комплекса для 
расчетов динамики и прочности элементов, блоков и конструкции 
в целом на основе метода конечных элементов. От уровня достоверности 
математических моделей и от затрат машинного времени 
в значительной степени зависит эффективность систем автоматического 
проектирования (САПР) машиностроительных конструкций. 
Таким образом, при автоматизации расчетов динамики и прочности 
необходимо решить две взаимосвязанные задачи: 
1. Разработать математическое и программное обеспечение, обладающее 
высокой точностью и достоверностью. 
2. Снизить трудоемкость расчетов, в первую очередь, в результате 
применения суперэлементного подхода, учета циклической симметрии 
конструкций, анализа и сопоставления различных методов 
решения задач линейной алгебры. 
Особого внимания заслуживает снижение трудоемкости подготовки 
исходных данных и графическое представление результатов 
расчетов. 
Глава завершается формулировкой проблем разработки и численного 
исследования новых конечноэлементных моделей, базирующихся 
на смешанных аппроксимациях перемещений полиномами 
высших порядков. 

Глава 2. Колебания и напряженно-деформированное состояние 
оболочечных конструкций. Одним из наиболее важных примеров 
расчета оболочек является анализ рабочих лопаток турбомашин. 
В процессе работы турбомашины в лопатках возникают 
значительные статические и динамические напряжения. Выход из 
строя даже одной лопатки компрессора приводит к выходу из 
строя всей турбомашины и значительным экономическим потерям. 
Все это заставляет разрабатывать теоретические методы оценки 
прочностных и вибрационных характеристик рабочих лопаток. 
Для расчета колебаний лопаток сложной геометрии, включая 
лопатки радиальных турбомашин, лопаток с бандажными антивибрационными 
полками широкое распространение получил метод 
конечных элементов. Для расчета колебаний лопаток компрессора 
используют плоские, криволинейные и трехмерные изопараметри-
ческие конечные элементы. При первом подходе наилучшие результаты 
и минимальная трудоемкость получены при анализе колебаний 
лопаток компрессора с использованием треугольных конечных 
элементов переменной толщины с изгибно-мембранной 
жесткостью. 
При расчете вводится предположение, что напряженное состояние 
рабочей лопатки определяется по линейной теории оболочек 
с использованием гипотезы Кирхгофа. Если относительные перемещения 
для элемента оболочки малы, а кривизна незначительна, 
то плоская и изгибная деформации не связаны в пределах каждого 
конечного элемента. Следовательно, напряженное состояние в срединной 
поверхности может быть описано с помощью классического 
аппарата двумерной задачи теории упругости, а напряженное состояние, 
возникающее при изгибе, — на основе теории изгиба тонких 
пластин. Рассмотрен треугольный конечный элемент, находящийся 
одновременно под действием внешних нагрузок, которые приложены 
и в срединной поверхности, и по нормали к плоскости элемента. 
При описании изгибных деформаций функцию прогиба можно 
записать в виде аппроксимирующего полинома третьей степени. 
Глава 3. Колебания и напряженно-деформированное состояние 
трехмерных тел. Широкий класс деталей машин не может 
быть описан на основании двумерных конечноэлементных 
аппроксимаций. К числу таких деталей можно отнести рабочие 
лопатки компрессоров и газовых турбин. Для лопаток турбины ха-

рактерно совместное использование толстых профилей с достаточно 
тонкой выходной кромкой в корневой части лопатки и относительно 
тонких сильно искривленных профилей на её периферии. 
Известный в технической литературе метод расчета деталей такого 
класса основан на использовании квадратичных суперпара-
метрических конечных элементов. Вместе с тем этому подходу 
присущи неоднократно отмечаемые в литературе погрешности, 
связанные с неточным заданием нормали для суперпараметриче-
ской модели. Для таких деталей машин необходимо использовать 
уравнения трехмерной теории упругости. 
Рассмотрены основные матричные соотношения метода конечных 
элементов, основанные на уравнениях трехмерной теории упругости 
в перемещениях. На этих соотношениях базируется методика 
расчета динамики и прочности трехмерных деталей машин. 
Применение метода конечных элементов в задачах теории упругости 
основано на предположении, что исследуемое трехмерное 
тело может быть заменено дискретной моделью с некоторой совокупностью 
узловых параметров. Вычисление параметров в точках, 
отличных от узловых, осуществляется при помощи специально подобранных 
аппроксимирующих функций, или функций формы, так 
как именно их зачастую используют для описания геометрии трех-
мерного тела. В качестве основных неизвестных при составлении 
уравнения равновесия такой дискретной модели принимают перемещения 
узлов. 
В заключительной части главы приведены численные результаты 
для ряда реальных высоконагруженных машиностроительных 
конструкций. Формулируются выводы, относящиеся к преимуществам 
смешанных трехмерных аппроксимаций по сравнению с лучшими 
мировыми аналогами. 
Глава 4. Геометрическая и физическая нелинейности механических 
систем. В предыдущих главах при выводе конечноэле-
ментных соотношений использовалось предположение о линейной 
связи между перемещениями, деформациями и напряжениями, что 
позволяло описывать рассматриваемую задачу линейными дифференциальными 
уравнениями. Однако на практике задача расчета 
динамики и прочности механических систем не является линейной 
в силу наличия большого многообразия силовых факторов. Все 
нелинейные процессы, возникающие в условиях сложного нагру-

жения, можно разделить на геометрически нелинейные и физически 
нелинейные. 
Первый тип нелинейности выражается в нелинейной зависимости 
деформаций от перемещений. Наиболее полно это проявляется 
в задачах о конечных деформациях и больших перемещениях при 
малых деформациях (например, при расчете деталей машин). 
Однако даже при малых деформациях, не превышающих предел 
упругости материала, и малых перемещениях необходим учет геометрической 
нелинейности. Так, мембранные напряжения, возникающие 
в растягиваемых центробежными силами лопатках турбомашин, 
могут явиться причиной значительного уменьшения перемещений 
и роста собственных частот. Другой пример: при значительной 
неравномерности нагрева в лопатке могут появиться зоны, 
в которых несущая способность и, следовательно, собственные 
частоты всей конструкции будут уменьшаться. 
Второй тип нелинейности выражается в появлении в материале 
при определенных условиях неупругих деформаций. Частным случаем 
отклонения от линейно-упругого поведения является пластичность, 
характеризующаяся необратимым деформированием, 
которое начинается при достижении некоторого напряжения — 
предела текучести материала. 
На базе смешанной аппроксимации перемещений полиномами 
высоких порядков разработаны алгоритмы, учитывающие геометрическую 
и физическую нелинейность. Рассмотрено нелинейное 
поведение ряда модельных примеров и реальных конструкций. 
Полученные численные результаты удовлетворительно согласуются 
с известными результатами других авторов и с экспериментальными 
данными, полученными на заводах-изготовителях. 
Глава 5. Суперэлементная расчетная схема сложных механических 
систем. Расчет динамики и прочности сложных машиностроительных 
конструкций с использованием МКЭ приводит 
к необходимости решения задач линейной алгебры с большой размерностью 
матриц. Это требует значительных объемов оперативной 
и внешней дисковой памяти, существенных затрат машинного 
времени. Все это имеет особое значение при решении динамических 
задач. 
Одним из возможных направлений повышения точности и снижения 
трудоемкости расчетов динамики и прочности деталей машин 

является использование суперэлементной методики, которая основана 
на выделении «внешних» степеней свободы конструкции. В настоящее 
время известны многочисленные примеры использования 
этого подхода в статических задачах. Процесс исключения внутренних 
степеней свободы представляет собой в этом случае процедуру 
блочного исключения Гаусса. Попытка прямого переноса блочного 
исключения Гаусса на задачи колебания привела к необходимости 
преобразования матрицы динамической жесткости подконструкций. 
Для повышения эффективности и упрощения алгоритмов расчета 
собственных частот и форм колебаний целесообразно при разработке 
программных комплексов МКЭ использовать процедуру 
исключения внутренних степеней свободы до формирования матрицы 
динамической жесткости. Такой подход позволяет на уровне 
матриц жесткости и масс конструкции, полученных с помощью 
алгоритма статической конденсации, использовать стандартные 
программы решения задачи о собственных значениях. В настоящей 
главе используется методика расчета динамики и прочности машин, 
которая основана на применении алгоритма статической конденсации 
и базируется на смешанной аппроксимации перемещений 
полиномами высших порядков. 
Решаются задачи оптимизации выбора внешних степеней свободы 
для типовых машиностроительных конструкций, которые 
обеспечивают достаточно высокую достоверность численных результатов 
при умеренных затратах машинного времени. 
Глава 6. Метод модальных матриц в динамике сложных механических 
систем. Использован вариант метода модального синтеза, 
основанный на использовании собственных форм колебаний 
элементов, включая формы колебаний как жесткого целого. В общем 
случае первый элемент конструкции связывается со вторым 
элементом посредством приравнивания перемещений в граничных 
узлах. В качестве примера рассмотрена пластина с жесткой заделкой 
на концах, длина которой равна 0,24 м. Снижение числа используемых 
в модальном синтезе форм колебаний с 28 до 10 изменило низшую 
частоту колебаний системы лишь на 2,3%. Размерность задачи 
удалось при этом снизить почти в шесть раз. 
Глава 7. Суперэлементная методика исследования циклически 
симметричных систем. Большое внимание к исследованию 
колебаний механических систем с циклической поворотной сим-