Постановка и решение задачи оптимального проектирования и расчет теплонапряженного состояния лопаток и дисков турбин

Б.Е. Васильев 

Постановка и решение задачи 
оптимального проектирования
и расчет теплонапряженного 
состояния лопаток 
и дисков турбин 

Методические указания 
к выполнению домашнего задания 

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-4872-2 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
© Оформление. Издательство  
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

УДК 517.31
ББК 34.445
 
В19 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/127/book1821.html

Факультет «Энергомашиностроение» 
Кафедра «Газотурбинные и нетрадиционные энергоустановки» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

 
Васильев, Б. Е.

В19 
 
Постановка и решение задачи оптимального проектирования и расчет 
теплонапряженного состояния лопаток и дисков турбин : методические 
указания к выполнению домашнего задания / Б. Е. Васильев. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 47, [5] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4872-2 

Приведены условия домашних заданий, примеры их выполнения, а также не-

обходимые теоретические сведения. Задания направлены на формирование у обучающихся 
навыков проведения расчетов напряженно-деформированного состояния 
и прочности лопаток и дисков турбин как в 2D-, так и в 3D-постановках. 
Дополнительно рассмотрено решение задачи конструктивно-прочностной оптимизации 
диска турбины. 

Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, обучающихся по специальности 

«Проектирование авиационных и ракетных двигателей», а также для начинающих 
инженеров. 
УДК 517.31
ББК 34.445

Предисловие

В издании приведены условия двух общих домашних заданий (ДЗ) по 
курсу «Численное моделирование процессов в авиационных двигателях 
и энергоустановках», примеры решений и теоретические основы для их выполнения. 
Также представлены задания повышенной сложности и перечень 
основных действий для их решения.
Целью настоящего издания является приобретение навыков постановки, 
решения и критического анализа результатов задачи определения тепло-напряженного 
состояния и прочности с помощью метода конечных элементов (
МКЭ) на примере расчетов дисков и лопаток турбин в 2D-постановке 
(в общем порядке), а также решения этой задачи в 3D-постановке и проведения 
конструктивно-прочностной оптимизации диска (ДЗ повышенной сложности). 
Для каждого из указанных ДЗ предусмотрены различные варианты.
Помимо приобретения указанных выше навыков обучающиеся после 
решения ДЗ должны получить знания о том, какие факторы и как сильно 
влияют на напряженно-деформированное состояние (НДС) и прочность лопаток 
и дисков. 

Для упрощения проведения расчетов в рамках данных методических 
указаний не учитываются многие важные факторы и делаются допущения, 
использование которых в инженерной практике возможно только на стадии 
предварительных расчетов. 
Домашние задания повышенной сложности выдаются лишь некоторым 
обучающимся. Для одного задания имеется несколько вариантов твердотельных 
моделей, для другого рекомендуется выбирать конструктивный облик 
диска, нагрузки и граничные условия из курсового проекта по турбомашинам. 

Теоретические основы метода конечных элементов (МКЭ) изложены 

в [1, 2], расчет прочности дисков и лопаток турбин — в [3, 4], подготовка 
граничных условий для определения их теплового состояния — в [5].  
Подробная инструкция по вычислению НДС диска турбины приведена в [6], 
а также наряду с инструкциями по проведению других вычислений, в том 
числе лопаток турбин, может быть найдена в практикуме к этому курсу.  
Материалы по оптимизации представлены в курсе лекций. 
Для выполнения задания 1 повышенной сложности автор разработал 
видеоинструкцию с показом основных действий. Задание 2 повышенной 
сложности выполняется самостоятельно на примере оптимизации детали 
(крюка под нагрузкой), проект которой размещен на сайте автора. 
Автор выражает благодарность М.С. Свинаревой за помощь в подготовке 
рукописи к печати, а также проректору по учебной работе МГТУ 
им. Н.Э. Баумана Ю.Б. Цветкову за поддержку и рекомендации.

Условные обозначения и сокращения

ГТД 
— газотурбинный двигатель
ГТУ 
— газотурбинная установка
ДЗ 
— домашнее задание
ДСП 
— длительная статическая прочность
КЛТР 
— коэффициент линейного температурного расширения (α 1/°С)
КЭМ 
— конечно-элементная модель
МКЭ 
— метод конечных элементов
МЦУ 
— малоцикловая усталость
НДС 
— напряженно-деформированное состояние
ЦБС 
— центробежная сила
ЦТ 
— центр тяжести
∆ε 
— размах деформаций
N 
— центробежная сила (Н)
Mx, My — изгибающие моменты относительно осей x и y (Н · мм)
E 
— модуль упругости (МПа)
PЛМ 
— параметр Ларсона — Миллера
T 
— температура (°C)

Tw
*, Tв 
— температура газа и температура воздуха соответственно (K) 
µ 
— коэффициент Пуассона
ρ 
— плотность (кг/м3)
λ 
— коэффициент теплопроводности (Вт/(м · К)) 
σдл 
— предел длительной прочности материала (МПа)
σe 
— эквивалентные по Мизесу напряжения (МПа)
σm 
— среднее напряжение в расчетной точке (МПа)
KM 
— коэффициент запаса длительной статической прочности
KN 
— коэффициент запаса по циклической долговечности
Rс 
— радиус центра тяжести (мм) 

ψmin  
— относительное поперечное сужение (%)
ω 
— угловая частота (рад/с) 

1. ОБЩИЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ 

1.1. Теоретические основы  
для выполнения общих домашних заданий

2D-расчет теплонапряженного состояния и прочности диска турбины. 
В настоящее время на основании нормативных требований прочность 
дисков газотурбинного двигателя (ГТД) оценивается расчетными запасами 
как по разрушающей частоте вращения, найденной с использованием 
теории предельного равновесия или по энергетическому критерию, так 
и по напряжениям. Для оценки долговечности дисков в течение требуемого 
циклического ресурса используются коэффициенты запасов по малоцикловой 
усталости. Допускаемые величины запасов прочности устанавливаются 
на основании испытаний и положительного опыта проектирования и эксплуатации. 

Двумерные расчеты дают общую картину НДС и его особенности вблизи 
осесимметричных концентраторов. Для этого используется осесимметричная 
формулировка НДС элемента. Данная формулировка подразумевает, 
что 3D-модель и нагрузки могут быть сгенерированы путем вращения плоского 
двумерного сечения на 360° вокруг оси (особенностью программного 
комплекса ANSYS является то, что данной осью обязательно должна быть 
ось 0Y ). Однако при наличии в конструкции отверстий и прочих неосесим-
метричных концентраторов для достоверной оценки прочности в их области 
необходимы трехмерные расчеты.
Основной вклад в НДС вносят центробежные силы лопатки и диска 
и радиальная неравномерность температуры. В рамках устаревших подходов 
учитываются, как правило, только радиальные σR и окружные σT напряжения, 
их распределение с достаточной степенью точности можно определить, 
используя метод двух расчетов.
Для дисков, работающих длительное время при повышенных температурах, 
необходимо использовать характеристики длительной статической 
прочности. Запас прочности по напряжениям определяется для каждого режима 
эксплуатации двигателя:

K M
e
= σ
σ

дл ,

где σдл — предел длительной статической прочности материала при заданном 
ресурсе работы двигателя при максимальных нагрузках; σe — эквивалентные 
по Мизесу напряжения:

σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
e =
−
+
−
−


1
2
1
2
2

2
3
1
2
1
2
(
)
(
)
,
3
2) +(

где σ1, σ2, σ3 — главные значения тензора напряжений.
В первом приближении циклический характер работы диска можно 
учесть по размаху деформаций в цикле 0 — рабочий режим с учетом модифицированной 
формулы Мэнсона:

∆ε
σ
σ

ψ
=
−
(
) ⋅
+
−







−
−
дл
m

f
f
E
N
N
3 5
100
100

0 12

0 6

0 6
,
ln
,
,

min

,

,

где ∆ε — размах деформаций в цикле, %; σm  — среднее напряжение в расчетной 
точке за цикл, МПа; E — модуль упругости при максимальной температуре 
за цикл, МПа; Nf — число циклов до разрушения; ψmin  — относительное 
поперечное сужение, минимальное за цикл, %.
Файл-скрипт «Мэнсон.xmcd» для расчета циклической долговечности 
можно скачать с сайта автора в разделе «Домашнее задание» [7]. Следует отметить, 
что для упрощения задачи этап разгрузки не принимается во внимание, 
хотя учет разгрузки может привести к существенно иным результатам.
Запас по циклической долговечности (с учетом числа циклов нагружения 
Nr) определяется как

K
N
N
N
f

r
=
.

Расчетный запас циклической долговечности должен быть больше 5.
2D-расчет теплонапряженного состояния и прочности охлаждаемой рабочей 

лопатки турбины. Для расчета охлаждаемой лопатки применяется полупро-
странственная модель, которая в отличие от 1D-модели позволяет учесть 
напряжения и деформации в плоскостях поперечных сечений лопатки. Используется 
формулировка плоско-деформируемого состояния. 
В расчетах принято, что направление оси Z совпадает с продольной 
осью лопатки, а направления осей координат X и Y, в которых построены 
поперечные сечения лопатки, — с направлениями осей координат двигателя 
(рис. 1.1).
Для расчета местных запасов длительной статической прочности необходимо 
знать экспериментально определенные предельные характеристики. 
В случае отсутствия экспериментальных данных для заданных значений 
температур и длительностей можно воспользоваться параметром Ларсона — 
Миллера: 

 
P
T
t
C
ЛМ =
+
(log
),  
(1.1)

где T — температура материала, K (несмотря на то, что температура деталей 
при расчете прочности задается в градусах Цельсия, в формуле (1.1) температура 
именно в градусах Кельвина); t — продолжительность нагружения, ч; 
С — постоянная, равная, как правило, 20.

В качестве примера использования данной зависимости приведено определение 
набора пределов длительной статической прочности детали, температура 
которой меняется в диапазоне от 500 до 850 °С, а время работы на 
этом режиме составляет 100 ч.
Тогда диапазон допустимых температур разбивают на пять участков по 
формуле (1.1) и вычисляют шесть значений параметра Ларсона — Миллера 
(табл. 1.1). 
Откуда по параметрической кривой Ларсона — Миллера определяются 
значения длительной статической прочности (рис. 1.2).

Таблица 1.1
Значения параметра Ларсона — Миллера

Параметры
Значения

T, °C
500
550
625
700
775
850

PЛМi = 1…6
17 009
18 109
19 759
21 409
23 059
24 709

Рис. 1.1. Расчетная схема лопатки 

Рис. 1.2. Параметрическая кривая Ларсона — Миллера 

Таким образом, формируется табличная зависимость значений предела 
длительной статической прочности от температуры.

1.2. Условия общих домашних заданий 

Задание 1. 2D-расчет теплонапряженного состояния и прочности диска турбины. 
Цель и задачи задания. Рассчитать прочность диска турбины. Определить 
его поле температур, НДС и значения коэффициентов запаса диска 
с учетом неравномерного по радиусу поля температур.

Пояснения. Исходные данные берутся из табл. 1.2, в которой содержатся 
коэффициенты масштабирования в осевом и радиальном направлениях 
(коэффициент осевых размеров (КОР) и коэффициент радиальных размеров 
(КРР)), масса и количество лопаток (mл и Z ), частота вращения (n) и ресурс. 
Вариант своего домашнего задания можно найти на сайте автора [7].

Таблица 1.2

Варианты задания 1

Вариант
КОР
КРР
mл, г
Z, шт.
n, об/мин
Ресурс, ч

1
0,82
0,91
38,9
36
17 000
500

2
0,77
0,51
31,1
45
26 000
500

3
0,91
0,8
25,5
55
19 000
1000

4
1,2
0,59
31,8
44
23 000
500

5
1,2
0,5
42,4
33
29 500
5000

6
0,84
0,85
24,6
57
18 000
5000

7
1,2
0,46
37,8
37
32 000
500

8
0,48
0,53
31,8
44
26 000
500

9
1,17
1,22
40,0
35
14 000
5000

10
0,93
0,75
28,6
49
22 000
500

11
0,64
0,86
27,5
51
20 000
500

12
0,63
0,89
24,1
58
20 000
1000

13
1,12
0,55
40,0
35
26 000
5000

14
1,05
0,85
37,8
37
22 000
1000

Вариант
КОР
КРР
mл, г
Z, шт.
n, об/мин
Ресурс, ч

15
1,02
0,99
24,6
57
20 000
5000

16
1,06
1,03
32,6
43
20 000
1000

17
0,48
0,84
25,9
54
24 000
1000

18
0,66
1,2
25,5
55
18 000
100

19
0,78
0,97
35,0
40
22 000
5000

20
1,34
0,89
32,6
43
24 000
100

21
0,63
1,24
36,8
38
18 000
500

22
0,9
0,87
37,8
37
24 000
5000

23
1,11
1,15
31,1
45
20 000
500

24
1,09
1,15
29,2
48
20 000
500

25
1,22
1,19
35,0
40
20 000
1000

26
0,58
1,3
34,1
41
18 000
5000

27
0,59
1,09
29,8
47
22 000
500

28
0,77
1,39
28,6
49
18 000
1000

29
0,54
1,12
35,9
39
22 000
500

30
1,1
1,29
26,9
52
20 000
500

31
1,33
1,08
28,0
50
24 000
100

32
1,21
0,98
29,2
48
26 000
1000

33
0,95
1,32
33,3
42
20 000
5000

34
1,18
1,33
41,2
34
20 000
100

35
0,43
0,89
37,8
37
28 000
100

36
0,64
1,33
25,9
54
22 000
500

37
0,43
1,33
40,0
35
22 000
500

38
1,05
1,2
28,0
50
21 000
1000

39
0,94
1,1
35,0
40
24 000
1000

40
1,07
0,59
42,4
33
28 000
1000

Окончание табл. 1.2

Длительность цикла 0—рабочий режим—0 составляет 
30 мин. 
На рис. 1.3 показан эскиз диска с исходными 
значениями размеров (ЦТ — центр тяжести лопатки). 

Для решения тепловой задачи необходимо использовать 
граничные условия III рода (общие для 
всех вариантов): 
• значения температуры: +650 °С для ободной 
части, +270 °С для ступицы; 
• коэффициенты теплоотдачи: +1200 Вт/(м2 ·К) 
для ободной части, +300 Вт/(м2 · К) для ступицы.
Особо следует отметить, что предлагаемый набор 
граничных условий III рода является не совсем 
корректным для расчета поля температур, так как 
не учитывается радиальная эпюра коэффициента 
теплопередачи по его боковым поверхностям. Для 
формирования корректного набора граничных условий 
по диску стоит обратиться к [5].
Характеристики материала. Необходимо использовать 
характеристики материала диска, представленные в табл. 1.3–1.5. 
Плотность материала 8230 кг/м3.

Таблица 1.3

Механические характеристики сплава для диска в зависимости от температуры

Параметры
T, °C

20
650

E, МПа
201 300
100 800

µ
0,3
0,3

α ·106, °С–1
11,9
13,3

σ, Вт/(м · К) 
10,4
15,05

ψmin, %
20
14,5

Таблица 1.4

Кривые деформирования сплава для диска 

Характерная точка  
кривой деформирования

T, °C

20
650

ε
σ, МПа
ε
σ, МПа

Точка 1
3,100E-03
624
5,992E-03
604

Точка 2
0,025
798,42
0,025
791,3

Рис. 1.3. Эскиз исходного 
диска турбины