Плоская статика

Плоская статика

Методические указания 
к выполнению курсового задания 

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

Под редакцией В.В. Дубинина

2-е издание

УДК 531.2 
ББК 22.21 
П39 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/178/book1813.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 

Кафедра «Теоретическая механика» 

Рекомендовано Учебно-методической комиссией  
Научно-учебного комплекса «Фундаментальные науки»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 

Авторы: В. В. Дубинин, Н. В. Борохова,  
А. В. Пашков, А. В. Ремизов  

Рецензент  
канд. физ.-мат. наук А. В. Копаев  

 
 
Плоская статика : методические указания к выполнению 
курсового задания / В. В. Дубинин, Н. В. Борохова, А. В. Пашков, 
А. В. Ремизов ; под ред. В. В. Дубинина. — 2-е изд. —
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 
44, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4884-5 

Представлены примеры выполнения и варианты курсового 
задания по теме «Плоская статика» дисциплины «Теоретическая 
механика». 
Для студентов первого курса машино- и приборостроительных 
специальностей. Методические указания могут быть 
полезны и при изучении других разделов механики (решение 
задач статики). 
 
УДК 531.2 
ББК 22.21 
 

 

 

 
 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 
 Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4884-5 
 
 
        МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014 

  
П39

ВВЕДЕНИЕ 

Курсовое задание по теме «Статика» состоит из двух частей: 
«Плоская статика» и «Пространственная статика». В методических 
указаниях содержатся задачи курсовых заданий по плоской статике. 
Студенту выдается один вариант задания для самостоятельного 
решения, состоящий из двух типовых задач. 
В первой задаче рассматривается равновесие системы сочлененных 
тел. Система статически определима, состоит из трех тел и 
нагружена распределенными силами, сосредоточенными силами и 
парами сил с заданным моментом. Требуется определить реакции 
опор. 
Во второй задаче рассматривается равновесие механизма под 
действием плоской системы сил, определяются условия равновесия (
необходимые значения сил, моменты пар сил), а также реакции 
опор. 
В ряде задач использованы упругие элементы — линейные или 
спиральные пружины, жесткости которых cл и c. Сила упругости 
определяется формулой Fупр = cл λл, момент упругих сил спиральной 
пружины Lупр = c λ (λл и λ— линейная и угловая деформации 
пружин). Деформация λ спиральной пружины  осуществляется из 
положения, когда спиральная пружина не деформирована в 
направлении стрелки. Тем самым определяется направление круговой 
стрелки момента упругих сил пружины, который приложен 
к стержню. 
Представлены примеры выполнения и варианты курсового задания 
по теме «Плоская статика» курса «Теоретическая механика». 
 

ПРИМЕРЫ ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ 

Пример 1 

Представлена сочлененная система (рис. 1)¸ состоящая из трех 
стержней. Стержни AB−BC, BC− CD соединены цилиндрическими 
шарнирами; стержни AB−BC соединены еще и спиральной пружиной, 
имеющей деформацию λ; стержень BC нагружен сосредоточенной 
силой P , а стержень CD — распределенными силами постоянной 
интенсивности q . Опора A — заделка, опора D — 
цилиндрический шарнир. 
 

 
 
 
Деформация λ спиральной пружины начинается из положения, 
когда спиральная пружина не деформирована в направлении 
стрелки. Этим определяется направление круговой стрелки момента 
упругих сил пружины, которые приложены к стержню BC. Круговая 
стрелка изображена на стержне BC.  

q 

В 

А 

С

D

К

P

α

β

λ

Рис. 1

Определить составляющие реакции заделки A и цилиндрического 
шарнира B.  
При расчетах принять: 
;
=
=
=
AВ
BC
CD
l  
/ 2;
=
=
BK
KC
l
 
/ ;
=
q
P l  
20 H м/рад;
=
⋅
с
 
/ 6 рад;
λ = π
 
60 ;
α =
°  
10Н;
=
P
 
1 м;
=
l
 
60 .
β =
°  
Решение 
Определим равнодействующую распределенных сил: 

 
,
=
=
=
P
Q
ql
l
P
l
 

при этом 
1
1 .
C K
K D
′
=
 
 

 
 
Будем определять из уравнений по одной неизвестной (рис. 2): 
1) 
(
)
0
С
k
k
M
F
=
∑
 (схема I), тогда 

В 
С

D

К 

P

α 

β

C’

XВ 

YВ 

M

YС

XС

YC’

XC’

XD

YD

Q

K1

С

К

P

α

β

В

XВ

YВ

M

Q

K1

D
XD

YD

В' 

YB’ 

XB’ 

M

A 

XA 

YA 

Схема I 

Схема II

Схема III 

Схема IV

Рис. 2

MА 

sin
0,
B
Y BC
P
KC
M
−
+
α
−
=
 M
c
= λ ⇒ 
3
,
4
λ
=
−
B
c
Y
P
l
 
6,14 Н;
B
Y = −
 

2) для схемы IV составим уравнение  

  
(
)
0,
=
∑
D
k
k
M
F
 

тогда 

 

[
]

(
cos )
sin
cos
2
                          
sin (
cos )
cos
sin
0.

B
B
CD
Y
BC
CD
X CD
Q

P
KC
CD
CD
M

−
+
β −
β +
β +

+
α
+
β +
α
β −
=
 

Отсюда определим 

 

[
]

sin
(1
cos )
cos
2

                                      
sin (0,5
cos )
cos
sin
.

B
B
Q
X
Y

M
P
l

β = −
+
β +
β +

+
α
+
β +
α
β −
 

Окончательно получим 

 
16,43H.
B
X
=
 

Для определения реакции заделки (
,
,
)
A
A
A
X
Y
M
 составляем 
уравнения равновесия (схема III): 

 
0
kx
k
F
=
∑
,    
0,
A
B
X
X
′
−
=
 

 
A
B
B
X
X
X
′
=
=
,    
16,43 Н;
A
X
=
 

 
0,
=
∑
ky
k
F
    
0,
A
B
Y
Y ′
−
=
 

 
;   
6,14 Н;
A
B
B
A
Y
Y
Y
Y
′
=
=
= −
 

 
(
)
0
A
k
k
M
F
=
∑
,    
0,
A
B
M
X
B A
M
′
′
−
⋅
+
=
 

 
.
A
B
B
M
X
B A
M
X l
с
′
′
′
=
⋅
−
=
− λ  

Отсюда 
5,96 Н м.
A
M
=
⋅
 

Пример 2 

Кривошипно-ползунный механизм находится в равновесии. К 
ползуну B приложена сила Q , к кривошипу ОА приложена пара 
сил с моментом M (рис. 3). 
 

 
 
Определить момент M, реакции шарнира O и опоры B на ползун 
при равновесии механизма.  
При расчетах принять: 
100 H;
=
Q
 
0,2 м;
=
=
OA
l
 
=
=
BA
L
 
0,5 м;
=
 
30
ϕ =
°  и 
330 .
ϕ =
°  
Решение 
1. Для определения неизвестных 
0
0
, 
, 
, 
B
M X
Y
N  составим 
уравнения равновесия (рис. 4): 

 
0
kx
k
F
=
∑
 (схема I): 
0
0;
+
=
X
Q
 
(1) 

 
(
)
0
A
k
k
M
F
=
∑
 (схема II): 
cos
sin
0;
B
N
BA
Q BA
⋅
⋅
α +
⋅
⋅
α =
  (2) 

 
0(
)
0
k
k
M
F
=
∑
 (схема I): 
0;
B
N
OB
M
⋅
+
=
  
(3)  

 
0
ky
k
F
=
∑
 (схема 1): 
0
0.
B
N
Y
+
=
  
(4) 

Система уравнений составлена так, чтобы в нее не входили неизвестные, 
которые не надо определять. Из этой системы уравнений 
найдем 

 
0
0
,  
tg ;  
tg ,  
tg
.
= −
= −
α
=
α
=
α⋅
B
X
Q
N
Q
Y
Q
M
Q
OB   

O 

А 

В

M

Q

y 

ψ

Рис. 3

x 
φ 

2. Решение проведено для одного положения механизма. На 
примере равновесия механизма можно проанализировать изменение 
значений 
0
0
,
,
,
B
M X
Y
N  при различных положениях механизма, 
т. е. в зависимости от величины угла ϕ. 
На рис. 4 показано, что 
.
=
+
OA
OB
BA  В проекциях на оси координат 
x, y: 
 
cos
cos
;
OA
OB
BA
⋅
ϕ =
+
⋅
ψ  
(5)  

 
sin
sin
.
OA
BA
⋅
ϕ =
⋅
ψ   
(6) 

В рассматриваемой задаче при полном обороте кривошипа OA  
(0
2 )
≤ ϕ ≤ π  угол ψ  лежит в пределах 2-й и 3-й четвертей, поэтому 

  
2
cos
1 sin
.
ψ = −
−
ψ  
(7) 

При расчетах задаем значение угла ϕ; из уравнений (5)−(7) получим 

 
sin
sin ;
ψ =
ϕ
l
L
    
2
cos
1 sin
.
=
ϕ +
−
ψ
OB
OA
BA
 
(8) 

Уравнение (2) приобретает вид 

 
2
1 sin
sin
0.
−
ψ +
ψ =
B
N
Q
 
(9) 

O 

А 

В

M

φ 
Q

x 

y 

ψ

XO 

YO 

NB

α

O 

А 

В

Q

x 

y 

NB

α

RA 

Рис. 4

Схема I 

Схема II

3. Получим решение для заданных числовых значений и 
30 :
ϕ =
°  

 
sin
0,2;
ψ =
    
168,5 ;
ψ =
°     
11,5 ;
α =
°  

 
0
100 H,
= −
X
 
0
20,4 H;
= −
= −
B
N
Y
 
13,54 H м.
=
⋅
M
 

Решение для 
330
ϕ =
°  получим, используя уравнение (9): 

 
sin
0,2;
ψ = −
 
191,5 ;
ψ =
°  
0
100 H;
= −
X
  

 
0
20,4 H;
= −
=
B
N
Y
 
13,54 H м.
= −
⋅
M
 

Для момента пары сил М получено отрицательное значение, 
т. е. для обеспечения равновесия механизма при 
330
ϕ =
°  необходимо 
изменить направление круговой стрелки М (рис. 5). Ниже 
приведены расчеты и графические зависимости для этого примера, 
полученные на ЭВМ (табл. 1, рис. 6, подпрограмма 1). 
 
 
 Таблица 1 

0.20
l =
 
0.50
L =
 
100.00
Q =
 

fi 
psi 
M 
NB 
x0 
y0 

0.00 
180.00 
.00 
.00 
–100.00 
.00 

30.00 
168.46 
13.54 
–20.41 
–100.00 
20.41 

60.00 
159.73 
21.01 
–36.93 
–100.00 
36.93 

90.0 
156.42 
20.00 
–43.64 
–100.00 
43.64 

120.00 
159.73 
13.63 
–36.93 
–100.00 
36.93 

150.00 
168.46 
6.46 
–20.41 
–100.00 
20.41 

180.00 
180.00 
.00 
.00 
–100.00 
.00 

210.00 
191.54 
–6.46 
20.41 
–100.00 
–20.41 

240.00 
200.27 
–13.63 
36.93 
–100.00 
–36.93 

270.00 
203.58 
–20.00 
43.64 
–100.00 
–43.64 

300.00 
200.27 
–21.01 
36.93 
–100.00 
–36.93 

330.00 
191.54 
–13.54 
20.41 
–100.00 
–20.41 

360.00 
180.00 
.00 
.00 
–100.00 
.00 

 

Рис. 6 

Подпрограмма 1 

subroutine coeff (a,b,n,fi) 
dimension a(n,n), b(n) 
real 11, 12 
common 11, 12, Q 
неизвестные: 
0
0
,
,
,
B
M N
x
y  
do 50 i=1, n 
do 50 j=1,n 
50  a(i,j)=0 

O 

А

В

M

φ 
Q

ψ

Рис. 5

φ 
φ

φ

М 
NB

XO (Н) 
YO (Н) 

φ