Кристаллографический анализ структуры металлов

О.М. Жигалина

Кристаллографический 
анализ структуры металлов

Методические указания к семинарам  
по дисциплине «Физика металлов»
(модуль «Основы кристаллографии»)

УДК 548.0, 539.21
ББК 22.37
          Ж68

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/46/book1732.html

Факультет «Машиностроительные технологии»
Кафедра «Материаловедение»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Жигалина, О. М.
Кристаллографический анализ структуры металлов. Методические 
указания к семинарам по дисциплине «Физика металлов» 
(модуль «Основы кристаллографии») / О. М. Жигалина. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 34, [6] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4782-4

Рассмотрены методы построения стереографических проекций, 
решение базовых задач кристаллографического анализа структуры материалов 
с применением сетки Вульфа, а также описание структур металлов 
и их соединений в терминах теории плотнейших упаковок. 
Для студентов, изучающих дисциплины «Металлография», «Методы 
структурного анализа», «Современные методы исследования материалов», «
Материалы микро- и наноэлектроники», «Микро- и нано-
структурные материалы» и др.

УДК 548.0, 539.21
ББК 22.37

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

 
© Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-4782-4 
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Ж68

Предисловие

Методические указания содержат материалы для подготовки 
к семинарам по темам «Стереографические проекции» и «Описание 
кристаллических структур с помощью терминов плотных 
упаковок». В материалы для каждого занятия входят теоретическая 
часть, задания, которые необходимо выполнить во время 
семинара, а также вопросы для самоконтроля и оценки уровня 
готовности к семинару. Ознакомление с теоретической частью 
необходимо для успешного выполнения заданий и решения 
задач.
Теоретические материалы по первой теме содержат сведения о 
видах кристаллографических проекций, способах их построения 
и свойствах, градусных сетках, с помощью которых решают кристаллографические 
задачи. Приведены также примеры решения 
задач с помощью сетки Вульфа.
Теоретическая часть по второй теме содержит сведения о типах 
и свойствах плотных упаковок, подробную характеристику пор для 
металлов с различными кристаллическими решетками. Приведены 
задачи, предложенные для решения на семинаре.
Цель занятий — приобретение студентами опыта работы со 

стереографическими проекциями и сеткой Вульфа для выполнения 
кристаллографического анализа материалов, а также развитие 
умения определять и индицировать поры в металлах с гранецентрированной 
кубической (ГЦК), объемноцентрированной кубической (
ОЦК) и гексагональной плотноупакованной (ГПУ) решетками 
для решения задач о растворении примесей.
После освоения материала семинаров студенты смогут:
• применять теоретические представления о стереографических 
проекциях на практике;
• использовать сетку Вульфа для решения задач кристаллографии;
• 
осуществлять переход от стереографической к гномостерео-
графической проекции;

• строить и расшифровывать стереографические проекции 
элементов симметрии соединений с различной структурой (в частности, 
металлов);
• характеризовать структуры различных металлов и их соединений;
• 
определять возможные позиции атомов внедрения при образовании 
соединений металлов.
Для подготовки к занятиям студентам прежде всего следует 
пользоваться учебным пособием Жигалиной О.М. «Основы кристаллографии» (
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 92 с.).
В соответствии с рабочей программой дисциплины «Физика 

металлов» за каждое занятие студент получает от нуля до двух рейтинговых 
баллов. Итоговая оценка отражает степень готовности, 
активность на семинаре и правильность решения задач.
До занятия студентам необходимо ознакомиться с содержанием 
теоретической части методических указаний, так как перед 
началом работы проводится опрос для оценки уровня подготовленности 
к семинару в форме тестирования: за 10 мин нужно 
ответить на два вопроса, за правильные ответы на два вопроса — 
один балл.

По окончании семинара в качестве отчета студент предъявляет 
преподавателю правильно решенные задачи и получает еще 
один балл. В итоге выставляется рейтинговый балл, учитываемый 
при оценке модуля № 1 дисциплины «Физика металлов».

Сокращения и условные обозначения

ГПУ (ГП) — гексагональная плотноупакованная (решетка)
P63/mmc — пространственная группа кристаллов с ГПУ решеткой
ГЦК — гранецентрированная кубическая (решетка)
Im3m — пространственная группа кристаллов с ГЦК решеткой
ОЦК — объемноцентрированная кубическая (решетка)
Fm3m — пространственная группа кристаллов с ОЦК решеткой
<uvw> — совокупность кристаллографических направлений 
{hkl} — совокупность кристаллографических плоскостей
а, с — периоды кристаллической решетки
с/а — коэффициент тетрагональности решетки
R — радиус атома
r — радиус поры
О — октаэдрическая пора
Т — тетраэдрическая пора

1. Тема «Стереографические проекции»

Кристаллы — основная форма существования твердых тел. 

Металлические элементы в чистом виде встречаются в природе 
в очень малых количествах, поэтому для практических целей 
металлы производят искусственно путем восстановления руд, с 
помощью электролиза солей или разложения газообразных со- 
единений. При этом образуются агрегаты соприкасающихся кристаллов (
зерен), симметрия, размер и степень совершенства которых 
оказывают огромное влияние на физико-механические 
характеристики полученных материалов. С помощью стереографических 
проекций характеризуют симметрию внешней формы 
кристаллов.

1.1. Теоретическая часть

Кристаллографические проекции

Представление кристаллического пространства в виде совокупностей 
взаимно параллельных узловых плоскостей и 
узловых рядов, среди которых есть плоскость или ряд, проходящие 
через начало координат, позволяет описать кристаллическую 
решетку в виде множества узловых плоскостей и узловых 
рядов, пересекающихся в одной точке. Аналогично грани 
и ребра кристаллического многогранника, которые всегда 
параллельны соответствующим узловым плоскостям и узловым 
рядам решетки, можно изображать пересекающимися хотя бы 
в одной точке.
В кристаллографии разработаны удобные и информативные 
методы изображения на чертеже таких прямых и плоскостей. Подобные 
изображения получили названия кристаллографических 
проекций.

Важнейшей характеристикой взаимного расположения узловых 
рядов, а также граней и ребер внешней огранки кристалла 
являются углы между ними. Поэтому кристаллографические 
проекции должны позволить работать с углами, которые характеризуют 
взаимное расположение прямых и плоскостей, отвлекаясь 
от геометрических размеров конкретного кристаллического 
образца.
Для построения кристаллографических проекций кристаллического 
многогранника проделаем следующую процедуру. 
Перенесем все грани и ребра многогранника параллельно самим 
себе так, чтобы все они пересекались в одной (произвольно 
выбранной) точке пространства О. К каждой грани из той 
же точки О восстановим нормали, которые будут однозначно 
определять ориентацию соответствующих плоскостей. В результате 
через точку О будут проходить прямые линии, параллельные 
ребрам исходного многогранника, плоскости, параллельные 
граням этого многогранника, и прямые линии, перпендикулярные 
плоскостям. Построенное многообразие 
прямых и плоскостей называется кристаллическим комплексом, 
а выбранная таким образом точка О — центром кристаллического 
комплекса.
При работе с плоскостями (гранями) удобно заменить плоскости 
соответствующими нормалями, которые пересекаются в точке 
О. Такой комплекс называется полярным комплексом.
Из центра кристаллического или полярного комплекса О опишем 
сферу произвольного радиуса. Каждая линия комплекса пересечет 
построенную сферу в двух точках, лежащих на концах 
одного и того же диаметра. Полученные точки являются сферическими 
проекциями соответствующих прямых кристаллического 
комплекса. Плоскости кристаллического комплекса пересекают 
сферу по окружностям больших кругов. Следует заметить, что 
положение плоскости в пространстве однозначно задается ориентацией 
нормали и полностью описывается точкой ее пересечения 
со сферой. Вся совокупность аналогично построенных точек называется 
сферической проекцией данного кристаллического или 
полярного комплекса. Точку О называют также центром сферической 
проекции.
Для представления сферических проекций в числовой форме 
введем сферическую систему координат, или, иначе говоря, систему 
полярных координат на поверхности сферы (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Сферическая система координат:

Р — произвольная точка на поверхности сферы с полярным углом ρ и азимутом 
ϕ; М — точка на экваторе с азимутом ϕ и полярным углом ρ = 90°; Q — точка  
на экваторе с нулевым азимутом; N — северный полюс сферы (южный полюс  
не виден)

Построим прямую, проходящую через центр сферы и называемую 
полярной осью. Точка, в которой положительная полярная 
полуось пересекает сферу, называется северным полюсом N. Противоположная 
точка сферы называется южным полюсом S. Дуги 
больших кругов, соединяющих полюса, по аналогии с геодезической 
проекцией называют меридианами. Через каждую точку сферы (
за исключением полюсов) можно провести только один меридиан.

Введем понятие углового расстояния между несовпадающими 
точками А и В на поверхности сферы. Проведем плоскость через 
точки А, В и центр сферы О. Сечение сферы плоскостью представляет 
большой круг. Построим в плоскости центральный угол 
∠АОВ. Величину этого угла αАВ будем называть угловым расстоянием 
между точками А и В. Угловое расстояние αАВ измеряется в 
радианах или угловых градусах, минутах и секундах. Очевидно, что 
величина αАВ не зависит от радиуса сферы.
Первой сферической координатой произвольной точки Р на 
сфере является угловое расстояние этой точки от северного полю-

са, отложенное вдоль меридиана, на котором эта точка расположена. 
Центральный угол, опирающийся на дугу NP, называется 
полярным углом ρ. Возможные значения полярных углов ρ лежат в 
интервале [0, π]. Полярный угол северного полюса равен нулю, 
полярный угол южного полюса равен π.
Плоскость, перпендикулярная полярной оси и проходящая 
через центр О, пересекается со сферой по экватору. Вторая ось 
сферических координат, называемая азимутальной, располагается 
в плоскости экватора. Обозначим буквой Q точку пересечения 
азимутальной оси со сферой. Меридиан, проходящий через точку 
Q, называется нулевым меридианом. 
Второй сферической координатой точки Р является угловое 
расстояние QM, отложенное вдоль экватора по ходу часовой стрелки, 
если смотреть с северного полюса сферы. Центральный угол, 
опирающийся на дугу QM, называется азимутом ϕ точки Р или ее 
долготой (см. рис. 1.1). Диапазон изменения азимутального угла 
составляет [0, 2π]. Полярный угол ρ и азимут ϕ представляют собой 
две сферические координаты, которые однозначно определяют 
положение произвольной точки на поверхности сферы и не зависят 
от радиуса сферы.
Удобным методом изображения кристаллографических комплексов 
является стереографическая проекция, которая, обладая 
всеми достоинствами сферической проекции, позволяет изображать 
объекты на плоскости, т. е. на листе бумаги или на экране 
дисплея. 
Построим экваториальную плоскость, проходящую через точку 
О перпендикулярно к прямой NS, — плоскость проекций. Часть 
этой плоскости, ограниченную пересечением ее со сферой, назовем 
кругом проекций. Плоскость проекций делит сферу на северное 
и южное полушария. Точки северного полушария имеют полярные 
углы 0 m ρ < π/2, точки южного — углы π/2 < ρ m π. Центр круга 
проекций совпадает с центром сферы О.
Построим стереографическую проекцию прямой линии, проходящей 
через центр сферы О. Любая подобная прямая пересекает 
сферу в двух диаметрально противоположных точках Р' и Q'. 
Существенно, что эти точки всегда лежат в различных полушариях. 
Соединим каждую из точек Р' и Q' отрезками с противоположными 
полюсами. Точки Р и Q пересечения этих отрезков с плоскостью 
проекций образуют стереографическую проекцию данной 
прямой (рис. 1.2, а).

Рис. 1.2. Построение (а) и вид (б) стереографической проекции прямой:

О — центр сферы; N и S — северный и южный полюса сферы; Р' и Q' — точки 
пересечения прямой линией поверхности сферы; точки Р и Q лежат в плоскости 
круга проекций и являются стереографическими проекциями точек Р' и Q' соответственно


В практической работе со стереографическими проекциями 
различают точки, спроецированные с разных полушарий сферы, 
их обозначают различными значками. Например, стереографические 
проекции точек, лежащих в северном полушарии, можно 
обводить кружками, а стереографические проекции точек южного 
полушария изображать крестиками. Тогда прямая, проходящая 
через центр сферы О, изобразится на стереографической проекции 
кружком и крестиком, лежащими на одном диаметре и равноотстоящими 
от центра круга проекций О (рис. 1.2, б). В частном 
случае, когда прямая перпендикулярна полярной оси (лежит в 
плоскости проекций), ее стереографическая проекция изображается 
двумя точками, которые находятся на концах диаметра 
круга проекций. В этом случае точки стереографической проекции 
Р и Q совпадают с проецируемыми точками сферы Р' и Q'. 
Если прямая совпадает с полярной осью, то точки ее стереографической 
проекции (кружок и крестик) сливаются с центром 
проекций О.
При построении стереографической проекции плоскости следует 
провести прямые от полюсов N и S к каждой точке окружности, 
по которой данная плоскость пересекается со сферой. Пересечения 
отрезков с плоскостью проекций дадут множество точек, 
которое и является стереографической проекцией плоскости.