Кинематика и динамика исполнительных механизмов манипуляционных роботов

А.Г. Лесков, К.В. Бажинова, Е.В. Селиверстова 

Кинематика и динамика 
исполнительных механизмов 
манипуляционных роботов

Учебное пособие

УДК 621.865
ББК 32.816
          Л50

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/190/book1707.html

Факультет «Специальное машиностроение»
Кафедра «Робототехнические системы и мехатроника»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Лесков, А. Г.
Кинематика и динамика исполнительных механизмов манипуляционных 
роботов : учебное пособие / А. Г. Лесков, К. В. Бажинова, Е. В. Селиверстова. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 102, [2] с. : ил.

        ISBN 978-5-7038-4752-7

Рассмотрены вопросы определения положения и ориентации звеньев манипуляционных 
роботов, нахождения параметров движения робота по известным 
значениям сил и моментов, которые развивают приводы, а также внешних 
сил и моментов. Представлены методы расчета прямой и обратной позиционных 
кинематических задач, прямой и обратной кинематических задач о скоростях звеньев 
манипулятора, прямой и обратной задач динамики исполнительного механизма. 
Приведены аналитическое решение задач кинематики для кинематической 
схемы промышленного робота Kawasaki FS020N и расчет инерционных коэффициентов 
для его звеньев.
Для студентов, обучающихся по специальности «Мехатроника и робото- 
техника».

УДК 621.865
ББК 32.816

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4752-7 
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Л50

Предисловие

Робототехника занимает одно из важных мест в программах развития 
науки, техники и технологий во многих странах мира. Среди робототехнических 
систем особо выделяются манипуляционные роботы. С их помощью 
осуществляется выполнение транспортных, монтажных, сборочных и других 
операций, аналогичных тем, которые выполняет человек руками.
Учебное пособие составлено по материалам лекций, которые профессор 
А.Г. Лесков читает в Московском государственном техническом университете 
имени Н.Э. Баумана.
В издании математически описаны кинематика и динамика многозвенных 
манипуляционных роботов, рассмотрены проблемы проектирования 
исполнительных механизмов манипуляторов и их подсистем и вопросы 
управления манипуляционными роботами. Структурно пособие содержит 
две части: первая посвящена кинематике, вторая — динамике механизмов 
указанных роботов. Обе части состоят из тематических разделов, в завершении 
которых предложены контрольные вопросы для проверки понимания 
и усвоения изложенного материала.
В первой части приведены типы кинематических схем исполнительных 
механизмов манипуляционных роботов (МР), понятия о системах координат 
звеньев и обобщенных координатах шарниров исполнительных механизмов 
МР, определение матриц поворота, используемых при записи уравнений, 
и производных по времени этих матриц. Наряду с этим описаны основные 
понятия аналитической геометрии, необходимые для понимания материала 
пособия. Определены связи между линейными координатами и углами ориентации 
звеньев исполнительных механизмов МР, а также матрица Якоби для 
угловых и линейных скоростей этих звеньев, решены кинематические задачи 
о скоростях звеньев манипулятора. Объяснены понятия сингулярных конфигураций 
кинематической цепи исполнительных механизмов МР и способы 
их избежать. Приведен пример выполнения аналитического решения прямой 
и обратной задач кинематики для промышленного робота Kawasaki FS020N.
Во второй части описаны внешние силы и моменты, действующие на звенья 
исполнительных механизмов МР, силы и моменты, развиваемые приводами 
манипулятора. Показана последовательность составления уравнений 
движения, объяснен физический смысл компонентов, входящих в эти уравнения. 
Описаны прямая и обратная задачи динамики исполнительного механизма.

Пособие может представлять интерес для научных сотрудников, инженеров, 
занимающихся созданием и применением робототехнических средств 
и интересующихся проблемами робототехники.

Список сокращений

ВТ 
— 
вращательный тип
ЗУМ — 
захватное устройство манипулятора
МР 
— 
манипуляционный робот
ОЗД 
— 
обратная задача динамики
ОКЗ 
— 
обратная кинематическая задача
ОПКЗ — 
обратная позиционная кинематическая задача
ПЗД 
— 
прямая задача динамики
ПКЗ 
— 
прямая кинематическая задача
ПТ 
— 
поступательный тип
РТС 
— 
робототехнические системы
СК 
— 
система координат
KCI (kinematic configuration index) — индекс конфигурации кинематической 
цепи

Введение

В настоящее время робототехнические устройства все шире применяются 
в различных областях промышленности, особенно в автомобиле- и авиастроении, 
атомной энергетике, как бортовые устройства в составе космических 
и подводных аппаратов, а также в медицине, особенно в низкоинвазивной 
хирургии, военной области, при проведении спасательных и разведывательных 
работ в случае чрезвычайных ситуаций и т. д.
Ключевыми факторами, которые обусловливают такое широкое применение 
робототехнических систем (РТС), служат технологические достоинства 
современных МР — точность выполнения ими повторяющихся операций, 
легкость перехода с одной задачи на другую, простота управления, 
небольшие масса и габариты, совершенное программное обеспечение. Кроме 
того, РТС выполняют необходимые действия в опасной или недоступной 
для человека среде, например при подводных и надпланетных исследованиях, 
сборе космического мусора, в радиоактивно или химически зараженных 
местностях, при ведении военных или разведывательных действий.
Манипуляционные роботы (или манипуляторы) — основные компоненты 
многих современных и перспективных робототехнических комплексов, 
включающие в себя многозвенные пространственные исполнительные механизмы 
со многими степенями подвижности, системы следящих приводов  
и управления ими, которые представляют собой сложные многомерные динамические 
системы.
К современным МР предъявляются высокие требования по точности и  
быстродействию при выполнении ими различных заданий, в том числе с захваченным 
объектом (в частности, по точности отработки заданных траекторий, 
скоростей, ускорений, усилий захвата). Эффективность МР в значительной 
степени зависит от качества управления ими, высокий уровень которого можно 
обеспечить только при адекватном учете их кинематических и динамических 
свойств как на этапах проектирования, так и при эксплуатации.
В целях выполнения необходимых требований при проектировании 
и управлении МР следует использовать методы механики, теории механизмов 
и машин, автоматического управления, упругости и колебаний. Сложность 
проведения расчетов обусловила развитие методов, ориентированных 
на применение современных компьютерных технологий. Для компьютеризированных 
расчетов рекомендуются матрично-векторные методы описания 
кинематики и динамики МР, на которых основан материал настоящего 
пособия.
Кинематикой роботов называется раздел робототехники о движении РТС 
в трехмерном пространстве относительно заданной абсолютной системы  

координат в зависимости от времени, но без учета сил и моментов, порождающих 
такое движение. Кинематика манипуляторов — наиболее важная 
область робототехники, так как реальное манипулирование может быть осуществлено 
только посредством обеспечения необходимого движения рабочего 
органа робота (и связанных с ним объектов) в трехмерном евклидовом 
пространстве. Таким образом, предметом кинематики манипуляторов является 
описание пространственного положения манипулятора как функции 
времени.
Манипулятор с точки зрения механики и теории механизмов и машин — 
сложный пространственный управляемый механизм с несколькими степенями 
свободы, содержащий жесткие и упругие звенья, передачи и приводы. 
Конструктивно манипулятор состоит из нескольких твердых тел (звеньев), 
последовательно соединенных вращательными или поступательными сочленениями, 
приводимыми в движение силовыми приводами. Звенья манипулятора 
образуют разомкнутую кинематическую цепь. Один конец этой 
цепи соединен с основанием (базой), а другой — свободен и снабжен рабочим 
инструментом, позволяющим воздействовать на объекты манипулирования 
или выполнять различные технологические операции, например 
сборочные.
Два смежных звена в кинематической цепи составляют кинематическую 
пару. Количество степеней свободы кинематической пары определяется 
числом независимых движений одного звена пары относительно другого. 
В большинстве случаев звенья манипулятора образуют кинематические пары 
пятого класса, в которых относительное движение звеньев определяется одним 
параметром. В качестве такого параметра может выступать угол поворота 
или линейное перемещение. В первом случае имеет место пара вращательного 
типа, во втором — поступательного.
Если звенья исполнительных механизмов считаются твердыми телами, 
то манипулятор рассматривается как механическая система, для которой 
справедливы основные положения механики твердого тела. Для математического 
описания такой системы применяются классические методы кинетостатики. 
При наличии упругих звеньев следует учитывать изменение 
геометрических параметров звеньев при деформации. Для математического 
описания исполнительных механизмов с упругими звеньями также разработаны 
следующие методы: модальный, конечных элементов и др.
Основной задачей манипулирования является перемещение рабочего 
органа манипулятора в определенную точку с требуемой ориентацией в  
заданное время при наличии внешних воздействий. Ее решение возможно 
в результате согласованных управляющих воздействий на каждое сочленение 
цепи звеньев манипулятора.
Таким образом, управление манипуляционным роботом осуществляется 
в пространстве координат шарниров. Поскольку положение и ориентация 
рабочего органа манипулятора задаются, как правило, в некоторой базовой 
системе координат, возникает необходимость нахождения углов шарниров, 
при которых рабочий орган манипулятора либо крайняя точка последнего 
звена любого другого устройства оказались бы в заданной точке с заданной 
ориентацией, т. е. решения обратной позиционной кинематической задачи. 

Определение пространственного положения и ориентации звеньев исполнительного 
механизма манипулятора по заданным значениям координат 
шарниров носит название прямой позиционной кинематической задачи. 
Аналогично формируются кинематические задачи о скоростях. В прямой 
кинематической задаче о скоростях находят параметры движения рабочего 
органа манипулятора по заданным законам изменения координат шарниров. 
В обратной кинематической задаче о скоростях по заданному закону 
движения рабочего органа находят параметры движения в приводах манипулятора.

Предметом динамики манипулятора как раздела робототехники является 
математическое описание законов движения его звеньев под действием 
внешних сил и моментов, а также сил и моментов, развиваемых приводами. 
Уравнения динамики используются при проведении аналитических исследований, 
при выборе законов управления, а также в задачах моделирования 
движения манипулятора. При получении уравнений динамики движения манипулятора 
используются различные методы, в том числе методы Лагранжа, 
Ньютона — Эйлера, Д'Аламбера. Их можно использовать для решения и прямой, 
и обратной задач динамики. Прямая задача динамики состоит в том, 
чтобы по заданным силам и моментам, развиваемым приводами манипулятора, 
а также по внешним силам и моментам, определить параметры движения 
его звеньев, обратная задача — в том, чтобы по заданным обобщенным 
координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях 
манипулятора силы и моменты.

I. Кинематика

Рассмотрим параметры звеньев исполнительного механизма, их линейные 
координаты и углы ориентации, матрицы поворота, используемые при 
записи уравнений, и их производные по времени, а также угловые и линейные 
скорости и ускорения звеньев МР. Введем в рассмотрение прямую и 
обратную позиционные кинематические задачи, прямую и обратную кинематические 
задачи о скорости звеньев, приведем примеры их решения.

1. Координаты и параметры

1.1. Описание и типы кинематических схем

Исполнительный механизм манипуляционного робота — многозвенный пространственный 
механизм, звенья которого последовательно связаны между 
собой кинематическими парами (шарнирами), образуя открытую (незамкнутую) 
линейную кинематическую цепь.
Рассмотрим исполнительные механизмы, звенья которых представляют 
собой абсолютно твердые тела. При составлении кинематического описания 
все звенья следует пронумеровать, начиная от основания. Первое звено связано 
с неподвижным основанием, которому присваивается № 0.

Каждая кинематическая пара допускает относительное вращение или относительное 
линейное перемещение смежных звеньев в направлении только 
одной оси. Иными словами, кинематическая пара может быть вращательного 
(ВТ) или поступательного типа (ПТ)*.
В зависимости от кинематической схемы манипулятора его захватное 
устройство (ЗУМ) может совершать движения в той или иной системе координат (
СК) и рабочее пространство МР может принимать различные геомет- 
рические формы. Различают четыре основных СК, в которых могут работать 
манипуляторы, — прямоугольную, цилиндрическую, сферическую и ангу-
лярную (антропоморфную).

* Запись «i = [ВТ]» следует читать «шарнир i вращательного типа», а «i = [ПТ]» — 
«шарнир i поступательного типа». Положение исполнительного механизма, при котором 
координаты всех шарниров имеют нулевые значения, принимается за исходное 
положение.

Манипулятор, работающий в прямоугольной системе координат

Кинематическая цепь такого манипулятора состоит из трех кинематических 
пар (рис. 1.1, а). Две из них (1 и 3) расположены в горизонтальной плос- 
кости и направлены вдоль перпендикулярных осей X1 и Y1 соответственно. 
Кинематическая пара 2 обеспечивает поступательное движение вдоль вертикальной 
оси Z1. Рабочее пространство манипулятора, работающего в прямо- 
угольной СК, представляет собой параллелепипед (рис. 1.1, б).

Z1

XЗУМ

ZЗУМ
YЗУМ
Y1

X1

3

2

1

a
б

Рис. 1.1. Конструктивная схема (а) и рабочее пространство (б) манипулятора, работающего 
в прямоугольной системе координат

Роботы такого типа обеспечивают высокую точность позиционирования 
и большую грузоподъемность, но невозможность изменять ориентацию ЗУМ 
делает их недостаточно маневренными. Такие манипуляторы пригодны для 
выполнения операций сборки, установки и съема деталей при механической 
обработке, транспортировке и укладке грузов.

Манипулятор, работающий в цилиндрической системе координат

Кинематическая цепь такого манипулятора состоит из двух кинематических 
пар ПТ и одной — ВТ (рис. 1.2, а). Кинематическая пара ВТ 1 обеспечивает 
поворот вокруг вертикальной оси Z1. Две пары ПТ (2 и 3) расположены 
в горизонтальной плоскости и направлены вдоль перпендикулярных осей 
X1 и Y1 соответственно. Рабочее пространство манипулятора, работающего 
в цилиндрической СК, представляет собой цилиндр с исключенной внутренней 
частью («мертвая зона») (рис. 1.2, б).
Диапазон манипулирования робота такого типа не ограничен фронтальным 
пространством, в отличие от роботов с прямоугольной СК, возможны 
перемещения рабочего органа по обе стороны от манипулятора. Такие роботы 
обеспечивают точность позиционирования и высокую грузоподъемность. 
Это семейство роботов ранее было широко распространено благодаря 
большой рабочей зоне и простоте вычислений координат ЗУМ в рабочем 
пространстве, что позволяло использовать для расчета законов управления 

не очень производительную вычислительную технику. Однако в настоящее 
время эти роботы уступают свои позиции манипуляторам, работающим в ан-
гулярной (антропоморфной) СК.

Z1

X1

Y1

1

2

3

XЗУМ

YЗУМ
ZЗУМ

а
б

Рис. 1.2. Конструктивная схема (а) и рабочее пространство (б) манипулятора, работающего 
в цилиндрической системе координат

Манипулятор, работающий в сферической системе координат

Кинематическая цепь такого манипулятора состоит из двух кинематических 
пар ВТ и одной — ПТ (рис. 1.3, а). Кинематическая пара ВТ 1 обеспечивает поворот 
вокруг вертикальной оси Z1, вращательная кинематическая пара ВТ 2 — вокруг 
горизонтальной оси Y1. Кинематическая пара ПТ 3 расположена в горизонтальной 
плоскости и направлена вдоль оси X1. Рабочее пространство манипулятора, 
работающего в полярной СК, представляет собой усеченную сферу (рис. 1.3, б).

XЗУМ

ZЗУМ
YЗУМ

X1

Y1

Z1

а
б

3

2

1

Рис. 1.3. Конструктивная схема (а) и рабочее пространство (б) манипулятора, работающего 
в сферической системе координат