Начертательная геометрия и инженерная графика

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ 
ГЕОМЕТРИЯ 
И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА

Е.Л. ЧЕПУРИНА 
К.А. КРАСНЯЩИХ 
Д.А. РЫБАЛКИН 
Д.Л. КУШНАРЕВА

Москва
ИНФРА-М
2023

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 514.18+744(075.8)
ББК 22.151.34:30.11я73
 
Ч44

А в т о р ы:
Чепурина Е.Л., доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерной 
и компьютерной графики Российского государственного аграрного 
университета — МСХА имени К.А. Тимирязева (главы 5, 6, 10, 13);
Краснящих К.А., кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной 
и компьютерной графики Российского государственного аграрного университета — 
МСХА имени К.А. Тимирязева (главы 4, 7, 11, 15);
Рыбалкин Д.А., кандидат технических наук, доцент кафедры инженерной 
и компьютерной графики Российского государственного аграрного университета — 
МСХА имени К.А. Тимирязева (главы 2, 3, 8, 14);
Кушнарева Д.Л., ассистент кафедры инженерной и компьютерной графики 
Российского государственного аграрного университета — МСХА имени 
К.А. Тимирязева (главы 1, 9, 12)
Р е ц е н з е н т ы:
Марадудин А.М., кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры технического 
обеспечения АПК Саратовского государственного аграрного университета 
имени Н.И. Вавилова;
Ермолаев М.М., кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры РК-3 
«Основы конструирования машин Московского государственного технического 
университета имени Н.Э. Баумана» (Нацио нальный исследовательский 
университет)

ISBN 978-5-16-017755-7 (print)
ISBN 978-5-16-110524-5 (online)

© Чепурина Е.Л., Краснящих К.А., 
Рыбалкин Д.А., Кушнарева Д.Л., 
2023

Чепурина Е.Л.
Ч44  
Начертательная геометрия и инженерная графика : учебное пособие / 
Е.Л. Чепурина, К.А. Краснящих, Д.А. Рыбалкин, Д.Л. Кушнаре-
ва. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 250 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/1872627.
ISBN 978-5-16-017755-7 (print)
ISBN 978-5-16-110524-5 (online)
Учебное пособие содержит основные материалы начертательной геометрии 
и инженерной графики. Представлены следующие разделы: виды 
проецирования, ортого нальные системы двух и трех плоскостей проекции 
и способы задания геометрических объектов на них, методы преобразования 
проекций, поверхности, позиционные и метрические задачи, развертки 
поверхностей, геометрическое и проекционное черчение, построение 
разъемных соединений, шероховатость поверхностей, выполнение эскизов 
деталей и рабочих чертежей, чертеж общего вида.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.
Предназначено для студентов, обучающихся по инженерно-техническим 
специальностям.

УДК 514.18+744(075.8)
ББК 22.151.34:30.11я73

Введение

Главным условием успешного овладения техническими знаниями 
является умение читать чертежи и правильно их выполнять 
и оформлять. Начертательную геометрию и инженерную графику 
относят к таким предметам, при изучении которых учащиеся знакомятся 
с отображением пространственных трехмерных геометрических 
объектов на плоскости и с широким кругом технических понятий.
Начертательная геометрия — основа графической грамотности, 
изучая которую студенты знакомятся с законами построения различных 
фигур на плоскостях проекций. На основе этих знаний 
в инженерной графике выполняются чертежи как простых деталей, 
так и сложных машин и механизмов.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся 
по инженерно-техническим специальностям.
Содержание учебного пособия соответствует программам 
по дисциплинам «Начертательная геометрия» и «Инженерная графика», 
а также требованиям ФГОС ВО нового поколения.
В результате освоения дисциплин «Начертательная геометрия» 
и «Инженерная графика» обучающийся будет:
знать
 
• основные виды проецирования;
 
• методы преобразования проекций;
 
• правила оформления конструкторской документации в соответствии 
с ЕСКД;
 
• основные стандарты ЕСКД, нормативные материалы и техническую 
документацию, методику составления технической документации 
по утвержденным формам;
уметь
 
• решать позиционные и метрические задачи;
 
• составлять и оформлять типовую техническую документацию;
 
• применять действующие стандарты по оформлению:
 
– конструкторской документации;
 
– рабочих чертежей и эскизов деталей и машин;
 
• выполнять и читать чертежи, схемы и другую конструкторскую 
документацию для осуществления профессио нальной деятельности 
с учетом нормативных правовых актов;
владеть
 
• методами изображения пространственных объектов на плоских 
чертежах;

• навыками разработки технической документации и стандартов;
 
• способами использования в оформлении нормативных до кумен -
тов и соблюдения норм и регламента в инженерно-технической 
деятельности;
 
• навыками оформления нормативно-технической документации 
с учетом нормативных правовых актов в профессио нальной деятельности.

Начертательная геометрия и инженерная графика способствуют 
развитию геометрического образа мышления, пространственного 
воображения, что очень важно для будущего инженера, а также 
они являются основой для успешного освоения профильных дисциплин.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Принятые условные обозначения

Г.О. — геометрические объекты 
А, В, С, … — точки пространства
А1, В1, С1, … — горизонтальные проекции точек А, В, С
А2, В2, … — фронтальные проекции точек
a1, b1, d1, … — линии (без надстрочного знака — прямые)
h — горизонтальные линии
f — фронтальные линии
p — профильные линии
[] — отрезок
α, β, γ, π — поверхности
π3 — профильная плоскость проекций
π2 — фронтальная плоскость проекций
π1 — горизонтальная плоскость проекций
α° — угол
⟂ — перпендикулярно
║ — параллельно
╨ — проецирующее положение Г.О.
∩ — пересечение Г.О.
⊃ — Г.О. проходит через
∈ — Г.О. принадлежит
⊂ — Г.О. включает (содержит)
∩ — Г.О. скрещивается (о линиях)
Ν — Г.О. не принадлежит, не проходит
⊆ — повернуто или вращается
= — результат построения
→ — отображение, последовательность действий
≡ — совпадение, тождество
Надстрочные знаки: 
∩ — кривая
∧ — ломаная
○ — окружность
— — отрицание

Глава 1. 
ВИДЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Способы отображения пространственных трехмерных геометрических 
объектов на плоскости (поверхности) и восстановления 
таких объектов в пространстве по их отображениям изучает 
предмет начертательная геометрия.
В начертательной геометрии при отображении трехмерных 
геометрических объектов на плоскость (поверхность) применяют 
метод проецирования.
В качестве геометрических объектов в начертательной геометрии 
рассматривают точки, линии и поверхности (плоскости), которые относятся 
к неопределенным понятиям геометрии. Они не могут быть 
определены с помощью других, более простых понятий.
Для построения проекций геометрических объектов на плоскость 
существует несколько методов, рассмотрим некоторые из них.

1.1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Любой проекционный чертеж выполняется с помощью операции 
проецирования. Для проведения этой операции необходим аппарат 
проецирования, состоящий из центра проецирования S, проецирующих 
линий l, объекта проецирования А и поверхности проекций π.
Для построения центральной проекции А1 точки А (рис. 1.1) 
из центра проецирования S через точку А проводят проецирующий 
луч до пересечения с плоскостью проекции. Точка А1 называется 
центральной проекцией точки А. Для построения центральной проекции 
С1D1 отрезка прямой СD находят центральные проекции точек 
С и D (C1 и D1), так как две точки однозначно определяют прямую.

S

А
D

C

C1

A1

D1

π1

Рис. 1.1. Центральное проецирование

1.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Если заменить собственный центр проецирования S на направление 
проецирования S, получим метод, называемый параллельным 
проецированием, следовательно, такой метод является частным случаем 
центрального проецирования, когда центр проекции удален 
в бесконечность (рис. 1.2). В этом случае проецирующие лучи будут 
параллельны между собой. Для построения проекции точки А(А1) 
на плоскость π1 проведем проецирующую линию АА1 параллельно 
направлению S до пересечения с плоскостью, где и получим А1 — 
параллельную проекцию точки А на плоскость π1.

A

A1
B1

π1

B

S
l′

l

Рис. 1.2. Параллельное проецирование

Поскольку любой геометрический объект можно рассматривать 
как совокупность точек (например, N), то для построения его проекции 
на плоскость N1 необходимо получить совокупность проекций 
этих точек (рис. 1.3). Для этого необходимо через каждую 
точку геометрического объекта (линии) провести проецирующую 
прямую, параллельную заданному направлению проецирования S. 
Все проецирующие прямые будут параллельны друг другу, что 
и дало название проекции — параллельная.

N

N1

S

π1

Рис. 1.3. Проекция геометрического объекта на плоскость

1.3. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Если направление S параллельного проецирования перпендикулярно 
плоскости проекций π (рис. 1.4), то проецирование называется 
прямоугольным, или ортого нальным. При этом процесс 
построения проекций упростится, так как не требуется оговаривать 
на чертеже направление проецирования, оно всегда известно. 
В связи с этим вполне понятно, что данный метод положен в основу 
выполнения почти всех чертежей. Далее рассматриваемые примеры 
и задачи начертательной геометрии будут решаться с использованием 
только этого метода.

A

90°

l

A1

π1

Рис. 1.4. Ортого нальное проецирование

1.4. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

Инвариантные (неизмененные) свойства ортого нального проецирования 
устанавливают следующие зависимости между геометрическими 
объектами и их проекциями на чертеже (рис. 1.5).

1.4.1. Позиционные свойства
1. Проекция точки есть точка, причем только одна. Обратное 
свойство не сохраняется (см. рис. 1.5, а).
2. Проекция линии в общем случае есть линия, причем только 
одна (см. рис. 1.5, б).
Частный случай. Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, 
то ее проекцией будет точка. Такие прямые называются проецирующими.

3. Проекции параллельных прямых параллельны (см. рис. 1.5, в).
4. Проекции пересекающихся линий пересекаются. При этом 
проекции точки пересечения находятся на одной линии связи 
(см. рис. 1.5, г, д).

5. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит 
проекции линии (см. рис. 1.5, е).

π1

π1

π1
π1

π1

π1

A

A1

A1
K1

M1
e1

e
M

K

b1

b1

b1

b1

a1

a1
M1

M

b

b
b

b

a

a

A

а

в

д

б

г

е

Рис. 1.5. Позиционные свойства ортого нального 
проецирования

1.4.2. Метрические свойства
1. Длина проекции отрезка равна его длине, умноженной на cosα, 
где α — угол наклона отрезка к плоскости проекций (рис. 1.6, а).

π1

π1

π1

π1

α

В

В

В

C

C1

В

А

А

А

А

А1

А1

А1

А1 ≡ B1

B1

B1

B1

а

в

б

г

Рис. 1.6. Метрические свойства ортого нального проецирования

При α = 90°, А1В1 = 0, АВ — проецирующая прямая (рис. 1.6, б).
При α = 0, А1В1 = АВ, АВ — прямая уровня (рис. 1.6, в).

При 
1 1

1 1

АВ
А В
ВС
В С
=
 — отношение отрезков одной прямой в про-

странстве и на плоскости сохраняется (рис. 1.6, г).
2. Теорема о проецировании прямого угла.
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекции, 
а вторая не перпендикулярна ей, то прямой угол проецируется 
на эту плоскость проекции без искажения (рис. 1.7).

π1

А1

C1

B1

B

A

C

Рис. 1.7. Проецирование прямого угла на плоскость