Механика сплошной среды. Том 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред

Механика сплошной среды

    МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

    В четырех томах


    1. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

    2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
      И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

    3. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

    4. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ СРЕД











Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана Москва 2011

            Ю.И. Димитриенко



Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред


            Том 2


Рекомендовано УМО по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-математическим и машиностроительным специальностям



Чяи1 |мггу1 им. Н.Э. Баумана///)

Москва 2011

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5

    Д46




Рецензенты:


академик РАН О. М. Белоцерковский-, академик РАН Е. И. Шемякин-, член-корреспондент РАН В. А. Гущин-, доктор физ.-мат. наук, профессор Н. Н. Смирнов


     Димитриенко Ю. И.
Д46 Механика сплошной среды : учеб, пособие : в 4 т. / Ю. И. Димитриенко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
         ISBN 978-5-7038-3385-8
         Т. 2 : Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред. — 559, [1] с. : ил.
         ISBN 978-5-7038-3438-1
         Второй том учебного пособия посвящен систематизированному изложению универсальных законов механики и электродинамики сплошной среды. Рассмотрены кинематика сплошных сред, теория коротационных производных, законы сохранения механики и уравнения электродинамики сплошных сред, принципы построения определяющих соотношений для различных типов сплошных сред при произвольных конечных деформациях, теория скачков функций на поверхностях сильных разрывов, в том числе в электромагнитном поле, теория размерностей.
         Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
         Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических, естественно-научных кафедр университетов и технических вузов, а также для специалистов, занимающихся различными вопросами механики и электродинамики сплошных сред.


                                                              УДК 531.1:51-72(075.8)
                                                              ББК 22.25:22.51.5






ISBN 978-5-7038-3438-1 (т. 2)
ISBN 978-5-7038-3385-8

                                         ° Димитриенко Ю. И., 2011
° Оформление. Издательство МГТУ

им. Н.Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ




Предисловие............................................................ 7
Список основных обозначений............................................ 14
Введение. Основополагающие аксиомы механики сплошных сред.............. 17

Глава 1. Кинематика сплошных сред...................................... 21
  § 1.1. Материальное и пространственное описания движения сплошной среды 21
  § 1.2. Тензоры и меры деформации.................................... 36
  § 1.3. Полярное разложение.......................................... 51
  § 1.4. Скоростные характеристики движения сплошной среды............ 62
  § 1.5. Коротационные производные.................................... 87

Глава 2. Законы сохранения............................................ 98
  §2.1  . Закон сохранения массы...................................... 98
  §2.2  . Закон изменения количества движения и тензор напряжений.... 105
  §2.3  . Закон изменения момента количества движения................ 117
  §2.4  . Первый закон термодинамики................................. 122
  §2.5  . Второй закон термодинамики................................. 131
  §2.6  . Уравнения совместности деформаций.......................... 147
  §   2.7. Динамические уравнения совместности....................... 155
  §2.8  . Уравнения совместности скоростей деформаций................ 158
  §2.9  . Законы электродинамики сплошных сред....................... 160
§2.10  . Уравнения импульса и энергии электромагнитного поля......... 174
§2.11 . Законы изменения импульса, момента импульса и энергии для системы электромагнитное поле — сплошная среда............................... 182
§2.12  . Полная система законов сохранения механики и электродинамики. . . . 192

Глава 3. Определяющие соотношения сплошных сред...................... 199
  §3.1  . Основные принципы построения определяющих соотношений...... 199
  §3.2  . Энергетические и квазиэнергетические пары тензоров......... 200
  §3.3  . Основное термодинамическое тождество....................... 230
  §   3.4. Принципы термодинамически согласованного детерминизма, равнопри-сутствия и локальности............................................. 237
  §3.5  . Идеальные сплошные среды................................... 242

Оглавление

  §3.6  . Принцип материальной симметрии............................. 246
  §3.7  . Определение жидких и твердых сред.......................... 253
  §3.8  . Следствия из принципа материальной симметрии и определяющие соотношения идеальных сплошных сред.................................... 267
  §3.9  . Несжимаемые сплошные среды................................. 315
§3.10  . Принцип материальной индифферентности....................... 326
§3.11 . Соотношения в подвижной системе отсчета...................... 350
§3.12  . Принцип Онзагера............................................ 363
§3.13  . Фойгтовские сплошные среды.................................. 371
§3.14  . Определяющие соотношения для электромагнитных сред.......... 397
§3.15  . Определяющие соотношения для полярных электромагнитных сред . . . 432

Глава 4. Соотношения на поверхностях разрыва......................... 447
  §4.1  . Соотношения на поверхности разрыва в материальном описании. 447
  §4.2  . Уравнения поверхности разрыва.............................. 456
  §4.3  . Соотношения на поверхности разрыва в пространственном описании . . 463
  §4.4  . Явный вид соотношений на поверхности разрыва............... 466
  §4.5  . Соотношения на некогерентных поверхностях разрыва.......... 469
  §4.6  . Основные типы поверхностей разрыва......................... 477
  §4.7  . Следствия из соотношений на поверхности разрыва............ 482
  §4.8  . Соотношения для электромагнитных величин на поверхности разрыва 495

Глава 5. Теория размерностей.......................................   512
  §5.1  . Масштабные преобразования в МСС............................ 512
  §5.2  . Системы единиц, размерные и безразмерные единицы........... 528
  §5.3  . Размерности величин в электродинамике...................... 538

Литература........................................................... 547
Предметный указатель................................................. 552

Предисловие



   Материал, вошедший во второй том четырехтомного издания «Механика сплошной среды», занимает центральное место всего курса, поскольку он посвящен рассмотрению универсальных законов механики сплошной среды (МСС), справедливых для всех сплошных сред. Перед изложением основного материала следует остановиться на том, что является объектами МСС с точки зрения реального окружающего нас мира, а также рассмотреть методы и задачи МСС, чтобы определить место этой науки среди других близких к ней наук — физики и математики.
   А. Объекты МСС. Объектами МСС являются тела (или среды) — материальные субстанции окружающего человека реального мира: земля, океаны, моря, реки и озера, горные и лесные массивы, степи и пустыни, атмосфера и атмосферные образования, предметы жизнедеятельности человека — дома, поезда, самолеты, корабли, мосты и т. п., а также сам человек и все живое — как физическая сущность, — словом все то, что человек может увидеть, услышать и ощутить как материю. Что же в таком случае не является объектами МСС? Это прежде всего — элементы интеллектуальной деятельности человека (социальные, производственные и другие взаимоотношения людей, сознание человека, его мыслительная деятельность и т. п.), а также объекты физического мира, которые человек не может ощутить своими органами чувств, но о существовании которых он может утверждать с помощью результатов своей интеллектуальной деятельности (очень малые объекты — молекулы и атомы, элементарные частицы, и очень большие объекты — удаленные от Земли небесные тела).
   Разумеется, приведенное определение объектов МСС не является строгим, в частности, потому что в МСС с некоторыми ограничениями могут исследоваться и не основные ее объекты. Например, методы МСС могут применяться для изучения некоторых аспектов движения атомов и молекул, то же самое относится и к небесным телам.
   Для обозначения границ применимости методов МСС можно рассмотреть иерархию структурных уровней материи, которым соответствуют различные характерные размеры (масштаб Iq):
  1) элементарные частицы и поля l ~ 10⁻¹⁵ м);
  2) атомы и молекулы (lo ~ 10⁻¹²... 10⁻⁸ м);
  3) микро- и мезосистемы (ф ~ 10⁻⁸... 10⁻³ м);
  4) макроскопические тела (ф ~ 10⁻³ ... 10³ м);

Предисловие

  5) геологические системы (Zo ~ 10³ ... 10⁷ м);
  6) планеты и другие астрофизические объекты (Zo & 10⁷ м).
   Приведенная классификация достаточно условна, и указанные границы весьма расплывчаты. Тем не менее она отражает важную особенность материи — иерархию ее структурных уровней: низшие уровни «вложены» в высшие. Например, атомы и молекулы состоят из элементарных частиц, а макроскопические тела — из атомов и молекул. Классическими объектами МСС являются субстанции материи, находящиеся на 3-, 4- и 5-м структурных уровнях, т. е. те, в которых содержится «много» атомов и молекул, но в то же время их масштаб Zo существенно меньше расстояний, характерных для астрофизических объектов.
   Наличие значительного числа атомов и молекул в объектах МСС позволяет применять для их описания основополагающую математическую модель — сплошную среду, согласно которой переходят от реальной дискретной структуры веществ к идеализированной непрерывной (континуальной или сплошной) структуре. Этим объясняется нижняя граница масштаба Zo ~ 10⁻⁸ м, которой обычно руководствуются при определении границ применимости методов МСС. Верхнее ограничение на масштаб объектов МСС (Zo ~ 10⁷ м) обусловлено тем, что для больших масштабов становятся существенными релятивистские эффекты, которыми в классической МСС пренебрегают.
   Б. Методы МСС. Из сказанного выше можно сделать вывод, что МСС — часть теоретической физики, изучающая объекты определенного масштаба: не слишком маленькие и не слишком большие. Однако это справедливо лишь по отношению к объектам МСС. Что касается методов, то современная МСС ближе к математике, чем к физике, поскольку она построена на аксиомах, из которых выводят различные математические следствия и получают результаты с «математическим уровнем строгости».
   Аксиомы в МСС позволяют разъединить исследуемые 3-, 4- и 5-й структурные уровни материи с ее низшими уровнями. Например, уже названная основополагающая аксиома сплошности среды позволяет не учитывать в МСС дискретную структуру реальных тел, состоящих из атомов и молекул, и упоминать их лишь «факультативно» — при трактовке тех или иных результатов. Другим примером отличия методов МСС и физики может служить введение абсолютной температуры: в физике она определяется как среднеквадратическая скорость колебаний атомов, а в МСС — это аксиоматически введенная скалярная положительная функция. В этом смысле в МСС вполне оправдано широкое использование термина «модель»: модель среды, модель явления, модель процесса, что отражает факт заведомой идеализации в МСС реальных процессов и явлений.
   Идея аксиоматизации МСС принадлежит К. Трусделлу, который, развивая концепцию Д. Гильберта по аксиоматизации математики и ее приложений,

Предисловие

9

впервые и сформулировал систему аксиом МСС [48]. Достоинства аксиоматического подхода к МСС очевидны: он позволяет корректно вводить первоначальные понятия, формулировка которых при ином подходе вызывает затруднения (это относится прежде всего к понятиям силы и температуры, к формулировке законов термодинамики в универсальной форме, свободной от таких понятий, как обратимые процессы, равновесные процессы), а также дает возможность читателю, начинающему изучение МСС, четко разделять все понятия и утверждения на аксиомы (т. е. те, которые постулируются) и теоремы (те, которые выводятся из аксиом).
   При формулировке основной системы аксиом и их содержания автор несколько отошел от системы аксиом Трусделла: например, из этой системы исключены логические аксиомы «о телах», поскольку, по мнению автора, явным образом они не относятся к предмету МСС, а формулировка их весьма громоздка; добавлены новые аксиомы, относящиеся к электродинамике, а также к принципам формулировки определяющих соотношений и к соотношениям на поверхности сильных разрывов.
   Полный перечень аксиом МСС, использованный в настоящей книге, представлен в табл. П.1.
   В. Задачи МСС. Следствием аксиом 1-15 является полная система законов сохранения МСС, представляющая собой систему дифференциальных уравнений в частных производных (ее вывод составляет содержание гл. 2). Эта система является незамкнутой и для ее замыкания формулируются так называемые определяющие соотношения, которые описывают свойства того или иного типа сплошной среды. Вид и вывод этих соотношений может быть различным, что объясняется многообразием сплошных сред реального окружающего мира: среды могут быть твердые, жидкие, газообразные, причем твердые среды также чрезвычайно разнообразны — стали, пластмассы, резины, горные породы и т. п. Из повседневного опыта очевидно, что свойства этих сплошных сред существенно различаются. В равной степени сказанное относится и к различным типам жидкостей и газов. Универсальный способ построения определяющих соотношений основан на применении законов термодинамики и аксиом 16-22. В гл. 3 таким методом построены определяющие соотношения для идеальных сплошных сред — наиболее широко распространенного в МСС класса, а также для важного класса фойгтовских сред (сред скоростного типа). Другие модели твердых сред — вязкоупругие, пластические — рассмотрены в т. 4.
   После замыкания системы уравнений МСС необходимо учесть еще соответствующие граничные условия, которые следуют из соотношений на поверхностях сильных разрывов, вытекающих, в свою очередь, из аксиомы 23. Выводу этих соотношений посвящена гл. 4. Наконец, после присоединения начальных условий можно сформулировать общую математическую

Предисловие

Таблица П.1. Аксиомы МСС

№       Название аксиомы        Аксиоматически вводимые     Раздел 
п/п                                объекты и величины       книги  
1   Сплошность                ---                          Введение
2   Евклидовость пространства Пространство Ea              Введение
3   Существование             Абсолютное время t           Введение
    абсолютного времени                                            
4   Закон сохранения массы    Масса тела M                 2.1.1   
5   Закон изменения           Вектор внешних сил F         2.2.1   
    количества движения                                            
6   Закон изменения момента   Вектор собственных момен-    2.3.1   
    количества движения       тов р,".                             
                              Вектор собственного момен-           
                              та количества движения k00           
7   Первый закон              Внутренняя энергия тела U.   2.4.1   
    термодинамики             Скорость нагрева тела Q              
8   Существование абсолют-    Абсолютная температура в     2.5.1   
    ной температуры                                                
9   Второй закон              Энтропия тела H.             2.5.1   
    термодинамики             Производство энтропии за             
                              счет внешних источников Q            
10  Неравенство Фурье         ---                          2.5.2   
11  Закон сохранения элекри-  Электрический заряд тела Qе. 2.9.1   
    ческого заряда            Электрический ток JЕ                 
12  Существование электро-    Циркуляция напряженности     2.9.1   
    магнитного поля (ЭМП)     электрического поля EL.              
                              Циркуляция напряженности             
                              магнитного поля HL.                  
                              Электрическая индукция Ds>.          
                              Магнитная индукция Bs'               
13  Закон изменения импульса  -                            2.11.2  
    системы электромагнитное                                       
    поле --- сплошная среда                                        
    (ЭМПСС)                                                        
14  Закон изменения момента   -                            2.11.4  
    импульса системы ЭМПСС                                         
15  Закон сохранения энергии  -                            2.11.7  
    системы ЭМПСС                                                  
16  Принцип термодинами-      -                            3.4.2   
    чески согласованного                                           
    детерминизма                                                   

Предисловие

И

Окончание табл. П.1

  № Название аксиомы            Аксиоматически вводимые Раздел 
п/п                               объекты и величины    книги  
17  Принцип равноприсуствия               ---           3.4.3  
18  Принцип локальности                   ---           3.4.4  
19  Принцип материальной сим-              -            3.6.4  
    метрии                                                     
20  Принцип материальной индиф-            -            3.10.9 
    ферентности (объективности)                                
21  Принцип объективности                  -            3.10.12
    термодинамических функций                                  
22  Принцип Онзагера                      ---           3.12.1 
23  О классе функций на поверх-            -            4.1.3  
    ностях сильных разрывов                                    

постановку задачи МСС для рассматриваемого типа сплошной среды. В этой задаче часть функций, характеризующих воздействующие на среду факторы, полагают заданной, а другую часть — неизвестной.
   Однако часто оказывается, что эта общая задача чрезвычайно трудна для решения даже с помощью самых современных численных методов с применением мощнейших компьютеров. Поэтому, исходя из априорного анализа свойств и геометрической формы конкретной сплошной среды, а также конкретных воздействующих факторов, начальных и граничных условий, часто переходят от общей задачи МСС к некоторой частной, более простой задаче. Такие классические частные задачи МСС для жидких сред рассмотрены в т. 3, а для твердых сред — в т. 4.
   Глава 5 посвящена теории размерностей — разделу, которому, как правило, уделяют мало места в курсах МСС, обычно излагается только часть этой теории, связанная с так называемой л-теоремой. Подробно и с доказательствами в этой главе даны ответы на вопросы, кажущиеся простыми, но для многих читателей таковыми вряд ли являющиеся: почему именно четыре размерности являются базовыми в МСС — метр, килограмм, секунда и градус; есть ли размерности электромагнитных величин, не зависящие от размерностей механических величин; как связаны размерности электромагнитных величин в системах СИ и СГСЭ?
   Отметим, что современная МСС не сводится к изложению одних только фундаментальных законов сохранения: МСС — это развивающаяся наука, позволяющая вести исследования новых еще не изученных типов сплошных сред, геофизических, климатических и атмосферных процессов и многих

Предисловие

других объектов и явлений, в том числе и в таких нетрадиционных областях, как математическая экономика.
   В МСС широко используют понятие модели МСС, при этом в соответствии со сказанным выше основные направления исследований МСС можно определить следующим образом:
   • построение моделей сплошных сред, т. е. формулировку определяющих соотношений для новых классов сплошных сред;
   • построение моделей процессов в сплошных средах, т. е. введение некоторой системы гипотез, упрощающих общую задачу МСС и сводящих ее к частной;
   • исследование различных эффектов в сплошных средах на основе численного или аналитического или экспериментального решения общей или частной задачи МСС.
   Особое значение в данной книге имеет гл. 3, в которой излагается оригинальная теория построения моделей сплошных сред, основанная на использовании так называемых энергетических и квазиэнергетических пар тензоров напряжений и деформации, существование которых было установлено Р. Хиллом [76] и К.Ф. Черных [50], часть этих пар была впервые найдена автором [62]. В т. 2, а также в т. 3 и 4 демонстрируется универсальность этой теории: из нее следуют все классические модели сплошных сред, а также могут быть построены новые неклассические модели — теория указывает направления и методы построения этих моделей.
   Как отмечалось во введении к т. 1, автор везде старался сохранять понятный читателю стиль изложения, с достаточно подробными математическими выкладками и доказательствами. Это неизбежно привело к увеличению объема книги, однако, автор придерживался мнения, что в математике доказательства не менее важны самих формулировок утверждений.
   В предлагаемой книге, как и во всем четырехтомном издании, преимущественно использован тензорный (безындексный) подход к формулировке всех основных законов МСС, который позволяет существенно упростить формальную запись уравнений и сделать более ясной их физическую суть, не загромождая индексными обозначениями логические связи между величинами. Этот подход требует владения методами тензорного анализа, в помощь изучения которых был написан т. 1 данного курса МСС, где введены обозначения основных величин и операций тензорного анализа, унифицированные для всех четырех томов данного издания. Поэтому значительное число утверждений в т. 2 базируется на теоремах и формулах из тензорного анализа, приведенных в т. 1.
   Глубокую признательность автор выражает рецензентам: академику РАН О.М. Белоцерковскому, академику РАН Е.И. Шемякину, члену-кор